Биномиальные коэффициенты. Це из эн по ка


Сочетание — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В комбинаторике сочетанием из n{\displaystyle n} по k{\displaystyle k} называется набор k{\displaystyle k} элементов, выбранных из данного множества, содержащего n{\displaystyle n} различных элементов.

Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.

Так, например, наборы (3-элементные сочетания, подмножества, k=3{\displaystyle k=3}) {2, 1, 3} и {3, 2, 1} 6-элементного множества {1, 2, 3, 4, 5, 6} (n=6{\displaystyle n=6}) являются одинаковыми (в то время как размещения были бы разными) и состоят из одних и тех же элементов {1,2,3}.

В общем случае число, показывающее, сколькими способами можно выбрать k{\displaystyle k} элементов из множества, содержащего n{\displaystyle n} различных элементов, стоит на пересечении k{\displaystyle k}-й диагонали и n{\displaystyle n}-й строки треугольника Паскаля.[1]

ru.wikipedia.org

Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания

Ниже калькулятор, подсчитывающий число перестановок, размещений и сочетаний. Под ним, как водится, ликбез, если кто подзабыл.

Число перестановок из n

 

Число размещений из n по m

 

Число размещений из n по m с повторениями

 

Число сочетаний из n по m

 

Сохранить share extension

Итак, есть множество из n элементов.

Вариант упорядочивания данного множества называется перестановкой (permutation).Например, есть множество, состоящее из 3 элементов - А, В, и С. Пример перестановки — СВА. Число всех перестановок из n элементов:

Пример: Для случая А, В, С число всех перестановок 3! = 6. Перестановки: АВС, АСВ, ВАС, ВСА, САВ, СВА

Если из множества n элементов выбирают m в определенном порядке, это называется размещением (arrangement).Пример размещения из 3 по 2: АВ или ВА — это два разных размещения. Число всех размещений из n по m

Пример: Для случая А, В, С число всех размещений из 3 по 2 равно 3!/1! = 6. Размещения: АВ, ВА, АС, СА, ВС, СВ

Также бывают размещения с повторениями, как ясно из названия, элементы на определенных позициях могут повторяться.Число всех размещений из n по m с повторениями:

Пример: Для случая А, В, С число всех размещений из 3 по 2 с повторениями равно 3*3 = 9. Размещения: AA, АВ, АС, ВА, BB, ВС, СА, СВ, CC

Если из множества n элементов выбирают m, и порядок не имеет значения, это называется сочетанием (combination).Пример сочетания из 3 по 2: АВ. Число всех сочетаний из n по m

Пример: Для случая А, В, С число всех сочетаний из 3 по 2 равно 3!/(2!*1!) = 3. Сочетания: АВ, АС, СВ

Приведем до кучи формулу соотношения между перестановками, размещениями и сочетаниями:Обратите внимание, что внизу

planetcalc.ru

Биномиальные коэффициенты :: Производящие функции

В данном очень важном приложении речь пойдёт о биномиальных коэффициентах, точнее, об их расширении на случай произвольных значений верхнего индекса. Иногда такая тема в литературе называется «расширенный треугольника Паскаля», поскольку расширение биномиальных коэффициентов влечёт за собой расширение треугольника Паскаля, который из этих коэффициентов состоит, а также рассматриваемая здесь функция (1+z)n (точнее, её разложение в ряд) называется биномиальным рядом.

Свойства биномиальных коэффициентов и доказательства основных тождеств в этом разделе не предусматривается, речь о них идёт только в контексте производящих функций. Предполагается, что читатель знаком с основными положениями комбинаторики или, по крайней мере, встречался с ними в реальной жизни. Ведь математика окружает нас со всех сторон. Числа, закономерности и разнообразные комбинации могут появиться где угодно: во время похода в магазин, расчета шансов на победу в казино, в теории управления и даже в футурологических прогнозах. В целом, все умеют считать. Но иногда комбинаторика оказывается более сложной, чем это необходимо в повседневной жизни. Скажем, при расчётах энтропии некоторой сложной физической системы, когда требуется вычислять количество допустимых конфигураций соответствующей физической модели. Так вот расширенные биномиальные коэффициенты как раз больше относятся к научным, а не повседневным расчетам.

Основные определения

Здесь я вынужден немного остановиться на определениях и обозначениях, чтобы не возникало недоразумений. Подготовленный читатель может пропустить этот пункт.

Биномиальный коэффициент обозначается символом , или (что часто встречается в русской литературе) .

Давайте сразу определимся с обозначениями. Правильное обозначение для биномиальных коэффициентов не , как учат в российских школах (и в университетах), а . К сожалению, я не знаю, по какой причине в России чаще используется обозначение , а в остальном Мире — . Поэтому учтите, что если вы пишите статью для российских журналов, вас поймут, как бы вы эти коэффициенты не обозначили, а для зарубежных журналов советую писать правильно.

Читается этот символ разными способами: «число сочетаний из n по k», или просто «из n по k», а также говорят «выбор k из n». Смысл указанных выражений заключён в комбинаторной интерпретации этого символа — это число способов выбрать k объектов из n различных объектов, причём порядок выбора не важен. Например, из множества {1,2,3,4,5} можно выбрать два элемента десятью способами:

Таким образом,

В общем случае известно, что

В процессе вычислений, чтобы не считать лишние факториалы, можно сразу часть множителей сократить:

От этой формулы и будем отталкиваться в будущем. Именно она и является правильным определением биномиальных коэффициентов. Число n называется верхним индексом, а k — нижним. В соответствии с комбинаторной интерпретацией, числа n и k должны быть целыми неотрицательными. Наша задача будет заключаться в том, чтобы расширить определение на произвольные значения n.

Биномиальные коэффициенты, упорядоченные специальным образом, образуют треугольник Паскаля.

В XVII веке французский математик, физик, философ Блез Паскаль впервые в своем «трактате об арифметическом треугольнике» наиболее полно рассказал о свойствах этого самого треугольника (хотя сам треугольник встречался в работах других математиков задолго до Паскаля).

Строится этот замечательный треугольник очень просто:

По краям треугольника ставятся единицы, а любое число, стоящее не с краю, вычисляется как сумма двух чисел, расположенных сверху слева и сверху справа от него. Например, 10=4+6, или 3=1+2. Итак, речь зашла о треугольнике Паскаля в связи с тем, что он как раз образован биномиальными коэффициентами:

Для наших целей (и для удобства) лучше записывать треугольник, выравнивая его по левому краю:

Нули появляются за счёт нуля в числителе (когда k>n). Заметьте, что в нулевом столбце ставятся единицы, так как

В числителе стоит произведение нулевого числа элементов, которое по определению равно 1. Данная формула верна для любого (в том числе, комплексного) n.

Ну вот, мы уже приближаемся к тому, чтобы изучить биномиальные коэффициенты для любого n. Наше расширение, во-первых, должно быть таким, чтобы формула осталась прежней (для удобства), во-вторых, треугольник Паскаля, образованный биномиальными коэффициентами (с целым отрицательным значением индекса), не должен потерять своё основное свойство:

оно гласит, что число в клетке (n,k) равно сумме верхнего числа и верхнего левого (когда числа выровнены по левому краю).

В-третьих (что самое важное), должна остаться справедливой биномиальная теорема, утверждение которой напоминается в следующем пункте.

Биномиальная теорема

Содержание данной теоремы в классической формулировке известно еще из средних классов школы:

Это выражение также носит название бином Ньютона. Коэффициенты бинома Ньютона и называются биномиальными коэффициентами.

Теперь, пользуясь биномом Ньютона и треугольником Паскаля, можно посчитать, например (взяв третью строчку треугольника),

Данный сайт посвящён производящим функциям, поэтому нас данная теорема интересует лишь с этой позиции. Запишем производящую функцию в следующем виде:

Представленная производящая функция генерирует последовательность биномиальных коэффициентов с верхним индексом, равным n. Верхний индекс в сумме можно записать равным ∞, это ничего не меняет, когда n целое неотрицательное (почему?). Обратите внимание, что подстановка z=1 даёт замечательное тождество (ряд конечный, поэтому подстановка справедлива):

которое показывает, что сумма всех чисел в n-й строке треугольника Паскаля равняется двойке, возведённой в степень n.

Данное разложение функции (1+z)n в ряд согласуется с формулой Тейлора, в соответствие с которой коэффициент, стоящий при zk равен

Напомню, что для этой функции ряд Тейлора сходится при |z|<1 (когда n произвольно). Эта функция также носит название «Биномиальный ряд».

Расширение

Теперь нас интересует ответ на вопрос: можно ли допустить в биномиальной теореме, чтобы n было целым отрицательным? Можно, причём треугольник Паскаля расширяется «вверх» единственным образом, если мы хотим сохранить его основное свойство:

при этом . Рассмотрим отрицательные строчки подробнее:

Например, минус первая строка треугольника может быть только такой, и никакой иначе, поскольку , а остальные элементы вычисляются однозначно:

Для чего нужны расширенные биномиальные коэффициенты? Для того, чтобы раскладывать в ряд простые дроби. Например,

Поэтому, кстати (читайте о разложении 1/(1−z)),

Теперь выведем формулу для целых отрицательных биномиальных коэффициентов исходя не из их положения в треугольнике, а из их правильного определения:

Таким образом,

Данная формула также согласуется с разложением этой функции в ряд Тейлора для |z|<1.

Пойдём дальше. На практике могут пригодиться рациональные показатели степени, например, рассмотрим биномиальный ряд для n=1/2:

Эта формула даёт нам возможность раскладывать в ряд функцию

Аналогично (мы оставляем подробный вывод читателю),

а это, в свою очередь, позволяет записать ещё одну полезную производящую функцию:

www.genfunc.ru

Сочетания и размещения

Вопросы занятия:

• вывести формулу числа сочетаний из n элементов по k;

• вывести формулу числа размещений из n элементов по k;

• познакомить с треугольником Паскаля и с закономерностью получения его чисел.

Материал урока

На прошлых занятиях мы работали с определением вероятности случайного события и с его помощью вычисляли вероятности.

Так же мы активно применяли правило умножения.

Из курса алгебры 9 класса вам известны понятие факториал и теорема о перестановках.

Вспомним их.

Определение.

Произведение подряд идущих первых n натуральных чисел называют n факториал.

Теорема 1.

Решим задачу.

Школьники смастерили 4 скворечника.

Сколькими способами в них могут разместиться 4 скворца?

Решение заключается в том, чтобы найти число перестановок из четырёх элементов.

Сколькими же способами в них могут разместиться 4 скворца, если один прилетела раньше всех и уже занял себе домик?

Понятно, что остаётся разместить оставшиеся 3 птицы в 3 домика.

А теперь представим себе такую ситуацию. Каждые 2 из 7 городов соединены мостами. Определим их количество.

Представим города в виде точек. Каждый мост соединяет только 2 города.

И пользуясь комбинаторным правилом умножения, число мостов можно найти так. Первый город можно выбрать семью способами, а второй — шестью. Но ведь тогда каждый мост будет посчитан два раза, а нам не важен порядок выбора городов. Значит, нужно всё разделить на два.

Запишем теорему о выборе двух элементов.

Теорема 2.

Определение.

Тогда теорему 2 кратко можно записать в виде формулы.

Решим задачу.

Рассмотрим другую ситуацию.

Пример.

Теорема 3.

Определение.

Тогда теорему можно записать так:

Решим задачу.

Запишем определения.

Число всех выборов k элементов из n данных без учёта порядка называют числом сочетаний из n элементов по k.

Число всех выборов k элементов из n данных с учётом их порядка называют числом размещений из n элементов по k.

Как же находить число сочетаний и размещений из n элементов по k?

Запишем теорему.

Теорема 4.

Для любых натуральных чисел n и k, таких, что k < n, справедливы следующие соотношения.

Этими формулами мы и будем пользоваться при вычислении числа сочетаний и размещений.

Решим уравнение.

Так мы с помощью изученных формул решили уравнение, а теперь решим задачу.

Пример.

Для чисел сочетаний из эн элементов по ка существует красивый и удобный способ их записи с помощью треугольной таблицы, её называют треугольник Паскаля.

Он выглядит так.

Закономерность образования строк заключается в следующем: каждое число в треугольнике Паскаля равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке. 5=1+4, 10=4+6, 6=3+3 и так далее.

Кратко эту закономерность можно записать в виде такой формулы.

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня мы рассмотрели такие инструменты комбинаторики как сочетание и размещение.

Познакомились с формулами отыскания числа сочетаний и размещений из эн элементов по ка. Выяснили, в чём их отличие друг от друга.

А также рассмотрели примеры решения задач с помощью этих инструментов.

videouroki.net

Биномиальные коэффициенты - это... Что такое Биномиальные коэффициенты?

Биномиальные коэффициенты — коэффициенты в разложении (1 + x)n по степеням x (т. н. бином Ньютона):

Иначе говоря, (1 + x)n является производящей функцией для биномиальных коэффициентов.

Значение биномиального коэффициента определено для всех целых чисел n и k. Явные формулы для вычисления биномиальных коэффициентов:

для ; для k < 0 или ; для ,

где n! и k! — факториалы чисел n и k.

Биномиальный коэффициент является обобщением числа сочетаний , которое определено только для неотрицательных целых чисел n, k.

Биномиальные коэффициенты часто возникают в комбинаторных задачах и теории вероятностей.

Обобщением биномиальных коэффициентов являются мультиномиальные коэффициенты.

Треугольник Паскаля

Тождество

позволяет расположить биномиальные коэффициенты для неотрицательных n, k в виде треугольника Паскаля, в котором каждое число равно сумме двух вышестоящих:

Треугольная таблица, предложенная Паскалем в «Трактате об арифметическом треугольнике» (1654), отличается от выписанной здесь поворотом на 45°. Таблицы для изображения биномиальных коэффициентов были известны и ранее (Тарталье, О. Хайяму и др.).

Свойства

Интересно, что если рассмотреть ряды в треугольнике Паскаля, состоящие из биномиальных коэффициентов, то в пределе получим функцию нормального распределения — распределение Гаусса.

Из теоремы Люка следует, что:

  • нечётен в двоичной записи числа k единицы не стоят в тех разрядах, где в числе n стоят нули,
  • некратен простому p в p-ичной записи числа k все разряды не превосходят соотв. разрядов числа n,
  • В ряду биномиальных коэффициентов :
    • все числа не кратны заданному простому p n = mpk − 1, где натуральное m < p,
    • все числа, кроме первого и последнего, кратны заданному простому p n = pk, где натуральное m < p,
    • количество нечётных чисел равно степени двойки,
    • не может быть поровну чётных и нечётных чисел,
    • количество не кратных простому p чисел равно , где числа — разряды p-ичной записи числа n; а число m = [logpn] + 1

Тождества

Асимптотика и оценки

Алгоритмы вычисления биномиальных коэффициентов

Биномиальные коэффициенты могут быть вычислены с помощью формулы , если на каждом шаге хранить значения при . Этот алгоритм особенно эффективен, если нужно получить все значения при фиксированном n. Алгоритм требует O(n) памяти (O(n2) при вычислении всей таблицы биномиальных коэффициентов) и O(n2) времени (в предположении, что каждое число занимает единицу памяти и операции с числами выполняются за единицу времени).

Второй способ основан на тождестве . Он позволяет вычислить значения при фиксированном k. Алгоритм требует O(1) памяти (O(l) если нужно посчитать l последовательных коэффициентов с фиксированным k) и O(k) времени.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Комбинаторика: основные правила и формулы.

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и  принципы  комбинаторики  используются  в  теории  вероятностей для подсчета  вероятности  случайных  событий и,  соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это,  в  свою  очередь,  позволяет  исследовать  закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания  статистических  закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

 

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы.  Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m  способами.

 

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Решение

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

 

Правило произведения.  Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие n2 способами, третье – n3 способами и так до k-го действия, которое можно выполнить nk  способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

способами.

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Решение

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

 Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

 Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Решение

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

.

 Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

.

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Решение

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

.

 Размещения без повторений. Размещения с повторениями

 Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

 

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

Решение.

В  данной  задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким  образом,  задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

 

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Решение

Можно  считать,  что  опыт  состоит  в 5-кратном выборе  с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом,  число  пятизначных  номеров  определяется  числом  размещений с повторениями из 3 элементов по 5:

.

 Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями

 Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

Решение

Генеральной  совокупностью  являются 4  буквы слова  «брак» (б, р, а, к). Число  «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k < n), т. е. есть одинаковые предметы.

Пример 8.

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Решение

Здесь 1 буква  «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква  «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ "КОМБИНАТОРИКА"

ya-znau.ru

Формулы комбинаторики

Рассмотрим задачу подсчета числа выборок из данного множества в общем виде. Пусть имеется некоторое множество N, состоящее из n элементов. Любое подмножество, состоящее из m элементов можно рассматривать без учета их порядка, так и с его учетом, т.е. при изменении порядка переходим к другой m – выборке.

Сформулируем следующие определения:

Размещения без повторения

Размещением без повторения из n элементов по m называется всякое упорядоченное подмножество множества N, содержащее m различных элементов.

Из определения следует, что два размещения отличаются друг от друга, как элементами, так и их порядком, даже если элементы одинаковы.

Теорема 3. Число размещений без повторения равно произведению m сомножителей, наибольшим из которых является число n. Записывают:

Перестановки без повторений

Перестановками из n элементов называются различные упорядочения множества N.

Из этого определения следует, что две перестановки отличаются только порядком элементов и их можно рассматривать как частный случай размещений.

Теорема 4. Число различных перестановок без повторений вычисляется по формуле

Сочетания без повторений

Сочетанием без повторения из n элементов по m называется любое неупорядоченное подмножество множества N, содержащее m различных элементов.

Из определения следует, что два сочетания различаются только элементами, порядок не важен.

Теорема 5. Число сочетаний без повторений вычисляют по одной из следующих формул:

Пример 1. В комнате 5 стульев. Сколькими способами можно разместить на них

а) 7 человек; б) 5 человек; в) 3 человека?

Решение: а) Прежде всего надо выбрать 5 человек из 7 для посадки на стулья. Это можно сделать способом. С каждым выбором конкретной пятерки можно произвестиперестановок местами. Согласно теореме умножения искомое число способов посадки равно.

Замечание: Задачу можно решать, используя только теорему произведения, рассуждая следующим образом: для посадки на 1-й стул имеется 7 вариантов, на 2-й стул-6 вариантов, на 3-й -5, на 4-й -4 и на 5-й -3. Тогда число способов посадки 7 человек на 5 стульев равно . Решения обоими способами согласуются, так как

б) Решение очевидно -

в) - число выборов занимаемых стульев.

- число размещений трех человек на трех выбранных стульях.

Общее число выборов равно .

Не трудно проверить формулы ;

;

- число всех подмножеств множества, состоящего из n элементов.

Размещения с повторением

Размещением с повторением из n элементов по m называется всякое упорядоченное подмножество множества N, состоящее из m элементов так, что любой элемент ожжет входить в это подмножество от 1 до m раз, либо вообще в нем отсутствовать.

Число размещений с повторением обозначают и вычисляют по формуле, представляющей собой следствие из теоремы умножения:

Пример 2. Пусть дано множество из трех букв N = {a, b, c}. Назовем словом любой набор из букв, входящих в это множество. Найдем количество слов длиной 2, которые можно составить из этих букв: .

Замечание: Очевидно, размещения с повторением можно рассматривать и при .

Пример 3. Требуется из букв {a, b}, составить всевозможные слова длиной 3. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ:

studfiles.net