Перевод числа из двоичной системы в восьмеричную систему счисления. Двоичное в восьмеричное


Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную — Циклопедия

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и наоборот // Дмитрий Тарасов [6:42] Перевод из двоичной в восьмеричную систему счисления // Никита Вайз (информатик) [7:20]

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную — это преобразование чисел двоичной системы счисления в числа восьмеричной системы счисления.

Исходное число двоичной системы счисления разбивается на триады (тройки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) триада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна или две). Затем триады заменяются на соответствующие (по таблице триад) цифры восьмеричной системы счисления.

[править] Таблица триад

  • Заметим, что возможны другие способы перевода чисел: 2→4→8 и 2→10→8.

[править] Пример перевода 2→8

[править] Другие алгоритмы:

cyclowiki.org

Двоичная восьмеричная шестнадцатеричная системы счисления

 

Двоичная система счисления

Для представления чисел в микропроцессоре используется двоичная система счисления. При этом любой цифровой сигнал может иметь два устойчивых состояния: «высокий уровень» и «низкий уровень». В двоичной системе счисления для изображения любого числа используются две цифры, соответственно: 0 и 1. Произвольное число x=anan-1..a1a0,a-1a-2…a-m запишется в двоичной системе счисления как

x = an·2n+an-1·2n-1+…+a1·21+a0·20+a-1·2-1+a-2·2-2+…+a-m·2-m

где ai — двоичные цифры (0 или 1).

Восьмеричная система счисления

В восьмеричной системе счисления базисными цифрами являются цифры от 0 до 7. 8 единиц младшего разряда объединяются в единицу старшего.

Шестнадцатеричная система счисления

В шестнадцатеричной системе счисления базисными цифрами являются цифры от 0 до 15 включительно. Для обозначения базисных цифр больше 9 одним символом кроме арабских цифр 0…9 в шестнадцатеричной системе счисления используются буквы латинского алфавита:

1010 = A16      1210 = C16      1410 = E16 1110 = B16      1310 = D16      1510 = F16.

Например, число 17510 в шестнадцатеричной системе счисления запишется как AF16. Действительно,

10·161+15·160=160+15=175

В таблице представлены числа от 0 до 16 в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Десятичная Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10

Двоично-восьмеричные и двоично-шестнадцатеричные преобразования

Двоичная система счисления удобна для выполнения арифметических действий аппаратными средствами микропроцессора, но неудобна для восприятия человеком, поскольку требует большого количества разрядов. Поэтому в вычислительной технике помимо двоичной системы счисления широкое применение нашли восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления для более компактного представления чисел.

Три разряда восьмеричной системы счисления реализуют все возможные комбинации восьмеричных цифр в двоичной системе счисления: от 0 (000) до 7(111). Чтобы преобразовать двоичное число в восьмеричное, нужно объединить двоичные цифры в группы по 3 разряда (триады) в две стороны, начиная от разделителя целой и дробной части. При необходимости слева от исходного числа нужно добавить незначащие нули. Если число содержит дробную часть, то справа от него тоже можно добавить незначащие нули до заполнения всех триад. Затем каждая триада заменяется восьмеричной цифрой.

 Пример: Преобразовать число 1101110,012 в восьмеричную систему счисления.

Объединяем двоичные цифры в триады справа налево. Получаем

001 101 110,0102 = 156,28.

Чтобы перевести число из восьмеричной системы в двоичную, нужно каждую восьмеричную цифру записать ее двоичным кодом:

156,28 = 001 101 110,0102.

 Четыре разряда шестнадцатеричной системы счисления реализуют все возможные комбинации шестнадцатеричных цифр в двоичной системе счисления: от 0 (0000) до F(1111). Чтобы преобразовать двоичное число в шестнадцатеричное, нужно объединить двоичные цифры в группы по 4 разряда (тетрады) в две стороны, начиная от разделителя целой и дробной части. При необходимости слева от исходного числа нужно добавить незначащие нули. Если число содержит дробную часть, то справа от нее тоже нужно добавить незначащие нули до заполнения всех тетрад. Затем каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой.

Пример: Преобразовать число 1101110,112 в шестнадцатеричную систему счисления.

Объединяем двоичные цифры в тетрады справа налево. Получаем

0110 1110,11002 = 6E,C16.

Чтобы перевести число из шестнадцатеричной системы в двоичную, нужно каждую шестнадцатеричную цифру записать ее двоичным кодом:

6E,C16 = 0110 1110,11002.

Назад: Представление данных и архитектура ЭВМ

prog-cpp.ru

Восьмеричная система счисления - Программирование на C, C# и Java

Оглавление:Перевод из десятичной системы счисления в восьмеричнуюПеревод из восьмеричной системы счисления в десятичнуюПеревод из двоичной системы счисления в восьмеричнуюПеревод из восьмеричной системы счисления в двоичнуюПеревод из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и из шестнадцатеричной системы в восьмеричнуюПрименение восьмеричной системы счисления

Восьмеричная система – одна из основных систем счислений наряду с двоичной, десятичной и шестнадцатеричной, применяемая в информационных технологиях.

Как мы знаем, компьютеры «воспринимают» лишь двоичную систему счисления, состоящую только из нулей и единиц. Однако человеку довольно непривычно и неудобно работать с такими числами. Например, привычное нам десятичное число 2 143 в двоичной системе будет выглядеть как 100001011111.  Переводить числа из двоичной системы в десятеричную также не очень удобно и бывает довольно муторно.

В итоге было решено использовать альтернативные и более простые системы счисления: восьмеричную и шестнадцатеричную. Числа 8 и 16 являются степенями двойки (2 в третьей и 2 в четвёртой степени соответственно), поэтому выполнять преобразования из двоичной системы и наоборот гораздо легче, чем при десятичной системе счисления, которая не может похвастаться своей причастностью к степеням числа 2.

Кроме того, числа в восьмеричной системе как минимум более приятны глазу и гораздо короче, чем их аналоги в двоичной системе. Так, например, в восьмеричной системе то же число 2 143 будет записываться как 4137.

В восьмеричной системе счисления, как уже можно было догадаться, основанием является цифра 8 и, соответственно, она вмещает в себя только восемь цифр: от 0 до 7. Поэтому числа в восьмеричной системе счисления очень похожи на десятичные, в отличие от шестнадцатеричных, где присутствуют буквы латинского алфавита или двоичных, состоящих только из двух цифр. Отличают эти две системы тем, что в восьмеричной отсутствуют цифры 8 и 9, а также, очевидно, нижними индексами: у числа в десятичной системе прибавляют нижний индекс с цифрой 10, а к числам в восьмеричной системе приписывают цифру 8, например:

 Теперь давайте научимся переводу чисел в восьмеричную систему счисления и наоборот.

Перевод из десятичной системы счисления в восьмеричную

Давайте попробуем изучить перевод десятичного числа в восьмеричное на примере. После этого примера вы без проблем сможете переводить любые числа в эту систему.

Возьмём десятичное число 15 450 и попробуем перевести его в восьмеричную систему счисления.

Для начала нам необходимо разделить исходное число на основание системы, в которую мы хотим это число перевести. Для восьмеричной системы это число 8. То есть мы делим 15 450 на 8.

Происходит деление в столбик, но, в отличие от стандартного деления, мы не находим неполные частные, а делим сразу всё делимое на 8. Наибольшим числом, при котором 15 450 делится без остатка на 8 будет число 1 931. 1931 * 8 = 15 448. Теперь мы вычитаем из 15 450 полученное число 15 448, у нас получился остаток 2. Выделяем эту двойку, так как это уже кусочек нашего числа в восьмеричной системе.Продолжаем: теперь делим полученное на предыдущем шаге частное на 8:

Всё точно так же: наибольшим числом, при котором 1 931 делится без остатка на 8 будет число 241. При умножении 241 на 8 получается число 1 928. Ищем разность между 1 931 и 1928 – получается 3. Выделяем её. Далее делим 241 на 8.

Получается число 30, умножив его на 8, получаем 240. Вычитаем из 241 это число, получается 1. Выделяем единицу.Продолжаем деление до тех пор, пока частное не станет меньше 8!

Итак, делим 30 на 8, получается 3,75, отбрасываем дробную часть, получается 3. Умножаем 3 на 8, получается 24. 30 – 24 = 6. Выделяем шестёрку. Мы закончили деление так как 3 меньше 8. Обязательно выделяем последнее частное тоже (у нас это цифра 3).

Выделенные красным цифры – это и есть наше число в восьмеричной системе, НО они написаны наоборот. То есть, чтобы правильно прочитать число в восьмеричной системе, необходимо сделать это справа налево.

Таким образом, десятичное число 15 45010 в восьмеричной системе будет выглядеть как 36 1328.

Итого, алгоритм перевода чисел из десятичной системы в восьмеричную следующий:

  1. Разделить исходное число на 8. Найти максимальное частное и убрать дробную часть от него. Например, исходное число 20 : 8 = 2,5. Значит в частное мы записываем число 2.
  2. Умножить полученное частное на 8. Записать его под исходным числом.
  3. Найти остаток между этими числами и выделить его – это кусочек переведённого в восьмеричную систему числа.
  4. Затем разделить в столбик полученное частное на 8, записать ответ и проделать шаги 2 и 3.
  5. Производить деление до тех пор, пока делимое не станет меньше 8. Выделить это делимое тоже.
  6. Выписать все выделенные числа справа налево (т.е. последнее делимое будет на первом месте, затем идёт остаток, найденный на последнем шаге, затем остаток, найденный на предпоследнем шаге и т.д.). Полученное при такой записи число и будет нашим искомым восьмеричным.

Теперь перейдём к переводу восьмеричного числа в десятичную систему счисления.

Перевод из восьмеричной системы счисления в десятичную

Перевести восьмеричное число в десятичное даже проще, чем наоборот. Давайте рассмотрим пример: переведём восьмеричное число 36078 в десятичное.

Для начала мы делаем такую запись: с конца берём каждую цифру нашего исходного числа, каждое из них умножаем на 8, и все в целом складываем. Должно получиться примерно так:

Однако, это ещё не всё! После того, как мы сделали подобную запись, ко всем числам 8, на которые умножаются цифры исходного числа, необходимо добавить степени в порядке возрастания: 0, 1, 2 и т.д. Обязательно необходимо начинать с нулевой степени!

Всё, что остаётся после этого – просто посчитать. В итоге у нас получилось число 1927 в десятичной системе.

Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную – довольно необычное дело для тех, кто никогда с этим не сталкивался. Однако на деле всё не так пугающе, как может показаться с первого раза.

Давайте попробуем. Допустим, у нас есть двоичное число 1010010001011101100.

Для начала нам необходимо разбить это число на триады – группы из трёх цифр. Почему именно три цифры? Как мы знаем, у систем счислений имеются основания. И у двоичной системы основание – 2. Нам необходимо перевести двоичное число в восьмеричную систему с основанием 8. Математически это можно записать так:

Найти i, пожалуй, не составит труда: i = 3, то есть, для записи одного восьмеричного числа в двоичной системе необходимо 3 бита или, говоря иначе – 3 двоичные цифры. Поэтому мы и будем разбивать двоичное число на триады. Однако надо запомнить, что делать это надо с младшего бита. Бит – это одна цифра в двоичном числе. Чем дальше бит от начала числа, тем он младше. Самый младший бит – это последняя цифра двоичного числа. Иными словами, мы разбиваем число на триады, начиная с конца.

Внимание: если старшая триада не заполнена, до конца, перед ней необходимо дописать столько нулей, чтобы получилась полноценная триада.

Теперь всё, что нам остаётся – это перевести каждую из этих триад из двоичной системы счисления в восьмеричную. Это можно сделать самостоятельно:

Для этого в каждой отдельной триаде (начиная с первой) нужно каждую цифру (начиная с последней) умножить на 2, возведённую в степени от 0 до 2, и сложить полученные три числа.

Затем, полученные результаты по каждой отдельной триаде надо выписать, начиная с самой первой. Записанное число и будет нашим конечным результатом в восьмеричной системой счисления.

Однако можно сильно облегчить себе задачу, не высчитывая все триады числа, а просто сверяя каждую из них по таблице соответствия двоичных чисел восьмеричным, например, по такой:

Теперь можно просто смотреть на триаду, сверять её с таблицей и записывать число, соответствующее ей в восьмеричной системе.

Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную

Самым удобным способом перевода из восьмеричной системы счисления в двоичную является использование таблицы соответствий. Итак, допустим, мы хотим перевести восьмеричное число 36702 в двоичную систему. Что же нам делать? Мы берём первую цифру нашего исходного числа – 3. Ищем её по таблице соответствия – в двоичной системе это 011. Берём следующую цифру – 6 и ищем её в таблице, находим 110, и так далее. Продолжаем, пока не переведём все восьмеричные цифры в триады. В итоге у нас получится необходимое двоичное число.

Внимание: Если в старших битах (то есть в самом начале двоичного числа) имеются нули, необходимо убрать их до первой единицы. Например, как на изображении ниже. В старшем бите у нас получился ноль при переводе восьмеричной тройки, и мы убрали его. Это делается для удобства, потому что зачем хранить и писать незначащие цифры.

Перевод из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и из шестнадцатеричной системы в восьмеричную

К сожалению, несмотря на то, что эти системы счисления близки друг к другу, напрямую перевести друг в друга нельзя. Легче всего при переводе этих двух систем друг в друга воспользоваться посредничеством двоичной системы. То есть, перевести восьмеричную систему счисления в двоичную, разделив число на триады и воспользовавшись таблицей соответствий, а затем перевести это число из двоичной системы в шестнадцатеричную с помощью тетрад. И наоборот: перевести число из шестнадцатеричной системы в двоичную, а затем уже из двоичной системы в восьмеричную описанными выше способами.

Применение восьмеричной системы счисления

В прошлом веке выпускались компьютеры, в которых использовались 12-ти, 24-х и 36-битные слова. Это, например, модель ICT 1900 (1964 год), а также PDP-8, выпущенная в 1965 году – это коммерчески довольно успешная модель миникомпьютера в своё время. Кроме того, некоторые мейнфреймы от компании IBM использовали восьмеричную систему. В компьютерах, размер машинного которых кратен тройке, очень удобно использовать систему с основанием восемь, поскольку всегда все биты из слова можно представить в виде целого количества цифр в восьмеричной системе. Например, слово из 24-х бит, можно записать в виде 8-ми восьмеричных чисел.

Если говорить про использование восьмеричной системы в жизни людей, то известно, что в индейских языках Юки (Калифорния) и Паме (Мексика) использовалась данная система. Индейцы считали предметы не по количеству пальцев на руках, а по количеству промежутков между ними.

 

Восьмеричная система счисления

5 (100%) 8 votes

Поделиться в соц. сетях:

vscode.ru

Основные понятия

Основные понятия 2

Преобразование чисел из одной системы счисления в другую 4

Перевод целого числа из десятичной системы в другую позиционную систему счисления 4

Перевод правильной десятичной дроби в любую другую позиционную систему счисления 5

Перевод числа из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную. 6

Перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно. 7

Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную и обратно. 9

Арифметические операции в позиционных системах счисления 12

Сложение 12

Вычитание 13

Умножение и деление в двоичной системе 14

MAC адрес. 15

Упражнения 17

Система счисления– это совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью набора символов, называемых цифрами.

Используются три типа систем счисления:

  • позиционная – представление числа зависит от порядка записи цифр.

  • непозиционная – представление числа не зависит от порядка записи цифр

  • смешанная – нет понятия «основание»: либо оснований несколько, либо оно вычисляемое

В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7∙102 + 5∙101 + 7∙100 + 7∙10-1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

an-1 qn-1 + an-2 qn-2+ ... + a1 q1 + a0 q0 + a-1 q-1 + ... + a-m q-m,

где ai – цифры числа; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

Таблица 1. Эквиваленты чисел в различных системах счислений

Системы счисления

Десятичная

Двоичная

Восьмеричная

Шестнадцатеричная

0

0

0

0

1

1

1

1

2

10

2

2

3

11

3

3

4

100

4

4

5

101

5

5

6

110

6

6

7

111

7

7

8

1000

10

8

9

1001

11

9

10

1010

12

A

11

1011

13

B

12

1100

14

C

13

1101

15

D

14

1110

16

E

15

1111

17

F

Преобразование чисел из одной системы счисления в другую Перевод целого числа из десятичной системы в другую позиционную систему счисления

При переводе целого десятичногочисла в систему с основаниемqего необходимо последовательноделитьнаqдо тех пор, пока не останется остаток, меньший или равныйq–1. Число в системе с основаниемqзаписывается как последовательность остатков от деления, записанных в обратном порядке, начиная с последнего.

  1. в двоичную:

7510 = 1 001 0112 2610=110102

  1. в восьмеричную:

7510= 1138 24110=3618

  1. в шестнадцатеричную:

7510= 4B16362710=Е2В16

Перевод правильной десятичной дроби в любую другую позиционную систему счисления

При переводе правильной десятичной дробив систему счисления с основаниемqнеобходимо сначала саму дробь, а затем дробные части всех последующих произведений последовательноумножатьнаq, отделяя после каждого умножения целую часть произведения. Число в новой системе счисления записывается как последовательность полученных целых частей произведения.

Умножение производится до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Это значит, что сделан точный перевод. В противном случае перевод осуществляется до заданной точности.

  1. в двоичную:

0,3510= 0,010112 0,562510=0,10012

или

0,84710=0,11012

  1. в восьмеричную:

0,3510 = 0,2638 0,6562510=0,528

  1. в шестнадцатеричную:

0,3510= 0,5916 0,84710=0,D8D16

studfiles.net

таблица, примеры десятичной, восьмеричной и других систем

Самой короткой системой счисления является двоичная. Она полностью основана на позиционной форме записи числа. Основной характеристикой считается принцип удвоения цифры при выполнении перехода от определённой позиции к последующей. Из одной системы счисления в другую можно осуществить перевод как при помощи специальной программы, так и вручную.

...

Вконтакте

Facebook

Twitter

Google+

Мой мир

Историческое признание

Появление двоичной СС в истории связано с учёным математиком В.Г. Лейбницем. Именно он впервые заговорил о правилах выполнения операций с числовыми значениями данного рода. Но первоначально этот принцип остался невостребованным. Мировое признание и применение алгоритм получил на заре возникновения вычислительных машин.

Удобство и несложность выполнения операций привели к необходимости более детального изучения данного подраздела арифметики, который стал незаменимым при развитии компьютерной технологии с программным обеспечением. Впервые такие механизмы появились на немецком и французском рынках.

Внимание! Конкретную точку над превосходством двоичной системы по отношению десятичной, именно в данной отрасли, было поставлено в 1946 году и обосновано в статье А. Бекса, Х. Гольдстайна и Дж.Фон Неймана.

Перевод числа из десятичной системы счисления в двоичную.

Особенности двоичной арифметики

Вся двоичная СС основана на применении только двух символов, которые очень точно совпадают с особенностями цифровой схемы. Каждый из символов отвечает за определённое действие, которое зачастую подразумевает два состояния:

  • наличие отверстия или его отсутствие, к примеру, перфокарты или перфоленты;
  • на магнитных носителях отвечает за состояние намагничивания или размагничивания;
  • по уровню сигнала, высокий или низкий.

В науке, в которой применяется СС, введена определённая терминология, суть ее состоит в следующем:

  • Бит – двоичный разряд, который состоит из двух составляющих, несущих в себе определённый смысл. Размещённый слева, определяется как старший и является приоритетным, а справа – младшим, являющийся менее весомым.
  • Байт – это единица, которая состоит из восьми битов.

Многие модули воспринимают и обрабатывают информацию порциями или словами. Каждое слово имеет разный вес и может состоять из 8-ми, 16-ти или 32-х битов.

Правила переводов из одной системы в другую

Одним из важнейших факторов арифметики машин является перевод из одной СС в другую. Поэтому обратим внимание на основные алгоритмы выполнения процесса, который покажет, как перевести число в двоичную систему.

Переводим десятичную систему в двоичную

Первоначально обратимся к вопросу, как осуществить перевод системы из десятичной в двоичную систему счисления. Для этого существует правило перевода из десятичных чисел в двоичный код, которое подразумевает математические действия.

Необходимо число, записанное в десятичном виде разделить на 2. Деление выполнять до тех пор, пока в частном не останется единица. Если необходима двоичная система счисления перевод осуществляется так:

186:2=93 (ост. 0)

93:2=46 (ост. 1)

46:2=23 (ост. 0)

23:2=11 (ост. 1)

11:2=5 (ост. 1)

5:2=2 (ост.1)

2:2=1

После того, как процесс деления закончен, то единицу в частном и все остатки записываем последовательно в обратном делению порядке. То есть, 18610=1111010. Правило перевода десятичных чисел в СС надо соблюдать всегда.

Перевод числа из десятичной системы в двоичную.

Перевод из десятичной СС в восьмеричную

Аналогичный процесс проводится при переводе из десятичной СС в восьмеричную. Его ещё называют «правилом замещения». Если в предыдущем примере деление данных осуществлялось на 2, то здесь необходимо делить на 8. Алгоритм перевода числа X10 в восьмеричную состоит из следующих шагов:

  1. Число X10 начинают делить на 8. Полученное частное берём для следующего деления, а остаток записывается, как бит младшего порядка.
  2. Продолжаем деление до тех пор, пока не поучим в результат частного равного нулю или остаток, который по своему значению меньше восьми. При этом все остатки записываем, как младшие порядки бита.

К примеру, необходимо перевести число 160110 в восьмеричное.

1601:8=200 (ост. 1)

200:8=25 (ост. 0)

25:8=3 (ост.1)

Итак, получим: 161010=31018.

Перевод из десятичной системы в восьмеричную.

Записываем десятичное число шестнадцатеричным

Перевод из десятичной в шестнадцатиричную СС осуществляется аналогично с использованием системы замещения. Но кроме цифр применяют ещё и буквы латинского алфавита A, B, C, D, E, F. Где A обозначает остаток 10, а F остаток 15. Десятичное число делят на 16. К примеру, переводим 10710 в шестнадцатеричную:

107:16=6 (ост. 11 – заменяем В)

6 – меньше, чем шестнадцать. Деление прекращаем и записываем 10710=6В16.

Переходим из другой системы в двоичную

Следующий вопрос, как преобразовать из восьмеричной в двоичную запись числа. Перевод чисел из любой системы в двоичную выполняется достаточно просто. Помощником в этом деле выступает таблица для систем счисления.

Важно! Сам принцип основывается на замене набора цифр одной системы на числа другой. Пример перевода 247388=1010011101122

Аналогичный ответ имеет вопрос, как перевести из шестнадцатиричной в двоичную. Необходимо преобразовать каждый символ числа А16 в набор символов двоичного числа. Выполнить это можно посредством представленной таблицы.

Шестнадцатеричная Двоичная
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111
8 1000
9 1001
A 1010
B 1011
C 1100
D 1101
E 1110
F 1111

К примеру, число А2316=1010000100112.

Перевод чисел в восьмеричную и шестнадцатеричную систему счисления и обратно

 

Перевод между двоичной, восьмеричной, и шестнадцатеричной системой счисления

Итог

Кроме всех перечисленных систем, существует и четвертичная система, основанием которой является цифра 4. Записывается она посредством четырёх символов 0, 1, 2, 3. К примеру 1010=224, а 1510=334.

uchim.guru

Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную и

Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ Для записи двоичного числа используются две цифры. Определим количество информации, которое содержит один двоичный разряд: N=2 I; 2 = 2 I, так как 2 = 2 1, то I = 1 бит. Каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит. Для записи восьмеричного числа используются восемь цифр. 8 = 2 I, так как 8 = 23, то I = 3 бита. Каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бита. Для перевода двоичного числа в восьмеричное двоичное число нужно разбить на группы по три цифры (триады). Двоичные триады Восьмеричные цифры 000 001 010 011 100 101 110 111 0 1 2 3 4 5 6 7

ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ Для перевода двоичного целого числа в восьмеричное двоичное число нужно разбить на группы по три цифры, справа налево; если в последней группе окажется меньше чем три разряда, то необходимо её дополнить слева нулями. Затем надо преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру. Двоичные триады Восьмеричные цифры 000 001 010 011 100 101 110 111 0 1 2 3 4 5 6 7 1010012 101 0012 = 518 110012 011 0012 = 318

ПЕРЕВОД ДРОБЕЙ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ Для перевода дробного двоичного числа в восьмеричное нужно разбить двоичное число на триады, слева направо; если в последней группе окажется меньше чем три разряда, то необходимо дополнить её справа нулями. Затем надо триады заменить на восьмеричные цифры. Двоичные триады Восьмеричные цифры 000 001 010 011 100 101 110 111 0 1 2 3 4 5 6 7 0, 1010012 0, 101 0012 = 0, 518 0, 110012 0, 110 0102 = 0, 628

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ Для записи шестнадцатеричного числа используются шестнадцать цифр. 16 = 2 I, так как 16 = 24, то I = 4 бита. Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита. Для перевода двоичного числа в шестнадцатеричное двоичное число нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады). Двоичные тетрады Шестнадцатеричные цифры 0000 0001 0 1 1000 1001 8 9 0010 0011 0100 0101 0110 0111 2 3 4 5 6 7 1010 1011 1100 1101 1110 1111 A B C D E F

ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ Для перевода двоичного целого числа в шестнадцатеричное двоичное число нужно разбить на группы по четыре цифры (тетрады), справа налево; если в последней группе окажется меньше чем четыре разряда, то необходимо её дополнить слева нулями. Затем надо преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру. Двоичные тетрады Шестнадцатеричные цифры 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 0 1 2 3 4 5 6 7 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 8 9 A B C D E F 101010012 1010 10012 = А 916 110012 0001 10012 = 1916

ПЕРЕВОД ДРОБЕЙ ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ Для перевода дробного двоичного числа в шестнадцатеричное двоичное число нужно разбить на тетрады, слева направо; если в последней группе окажется меньше чем четыре разряда, то необходимо дополнить её справа нулями. Затем надо тетрады заменить на шестнадцатеричные цифры. Двоичные тетрады Шестнадцатеричные цифры 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 0 1 2 3 4 5 6 7 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 8 9 A B C D E F 0, 101010012 0, 1010 10012 = 0, А 916 0, 110012 0, 1100 10002 = 0, С 816

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ВОСЬМЕРИЧНОЙ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНОЙ СИСТЕМ В ДВОИЧНУЮ Для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в группу из трех двоичных разрядов (триаду), а при преобразовании шестнадцатеричного числа – в группу из четырех разрядов (тетраду). Двоичные триады Восьмеричные цифры 000 001 010 011 100 101 110 111 0 1 2 3 4 5 6 7 0, 478 = 0, 1001112 Двоичные тетрады Шестнадцатеричные цифры 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 0 1 2 3 4 5 6 7 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 8 9 A B C D E F АВ, 4716 = 10101011, 010001112

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Учить: § 2. 8. 3 (стр. 136 -139) Выполнить: задание 2. 13 (стр. 139) Заполнить таблицу, в каждой строке которой одно и то же произвольное число должно быть записано в различных системах счисления: Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная 111101, 1 233, 5 59, В

present5.com

Перевод числа из двоичной системы в восьмеричную систему счисления — МегаЛекции

Для перевода двоичных чисел в восьмеричные. Нужно, начиная от запятой влево и вправо от нее разбить набор двоичных цифр, изображающих число, на тройки цифр, каждое полученное трехзначное число отдельно перевести в восьмеричную систему счисления; если крайние правая или левая группы цифр не будут полными тройками, их дополняют соответственно справа и слева нулями; затем каждую триаду заменяют соответствующей цифрой восьмеричной системы счисления.

Примеры:

дано двоичное число 1101111011, разбитое на группы по три двоичные цифры, можно записать как 1 101 111 011 и затем после записи каждой группы одной восьмеричной цифрой получить восьмеричное число 15738.

1. 1011101,10011 число переводим на восьмеричный,

1 011 101,100 11 → 001 011 101,100 011 → 125,438;

Двоичная система счисления
Восьмеричная система счисления

Перевод числа из двоичной системы в шестнадцатеричную систему

Для перевода двоичных чисел в шестнадцатеричную систему, нужно, начиная от запятой влево и вправо от нее разбить набор двоичных цифр, изображающих число, на четверки цифр, каждое полученное четырехзначное число отдельно перевести в шестнадцатеричную систему счисления; если крайние правая или левая группы цифр не будут полными четверками, их дополняют соответственно справа и слева нулями; затем заменяют соответствующей цифрой шестнадцатеричной системы счисления.

Двоичное число 1101111011, использованное в предыдущем примере, после разбиения на группы по четыре двоичных цифры, можно записать как 11 0111 1011 и после выражения каждой группы одной шестнадцатиричной цирой получить шестнадцатиричное число 37В.

Пример: 101111,100011 легко перевести на шестнадцатеричную,

10 1111,1000 11 → 0010 1111,1000 1100 → 2F8C16;

Представим в виде таблицы:

Двоичная система счисления
Шестнадцатеричная система счисления

 

Двоичная система счисления
Шестнадцатеричная система счисления A B C D E F

Правила выполнения арифметических операций в двоичной системе

Сложение. Операция сложения выполняется так же, как и в десятичной системе. Переполнение разряда приводит к появлению единицы в следующем разряде:

0+0=0 1+0=1

1+1=10 0+1=1

Пример: Выполним сложение двух двоичных чисел 101+11 (в десятичной системе это 5+3=8).

Сложение лучше выполнять в столбик, добавив недостающие нули.

+ 011

Рассмотрим процесс сложения поэтапно.

1. Выполняется сложение в младшем разряде: 1+1=10. В младшем разряде суммы записывается 0,и единица переносится в следующий старший разряд.

2. Суммируются цифры следующего слева разряда и единица переноса: 0+1+1=10. В этом разряде суммы записывается 0, и опять единица переносится в старший разряд.

3. Суммируются цифры третьего слева разряда и единица перенса: 1+0+1=10. В этом разряде записывается 1, и единица переносится в следующий старший разряд и .т.д.

В результате получили: 101

+ 011

Итак, 10002 =810

Вычитание.

При вычитании двоичных чисел нужно помнить что

0-0=0

0-1=1

1-0=1

1-1=0

Пример. Найти разность двоичных чисел: 1010-101. Выполним вычитание в столбик, начиная с младшего разряда:

_1010

101

Рассмотрим процесс вычитания поэтапно.

1. Для младшего разряда имеем: 0-1. Поэтому занимаем единицу в старшем разряде и находим

10-1=1.

2. В следующем разряде уже будет 0-0=0.

3.В разряде слева опять имеем 0-1. Занимаем единицу в старшем разряде и находим 10-1=1.

4. в следующем разряде остался 0.

 

В результате получили: _1010

101

Умножение.

0*0=0

0*1=0

1*0=0

1*1=1

Пример. Найти произведение двоичных чисел: 1012 и 1102. Выполним произведение чисел в столбик, начиная с младшего разряда:

*101 Проверка: 1012=1*22+0*21+1*20=5

´110 1102=1*22+1*21+0*20=6

+101

101

111102= 1*24+1*23+1*22+1*21+0*20=16+8+4+2+0=3010, т.е. 5*6=30

Рассмотрим процесс умножения поэтапно.

1. Умножая на младший разряд по таблице, имеем 000.

2. Умножая на следующий разряд, получаем 101, но со сдвигом на один разряд влево.

3. Умножая на старший разряд, получаем также 101, но со сдвигом на один разряд влево.

4. Теперь с учетом таблицы сложения двоичных чисел складываем и получаем результат 111102.

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

Самостоятельная работа студента с преподователям:

1. Задания: Представьте в виде суммы степеней основания числа:

1. 110101012 6. 1101,0112

2. 111110102 7. 0,1001012

3. 101010112 8. 11,101012

4. 111001012 9. 111,101002

5. 111010012 10. 101,100012

 

Задания: записать следующих двоичных чисел в восьмеричной системе

1. 111101100112 6. 1101010,11002

2. 1101101012 7. 1010110,01012

3. 1101001102 8. 11010,011012

4. 101001102 9. 1000,11012

5. 10000112 10. 11101,0012

3. Задания: записать следующих двоичных чисел в шестнадцатеричной системе 1 1. 1 1111101010102 6. 101010101,110012

2. 11010101001112 7. 101010101,10101012

  1. 100011101012 8. 1010111,010102
  2. 10100110112 9. 11111,110002
  3. 10010100112 10. 101,10110112

4. Задания: Выполните сложение:

1. 0110+0110= 6. 1101+0110=

2. 11001+10111= 7. 1010+011=

3. 10001+11101= 8. 10111+1011=

4. 11001+11100= 9. 111010+1110=

5. 11000+11101= 10. 110011+100011=

5. Задания: Выполните вычитание:

1. 11010-01101= 6. 10111-1001=

2. 1101-0110= 7. 111011-11001=

3. 1101-111= 8. 10111-11100=

4. 10001-1011= 9. 11110-1001=

5. 11011-1001= 10. 101011-10111=

6. Задания: Выполните умнажение:

1. 1011´110= 6. 1101´101=

2. 11001´111= 7. 1010´101=

3. 0101´10= 8. 10001´111=

4. 1000´101= 9. 1110´1001=

5. 10111´1100= 10. 11011´100=

Самостоятельная работа студента:

Задания. Заполните таблицу:

Десятичная с.с. Двоичная с.с. Восьмеричная с.с. Шестнадцатиричная с.с.
I-Вариант 358,95      
     
     
      164А
I I -Вариант 634,67      
     
      7АС
     
I I I -Вариант 582,02      
      1Ғ6Е
     
     
IV-Вариант 369,025      
     
     
      4D61
V-Вариант 468.15      
     
     
      2D4A
VI-Вариант 654.27      
     
      5AD
     
VII-Вариант 286.52      
      1D8E
     
     
VIII-Вариант 492.025      
     
     
      4C61
IX-Вариант 417.75      
     
     
952F
X-Вариант 744.67      
     
      78FC
     
XI-Вариант 542.92      
      4D67
     
     

Контрольные вопросы:

1. Что называют двоичной системы счисления?

2. Что такое двоичное число?

3. Каждый разряд двоичного числа как называется?

4. Как можно перевести число из двоичной системы в десятичную систему счисления?

5. Как можно перевести положительную десятичную дробь в двоичную?

 

megalektsii.ru