Примеры решения факториалов. 4 факториал


Таблица факториалов

1!1
2!2
3!6
4!24
5!120
6!720
7!5 040
8!40 320
9!362 880
10!3 628 800
11!39 916 800
12!479 001 600
13!6 227 020 800
14!87 178 291 200
15!1 307 674 368 000
16!20 922 789 888 000
17!355 687 428 096 000
18!6 402 373 705 728 000
19!121 645 100 408 832 000
20!2 432 902 008 176 640 000
21!51 090 942 171 709 440 000
22!1 124 000 727 777 607 680 000
23!25 852 016 738884 976 640 000
24!620 448 401 733239 439 360 000
25!15 511 210 043 330 985 984 000 000
26!403 291 461 126 605 635 584 000 000
27!10 888 869 450 418 352 160 768 000 000
28!304 888 344 611 713 860 501 504 000 000
29!8 841 761 993 739 701 954 543 616 000 000
30!265 252 859 812 191 058636 308 480 000 000
— версия для печатиОпределение (что такое факториал) Факториал числа - результат последовательного умножения числа на все натуральные числа меньшие данного числа и большие единицы. Обозначается факториал восклицательным знаком после числа — «n!». Факториал натурального числа n можно также определить как рекуррентную функцию F (n). Определяется она следующим образом: F (0) = F (1) = 1; F (n) = n * F (n-1).Пример: 7! = 7×6×5×4×3×2×1 = 5040Не стоит забывать По общепринятой договоренности 0! = 1 (факториал нуля равен единице). Этот факт важен, к примеру, для вычисления биномиальных коэффициентов.Полезный факт Факториал числа, функцию от натурального аргумента можно продолжить на все действительные числа с помощью т.н. Гамма-функции (важно отметить, что для этого требуется определенный математический аппарат). В таком случае, мы сможем посчитать факториал любого действительного числа. Например, факториал (или, Гамма-функция, что математически правильнее) числа Пи Π! приблизительно равен 2.28803779534. Факториал числа Эйлера, другого трансцендентного числа, Γ(e) ~ 1.567468255 (упрощенно, факториал числа e).
Если у вас есть мысли по поводу данной страницы или предложение по созданию математической (см. раздел «Математика») вспомогательной памятки, мы обязательно рассмотрим ваше предложение. Просто воспользуйтесь обратной связью.

© Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016

scolaire.ru

Таблица факториалов до 50

Главная > ф >

 Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно. Например: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Принято: 0! = 1.

В таблице приведены значения факториалов для чисел от 0 до 50.

число факториал числа
0! 1
1! 1
2! 2
3! 6
4! 24
5! 120
6! 720
7! 5040
8! 40320
9! 362880
10! 3628800
11! 39916800
12! 479001600
13! 6227020800
14! 87178291200
15! 1307674368000
16! 20922789888000
17! 355687428096000
18! 6402373705728000
19! 121645100408832000
20! 2432902008176640000
21! 51090942171709440000
22! 1124000727777607680000
23! 25852016738884976640000
24! 620448401733239439360000
25! 15511210043330985984000000
26! 403291461126605635584000000
27! 10888869450418352160768000000
28! 304888344611713860501504000000
29! 8841761993739701954543616000000
30! 265252859812191058636308480000000
31! 8222838654177922817725562880000000
32! 263130836933693530167218012160000000
33! 8683317618811886495518194401280000000
34! 295232799039604140847618609643520000000
35! 10333147966386144929666651337523200000000
36! 371993326789901217467999448150835200000000
37! 13763753091226345046315979581580902400000000
38! 523022617466601111760007224100074291200000000
39! 20397882081197443358640281739902897356800000000
40! 815915283247897734345611269596115894272000000000
41! 33452526613163807108170062053440751665152000000000
42! 1405006117752879898543142606244511569936384000000000
43! 60415263063373835637355132068513997507264512000000000
44! 2658271574788448768043625811014615890319638528000000000
45! 119622220865480194561963161495657715064383733760000000000
46! 5502622159812088949850305428800254892961651752960000000000
47! 258623241511168180642964355153611979969197632389120000000000
48! 12413915592536072670862289047373375038521486354677760000000000
49! 608281864034267560872252163321295376887552831379210240000000000
50! 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000

 



 

comments powered by HyperComments

tab.wikimassa.org

04. Факториал и двойной факториал

Определение. Факториалом натурального числа называется произведение натуральных чисел от 1 до .

Факториал числа обозначается ! и читается «эн факториал».

Например, , .

При записи математических утверждений принято допущение, что .

Определение. Двойным факториалом натурального числа называется произведение числа и всех меньших натуральных чисел той же чётности.

Двойной факториал числа обозначается !! и читается «эн два факториал».

Например, , .

Теорема 3.6.

;

.

Задачи и упражнения.

4.1. Вычислите:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

4.2. Упростите:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

4.3. Решите уравнение

.

4.4. Докажите тождество

< Предыдущая Следующая >
 

matica.org.ua

Факториал, примеры решения

Теория по факториалам

Факториал нуля равен единице:

   

Так же используются факториалы по четным и по нечетным числам. Обозначаются они следующим образом: – двойной факториал по всем четным числам до :

   

– факториал по всем нечетным числам до :

   

Эти факториалы связаны равенством

или

Факториал широко используется в комбинаторике: перестановки, размещения, сочетания – все они выражаются через факториалы.

Примеры

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Что такое факториал? - Полезная информация для всех

  • Под таким понятием как quot;факториалquot; подразумевается в матиматике произведение именно всех натуральных чисел, включая единицу и вплоть до того числа, которое было задано изначально, включая его. Факториал обозначают таким знаком как quot;!quot;.

    Например: 5! = 1*2*3*4*5

  • Факториал - это термин, с которым сталкиваются уже в старших классах школы и на изучении высшей математики в институте.

    Это латинский термин.

    Он обозначается восклицательным знаком - !.

    Факториалом числа n называется произведение всех натуральных чисел от единицы до числа n включительно.

    Вот формула:

    n! = 1*2*...*(n-1)*n.

    То есть факториал имеет место только для тех чисел, которые >= 0 и являются целыми.

    Есть интересный момент - это факториал 0, он равен 1.

    Значения:

    0! = 1

    1! = 1

    2! = 1*2 = 2

    3! = 1*2*3 = 6

    4! = 1*2*3*4 = 24

    5! = 1*2*3*4*5 = 120

    Суперфакториал

    Это произведение первых n факториалов.

    Например, sf(3) = 1! * 2! * 3! = 12.

    Этот термин был определн относительно недавно, в 1995 году. Это сделали:

    Применение факториала

    Комбинаторика, функциональный анализ, теория чисел.

  • Факториалом любого числа n называется произведение всех натуральных чисел , начиная с 1 ,продолжая 2 , 3 , и так далее , вплоть до самого числа n , и обозначается значком ! . То есть :

    n ! = 1 * 2 * 3 *....* (n - 2 ) * ( n - 1 ) * ( n ).

    Приведм примеры : 5 ! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120 , и так с любым числом.

  • Факториал - это произведение всех натуральных чисел от единицы до данного числа включительно. Факториалы широко используются в комбинаторике. Факториал обозначается знаком quot;!quot;.

    А вот формула факториала: 1 * 2 * 3 * 4 * ... * n = n!

  • Факториал числа N есть количество всевозможных комбинаций каких-либо N объектов.

    Объясню на примере.

    Есть два шара. Первый помечен цифрой 4, второй цифрой 6.

    В данном случае, даны две цифры - 4 и 6, и возможно составить только две комбинации 46 и 64. Это и есть факториал числа 2, т.е. 2! = 2.

    Теперь посчитаем 3!.

    Даны 3 шара с тремя различными цифровыми пометками на каждом. Допустим, это цифры 8, 5, 3.

    Количество возможных комбинаций: 853, 538, 358, 385, 583, 835.

    Значит, 3! = 6.

    Факториал числа можно рассчитать по формуле: n! = 1*2*...*n

  • Значение факториал, часто используют в математике и в математических задачах.

    Факториал, если говорить понятным языком - это произведение всех существующих натуральных чисел.

    Рассчитать факториал, можно по его специальной формуле:

    1 * 2 * 3 * 4 * ... * n = n!

  • Факториаamp;#769;л числа n (обозначается n!, произносится эн факториаamp;#769;л) произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

  • info-4all.ru

    Факториал - это... Что такое Факториал?

    Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

    Например:

    По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

    Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так:

    1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, … (последовательность A000142 в OEIS)

    Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

    Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция ).

    Свойства

    Рекуррентная формула

    Комбинаторная интерпретация

    В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

    ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA

    Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, т. к. пустое множество упорядочено единственным способом.

    Связь с гамма-функцией

    Амплитуда и фаза факториала комплексного аргумента.

    Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

    Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

    Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при

    Пи-функция, определённая для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.

    Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как

    Поскольку то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению

    Формула Стирлинга

    Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

    см. O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).

    Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

    При этом можно утверждать, что

    Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

    • 100! ≈ 9,33×10157;
    • 1000! ≈ 4,02×102567;
    • 10 000! ≈ 2,85×1035 659.

    Разложение на простые числа

    Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

    Таким образом,

    где произведение берётся по всем простым числам. Нетрудно видеть, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, а потому произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

    Другие свойства

    • Для натурального числа n

    Обобщения

    Двойной факториал

    Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность что и n. Таким образом,

    По определению полагают 0!! = 1.

    Последовательность значений n!! начинается так:

    1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, … (последовательность A006882 в OEIS).

    Кратный факториал

    m-Кратный факториал числа n обозначается и определяется следующим образом:

    Пусть число n представимо в виде где Тогда[1]

    Двойной факториал является частным случаем m-кратного факториала для m = 2.

    Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением[2]:

    Убывающий факториал

    Убывающим факториалом (или неполным факториалом) называется выражение

    Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

    Возрастающий факториал

    Возрастающим факториалом называется выражение

    Праймориал или примориал

    Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается n# и определяется как произведение всех простых чисел, не превышающих n. Например,

    11# = 12# = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310.

    Последовательность праймориалов (включая ) начинается так:

    1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 410, 32 589 158 477 190 044 730, 1 922 760 350 154 212 639 070, … (последовательность A002110 в OEIS).

    Суперфакториалы

    Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

    (поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

    В общем

    Последовательность суперфакториалов чисел n⩾0 начинается так:

    1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, … (последовательность A000178 в OEIS).

    Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Superduperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел n⩾0 начинается так:

    1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 736 522 240 000 000, 265 790 267 296 391 946 810 949 632 000 000 000, 127 313 963 299 399 416 749 559 771 247 411 200 000 000 000 … (последовательность A055462 в OEIS)

    Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение первых n (m−1)-уровневых факториалов, то есть

    где для и

    Субфакториал

    Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.

    Ссылки

    См. также

    Примечания

    1. ↑ «Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.
    2. ↑ wolframalpha.com.

    veter.academic.ru

    Факториал - это... Что такое Факториал?

    Факториа́л числа n (лат. factorialis — действующий, производящий умножающий; обозначается n!, произносится эн факториа́л) — произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:

    Например:

    По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел.

    Последовательность факториалов неотрицательных целых чисел начинается так:

    1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, … (последовательность A000142 в OEIS)

    Факториалы часто используются в комбинаторике, теории чисел и функциональном анализе.

    Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем многочлен любой степени, и быстрее, чем экспоненциальная функция (но медленнее, чем двойная экспоненциальная функция ).

    Свойства

    Рекуррентная формула

    Комбинаторная интерпретация

    В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A,B,C,D} из 4-х элементов существует 4! = 24 перестановки:

    ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA

    Комбинаторная интерпретация факториала служит обоснованием тождества 0! = 1, т. к. пустое множество упорядочено единственным способом.

    Связь с гамма-функцией

    Амплитуда и фаза факториала комплексного аргумента.

    Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:

    Таким образом, гамма-функцию рассматривают как обобщение факториала для положительных вещественных чисел.

    Путём аналитического продолжения её также расширяют и на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при

    Пи-функция, определённая для всех вещественных чисел, кроме отрицательных целых, и совпадающая при натуральных значениях аргумента с факториалом.

    Более непосредственным обобщением факториала на множество вещественных (и комплексных) чисел является пи-функция, определяемая как

    Поскольку то пи-функция натурального числа совпадает с его факториалом: Как факториал, пи-функция удовлетворяет рекурсивному соотношению

    Формула Стирлинга

    Формула Стирлинга — асимптотическая формула для вычисления факториала:

    см. O-большое. Коэффициенты этого разложения дают последовательность A001163 в OEIS (числители) и последовательность A001164 в OEIS (знаменатели).

    Во многих случаях для приближённого значения факториала достаточно рассматривать только главный член формулы Стирлинга:

    При этом можно утверждать, что

    Формула Стирлинга позволяет получить приближённые значения факториалов больших чисел без непосредственного перемножения последовательности натуральных чисел. Так, с помощью формулы Стирлинга легко подсчитать, что

    • 100! ≈ 9,33×10157;
    • 1000! ≈ 4,02×102567;
    • 10 000! ≈ 2,85×1035 659.

    Разложение на простые числа

    Каждое простое число p входит в разложение n! на простые множители в степени

    Таким образом,

    где произведение берётся по всем простым числам. Нетрудно видеть, что для всякого простого p большего n соответствующий множитель в произведении равен 1, а потому произведение можно брать лишь по простым p, не превосходящим n.

    Другие свойства

    • Для натурального числа n

    Обобщения

    Двойной факториал

    Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех натуральных чисел в отрезке [1,n], имеющих ту же чётность что и n. Таким образом,

    По определению полагают 0!! = 1.

    Последовательность значений n!! начинается так:

    1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, … (последовательность A006882 в OEIS).

    Кратный факториал

    m-Кратный факториал числа n обозначается и определяется следующим образом:

    Пусть число n представимо в виде где Тогда[1]

    Двойной факториал является частным случаем m-кратного факториала для m = 2.

    Кратный факториал связан с гамма-функцией следующим соотношением[2]:

    Убывающий факториал

    Убывающим факториалом (или неполным факториалом) называется выражение

    Убывающий факториал даёт число размещений из n по k.

    Возрастающий факториал

    Возрастающим факториалом называется выражение

    Праймориал или примориал

    Праймориал или примориал (англ. primorial) числа n обозначается n# и определяется как произведение всех простых чисел, не превышающих n. Например,

    11# = 12# = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310.

    Последовательность праймориалов (включая ) начинается так:

    1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 410, 32 589 158 477 190 044 730, 1 922 760 350 154 212 639 070, … (последовательность A002110 в OEIS).

    Суперфакториалы

    Нейл Слоан и Саймон Плоуф (англ.) в 1995 году определили суперфакториал как произведение первых n факториалов. Согласно этому определению, суперфакториал четырёх равен

    (поскольку устоявшегося обозначения нет, используется функциональное).

    В общем

    Последовательность суперфакториалов чисел n⩾0 начинается так:

    1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, … (последовательность A000178 в OEIS).

    Идея была обобщена в 2000 году Генри Боттомли (англ.), что привело к гиперфакториалам (англ. Superduperfactorial), которые являются произведением первых n суперфакториалов. Последовательность гиперфакториалов чисел n⩾0 начинается так:

    1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 736 522 240 000 000, 265 790 267 296 391 946 810 949 632 000 000 000, 127 313 963 299 399 416 749 559 771 247 411 200 000 000 000 … (последовательность A055462 в OEIS)

    Продолжая рекуррентно, можно определить факториал кратного уровня, или m-уровневый факториал числа n, как произведение первых n (m−1)-уровневых факториалов, то есть

    где для и

    Субфакториал

    Субфакториал !n определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.

    Ссылки

    См. также

    Примечания

    1. ↑ «Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.
    2. ↑ wolframalpha.com.

    dal.academic.ru