Прямоугольник и квадрат. Что относится к прямоугольникам


Виды четырехугольников.

Тестирование онлайн

  • Параллелограмм и трапеция

  • Прямоугольник, ромб, квадрат

Параллелограмм

Определение. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойство. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Свойство. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

1 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

2 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

3 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Трапеция

Определение. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями.

Трапеция называется равнобедренной (равнобочной), если ее боковые стороны равны. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции. Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.

Прямоугольник

Определение. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство. Диагонали прямоугольника равны.

Признак прямоугольника. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.

Ромб

Определение. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойство. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Квадрат

Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Квадрат есть частный вид прямоугольника, а также частный вид ромба. Поэтому он имеет все их свойства.

Свойства:1. Все углы квадрата прямые

2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

fizmat.by

Ответы@Mail.Ru: какие виды прямоугольников

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам) . Примечание. В евклидовой геометрии для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы три его угла были прямые. Четвёртый угол (в силу теоремы о сумме углов многоугольника) также будет равен 90°. В неевклидовой геометрии, где сумма углов четырёхугольника не равна 360° — прямоугольников не существует.

Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник) , состоящая из четырёх точек (вершин) , никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон) , попарно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники.

Квадра́т — правильный четырёхугольник, у которого все углы и стороны равны

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб является параллелограммом. Ромб с прямыми углами называется квадратом.

Параллелогра́мм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Трапе́ция — четырёхугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна) . Две параллельные стороны называются основанием трапеции, а две другие — это боковые стороны. Иногда трапеция определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна (про другую не уточняется) , в этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции. В частности, существует понятие криволинейная трапеция.

Дельтоид — четырёхугольник, обладающий двумя парами сторон одинаковой длины. В отличие от параллелограмма, равными являются не противоположные, а две пары смежных сторон. Выпуклый дельтоид имеет форму, похожую на воздушного змея.

Успехов!

otvet.mail.ru

Виды многоугольников

Виды многоугольников:

Четырехугольники

Четырехугольники, соответственно, состоят из 4-х сторон и углов.

Стороны и углы, расположенные напротив друг друга, называются противоположными.

Диагонали делят выпуклые четырехугольники на треугольники (см. на рисунке).

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360° (по формуле: (4-2)*180°).

Параллелограммы

Параллелограмм - это выпуклый четырехугольник с противоположными параллельными сторонами (на рис. под номером 1).

Противоположные стороны и углы в параллелограмме всегда равны.

А диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Трапеции

Трапеция - это тоже четырехугольник, и в трапеции параллельны только две стороны, которые называются основаниями. Другие стороны - это боковые стороны.

Трапеция на рисунке под номером 2 и 7.

Как и в треугольнике:

- если боковые стороны равны, то трапеция - равнобедренная;

- если один из углов прямой, то трапеция - прямоугольная.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.

Ромб

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Помимо свойств параллелограмма, ромбы имеют своё особое свойство - диагонали ромба перпендикулярны друг другу и делят углы ромба пополам.

На рисунке ромб под номером 5.

Прямоугольники

Прямоугольник - это параллелограмм, у которого каждый угол прямой (см. на рис. под номером 8).

Помимо свойств параллелограмма, прямоугольники имеют своё особое свойство - диагонали прямоугольника равны.

Квадраты

Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны (№4).

Обладает свойствами прямоугольника и ромба (так как все стороны равны).

Редактировать этот урок и/или добавить задание и получать деньги постоянно* Добавить свой урок и/или задания и получать деньги постоянно

Добавить новость и получить деньги

Добавить анкету репетитора и получать бесплатно заявки на обучение от учеников

uchilegko.info

Прямоугольник и квадрат

\[{\Large{\text{Прямоугольник}}}\]

Определение

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого один угол прямой.

 

Таким образом, прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма:

 

\(\sim\) противоположные стороны попарно равны;

\(\sim\) диагонали точкой пересечения делятся пополам.

 

Теоремы: свойства прямоугольника

1) Все углы прямоугольника прямые.

 

2) Диагонали прямоугольника равны.

 

Доказательство

1) Пусть \(\angle A=90^\circ\). Т.к. в параллелограмме сумма соседних углов равна \(180^\circ\), то \(\angle B=180^\circ-\angle A=90^\circ\).

 

Т.к. в параллелограмме противоположные углы равны, то \(\angle C=\angle A=90^\circ, \angle D=\angle B=90^\circ\), чтд.

 

2) Рассмотрим прямоугольник \(ABCD\).

 

Прямоугольные треугольники \(ACD\) и \(DBA\) равны по двум катетам (\(CD = BA\), \(AD\) – общий катет). Отсюда следует, что гипотенузы этих треугольников равны, т.е. \(AC = BD\).

 

Следствие

Таким образом, половинки диагоналей в прямоугольнике равны, т.е. \(OA=OB=OC=OD\).

 

Теоремы: признаки прямоугольника

1) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

 

2) Если в выпуклом четырехугольнике все углы прямые, то он – прямоугольник.

 

Доказательство

1) Пусть в параллелограмме \(ABCD\) диагонали равны.

 

Треугольники \(ABD\) и \(DCA\) равны по трем сторонам (\(AB = CD\), \(BD = AC\), \(AD\) – общая сторона). Отсюда следует, что \(\angle A = \angle D\). Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то \(\angle A = \angle C\) и \(\angle B = \angle D\). Таким образом, \(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D\). Параллелограмм – выпуклый четырехугольник, поэтому \(\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ\). Следовательно, \(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ\).

 

2) Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\):

 

Т.к. \(\angle A+\angle B=180^\circ\) – односторонние углы при прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AB\), следовательно, \(AD\parallel BC\).

 

Аналогично доказывается, что \(AB\parallel CD\). Значит, \(ABCD\) – параллелограмм. Т.к. у него к тому же все углы прямые, то по определению это прямоугольник.  

\[{\Large{\text{Квадрат}}}\]

Определение

Два эквивалентных определения квадрата:

 

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Квадрат – это ромб, у которого один угол прямой.

 

Свойства квадрата

Так как квадрат является прямоугольником и ромбом, то он обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба:

 

\(\sim\) Все углы квадрата равны \(90^\circ\);

\(\sim\) Все стороны квадрата равны;

\(\sim\) Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

shkolkovo.net

Прямоугольник Википедия

Прямоугольник — четырехугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

В евклидовой геометрии для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы три его угла были прямые, тогда четвёртый угол в силу теоремы о сумме углов многоугольника также будет равен 90°. В неевклидовой геометрии, где сумма углов четырёхугольника не равна 360°, прямоугольников не существует.

Свойства[ | ]

  • Прямоугольник является параллелограммом — его противоположные стороны попарно параллельны.
  • Стороны прямоугольника являются его высотами.
  • Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (по теореме Пифагора).
  • Около любого прямоугольника можно описать окружность, причём диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности (радиус равен полудиагонали).

Площадь и стороны[ | ]

  • Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон, а шириной — длину более короткой пары сторон.
  • Величина площади прямоугольника равна произведению ширины прямоугольника на его длину.
  • Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме длин его ширины и длины.

Диагонали прямоугольника[ | ]

  • Длины диагоналей прямоугольника равны.
  • Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.
  • Длина диагонали прямоугольника вычисляется по теореме Пифагора и равна квадратному корню из суммы квадратов длины и ширины.

Признаки[ | ]

Параллелограмм является прямоугольником, если выполняется любое из условий:

  • Если диагонали параллелограмма равны.
  • Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов смежных сторон.
  • Если углы параллелограмма равны.

См. также[ | ]

ru-wiki.ru