Действительные числа и их свойства. Действительные числа примеры


Примеры действительных чисел

 Вопрос-Ответник

В:  — Что будет, если скрестить Кенгуру и Слона?О:  — Большие ямы по всей Австралии…

 _

_

В предыдущей статье мы ввели определение действительного числа. Мы узнали какие числа называются действительными рассмотрели некоторые их особенности. Сейчас же мы разберем наиболее часто встречающиеся при изучении действительных чисел вопросы и рассмотрим их на конкретных примерах.

Вопрос-ответ:

В: Какие числа называются действительными?О: Действительное число (также его часто называют вещественным ) — это любое положительное число, отрицательное число или нуль.

В: Что такое отрицательное действительное число?О: Отрицательным действительным числом (вещественным) называют бесконечную десятичную дробь вида «α» = — N, n1 n2… nk. . . не оканчивающуюся последовательностью девяток.

В: Является ли ноль действительным числом?О: Да, согласно определению ноль — действительное число.

В: Назовите примеры действительных чисел.О: -100, -1,25686, 0, 1.7272727…, 7/8, 3,14…, 100500 — все это действительные числа.

В: Какие действительные числа не являются рациональными?О: Множество действительных чисел разделяется на множества рациональных и иррациональных чисел. Иррациональным называется число, которое не может быть представлено в виде дроби m/n, где m и n — натуральные числа. Также иногда говорят, что иррациональное число — это число, не являющееся рациональным (ИМХО бред). В связи с данной неопределенность вопрос с иррациональными числами представляется несколько запутанным.

Запомните народную примету простое правило: рациональные числа, если их записать десятичной дробью, обязательно дадут конечную или бесконечную периодическую дробь. Иррациональные же числа, записанные в виде десятичной дроби, оказываются представленными бесконечной непериодической дробью.

 Примеры иррациональных чисел:

√2=1,41421…….Π = 3,14159……..0,10100100010000100…….

 У этих чисел нет последней цифры и нет периодического повторения групп цифр в «хвосте»

В: Что такое целая часть действительного числа?О: Чем объяснять проще показать на примере:

 2,12156 — целая часть = 27,01245 — целая часть = 70,1 — целая часть = 0100 — целая часть = 10015/2 — целая часть = 7 (15/2=7,5)

В: Что такое модуль действительного числа?О:  1.Модуль действительного числа — это абсолютная величина этого числа. Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. Модуль числа a обозначается|a|. Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен: |a|≥ 0.

__2.Модулем действительного число называется расстояние от начала отсчёта до точки, соответствующей данному числу (заметьте, расстояние не может быть отрицательным — на мой взгляд самое удачное определение)

__Вообще говоря, действительные числа — понятие достаточно абстрактное. Основной смысл использования в математике всего множества действительных чисел заключается в необходимости измерения непрерывных величин. Наглядно понятие вещественного числа можно представить себе при помощи числовой прямой. Если на прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять некоторое, и притом только одно, вещественное число. Вследствие этого соответствия термин числовая прямая обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел.

 

 

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

df-dt.com

Какие числа называются действительными?

 

В тринадцатое число ему не везло.Не везло и во все остальные числа.

 

 

 

__Большие и маленькие, длинные и короткие, целые и дробные, рациональные и не очень — все они составляют одно огромное множество — множество действительных чисел. 1 и 100, два и корень из двух, 1.618, 3.14, -12 и даже +100500 – все это действительные числа.

__Давайте же строго научно определим, какие числа называются действительными, а также попытаемся ответить на следующие часто встречающиеся вопросы:

  • является ли ноль действительным числом?
  • что такое целая часть действительного числа?
  • какими свойствами обладает модуль действительного числа?

__На самом деле эти вопросы не такие уж сложные, как может показаться на первый взгляд. Для начала определимся с самим понятием действительного числа.

Определение1:  Действительное число (также его часто называют вещественным ) — это любое положительное число, отрицательное число или нуль.

Определение2: Множеством действительных чисел называют объединение множеств рациональных и иррациональных чисел.

 Строго Научное Определение:

Положительным действительным (вещественным) числом «α» называют бесконечную десятичную дробь N, n1 n2… nk,… не оканчивающуюся последовательностью девяток.

Отрицательным действительным числом (вещественным) называют бесконечную десятичную дробь вида «α» = — N, n1 n2… nk. . . не оканчивающуюся последовательностью девяток.

__Добавив к отрицательным и положительным действительным числам число 0 получим полное множество действительных чисел. Обратите внимание на нюанс, указанный в Строго Научном Определении. Все дело в том, что любую конечную десятичную дробь N, n1 n2… nk можно записать в виде бесконечной десятичной дроби N, n1 n2… nk 000…0… оканчивающейся «хвостом» из нулей. Например:

 1,1=1,1000…000….

При этом дроби 1,1 соответствует последовательность пар десятичных приближений :

(1,1; 1,2) , (1,10; 1,11) , (1,100; 1,101) и т. д. Заметьте, все приближения по недостатку для этой дроби одинаковы 1,1=1,10=1,100=…

Рассмотрим теперь бесконечную десятичную дробь 1,09999…. Для неё последовательность пар десятичных приближений имеет вид (1,09; 1,10), (1,099; 1,100) и т. д.

В этом случае совпадают все десятичные приближения по избытку: 1,10=1,100=…

__Обратите внимание, приближения по недостатку для первой дроби совпадают с приближениями по избытку для дроби второй. Таким образом обе дроби геометрически выражают одну и ту же длину. Именно поэтому, (для того чтобы не обозначать одно и то же число двумя способами ) условились не использовать бесконечных десятичных дробей, оканчивающихся бесконечной последовательностью девяток. Такие дроби всегда можно заменить конечной десятичной дробью, поставив вместо девяток нули и увеличив на 1 цифру, стоящую перед ними. Например :

 4,4749999…99..=4,475000…0..

 99,999999999…=100,00000000…

 Еще один нюанс: последовательность из девяток должна быть именно бесконечной,

 99,999 ≠ 100.

Давайте подведем итог.

  • Действительным ( иногда его называют вещественным) числом называется любое целое число, а также все конечные и бесконечные дроби.
  • Дроби, оканчивающиеся бесконечной последовательностью девяток для удобства использования округляют в большую сторону.
  • Различают положительные действительные числа, отрицательные действительные числа и ноль.
  • Множество действительных чисел разделяется на множества рациональных и иррациональных чисел.

__Надеюсь вы разобрались с понятием действительного числа и со всеми теми особенностями, которые присущи таким числам. Если же вам по прежнему что-то непонятно — добро пожаловать в Вопрос-Ответник.

Комментирование и размещение ссылок запрещено.

df-dt.com

Действительные числа - это... Что такое Действительные числа?

Веще́ственные, или действи́тельные[1]числа — математическая абстракция, служащая, в частности, для представления и сравнения значений физических величин. Такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой.

Множество вещественных чисел обозначается (Unicode: ℝ) и часто называется вещественной прямой.

Относительно операций сложения и умножения вещественные числа образуют поле. Поле вещественных чисел является важнейшим объектом математического анализа.

Примеры

Определения

Существует несколько стандартных путей определения вещественных чисел:

Аксиоматическое определение

См. основную статью Аксиоматика вещественных чисел.

Множество вещественных чисел можно определить как топологически полное, упорядоченное поле, то есть поле с отношением , которое удовлетворяет следующим аксиомам:

  1. Отношение является отношением линейного порядка:
  2. Порядок согласован со структурой поля:
  3. Порядок на удовлетворяет условию полноты:
Примечания

Из свойства 3 следует, что у любого непустого ограниченного сверху множества (то есть такого, что для всех x из A все для некоторого ) существует точная верхняя грань (минимальная из всех), то есть число такое, что

  1. Для всех x из A все
  2. Если свойству (1) удовлетворяет также число , то .

Наличие точных верхних граней у ограниченных сверху множеств эквивалентно аксиоме полноты и часто заменяет её в аксиоматике поля .

Любые два поля с отношением порядка, удовлетворяющим этим аксиомам, изоморфны, поэтому можно говорить, что существует единственное такое поле. (На самом деле, правильней говорить, что единственна структура полного упорядоченного поля, каждое поле, которое её имеет, служит моделью множества вещественных чисел, так как любые две модели изоморфны.)

Пополнение рациональных чисел

Вещественные числа могут быть построены как пополнение множества рациональных чисел по отношению к обычной метрике .

Более точно, рассмотрим все фундаментальные последовательности рациональных чисел {ri}. На таких последовательностях можно естественным образом ввести арифметические операции: {ri} + {qi} = {ri + qi} и .

Две такие последовательности и считаются эквивалентными , если при .

Множество вещественных чисел можно определить как классы эквивалентности этих последовательностей.

Дедекиндовы сечения

См. основную статью Дедекиндово сечение.

Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел на два подмножества A и B такие, что:

  1. для любых и ;
  2. B не имеет минимального элемента.

Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений. На них возможно продолжить операции сложения и умножения.

Например, вещественному числу соответствует дедекиндово сечение, определяемое или и и x2 > 2}. Интуитивно, можно представить себе, что для того чтобы определить мы рассекли множество на две части: все числа, что левее и все числа, что правее ; соотвеетственно, равно точной нижней грани множества B.

Бесконечные десятичные дроби

Такое задание, как правило, практикуется в школьной программе и во многом похоже на пополнение рациональных чисел.

Бесконечной десятичной дробью (со знаком) называется последовательность вида , где di являются десятичными цифрами, то есть .

Две последовательности называются эквивалентными, если они либо совпадают, либо их различающиеся «хвосты» имеют вид и , где , либо если это «нулевые» последовательности (все di равны 0), отличающиеся только знаком.

Вещественные числа определяются как классы эквивалентности десятичных дробей. Операции на десятичных дробях определяются позиционно подобно операциям над целыми числами в позиционных системах счисления.

Значение десятичной дроби формально задаётся суммой ряда .

Счетность множества

TODO:

Примечания

  1. ↑ Традиционно в Петербурге (СПбГУ) принято название вещественные, а в Москве (МГУ) — действительные.

Ссылки

  • Кириллов, А. А. Что такое число? // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов». — М.: Физматлит, 1993.
  • Понтрягин, Л. С. Обобщения чисел // Серия «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1965.

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Действительные числа

Действительные числа

Все рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных (вещественных) чисел. Множество всех действительных чисел обозначают буквой R. Очевидно, что R.

Основные свойства действительных чисел:

  1. множество действительных чисел упорядоченное, то есть для каждых двух различных действительных чисел иможно указать, какое из них меньшее;

  2. множество действительных чисел всюду плотное, то есть между каждыми двумя действительными числами исуществует еще по крайней мере одно действительное числоа следовательно, и бесконечное множество действительных чисел;

  3. множество действительных чисел непрерывно, то есть в множестве действительных чисел нет ни скачков, ни пробелов, а геометрически это означает, что каждому действительному числу на числовой прямой соответствует точка, имеющая координату, и, обратно, каждая точка числовой прямой имеет действительную координату;

  4. арифметические действия над действительными числами всегда возможны (кроме деления на нуль) и в результате дают действительное число.

Множество действительных чисел R дополняют двумя элементами, обозначаемыми (плюс и минус бесконечность). При этом полагают, что

Но операции не определены. Кроме того, для любого числа полагают, что справедливо неравенство

и справедливы операции

для

для

Операции не определены. Бесконечности называют иногда «бесконечными числами» в отличие от действительных чисел, которые называют «конечными числами». В дальнейшем под числом будем понимать конечное число.

Определение 1. Абсолютной величиной, или модулем, действительного числа называют неотрицательное число обозначаемоеи определяемое следующим образом:

Ясно, что . Еслито это эквивалентно тому, что. Для любых действительных чиселисправедливы следующие соотношения:

Определение 2. Подмножество множества всех действительных чиселназываетсяограниченным снизу, если существует действительное число такое, что оно не больше каждого числаизX, то есть для любого выполняется неравенство. Числоназывают числом, ограничивающим множествоснизу.

Множество, не являющиеся множеством ограниченным снизу, называют множеством неограниченным снизу. Термин «множество неограниченное снизу» означает, что каково бы ни было отрицательное, сколь угодно большое по абсолютной величине число , в данном множестве обязательно найдется еще меньшее число.

Если множество ограничено снизу числом, и числопринадлежит множеству, то числоназываютнаименьшим или минимальным числом множества Если в множестве есть наименьшее число, то оно единственно.

Пример. а) множество чисел ограничено снизу числом1, причем это число 1 является наименьшим;

б) множество X – множество всех неотрицательных чисел (т.е. чисел, удовлетворяющих неравенству) тоже является ограниченным снизу и его наименьшим значением является число;

в) множество Y – множество всех положительных чисел (т.е. чисел, удовлетворяющих неравенству) тоже является ограниченным снизу числом, но множествоY не имеет наименьшего, так как число не принадлежитY. При этом число является наибольшим из всех чисел, ограничивающих множествоY снизу, а элементы множестваY в силу свойств плотности и непрерывности действительных чисел могут быть сколь угодно близки к числу , оставаясь больше его;

г) множество D – множество всех отрицательных чисел неограниченно снизу, так как какое бы отрицательное число ни взять, найдется еще меньше число.

Определение 3. Подмножество множества всех действительных чиселназываетсяограниченным сверху, если существует такое число что оно не меньше каждого числато есть для любоговыполняется неравенствоЧислоназывают числом ограничивающим множествосверху.

Множество, не являющееся множеством ограниченным сверху, называют множеством неограниченным сверху. Термин «множество неограниченное сверху» означает, что каково бы ни было сколь угодно большое положительное число , в данном множестве обязательно найдется еще большее число.

Если множество ограничено сверху числомито числоназываютнаибольшим или максимальным числом множества Если есть в множестве наибольшее число, то оно единственное.

Определение 4. Множество, ограниченное и снизу и сверху, называется ограниченным множеством.

Другими словами, множество ограничено, если существуют числатакие, что для каждогосправедливо неравенство:

Множество, не являющееся ограниченным, называют неограниченным.

Пример. а) множество ограничено, т.к. для всякогосправедливо, причем оно имеет и наименьшее значениеи наибольшее;

б) множество - множество положительных чисел, являясь ограниченным снизу, неограниченно сверху,

в) множество - множество всех целых чисел неограниченно как снизу, так и сверху

Ясно, что чисел ограничивающих множество снизу (сверху) может быть много.

Определение 5. Наибольшее число среди всех чисел, ограничивающих снизу множество , называетсянижней гранью (или инфимумом) множества и обозначается через(инфимум - от латинского словаinfimum – наименьший).

Например, для множества - множества всех положительных чисел нижней гранью является число0, а для множества всех натуральных чисел нижней гранью является число1, оно является и наименьшим.

Определение 6. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху множество , называетсяверхней гранью (или супремумом) множества и обозначается через (супремум – от латинского словаsupremum – наибольший).

Например, для множества всех отрицательных чисел число 0 является верхней гранью.

Если в множестве существует наименьшее (наибольшее) число, то оно является нижней (верхней) гранью этого множества. Всякое ограниченное сверху непустое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое множество имеет нижнюю грань.

Множество всех действительных чисел , удовлетворяющих двойному неравенству, называютоткрытым промежутком или интервалом и обозначают

Множество всех действительных чисел , удовлетворяющих двойному неравенству, называютзакрытым промежутком или отрезком и обозначают

Пример 5. Примеры числовых множеств:

1. если2.если

3. если4.если

5. если6.если

7. если8.если

9. если10.если

Множества, приведенные под номерами 1 и 2, называют полуоткрытыми промежутками, множества под номерами 3, 4, 5, 6, 7 называют неограниченными промежутками, причем множество под номером 7 есть множество всех действительных чисел R.

Определение 7. Множество всех действительных чисел , удовлетворяющих двойному неравенству, где, называют - окрестностью точки a.

Этот факт можно записать следующим образом Для любых двух неравных действительных чиселсуществуют непересекающиеся- окрестности.

Числовое множество называют симметричным относительно начала координат, если этому множеству вместе с числом принадлежит и ему противоположное число, то есть, если, то и.

Примерами таких множеств являются множества под номерами 7, 8, 9, а так же множество всех рациональных чисел Q и множество и т.д.

Вопросы и задания

1. Записать определения ограниченного снизу, ограниченного сверху, ограниченного множества. Привести примеры таких множеств. Что такое наименьшее (наибольшее) число множества?

2. Дать опеределение нижней грани (инфимума), верхней грани (супремума).

3. Что такое - окрестность точки a? Изобразить на числовой прямой - окрестность точек A(2), В(3) так, чтобы они: а) не пересекались; б) пересекались. Указать возможные значения для каждого из случаев.

4. Перечислить операции с , которые не определены.

5. Даны множества Указать наименьшее и наибольшее числа каждого из множеств: а)б)в)г)

6. Даны множества Указать точные нижние грани (инфимумы) и точные верхние грани (супремумы) множеств: а)б)в)г)Имеют ли эти множества наименьшее и наибольшее числа?

7. Даны множества Имеют ли эти множества точные нижние и верхние грани, наименьшее и наибольшее числа? Если имеют, то указать их.

8. Изобразить на числовой прямой множества, точки которых удовлетворяют следующим соотношениям: а)б)в)

9. Изобразить на числовой прямой множества, точки которых удовлетворяют следующим соотношениям: а)б)в)

6

studfiles.net

Действительные числа и их свойства

Пифагор утверждал, что число лежит в основании мира наравне с основными стихиями. Платон считал, что число связывает феномен и ноумен, помогая познавать, соизмерять и делать выводы. Арифметика происходит от слова "арифмос" - число, начало начал в математике. Ним можно описать любой объект - от элементарного яблока до абстрактных пространств.

Потребности как фактор развития

На начальных этапах становления общества потребности людей ограничивались необходимостью вести счет - один мешок зерна, два мешка зерна и т. д. Для этого достаточно было натуральных чисел, множество которых представляет собой бесконечную положительную последовательность целых чисел N.

Позже, с развитием математики как науки, возникла необходимость в отдельном поле целых чисел Z - оно включает в себя отрицательные величины и ноль. Его появление на бытовом уровне было спровоцировано тем, что в первичной бухгалтерии необходимо было как-то зафиксировать долги и убытки. На научном уровне отрицательные числа сделали возможным решение простейших линейных уравнений. Помимо прочего, теперь стало возможным изображение тривиальной системы координат, т. к. появилась точка отсчета.

Следующим шагом стала необходимость ввода дробных чисел, так как наука не стояла на месте, все новые и новые открытия требовали теоретической базы для нового толчка роста. Так появилось поле рациональных чисел Q.

Наконец, рациональность перестала удовлетворять запросы, ведь все новые выводы требовали обоснования. Появились поле действительных чисел R, труды Евклида о несоизмеримости некоторых величин в силу их иррациональности. То есть древнегреческие математики позиционировали число не только как константу, но и как абстрактную величину, которая характеризуется отношением несоизмеримых величин. Благодаря тому что появились действительные числа, "увидели свет" такие величины, как "пи" и "е", без которых современная математика не смогла бы состояться.

Финальным нововведением стало комплексное число C. Оно ответило на ряд вопросов и опровергло ранее введенные постулаты. Из-за стремительного развития алгебры исход был предсказуем - имея действительные числа, решение многих задач было невозможно. Например, благодаря комплексным числам выделились теории струн и хаоса, расширились уравнения гидродинамики.

Теория множеств. Кантор

Понятие бесконечности во все времена вызывало споры, так как его нельзя было ни доказать, ни опровергнуть. В контексте математики, которая оперировала строго выверенными постулатами, это проявлялось наиболее явно, тем более что теологический аспект все еще имел вес в науке.

Однако благодаря работам математика Георга Кантора все с течением времени встало на свои места. Он доказал, что бесконечных множеств существует бесконечное множество, и то, что поле R больше поля N, пусть они оба и не имеют конца. В середине XIX века его идеи громогласно называли бредом и преступлением против классических, незыблемых канонов, однако время все расставило на свои места.

Основные свойства поля R

Действительные числа обладают не только теми же свойствами, что и подможества, которые в них включены, но и дополнены иными в силу масшабности своих элементов:

  • Ноль существует и принадлежит полю R. c + 0 = c для любого c из R.
  • Ноль существует и принадлежит полю R. c х 0 = 0 для любого c из R.
  • Отношение c : d при d ≠ 0 существует и является действительным для любых c, d из R.
  • Поле R упорядочено, то есть если c ≤ d, d ≤ c, то c = d для любых c, d из R.
  • Сложение в поле R является коммутативным, то есть c + d = d + c для любых c, d из R.
  • Умножение в поле R является коммутативным, то есть c х d = d х c для любых c, d из R.
  • Сложение в поле R является ассоциативным, то есть (c + d) + f = c + (d + f) для любых c, d, f из R.
  • Умножение в поле R ассоциативно, то есть (c х d) х f = c х (d х f) для любых c, d, f из R.
  • Для каждого числа из поля R существует ему противоположное, такое что c + (-c) = 0, где c, -c из R.
  • Для каждого числа из поля R существует ему обратное, такое что c х c-1 = 1, где c, c-1 из R.
  • Единица существует и принадлежит R, так что c х 1 = c, для любого c из R.
  • Имеет силу распределительный закон, так что c х (d + f) = c х d + c х f, для любых c, d, f из R.
  • В поле R ноль не равен единице.
  • Поле R является транзитивным: если c ≤ d, d ≤ f, то c ≤ f для любых c, d, f из R.
  • В поле R порядок и сложение взаимосвязаны: если c ≤ d, то c + f ≤ d + f для любых c, d, f из R.
  • В поле R порядок и умножение взаимосвязаны: если 0 ≤ c, 0 ≤ d, то 0 ≤ c х d для любых c, d из R.
  • Как отрицательные, так и положительные действительные числа непрерывны, то есть для любых c, d из R найдется такое f из R, что c ≤ f ≤ d.

Модуль в поле R

Действительные числа включают в себя такое понятие, как модуль. Обозначается он как |f| для любого f из R. |f| = f, если 0 ≤ f и |f| = -f, если 0 > f. Если рассматривать модуль как геометрическую величину, то он являет собой пройденное расстояние - неважно, "прошли" вы за ноль в минус или вперед к плюсу.

Комплексные и действительные числа. Что общего и в чем различия?

По большому счету, комплексные и действительные числа - это одно и то же, разве что к первому присоединилась мнимая единица i, квадрат которой равен -1. Элементы полей R и С можно представить в виде следующей формулы:

  • c = d + f х i, где d, f принадлежат полю R, а i - мнимая единица.

Чтобы получить c из R в данном случае f просто считают равным нулю, то есть остается только действительная часть числа. В силу того что поле комплексных чисел обладает тем же набором свойств, что и поле действительных, f х i = 0, если f = 0.

Касаемо практических различий, то, например, в поле R квадратное уравнение не решается, если дискриминант отрицательный, тогда как поле C не налагает подобное ограничение благодаря введению мнимой единицы i.

Итоги

"Кирпичи" аксиом и постулатов, на которых базируется математика, не сменяются. На часть из них в связи с увеличением информации и введением новых теорий кладутся следующие "кирпичи", которые в перспективе могут стать основой для очередного шага. Например, натуральные числа, несмотря на то что являются подмножеством действительного поля R, не теряют своей актуальности. Именно на них основывается вся элементарная арифметика, с которой начинается познание человеком мира.

С практической точки зрения действительные числа выглядят как прямая. На ней можно выбрать направление, обозначить начало отсчета и шаг. Прямая состоит из бесконечного числа точек, каждой из которых соответствует единственное действительное число, вне зависимости от того, рациональное оно или нет. Из описания ясно, что речь идет о понятии, на котором строится как математика в целом, так и математический анализ в частности.

fb.ru

Действительные числа - это... Что такое Действительные числа?

Веще́ственные, или действи́тельные[1]числа — математическая абстракция, служащая, в частности, для представления и сравнения значений физических величин. Такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой.

Множество вещественных чисел обозначается (Unicode: ℝ) и часто называется вещественной прямой.

Относительно операций сложения и умножения вещественные числа образуют поле. Поле вещественных чисел является важнейшим объектом математического анализа.

Примеры

Определения

Существует несколько стандартных путей определения вещественных чисел:

Аксиоматическое определение

См. основную статью Аксиоматика вещественных чисел.

Множество вещественных чисел можно определить как топологически полное, упорядоченное поле, то есть поле с отношением , которое удовлетворяет следующим аксиомам:

  1. Отношение является отношением линейного порядка:
  2. Порядок согласован со структурой поля:
  3. Порядок на удовлетворяет условию полноты:
Примечания

Из свойства 3 следует, что у любого непустого ограниченного сверху множества (то есть такого, что для всех x из A все для некоторого ) существует точная верхняя грань (минимальная из всех), то есть число такое, что

  1. Для всех x из A все
  2. Если свойству (1) удовлетворяет также число , то .

Наличие точных верхних граней у ограниченных сверху множеств эквивалентно аксиоме полноты и часто заменяет её в аксиоматике поля .

Любые два поля с отношением порядка, удовлетворяющим этим аксиомам, изоморфны, поэтому можно говорить, что существует единственное такое поле. (На самом деле, правильней говорить, что единственна структура полного упорядоченного поля, каждое поле, которое её имеет, служит моделью множества вещественных чисел, так как любые две модели изоморфны.)

Пополнение рациональных чисел

Вещественные числа могут быть построены как пополнение множества рациональных чисел по отношению к обычной метрике .

Более точно, рассмотрим все фундаментальные последовательности рациональных чисел {ri}. На таких последовательностях можно естественным образом ввести арифметические операции: {ri} + {qi} = {ri + qi} и .

Две такие последовательности и считаются эквивалентными , если при .

Множество вещественных чисел можно определить как классы эквивалентности этих последовательностей.

Дедекиндовы сечения

См. основную статью Дедекиндово сечение.

Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел на два подмножества A и B такие, что:

  1. для любых и ;
  2. B не имеет минимального элемента.

Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений. На них возможно продолжить операции сложения и умножения.

Например, вещественному числу соответствует дедекиндово сечение, определяемое или и и x2 > 2}. Интуитивно, можно представить себе, что для того чтобы определить мы рассекли множество на две части: все числа, что левее и все числа, что правее ; соотвеетственно, равно точной нижней грани множества B.

Бесконечные десятичные дроби

Такое задание, как правило, практикуется в школьной программе и во многом похоже на пополнение рациональных чисел.

Бесконечной десятичной дробью (со знаком) называется последовательность вида , где di являются десятичными цифрами, то есть .

Две последовательности называются эквивалентными, если они либо совпадают, либо их различающиеся «хвосты» имеют вид и , где , либо если это «нулевые» последовательности (все di равны 0), отличающиеся только знаком.

Вещественные числа определяются как классы эквивалентности десятичных дробей. Операции на десятичных дробях определяются позиционно подобно операциям над целыми числами в позиционных системах счисления.

Значение десятичной дроби формально задаётся суммой ряда .

Счетность множества

TODO:

Примечания

  1. ↑ Традиционно в Петербурге (СПбГУ) принято название вещественные, а в Москве (МГУ) — действительные.

Ссылки

  • Кириллов, А. А. Что такое число? // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов». — М.: Физматлит, 1993.
  • Понтрягин, Л. С. Обобщения чисел // Серия «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1965.

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

dikc.academic.ru

Действительные числа - это... Что такое Действительные числа?

Веще́ственные, или действи́тельные[1]числа — математическая абстракция, служащая, в частности, для представления и сравнения значений физических величин. Такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой.

Множество вещественных чисел обозначается (Unicode: ℝ) и часто называется вещественной прямой.

Относительно операций сложения и умножения вещественные числа образуют поле. Поле вещественных чисел является важнейшим объектом математического анализа.

Примеры

Определения

Существует несколько стандартных путей определения вещественных чисел:

Аксиоматическое определение

См. основную статью Аксиоматика вещественных чисел.

Множество вещественных чисел можно определить как топологически полное, упорядоченное поле, то есть поле с отношением , которое удовлетворяет следующим аксиомам:

  1. Отношение является отношением линейного порядка:
  2. Порядок согласован со структурой поля:
  3. Порядок на удовлетворяет условию полноты:
Примечания

Из свойства 3 следует, что у любого непустого ограниченного сверху множества (то есть такого, что для всех x из A все для некоторого ) существует точная верхняя грань (минимальная из всех), то есть число такое, что

  1. Для всех x из A все
  2. Если свойству (1) удовлетворяет также число , то .

Наличие точных верхних граней у ограниченных сверху множеств эквивалентно аксиоме полноты и часто заменяет её в аксиоматике поля .

Любые два поля с отношением порядка, удовлетворяющим этим аксиомам, изоморфны, поэтому можно говорить, что существует единственное такое поле. (На самом деле, правильней говорить, что единственна структура полного упорядоченного поля, каждое поле, которое её имеет, служит моделью множества вещественных чисел, так как любые две модели изоморфны.)

Пополнение рациональных чисел

Вещественные числа могут быть построены как пополнение множества рациональных чисел по отношению к обычной метрике .

Более точно, рассмотрим все фундаментальные последовательности рациональных чисел {ri}. На таких последовательностях можно естественным образом ввести арифметические операции: {ri} + {qi} = {ri + qi} и .

Две такие последовательности и считаются эквивалентными , если при .

Множество вещественных чисел можно определить как классы эквивалентности этих последовательностей.

Дедекиндовы сечения

См. основную статью Дедекиндово сечение.

Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел на два подмножества A и B такие, что:

  1. для любых и ;
  2. B не имеет минимального элемента.

Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений. На них возможно продолжить операции сложения и умножения.

Например, вещественному числу соответствует дедекиндово сечение, определяемое или и и x2 > 2}. Интуитивно, можно представить себе, что для того чтобы определить мы рассекли множество на две части: все числа, что левее и все числа, что правее ; соотвеетственно, равно точной нижней грани множества B.

Бесконечные десятичные дроби

Такое задание, как правило, практикуется в школьной программе и во многом похоже на пополнение рациональных чисел.

Бесконечной десятичной дробью (со знаком) называется последовательность вида , где di являются десятичными цифрами, то есть .

Две последовательности называются эквивалентными, если они либо совпадают, либо их различающиеся «хвосты» имеют вид и , где , либо если это «нулевые» последовательности (все di равны 0), отличающиеся только знаком.

Вещественные числа определяются как классы эквивалентности десятичных дробей. Операции на десятичных дробях определяются позиционно подобно операциям над целыми числами в позиционных системах счисления.

Значение десятичной дроби формально задаётся суммой ряда .

Счетность множества

TODO:

Примечания

  1. ↑ Традиционно в Петербурге (СПбГУ) принято название вещественные, а в Москве (МГУ) — действительные.

Ссылки

  • Кириллов, А. А. Что такое число? // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов». — М.: Физматлит, 1993.
  • Понтрягин, Л. С. Обобщения чисел // Серия «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1965.

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

xzsad.academic.ru