Как построить спираль архимеда. Как начертить спираль архимеда


Построение Спираль Архимеда. Наглядный чертеж.

Построение Спираль Архимеда начинается с представления что это такое?

Представляет собой плоскую кривую линию, движущаяся равномерно с постоянным углом по кривой траектории от центра до радиуса окружности.

Алгоритм построение Спираль Архимеда:

1.) Построение начинается с окружности необходимого диаметра.

2.) Делится окружность на 12 равных частей и нумеруется.

3.) Горизонтальная линия также делится на 12 равных отрезков.

4.) Чертятся вспомогательные окружности, таким образом, чтобы начало имело с номера на горизонтальной прямой и заканчивалось на отрезке окружности с той же цифрой.

5.) Полученные точки соединяются плавной линией (с помощью инструмента лекало).

Смотрите чертеж Спираль Архимеда. Диаметр окружности 12 см.

Также посмотрите видео:

chertegik.ru

Как построить спираль архимеда

Спираль Архимеда строят, чтобы передать траекторию точки, которая движется равномерно-поступательно по радиусу вращающегося равномерно круга. Траектория такой точки может сделать нагляднее чертеж некоторых механизмов или движение объектов на схеме.

Вам понадобится

  • - лист бумаги;
  • - угольник;
  • - карандаш;
  • - циркуль;
  • - лекало;
  • - ластик;
  • - калькулятор.

Инструкция

  • Отметьте на чертеже точку, которая является центром спирали Архимеда. Обозначьте центр буквой O.
  • Постройте из центра спирали окружность, радиус которой равен шагу спирали. Шаг спирали Архимеда равен расстоянию, которое проходит точка по поверхности круга за один его полный оборот.
  • В начертательной геометрии спираль Архимеда относится к лекальным кривым. Она строится с помощью лекал, соединяющих точки на окружности. Чтобы получить точки построения, разделите окружность на несколько равных частей с помощью прямых линий. Например, на 8.
  • Пронумеруйте для удобства прямые линии, разделяющие окружность по направлению вращения круга.
  • Разделите радиус построенной окружности на то количество, на которое разделена окружность с помощью прямых линий. С помощью циркуля или линейки разделите последнюю в нумерации прямую на получившееся значение отметками. Разделить нужно только отрезок между центром окружности O и точкой пересечения прямой окружности.
  • Пронумеруйте получившиеся отметки, начиная с самой близкой к центру окружности. Вы можете использовать цифры или буквы в алфавитном порядке.
  • С помощью циркуля начертите дугу из центра окружности O. Дуга начинается от прямой линии, которая разделена отметками и проводится до прямой линии под номером 1. Обозначьте точку, в которой дуга соединяется с прямой 1 цифрой 1. Аналогично постройте следующую дугу от размеченной прямой до прямой под номером 2. Обозначьте точку соединения цифрой 2 и далее отметьте таким способом точки на всех прямых разделяющих окружность.
  • С помощью лекала соедините центр окружности с первой точкой. Затем соедините первую точку со второй и так соедините все отмеченные точки. Вы получите первый виток спирали Архимеда. Старайтесь соединять точки как можно ровнее. Чтобы получить спираль Архимеда более высокой точности разделите окружность на большее число равных частей и постройте соответствующее число дуг.

completerepair.ru

Построение спирали Архимеда. Сакральная геометрия. Энергетические коды гармонии

Построение спирали Архимеда

Заданный шаг t спирали Архимеда делят на несколько, например на восемь, равных частей. Из конца О отрезка проводят окружность R = t и делят ее на столько же равных частей, на сколько был разделен шаг t.

На первом луче путем проведения дуги радиусом O1 из центра О получают точку I, на втором луче путем проведения дуги радиусом O2 получают точку II и т. д.

После того как на всех лучах будут получены точки I, II, III, IV, V, VI, VII и VIII, проводят через них кривую – спираль Архимеда.

Распределительный кулачок. Очертания боковых сторон его выполняют по спирали Архимеда

Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так:

где k – смещение точки M по лучу r, при повороте на угол, равный одному радиану. Повороту прямой на 2 соответствует смещение a = |BM| = |MA| = 2 k. Число a – называется шагом спирали. Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так:

При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль, при вращении – по часовой стрелке – левая спираль.

Обе ветви спирали (правая и левая) описываются одним уравнением:

Положительным значениям соответствует правая спираль, отрицательным – левая спираль. Если точка M будет двигаться по прямой UV из отрицательных значений через центр вращения O и далее в положительные значения, вдоль прямой UV, то точка M опишет обе ветви спирали.

Луч OV, проведенный из начальной точки O, пересекает спираль бесконечное число раз – точки B, M, A и т.д. Расстояния между точками B и M, M и A равны шагу спирали ? = 2k?. При раскручивании спирали, расстояние от точки O до точки M стремится к бесконечности, при этом шаг спирали остается постоянным (конечным), то есть чем дальше от центра, тем ближе витки спирали, по форме, приближаются к окружности.

Закон семи, или «закон октав» – закон изменения вибраций в учении Г.И. Гурджиева, изложенный П.Д. Успенским.

В своей книге Успенский говорит, что вся Вселенная состоит из вибраций. Обычно мы считаем, что они бесконечны и непрерывны, то есть начавшись, они длятся долго по восходящей или нисходящей. Но это не так. Астрология считает день – отдельной сущностью. Так и вибрации не непрерывны. Первоначальная сила вибрации действует не непрерывно, а как бы попеременно, изменяя свое качество. «Сила импульса действует, не изменяя своей природы, и вибрация развивается правильно лишь в течение некоторого времени, которое определяется природой импульса, средой, условиями и т.д. Но в известный момент в этом процессе происходит особого рода перемена, и вибрации перестают, так сказать, повиноваться импульсу, на короткое время замедляются и до известной степени меняют свою природу и направление. После этого замедления как в процессе возрастания, так и в процессе затухания вибрации возвращаются в свое прежнее русло и в течение некоторого времени возрастают или затухают однообразно – до известного момента, когда в их развитии вновь происходит задержка. В этой связи знаменательно, что периоды однообразных колебаний не равны. А периоды замедления вибраций не симметричны: один из них короче, другой длиннее».

Закон октав получил свое название за стройную организацию по нотам музыкальной октавы. Между нотами октавы первой тональности – до мажор – интервалы выстраиваются неравномерно. «До»-«ре» (большая секунда, 1 тон), «ре»-«ми» (большая секунда, 1 тон), «ми»-«фа» (малая секунда, 0,5 тона), «фа»-«соль» (большая секунда, 1 тон), «соль»-«ля» (большая секунда, 1 тон), «ля»-«си» (большая секунда, 1 тон), «си»-«до» (малая секунда, 0,5 тона).

Клавиатура, отражение «закона октав»

Беннетт формулирует это так: «Закон октав утверждает принцип, при помощи которого можно определить, будет ли тот или иной процесс завершен с сохранением изначального напряжения или нет. При этом нет никакой гарантии, что под воздействием всегда присутствующих разнообразных внешних сил удастся сохранить направление этого процесса. Нельзя так же заранее предсказать, удастся ли довести процесс до завершения, без потери формы или содержания».

Поделитесь на страничке

Следующая глава >

esoterics.wikireading.ru

Построение спирали Архимеда

Построение спирали Архимеда начинают с построения окружности радиусом, равным шагу спирали, командой Окружность. Из центра окружности О командой Отрезок проводят горизонтальную линию, равную шагу спирали Архимеда ОА. Окружность и отрезок делят на 12 равных частей. Отрезок можно разделить на 12 равных частей с помощью команды Разбить кривую на n частей. Через точки деления отрезка ОА с помощью команды Эквидистанта копируют окружности: их должно быть 12. С помощью команды Копия по окружности создают полярный массив из разделенного на 12 частей шага спирали (рис.3.50).

Рис. 3.50. Построение спирали Архимеда

Точки пересечения шагов и окружностей радиусов 1/12, 2/12, 3/12 и т.д. соединяют ломаной линией с помощью команды Отрезок, начиная от центра спирали (точка О), учитывая направление вращения объекта. Командой NURBS получают линию спирали Архимеда (рис.3.51).

Для построения большего числа витков спирали Архимеда, строят окружность радиусом, равным двум шагам спирали, или трем шагам, и, соответственно, делят два шага на 24 части, 2,5 шага — на 30 частей.

Рис. 3.51. Спираль Архимеда, построенная с помощью команды NURBS

Построение двухцентрового завитка

Вначале строят горизонтальную вспомогательную прямую. Затем на ней откладывают отрезок. Из первого центра строят окружность радиусом О1О2, из второго центра строят окружность радиусом 2О1О2 (рис.3.52).

Рис. 3.52. Построение двухцентрового завитка окружностями

После построения необходимого количества окружностей лишние их части удаляют с помощью команды Усечь кривую (рис. 3.53).

Проставляют радиальные размеры к полуокружностям, убедившись, что радиус увеличивается в два раза для каждой последующей окружности.

Рис. 3.53. Двухцентровый завиток

Работа с текстом

Команда Текст позволяет создать текстовую надпись в чертеже или фрагменте. Каждая надпись может состоять из произвольного количества строк.

Для вызова команды нажмите кнопку Текст на инструментальной панели Обозначения.

После вызова команды КОМПАС переключается в режим работы с текстом. При этом изменяются количество и названия команд главного меню, а также состав Компактной панели.

С помощью группы переключателей Размещение выберите расположение текста относительно точки привязки.

В поле Угол можно ввести угол наклона строк текста к оси Х текущей системы координат.

Укажите точку привязки текста.

Введите нужное количество строк, заканчивая набор каждой из них нажатием клавиши <Enter>.

Вы можете изменить установленные по умолчанию параметры текста с помощью элементов управления, расположенных на вкладке Форматирование Панели свойств, а также вставить различные специальные объекты с помощью элементов вкладкиВставка.

Чтобы зафиксировать изображение, нажмите кнопку Создать объект на Панели специального управления.

Порядок выполнения лабораторной работы

Создайте новый фрагмент.

Постройте спираль Архимеда согласно задания.

Постройте завиток по индивидуальному варианту.

Сохраните файл.

Проставьте необходимые размеры.

Внесите обозначения центра, шага спирали с помощью команды Текст.

Создайте во фрагменте надпись, содержащую ФИО студента, группа, № лабораторной работы, № варианта, дата создания.

studfiles.net

Как построить спираль архимеда

Спираль Архимеда строят, чтобы передать траекторию точки, которая движется равномерно-поступательно по радиусу вращающегося равномерно круга. Траектория такой точки может сделать нагляднее чертеж некоторых механизмов или движение объектов на схеме.

Вам понадобится

- лист бумаги;- угольник;- карандаш;- циркуль;- лекало;- ластик;- калькулятор.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как построить спираль архимеда" Как построить план ускорений Как определить закон распределения Как определить нормальное распределение

Инструкция

1

Отметьте на чертеже точку, которая является центром спирали Архимеда. Обозначьте центр буквой O.

2

Постройте из центра спирали окружность, радиус которой равен шагу спирали. Шаг спирали Архимеда равен расстоянию, которое проходит точка по поверхности круга за один его полный оборот.

3

В начертательной геометрии спираль Архимеда относится к лекальным кривым. Она строится с помощью лекал, соединяющих точки на окружности. Чтобы получить точки построения, разделите окружность на несколько равных частей с помощью прямых линий. Например, на 8.

4

Пронумеруйте для удобства прямые линии, разделяющие окружность по направлению вращения круга.

5

Разделите радиус построенной окружности на то количество, на которое разделена окружность с помощью прямых линий. С помощью циркуля или линейки разделите последнюю в нумерации прямую на получившееся значение отметками. Разделить нужно только отрезок между центром окружности O и точкой пересечения прямой окружности.

6

Пронумеруйте получившиеся отметки, начиная с самой близкой к центру окружности. Вы можете использовать цифры или буквы в алфавитном порядке.

7

С помощью циркуля начертите дугу из центра окружности O. Дуга начинается от прямой линии, которая разделена отметками и проводится до прямой линии под номером 1. Обозначьте точку, в которой дуга соединяется с прямой 1 цифрой 1. Аналогично постройте следующую дугу от размеченной прямой до прямой под номером 2. Обозначьте точку соединения цифрой 2 и далее отметьте таким способом точки на всех прямых разделяющих окружность.

8

С помощью лекала соедините центр окружности с первой точкой. Затем соедините первую точку со второй и так соедините все отмеченные точки. Вы получите первый виток спирали Архимеда. Старайтесь соединять точки как можно ровнее. Чтобы получить спираль Архимеда более высокой точности разделите окружность на большее число равных частей и постройте соответствующее число дуг. Как просто

masterotvetov.com

Спирали Архимеда - Великие физики

«Кривой жизни» называл спираль Гёте. В природе форму спирали Архимеда имеют большинство раковин. Семена подсолнечника расположены по спирали. Спираль можно увидеть в кактусах, ананасах. Ураган закручивается спиралью. По спирали разбегается стадо оленей. Двойной спиралью закручена молекула ДНК. Даже галактики сформированы по принципу спирали.

Представим себе циферблат часов с длинной стрелкой. Стрелка движется по окружности циферблата. А по стрелке в это время перемещается с постоянной скоростью маленький жучок. Траектория движения жучка представляет собой спираль Архимеда.

Спираль, названная именем Архимеда, была открыта им в III веке до нашей эры.

Построение спирали Архимеда

По определению самого Архимеда: «Спираль – это траектория равномерного движения точки по равномерно вращающемуся вокруг своего начала лучу».

Чтобы понять, как получается спираль Архимеда, возьмём окружность и разделим её на одинаковое количество частей (в нашем примере на 8). На такое же количество частей (8) разделим и радиус окружности. Из центра окружности проведём лучи через точки деления окружности и обозначим их, как 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81.

На первом луче отложим одно деление радиуса и обозначим точку I. На втором луче отложим два деления радиуса и обозначим точку II. На третьем луче отложим три деления радиуса и обозначим точку III. Таким же образом получим точки IV, V, VI, VII, VIII. Соединив обозначенные точки кривой линией, получим спираль Архимеда. Если продолжать построение дальше, то в точке IX будет отложено 8+1 частей радиуса. И т.д.

Оказывается, спираль Архимеда тесно связана с последовательностью чисел Фибоначчи. Что же общего между этими, на первый взгляд, абсолютно разными понятиями?

Последовательность Фибоначчи

Ряд Фибоначчи – это последовательность чисел, в котором каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. Выглядит последовательность Фибоначчи так: 1, 1, 2, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...  А отношение каждого последующего числа к предыдущему в этом ряду чисел равно 1,618... Это число называют числом Ф.

Однако, без понятия «золотого сечения» мы не сможем проследить связь числового ряда Фибоначчи со спиралью Архимеда.

Золотая пропорция

Представьте себе, что вы разделили отрезок прямой на две неравные части так, что весь отрезок относится к большей части, как большая часть относится к меньшей. Это и есть пропорция "золотого сечения" или «золотая пропорция». Отношение большей стороны к меньшей в золотом сечении равно 1,618. Как видим, такому же числу равняется и отношение последующего числа к предыдущему в ряду Фибоначчи.

Построим прямоугольник, стороны которого будут соотноситься в золотой пропорции. То есть отношение большей стороны прямоугольника к меньшей равно 1,618. Прямоугольник с такими сторонами называется «золотой прямоугольник». Отсечём от этого прямоугольник квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника. Оказывается, оставшийся  прямоугольник тоже будет «золотым». Если и от него отсечь квадрат со стороной, равной меньшей стороне уже этого прямоугольника, то и оставшийся прямоугольник будет «золотым». И так далее. Если добавлять квадрат по более длинной стороне прямоугольника, то этот процесс можно продолжать до бесконечности. Оказалось, что длины сторон этих квадратов равны соседним числам в последовательности Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 … И, соответственно, отношение стороны последующего квадрата к стороне предыдущего также равно 1,618.

Соединив кривой угловые точки этих квадратов, получим спираль Архимеда.

Средневековый математик Лука Пачиоли назвал «золотую пропорцию» Божественной пропорцией. Человеческий глаз воспринимает пропорцию золотого сечения в качестве гармоничной и красивой.  И человек очень давно начал использовать «золотую пропорцию» в своей деятельности. Так, в пирамидах Гизе отношение длины основания к высоте равно 1,618. Такие же пропорции и у мексиканских пирамид. Золотую пропорцию использовал и Леонардо да Винчи в своих творениях. Может, потому они так привлекательны и совершенны?

Спираль Архимеда в природе

В природе спираль Архимеда встречается на каждом шагу.

Паук плетёт паутину по спирали.

Головка подсолнуха состоит из спиралей Архимеда, одни из которых закручены по часовой стрелке, другие - против. Так, в головке среднего размера 34 спирали одного направления и 55 другого. Узнаёте? Это же числа ряда Фибоначчи.

Сосновые шишки и колючки кактусов также имеют спирали, направленные по часовой, или против часовой стрелки. Причём число этих спиралей всегда будут равно соседним числам ряда Фибоначчи. Например, у сосновой шишки спиралей 5 и 8, у ананаса 8 и 13.

Применение спирали Архимеда

В III веке да нашей эры Архимед на основе своей спирали изобрёл винт, который успешно применяли для передачи воды в оросительные каналы из водоёмов, расположенных ниже. Позже на основе винта Архимеда создали шнек («улитку»). Его очень известная разновидность – винтовой ротор в мясорубке. Шнек используют в механизмах для перемешивания материалов различной консистенции. В технике нашли применение антенны в виде спирали Архимеда. Самоцентрирующийся патрон выполнен по спирали Архимеда. Звуковые дорожки на CD и DVD дисках также имеют форму спирали Архимеда.

Спираль Архимеда нашла практическое применение в математике, технике, архитектуре, машиностроении.

www.phisiki.com

Как построить параметризированную геометрию спирали Архимеда

Спирали Архимеда широко используются при построении геометрий для катушек индуктивности, спиральных теплообменников и микрогидродинамических устройств. В этой заметке мы покажем, как построить спираль Архимеда, используя аналитические выражения и их производные для задания необходимых кривых. Сначала мы создадим двухмерную геометрию, а затем, задав нужную толщину, преобразуем её в трёхмерную с помощью операции Extrude (Вытягивание).

Что такое спираль Архимеда?

Широко распространённые в природе спирали или завитки используются во многих инженерных конструкциях. Например, в электротехнике и электронике с помощью проводников спиралевидной формы наматывают катушки индуктивности или проектируют геликоидные антенны. В машиностроении спирали используются при проектировании пружин, косозубых цилиндрических передач или даже механизмов часов, один из которых изображён ниже.

Пример спирали Архимеда, которая используется в часовом механизме. Изображение представлено Greubel Forsey. Доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 из Wikimedia Commons.

В данной статье мы разберём только один вид спирали, а именно, спираль Архимеда, которая изображена в механизме выше. Спираль Архимеда – это особый вид спирали с постоянным расстоянием между витками. Благодаря этому свойству она широко распространена при проектировании катушек и пружин.

Уравнение спирали Архимеда в полярной системе координат записывается, как:

r=a+b\theta

где a и b — параметры, определяющие начальный радиус спирали и расстояние между витками, которое равно 2 \pi b. Обратите внимание, что спираль Архимеда также иногда называют арифметической спиралью. Это имя связывают с арифметической зависимостью расстояния от начала кривой до точек спирали, находящихся на одной радиальной линии.

Задание параметризированной геометрии спирали Архимеда

Теперь, когда вы уже знаете, что такое спираль Архимеда, давайте приступим к параметризации и созданию геометрии в COMSOL Multiphysics.

Спираль Архимеда может быть задана как в полярных, так и в декартовых координатах.

Для начала необходимо преобразовать уравнение спирали из полярной системы координат в декартову и выразить каждое уравнение в параметрической форме:

\begin{align*} x_{component}=rcos(\theta) \\ y_{component}=rsin(\theta) \end{align*}

После преобразования уравнения спирали в параметрической форме в декартовой системе координат примут вид:

\begin{align*} x_{component}=(a+b\theta)cos(\theta) \\ y_{component}=(a+b\theta)sin(\theta) \end{align*}

В COMSOL Multiphysics необходимо определить набор параметров, с помощью которых будем задавать геометрию спирали. В нашем случае — это начальный и конечный радиусы спирали a_{initial} и a_{final}, соответственно, и количество витков n. Показатель роста спирали b находится, как:

b=\frac{a_{final}-a_{initial}}{2 \pi n}

Также необходимо определить начальный и конечный углы спирали — theta_0 и theta_f, соответственно. Давайте с них и начнём — theta_0=0 и theta_f=2 \pi n. Исходя из заданной информации, определяем параметры для построения геометрии спирали.

Параметры, которые используются для построения геометрии спирали.

Начнём наше построение, выбрав трёхмерную задачу (3D Component) и создадим Work Plane (Рабочую плоскость) в разделе Geometry (Геометрия). В геометрии для Work Plane добавляем Parametric Curve (Параметрическую кривую) и записываем параметрические уравнения, описанные выше, чтобы задать двухмерную геометрию спирали Архимеда. Данные уравнения можно сразу вписать в соответствующие поля во вкладке Expression либо сначала можно задать каждое уравнение отдельной Аналитической функцией (Analytic function):

\begin{align*} X_{fun}=(a+bs)cos(s) \\ Y_{fun}=(a+bs)sin(s) \\ \end{align*}

Выражение для X-компоненты уравнения спирали Архимеда, заданное аналитической функцией.

Аналитическая функция затем может использоваться в качестве выражения в узле Parametric Curve. Во вкладке Parameter задаём параметр s от начального угла, theta_0, до его конечного значения, theta_f=2 \pi n.

Настройки для Parametric Curve (Параметрической кривой).

Как только вы зададите все параметры и нажмёте на кнопку «Build Selected», будет построена кривая, изображённая на скриншоте выше. Теперь давайте зададим толщину спирали, чтобы получить твёрдотельную (solid) двухмерную фигуру.

До этого момента параметрами нашей кривой были начальный (a_{initial}) и конечный (a_{final}) радиусы и количество витков n. Теперь мы хотим добавить ещё один – толщину спирали.

Ещё раз напомним главное свойство спирали — расстояние между витками постоянно и равно 2 \pi b. Что эквивалентно \frac{a_{final}-a_{initial}}{n}. Чтобы добавить толщину в наши уравнения, представляем расстояние между витками суммой толщины спирали и зазора thick+gap.

Расстояние между витками определяется толщиной спирали и величиной зазора.

Чтобы ввести параметр толщины и сохранить постоянное расстояние между витками, последнее перепишем, как:

\begin{align*} distance=\frac{a_{initial}-a_{final}}{n} \\ gap=distance-thick \end{align*}

После этого выражаем показатель роста спирали через толщину:

\begin{align*} distance=2\pi b \\ b=\frac{gap+thick}{2\pi} \end{align*}

Также нужно выразить конечный угол спирали через начальный угол и конечный радиус:

\begin{align*} \theta_{final}=2 \pi n \\ a_{final}=\text{total distance}+a_{initial} \\ a_{final}=2 \pi bn+a_{initial} \\ n=\frac{a_{final}-a_{initial}}{2 \pi b} \\ \theta_{final}=\frac{2 \pi (a_{final}-a_{initial})}{2 \pi b} \\ \theta_{final}=\frac{a_{final}-a_{initial}}{b} \end{align*}

Хотите задать отличный от нуля начальный угол спирали? Если так, то его надо будет добавить в выражение для определения конечного угла: theta_f=\frac{a_{final}-a_{initial}}{b}+theta_0.

Дублирование кривой спирали дважды со смещением на -\frac{thick}{2} и +\frac{thick}{2} по отношению к начальной кривой позволяет построить спираль заданной толщины. Чтобы правильно расположить внутреннюю и внешнюю спирали, необходимо убедиться, что начала данных кривых перпендикулярны линии, на которой расположены их начальные точки. Это можно сделать, домножив расстояние смещения \pm\frac{thick}{2} на единичный вектор, расположенный по нормали к начальной кривой спирали. Уравнения векторов нормали в параметрическом виде:

n_x=-\frac{dy}{ds} \quad \text{and} \quad n_y=\frac{dx}{ds}

где s — это параметр, используемый в узле Parametric Curve. Чтобы получить нормированные единичные вектора, необходимо эти выражения разделить на длину нормали:

\sqrt{(dx/ds)^2+(dy/ds)^2 }

Обновленные параметрические уравнения спирали Архимеда со смещением:

\begin{align*} x_{component}=(a+bs)cos(s)-\frac{dy/ds}{\sqrt{(dx/ds)^2+(dy/ds)^2}}\frac{thick}{2} \\ y_{component}=(a+bs)sin(s)+\frac{dx/ds}{\sqrt{(dx/ds)^2+(dy/ds)^2}}\frac{thick}{2} \end{align*}

Записывать такие длинные выражения довольно неудобно, поэтому введём следующие обозначения:

\begin{align*} N_x=-\frac{dy/ds}{\sqrt{(dx/ds)^2+(dy/ds)^2}} \\ N_y=\frac{dx/ds}{\sqrt{(dx/ds)^2+(dy/ds)^2 }} \end{align*}

где N_x и N_y определяются аналитическими функциями в COMSOL Multiphysics, аналогично X_{fun} и Y_{fun} в первом примере. Внутри функции используется оператор производной, d(f(x),x), как показано на скриншоте ниже.

Примеры оператора производной, который используется в аналитической функции

Функции X_{fun}, Y_{fun}, N_x, и N_y могут быть использованы в выражениях для задания параметрической кривой, как с одной стороны:

\begin{align*} x_{lower}=X_{fun}(s)+N_x(s)\frac{thick}{2} \\ y_{lower}=Y_{fun}(s)+N_y(s)\frac{thick}{2} \end{align*}

Так и с другой:

\begin{align*} x_{upper}=X_{fun}(s)-N_x(s)\frac{thick}{2} \\ y_{upper}=Y_{fun}(s)-N_y(s)\frac{thick}{2} \end{align*}

Выражения для второй смещённой параметрической кривой.

Чтобы соединить концы, добавим ещё две параметрические кривые, используя незначительные изменения уравнений выше. Для кривой, которая будет соединять спираль в центре, необходимо задать X_{fun}, Y_{fun}, N_x, и N_y для начального значения угла, theta. Для кривой, которая будет соединять концы, необходимо задать конечное значение theta. Исходя из этого, уравнения кривой в центре:

\begin{align*} X_{fun}(theta_0)+s\cdot N_x(theta_0)\cdot\frac{thick}{2} \\ Y_{fun}(theta_0)+s\cdot N_y(theta_0)\cdot\frac{thick}{2} \end{align*}

Уравнения кривой на конце:

\begin{align*} X_{fun}(theta_f)+s\cdot N_x(theta_f)\cdot\frac{thick}{2} \\ Y_{fun}(theta_f)+s\cdot N_y(theta_f)\cdot\frac{thick}{2} \end{align*}

В этих уравнениях параметр s изменяется от -1 до 1, как показано на скриншоте ниже.

Уравнения кривой, соединяющей спираль в центре.

В итоге, мы имеем пять кривых, которые определяют осевую линию спирали и её четыре стороны. Осевую линию можно отключить (функция disable) или даже удалить, так как она не является необходимой. Добавив узел Convert to Solid, создаём единый геометрический объект. Последним шагом является вытягивание данного профиля с помощью операции Extrude и создание трёхмерного объекта.

Полная геометрическая последовательность и вытянутая (экструдированная) трёхмерная геометрия спирали.

Краткие выводы по моделированию спирали Архимеда в COMSOL Multiphysics

В данной заметке мы разобрали основные шаги по созданию параметрической спирали Архимеда. С помощью данной модели вы можете сами экспериментировать с различными значениями параметров, а также попробовать решить с использованием данной параметризации оптимизационную задачу. Надеемся, что данная статья оказалась полезной и вы будете применять данную технику в своих последующих моделях.

Дополнительные ресурсы по проектированию и расчёту спиралей

www.comsol.ru