Как находить асимптоты функции. Асимптоты нахождение


Нахождение асимптот функции.

Пусть имеем функцию:Найдём область определения функции, видим, что надо исключить x=1, потому что в знаменателе выражение x-1. Вычислим предел функции при x → 1.Видим, что этот придел будет равный бесконечности, поэтому x=1, будет вертикальной асимптотой.Найдём остальные асимптоты в виде y=kx+b, где k и b будем искать по следующим формулам.Для начала найдём коэффициент k:Поделим числитель и знаменатель дроби на x2 и таким образом найдём предел.Потом найдём коэффициент b.Помножим числитель и знаменатель дроби на число сопряженное к числителюРаскроем скобки и сведём подобные слагаемые, после чего получим:Далее собственно, как и в предыдущем переделе, поделим числитель и знаменатель дроби на x3 и таким образом найдём предел.Таким образом мы нашли ещё одну асимптоту y=x+2 при х → ∞ .

Аналогично найдём коэффициенты k и b, при х → — ∞.Начнём с коэффициента k. Поделим числитель и знаменатель дроби на x2 и таким образом найдём предел. Но здесь надо учитывать то, что х → — ∞ и если мы будем делить на x в нечётной степени, то не надо забывать минусе.Точно так же, как и раньше, найдём и коэффициент b.Опять поделим числитель и знаменатель дроби на x3 и таким образом найдём предел, но также надо учитывать то, что х → — ∞ и если мы будем делить на x в нечётной степени, то не надо забывать минусе.Видим, что есть ещё одна асимптота y=-x-2 при х → — ∞ .Для наглядности можем посмотреть график функции и всех асимптот на рисунке.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка...

matemonline.com

Разузнай! - Как находить асимптоты функции

Процесс нахождения асимптот является одним из базовых этапов исследования функции, который позволяет более подробно изучить её свойства. Для нахождения асимптот различных функций существуют типовые методики, однако, прежде чем их освоить необходимо чётко себе представлять то, какой смысл вкладывается в понятие асимптоты, в силу чего следует чётко сформулировать определение этого понятия.

Асимптотой функции считают такую прямую, к которой бесконечно стремится её график, но никогда с ней не совпадает. Иными словами, основное свойство асимптоты заключается в том, что расстояние от неё до точки графика функции стремится к нулевому значению, при бесконечно большом перемещении данной точки вдоль ветви графика. Следовательно, с их помощью можно определить либо максимально возможное значение непрерывной функции при бесконечном значении аргумента либо наоборот, предельно возможное значение аргумента, при котором график функции стремится к бесконечности. Следует отметить также то, что в зависимости от того либо иного типа графика, асимптоты могут быть трёх основных видов:

  1. Вертикальные.
  2. Горизонтальные.
  3. Наклонные.

Опираясь на всё вышесказанное, можно записать определение различных видов асимптот с помощью языка математики. В этом случае вертикальная асимптота функции y=f(x) будет представлять из себя вертикальную прямую x=a, при том условии, что f(x)→+∞ либо f(x)→-∞ и одновременно x→a.

Используя понятие предела можно записать общее определение вертикальной асимптоты единым выражением вида lim f(x)"x→a"=+-∞. Исходя из этого можно сказать, что вертикальные асимптоты функции, которых как правило две, будет проходить через те точки горизонтальной оси координат, на которых максимально возможное значение функции стремится к плюс либо минус бесконечности.

Более интересным процессом является определение наклонной асимптоты функции, которая по своей сути является прямой линией вида y=kx+b, при том условии, что существуют следующие пределы:

  1. lim f(x)/x"x→+-∞"=k
  2. lim (f(x)-kx)"x→+-∞"=b

Резюмируя вышесказанное можно сделать вывод, что определение наклонной асимптоты функции сводится к нахождению двух этих пределов. Необходимо уточнить, что в тех случаях, когда хоть один из вышеуказаных пределов не существует либо неопределён, то наклонной асимптоты такая функция не имеет при абсолютно любых значениях x.

В заключении хотелось бы упомянуть о определении горизонтальной асимптоты, которая является ничем иным, как частным случаем наклонной, при k=0. В общем виде, горизонтальная асимптота представляет из себя прямую линию вида y=b, при том условии, что существует предел lim f(x)"x→+-∞"=b. В силу этого можно утверждать, что определение горизонтальных асимптот сводится к нахождению предельных значений функции при неограниченном возрастании значения аргумента. Интересным является и тот факт, что у любой функции не может быть более двух как наклонных, так и горизонтальных асимптот.

Видео как находить асимптоты функции

  • < Как сделать конверт из бумаги а4
  • UltraIso - Как записать образ и сделать загрузочную флешку >

razuznai.ru

Как найти асимптоты графика функции f(x)

Найти асимптоты графика функции f(x) - это пятое по счету задание в общей схеме исследования функции, которое следует после четырех предыдущих.

Вот эти первые четыре задания, о которых идет речь:

  1. Найти область определения функции f(x), точки ее разрыва.
  2. Найти множество значений функции f(x).
  3. Найти точки пересечения графика функции f(x) с осью Ox (нули функции f(x)).
  4. Найти точку пересечения графика функции f(x) с осью Oy.
Для отыскания асимптот служит запрос asymptotes f(x), который позволяет найти вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

asymptotes (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)

Чтобы найти отдельно вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты используются запросы, соответственно: vertical asymptotes f(x), horisontal asymptotes f(x) и oblique asymptotes f(x). Кроме того, по запросу asymptotes f(x) выводятся также полиномиальные и параболические асимптоты графика функции (если они есть).

Горизонтальные асимптоты можно найти вычислив пределы функции f(x) на бесконечности. Для этого служат запросы вида: lim f(x) x->-oo и lim f(x) x->+oo. Вместо символа бесконечности можно использовать слово «infinity» или же символы «оо».

lim (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4) x->-oo

lim (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4) x->+oo

Как видим, данная функция не имеет горизонтальных асимптот: на минус бесконечности она неограниченно возрастает, а на плюс бесконечности - неограниченно убывает.

Наклонные асимптоты также можно найти пошагово, воспользовавшись уравнением наклонной асимптоты

параметрами которого являются угловой коэффициент k и свободный член b. здесь используются такие запросы: для отыскания k служит запрос lim f(x)/x x->oo, для отыскания b - запрос lim (f(x)-kx) x->oo (вместо k нужно подставить его значение, найденное на предыдущем шаге).

Найдем k:

k = lim ((5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))/x x->oo

Найдем b:

b = lim [(5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))-(-5)x] x->oo

Как видим, этот результат совпадает с тем, что было найдено выше при помощи запроса asymptotes.

www.wolframalpha-ru.com

Асимптота Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Асимптота (значения). Для гиперболы y=1x{\displaystyle y={\frac {1}{x}}} асимптотами являются оси абсцисс и ординат. Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от неё

Аси́мпто́та[1] (от др.-греч. ἀσύμπτωτος — несовпадающий, не касающийся кривой с бесконечной ветвью) — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность[2]. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед[3].

Затухающие колебания. y=e−0.1xsin⁡(x){\displaystyle y=e^{-0.1x}\sin(x)}. Кривая может бесконечное множество раз пересекать асимптоту Пример асимптоты для кривой в пространстве. Спираль бесконечно приближается к прямой

Содержание

  • 1 Виды асимптот графиков
    • 1.1 Вертикальная
    • 1.2 Горизонтальная и наклонная
  • 2 Нахождение асимптот
    • 2.1 Порядок нахождения асимптот
    • 2.2 Наклонная асимптота — выделение целой части
  • 3 Свойства
  • 4 См. также
  • 5 Примечания
  • 6 Литература
  • 7 Ссылки

Виды асимптот графиков[ | код]

Вертикальная[ | код]

Прямая вида x=a{\displaystyle x=a} является вертикальной асимптотой при выполнении хотя бы одного из равенств:

  1. limx→a−f(x)=±∞{\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty }
  2. limx→a+f(x)=±∞{\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty }.

Вертикальных асимптот может быть любое количество.

Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке a{\displaystyle a}. Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

ru-wiki.ru

Асимптота — Википедия РУ

Вертикальная

Прямая вида x=a{\displaystyle x=a}  является вертикальной асимптотой при выполнении хотя бы одного из равенств:

  1. limx→a−f(x)=±∞{\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty } 
  2. limx→a+f(x)=±∞{\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty } .

Вертикальных асимптот может быть любое количество.

Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке a{\displaystyle a} . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Горизонтальная и наклонная

  На графике функции x+1/x, ось y (x = 0) и линия y=x являются асимптотами.

Наклонная асимптота — прямая вида y=kx+b{\displaystyle y=kx+b} , если выполняется хотя бы одно из равенств:

  1. limx→+∞(f(x)−kx)=b{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }(f(x)-kx)=b} 
  2. limx→−∞(f(x)−kx)=b{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }(f(x)-kx)=b} .

При этом, если выполняется первое условие, то говорят, что эта прямая является асимптотой при x→+∞{\displaystyle x\to +\infty } , а если второе, то асимптотой при x→−∞{\displaystyle x\to -\infty } [4].

Если k=0{\displaystyle k=0} , то асимптота также называется горизонтальной.

Замечание 1: Число наклонных асимптот у функции не может быть больше двух: одна при x→+∞{\displaystyle x\to +\infty }  и одна при x→−∞{\displaystyle x\to -\infty } , но она может быть одна или их вовсе может не быть.

Замечание 2: Некоторые источники включают требование, чтобы кривая не пересекала эту прямую в окрестности бесконечности[5].

Замечание 3: В некоторых случаях, таких как алгебраическая геометрия, асимптота определена, как прямая, которая является «касательной» к кривой на бесконечности[5].

 

Функция y=arctgx с двумя горизонтальными асимптотами

Порядок нахождения асимптот

  1. Нахождение точек разрыва, выбор точек, в которых есть вертикальная асимптота (прямой проверкой, что предел в этой точке есть бесконечность).
  2. Проверка, не являются ли конечными пределы limx→+∞f(x)=b{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=b}  иlimx→−∞f(x)=b{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=b} . Если да, то существует горизонтальная асимптота y=b{\displaystyle y=b}  при +∞{\displaystyle +\infty }  и −∞{\displaystyle -\infty }  соответственно.
  3. Нахождение двух пределов limx→±∞f(x)x=k{\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}=k} 
  4. Нахождение двух пределов limx→±∞(f(x)−kx)=b{\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }(f(x)-kx)=b} , если хотя бы один из пределов в пункте 3 или 4 не существует (или равен ±∞{\displaystyle \pm \infty } ), то наклонной асимптоты при x→+∞{\displaystyle x\to +\infty }  (или x→−∞{\displaystyle x\to -\infty } ) не существует.

Наклонная асимптота — выделение целой части

Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:

Дана функция f(x)=2x3+5x2+1x2+1{\displaystyle f(x)={\frac {2x^{3}+5x^{2}+1}{x^{2}+1}}} .

Разделив нацело числитель на знаменатель, получим: f(x)=2x+5+−2x−4x2+1=2x+5+(−2)⋅x+2x2+1{\displaystyle f(x)=2x+5+{\frac {-2x-4}{x^{2}+1}}=2x+5+(-2)\cdot {\frac {x+2}{x^{2}+1}}} .

При x→±∞{\displaystyle x\to \pm \infty } , x+2x2+1→0{\displaystyle {\frac {x+2}{x^{2}+1}}\to 0} ,

и y=2x+5{\displaystyle y=2x+5}  является искомым уравнением наклонной асимптоты, причем с обеих сторон.

http-wikipediya.ru

Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,

МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ

 

 

 

по дисциплине: Высшая математика

на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: студентка 1 курса

Экономического факультета

(вечернее отделение)

Козлова М.А.

Проверил: Рошаль А.С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 Введение                                                                                                         3

2.   Нахождение асимптоты                                                                                 4

   2.1 Геометрический смысл асимптоты                                                               5

   2.2 Общий метод нахождения асимптоты                                                          6

   3.   Виды                                                                                                                 8

    3.1 Горизонтальная асимптота                                                                            8

   3.2 Вертикальная асимптота                                                                                9

   3.3 Наклонная асимптота                                                                                   10                           

         Использованная литература                                                                        12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

Введение

 

Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной.

Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды, логарифмич. линии, циссоиды и др.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

2. Нахождение асимптоты

 

  Пусть функция f (x) определена для всех x > а (соответственно для всех

x

y = kx + l

называется асимптотой графика функции f (x) при x ® + ¥ (соответственно при х ® - ¥).

Существование асимптоты графика функции означает, что при х ® + ¥

(или х ® - ¥) функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую.                         

                                                                                          x- 3x - 2

Найдём, например, асимптоту графика функции y =       x +1

Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, 

                                      2                         2

получим y = x - 4 +  x + 1   Так как   x + 1   = 0 при х ® ± ¥, то прямая y = x-4

является асимптотой графика данной функции как при х ® + ¥,

так и при х ® - ¥.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

2.1 Геометрический смысл асимптоты

 

Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) – точка графика функции f, М - проекция этой точки на ось Ох, АВ – асимптота,

q - угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох, q ¹,

MP – перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q – точка пересечения прямой ММ с асимптотой АВ (рис.1).

                             (рис.1)

 

Тогда ММ = f (x), QM = kx + l, MQ = MM - QM = f (x) – (kx +l),

MP = MQ cos q. Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos q, поэтому условия MQ ® 0 и MP ® 0 при х ® + ¥ (соответственно при х ® - ¥) эквивалентны, то есть lim MQ = 0,

то и lim MP = 0, и наоборот.                                           х ® + ¥

       х ® + ¥                                                                                                

Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х ® + ¥ или, соответственно, х ® - ¥).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

2.2 Общий метод отыскания асимптоты

 

Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то есть способ определения коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l.

Будем рассматривать для определённости лишь случай х ® + ¥ (при х ® - ¥ рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту y = kx + l при х ® + ¥. Тогда, по определению,

f (x) = kx + l + 0

Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х ® + ¥. Тогда

lim  = k.

                                                        х ® + ¥

Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу

l = lim (f (x) – kx).

                                    х ® + ¥

Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что выполняется условие l = lim (f (x) – kx), то прямая y = kx + l является

                                                 х ® + ¥       

асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) – kx) имеем

                                                                                             х ® + ¥         

lim [f (x) - (kx + l)] = 0,

                                              х ® + ¥

 

то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулы lim  = k. и l = lim (f (x) – kx)

                                 х ® + ¥                 х ® + ¥          

сводят задачу отыскания асимптот y = kx + l к вычислению пределов определённого вида. Более того, мы показали, что если существует

 

 

представление функции f в виде f (x) = kx + l + 0, то k и l выражаются по формулам lim  = k. и l = lim (f (x) – kx)

                  х ® + ¥                 х ® + ¥          

Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно.

Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = ,

найденную нами выше другим способом:

 

7

 

 

то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты

y = x – 4, как при х ® + ¥, так и при х ® - ¥.

В виде y = kx + l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Oy. Естественно распространить определение асимптоты и на прямые, параллельные оси Oy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

3. Виды

3.1 Горизонтальная асимптота

 

Пусть $ lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид (при x ® +¥) (рис.2)

 

 

 
 

                                                               (рис.2)

 

 

хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3)

 

 

                             (рис.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

3.2 Вертикальная асимптота

 

 
 

                        

                                (рис.4)

 

 

Пусть при x ® a ± 0 lim f (x) = ± ¥. Тогда говорят, что прямая x = a является

                                   х ® ¥

вертикальной асимптотой f (x). График функции f (x) при приближении x к а ведёт примерно так (рис.4), хотя, конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит f (x) в + ¥ или - ¥.

Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид

.

Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

3.3 Наклонная асимптота

 

                        (рис.5)

 

Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе х есть  d = ax + b – f (x). Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b – f (x) стремится к 0 при х ® ± ¥

lim [f (x) – (ax + b)] = 0.

x ® ¥

Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина  

Но тогда мы имеем

и так как последний предел равен нулю, то

Зная а, можно найти и b из исходного соотношения

 

Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.

 

Пример

то есть асимптота при x ® +¥ имеет уравнение y=x.

11

 

Аналогично можно показать, что при x ® - ¥ асимптота имеет вид y = - x.

Сам график функции  выглядит так (рис.6)

                                 (рис.6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

Использованная литература

 

1.     Р.Б. Райхмист «Графики функций», Москва, 1991г.

2.     Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» т.1, Москва 1981

3.     Лекции по математике

 

znakka4estva.ru

Асимптота - это... Что такое Асимптота?

Виды асимптот графиков

Вертикальная

Вертикальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.

Горизонтальная

Горизонтальная асимптота — прямая вида при условии существования предела

.

Наклонная

Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов

Пример наклонной асимптоты

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!

Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует!

Связь между наклонной и горизонтальной асимптотами

Если при вычислении предела , то очевидно, что наклонная асимптота совпадает с горизонтальной. Какова же связь между этими двумя видами асимптот?

Дело в том, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при , и из выше указанных замечаний следует, что

  1. Функция имеет или только одну наклонную асимптоту, или одну вертикальную асимптоту, или одну наклонную и одну вертикальную, или две наклонных, или две вертикальных, либо же вовсе не имеет асимптот.
  2. Существование указанных в п. 1.) асимптот напрямую связано с существованием соответствующих пределов.

График функции с двумя горизонтальными асимптотами

Нахождение асимптот

Порядок нахождения асимптот

  1. Нахождение вертикальных асимптот.
  2. Нахождение двух пределов
  3. Нахождение двух пределов :

если в п. 2.), то , и предел ищется по формуле горизонтальной асимптоты, .

Наклонная асимптота — выделение целой части

Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:

Дана функция .

Разделив нацело числитель на знаменатель, получим:

.

При   ,   ,   то есть:

,

и является искомым уравнением асимптоты.

Свойства

  • Среди конических сечений асимптоты имеют только гиперболы. Асимптоты гиперболы как конического сечения параллельны образующим конуса, лежащим в плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно секущей плоскости[4]. Максимальный угол между асимптотами гиперболы для данного конуса равен углу раствора конуса и достигается при секущей плоскости, параллельной оси конуса.

См. также

Примечания

Литература

  • Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, 4-е изд. М., 1956.
  • Графики функций: Справочник / Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. — Киев: Наук. думка, 1979, — 320 с.

Ссылки

dic.academic.ru