Медиана треугольника: формула и свойства. Формула для вычисления длины медианы треугольника


Медиана треугольника, формулы и примеры

Определение и формулы медианы треугольника

Для медиан треугольника справедливы следующие утверждения:

  • Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  • Медиана разбивает треугольник на два треугольника с одинаковой площадью
  • Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.
  • В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная на основание, является высотой и биссектрисой.
  • В равностороннем треугольнике любая медиана является высотой и биссектрисой.

Формула для вычисления медианы

   

где – сторона треугольника, к которой проводится медиана, – две другие стороны рассматриваемого треугольника.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Длина медианы треугольника

Пусть дан треугольник , длины сторон которого соответсвенно равны :

Докажем, что длину медианы  , проведенной из вершины   можно выразить через длины сторон треугольника с помощью такой формулы:

   

 

1. Достроим данный треугольник до параллелограмма.

2. Из треугольника найдем косинус угла  с помощью теоремы косинусов.

Отсюда (1)

3. Так как (по свойству односторонних углов),

4. Из треугольника   выразим сторону :

(по свойству параллелограмма)

Подставим выражение (1) для

Утверждение доказано.

И. В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Калькулятор расчета длины медианы треугольника

Медиана треугольника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок.

Каждый треугольник имеет ровно три медианы, по одной из каждой вершины, и все они пересекаются друг с другом в центре треугольника. В случае равнобедренного и равностороннего треугольников, медиана делит пополам любой угол в вершине у которого две смежные стороны равны.

Калькулятор длины медианы треугольника

Онлайн калькулятор расчета длины медианы треугольника при условии, что известны координаты его вершин. Нахождение длины трех медиан треугольника

Формула расчета длины медианы

 

 

 

где,

  • a,b,c — Длина сторон треугольника.

Пример расчета медиан:

Даны точки A( 1 , 5 ), B( 8 , 9 ) и C( 5 , 6 ). Найдите медианы треугольника.

Получаем:

A( 1 , 5 ) B( 8 , 9 ) C( 5 , 6 )

Решение:

Шаг 1:

Найдем длину сторон a,b,c используя формулу

d = √((x2 — x1)2 + (y2 — y1)2)

Найдем длину стороны A между точками B( 8 , 9 ) and C( 5 , 6 )

a = √((5 — 8)2 + (6 — 9)2 )= 4.242

Найдем длину стороны B между точками C( 5 , 6 ) и A( 1 , 5 )

b = √((1 — 5)2 + (5 — 6)2) = 4.123

Найдем длину стороны C между точками A( 1 , 5 ) и B( 8 , 9 )

c = √((8 — 1)2 + (9 — 5)2) = 8.062

Шаг 2:

Полученные значения a,b,c применяем в формулы

ma = (1/2) √2c2 + 2b2 — a2

mb = (1/2) √(2c2 + 2a2 — b2 )

mc = (1/2) √(2a2 + 2b2 — c2 )

  • ma = (1/2)√(2(8.062)2 + 2(4.123)2 — 4.2422 )= 6.042
  • mb = (1/2)√(2(8.062)2 + 2(4.242)2 — 4.1232 )= 6.103
  • mc = (1/2)√2(4.242)2 + 2(4.123)2 — 8.0622 = 1.118

Свойства Медиан Треугольника

  • Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
  • Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
  • Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
  • В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равняется половине гипотенузы.
  • Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, то есть их длины удовлетворяют неравенству треугольника.

wpcalc.com

формула и свойства :: SYL.ru

Медианой именуется отрезок, проведенный из вершины треугольника на середину противоположной стороны, то есть делит ее точкой пересечения пополам. Точка, в которой медиана пересекает противоположную вершине, из которой она выходит, сторону, именуется основанием. Через одну точку, называемую точкой пересечения, проходит каждая медиана треугольника. Формула длины ее может выражаться несколькими способами.

Формулы для выражения длины медианы

  • Зачастую в задачах по геометрии ученикам приходится иметь дело с таким отрезком, как медиана треугольника. Формула ее длины выражается через стороны:

где a, b и c – стороны. Причем с является стороной, на которую медиана опускается. Таким образом выглядит самая простая формула. Медианы треугольника иногда требуется проводить для вспомогательных расчетов. Есть и другие формулы.

  • Если при расчете известны две стороны треугольника и определенный угол α, находящийся между ними, то длина медианы треугольника, опущенной к третьей стороне, будет выражаться так.

Основные свойства

  • Все медианы имеют одну общую точку пересечения O и ею же делятся в отношении два к одному, если вести отсчет от вершины. Такая точка носит название центра тяжести треугольника.
  • Медиана разделяет треугольник на два других, площади которых равны. Такие треугольники называются равновеликими.
  • Если провести все медианы, то треугольник будет разделен на 6 равновеликих фигур, которые также будут треугольниками.
  • Если в треугольнике все три стороны равны, то в нем каждая из медиан будет также высотой и биссектрисой, то есть перпендикулярна той стороне, к которой она проведена, и делит надвое угол, из которого она выходит.
  • В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная из вершины, которая находится напротив стороны, не равной никакой другой, будет также высотой и биссектрисой. Медианы, опущенные из других вершин, равны. Это также является необходимым и достаточным условием равнобедренности.
  • Если треугольник является основанием правильной пирамиды, то высота, опущенная на данное основание, проецируется в точку пересечения всех медиан.

  • В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к наибольшей стороне, равняется половине ее длины.
  • Пусть O - точка пересечения медиан треугольника. Формула, приведенная ниже, будет верная для любой точки M.

  • Еще одним свойством обладает медиана треугольника. Формула квадрата ее длины через квадраты сторон представлена ниже.

Свойства сторон, к которым проведена медиана

  • Если соединить любые две точки пересечения медиан со сторонами, на которые они опущены, то полученный отрезок будет являться средней линией треугольника и составлять одну вторую от стороны треугольника, с которой она не имеет общих точек.
  • Основания высот и медиан в треугольнике, а также середины отрезков, соединяющих вершины треугольника с точкой пересечения высот, лежат на одной окружности.

В заключение логично сказать, что одним из самых важных отрезков является именно медиана треугольника. Формула ее может использоваться при нахождении длин других его сторон.

www.syl.ru

по сторонам треугольника найти медиану

Чтобы по сторонам треугольника найти медиану, не обязательно запоминать дополнительную формулу. Достаточно знать алгоритм решения.

Для начала рассмотрим задачу в общем виде.

Дан треугольник со сторонами a, b, c. Найти длину медианы, проведенной к стороне b.

 

AB=a, AC=b, BC=c.

Решение.

На луче BF отложим отрезок FD, FD=BF.

Соединим точку D с точками A и C.

Четырехугольник ABCD — параллелограмм (по признаку), так как у него диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Свойство диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

Отсюда: AC²+BD²=2(AB²+BC²), значит, b²+BD²=2(a²+c²),

BD²=2(a²+c²)-b². По построению, BF — половина BD, следовательно,

   

Это — формула нахождения медианы треугольника по его сторонам. Обычно ее записывают так:

   

Переходим к рассмотрению конкретной задачи.

Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. Найти медиану треугольника, проведенную к его средней по длине стороне.

Решение:

 

Применяя аналогичные рассуждения, получаем:

AC²+BD²=2(AB²+BC²).

Отсюда

14²+BD²=2(13²+15²)

BD²=2(169+225)-196=592

   

   

Ответ:

   

www.uznateshe.ru

Все формулы медианы прямоугольного треугольника

Медиана, отрезок |CO|, исходящий из вершины прямого угла BCA и делящий гипотенузу c, пополам.

Медиана в прямоугольном треугольнике (M), равна, радиусу описанной окружности (R).

 

M - медиана

R - радиус описанной окружности

O - центр описанной окружности

с - гипотенуза

a, b - катеты

α - острый угол CAB

 

Медиана равна радиусу и половине гипотенузы, (M):

 

 

Формула длины через катеты, (M):

 

Формула длины через катет и острый угол, (M):

 

 

Подробности Автор: Administrator Опубликовано: 08 октября 2011 Обновлено: 16 мая 2017

www-formula.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Планиметрия

      Определение. Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Рис.1

      Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

      На рисунке 1 медианой является отрезок BD.

      Утверждение 1. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади (равновеликих треугольника).

      Доказательство. Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

Рис.2

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

      Поскольку отрезок BD является медианой, то

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.

      Доказательство. Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Рис.3

      Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Рис.4

      Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Рис.5

      Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC. Следовательно,

      Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC. Следовательно,

откуда вытекает, что стороны ED и FG четырёхугольника FEDG равны и параллельны. Следовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммомСледовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммомСледовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммом, а у параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополаму параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополаму параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополам (рис.6).

Рис.6

      Таким образом,

| FO | = | OD | ,       | GO | = | OE | .

      Следовательно,

| AF | = | FO | = | OD | ,       | CG | = | GO | = | OE | .

      Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении   2 : 1, считая от вершины треугольника.

      Доказательство завершено.

      Следствие. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

      Доказательство. Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O, которая делит эту медиану в отношении   2 : 1, считая от вершины A (рис.7).

Рис.7

      Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

      Определение. Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

      Утверждение 3. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Рис.8

      Доказательство. Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC, равна  площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

Рис.9

      Тогда

      В силу утверждения 1,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Длина медианы треугольника (рис. 10) вычисляется по формуле:

Рис.10

      Доказательство. Воспользуемся теоремой косинусов, примененной к треугольникам DBC и ABD:

      Складывая эти равенства, получим:

что и требовалось доказать.

      Следствие. Длины медиан и длины сторон треугольника связаны формулой

      Доказательство. В силу утверждения 4 справедливы равенства:

      Складывая эти равенства, получим:

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. В параллелограммепараллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон.

      Доказательство. Рассмотрим рисунок 11.

Рис.11

      Поскольку AO – медиана треугольника ABD, а DO – медиана треугольника ADC, то, в силу утверждения 4, справедливы равенства:

      Следовательно,

d12 = 2a2 + 2b2 – d22,

d22 = 2a2 + 2b2 – d12.

      Складывая эти равенства, получим

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы (рис. 12).

Рис.12

      Доказательство. Продолжим медиану CO за точку O до точки D так, чтобы было выполнено равенство CO = OD, и соединим полученную точку D с точками A и B (рис. 13).

Рис.13

      Получим четырехугольник ADBC, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам. В силу признака параллелограммапризнака параллелограммапризнака параллелограмма заключаем, что четырехугольник ADBC является параллелограммом, а поскольку полученный параллелограмм содержит прямой угол C, то и все его углы прямые, следовательно, четырехугольник ADBC – прямоугольникпрямоугольник. Поскольку диагонали прямоугольника равны, получаем равенства:

что и требовалось доказать.

      Следствие. Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около треугольника окружности (рис. 14).

Рис.14

      Утверждение 7. Рассмотрим в пространстве или на плоскости декартову систему координат с началом в точке O и произвольный треугольник ABC. Если обозначить буквой M точку пересечения медиан этого треугольника (рис.15), то будет справедливо равенство

Рис.15

      Доказательство. По свойствам векторов

      Далее получаем

что и требовалось доказать.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru