Как найти область определения и область значений функции. Как находится область значения функции


Презентация - Нахождение области значений функции

Слайд №2
Найдите область значений для каждой функции .Занесите в таблицу номера соответствующих областей значений.
Слайд №3
Е(f)= [0;?)
Слайд №4
E(f)=(-?;2]
Слайд №5
Е(f)=(-?;3)U(3;?)
Слайд №6
E(f)=(-?;?)
Слайд №7
E(f)=[-1;3]
Слайд №8
E(f)=[-1;?)
Слайд №9
E(y)=[-4;4]
Слайд №10
Е(f)=[-2;?)
Слайд №11
E(f)=(-?;+?)

E(f)=(-?;0)U U(0;+?)

E(f)=[0;+?)

Слайд №12
Найдите область значений функции
Слайд №13
Найдите область значений функции

f(x)=|x-2||x-2|?0Значит E(f)=[0;+?)

Слайд №14
Найдите область значений функцииX2 +4?0X2 +4?4,Значит E(f)=[2;+?)
Слайд №15
Найдите область значений функции

9-х2 ?0х2 ? 0, 9-x2 ? 9,Значит E(f)=[0;3]

Слайд №16
Найдите область значений функции
Слайд №17
Найдите область значений функцииE(f)=[5;+?)
Слайд №18
Найдите область значений функции
Слайд №19
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
Слайд №20
Решите уравнение
Слайд №21
f(x)=g(x)E(f)=[a;b]E(g)=[b;c]
Слайд №22
Найдите область значений функции

volna.org

Область значений функции - это... Что такое Область значений функции?

Область значений функции — множество значений, которые принимает функция в результате ее применения.

Определение

Пусть задана функция , которая отображает множество в , то есть: ; тогда

  • областью значений функции называется подмножество множества вида
  • и обозначается , , (от англ. codomain «со-область») или (от фр. range «со-область»).

Примеры

Числовые функции

Характеристическая функция множества

Пусть . Определим функцию , которая

  • принимает значение , если ,
  • и принимает значение 0, в противном случае.

Такая функция называется характеристической функцией множества .

Поскольку каждому множеству сопоставляется своя характеристическая функция, а любая функция типа определяет некоторое подмножество множества , то существует взаимнооднозначное соответствие между множеством всех подмножеств множества вида

и множеством всех отображений множества в двухэлементное множество , которое обозначается как и нередко называется булеаном множеств.

Важный случай характеристических функций возникает тогда, когда — конечное множество . Такие функции называются булевскими функциями.

См. также

Литература

  • Функция. Математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
  • Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
  • ISBN 5-02-014844-X
  • А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
  • А. Н. Колмогоров «Что такое функция» // «Квант». — М.: «Наука», 1970. — В. 1. — С. 27-36. — ISSN 0130-2221.

dic.academic.ru

Как найти область определения и область значения функции

Чтобы найти область определения и значения функции f, нужно определить два множества. Одно из них является совокупностью всех значений аргумента x, а другое состоит из соответствующих им объектов f(x).

Инструкция

  • На первом этапе любого алгоритма исследования математической функции следует найти область определения. Если этого не сделать, то все расчеты будут бесполезной тратой времени, поскольку на ее основе формируется область значений. Функция – это определенный закон, по которому элементы первого множества ставятся в соответствие другому.
  • Чтобы найти область определения функции, нужно рассмотреть ее выражение с точки зрения возможных ограничений. Это может быть присутствие дроби, логарифма, арифметического корня, степенной функции и т.д. Если таких элементов несколько, то для каждого из них составьте и решите свое неравенство, чтобы выявить критические точки. Если ни одного ограничения нет, то область определения представляет собой все числовое пространство (-∞; ∞).
  • Бывает шесть видов ограничений:Степенная функция вида f^(k/n), где знаменатель степени – четное число. Выражение, стоящее под корнем, не может быть меньше нуля, следовательно, неравенство выглядит так: f ≥ 0.Функция логарифма. По свойству выражение, стоящее под его знаком, может быть только строго положительным: f > 0.Дробь f/g, где g – тоже функция. Очевидно, что g ≠ 0.tg и ctg: x ≠ π/2 + π•k, поскольку в этих точках эти тригонометрические функции не существуют (cos или sin, стоящие в знаменателе, обращаются в ноль).arcsin и arccos: -1 ≤ f ≤ 1. Ограничение накладывается областью значений этих функций.Степенная функция со степенью в виде другой функции того же аргумента: f^g. Ограничение представляется в виде неравенства f>0.
  • Чтобы найти область значения функции, подставьте в ее выражение все точки из области определения путем перебора одного за другим. Существует понятие множества значений функции на интервале. Эти два термина следует различать, за исключением случая, когда заданный интервал совпадает с областью определения. В противном случае это множество является подмножеством области значений.

completerepair.ru

Как найти область определения и область значений функции Как? Так!

Содержимое:

3 части:

В каждой функции есть две переменные – независимая переменная и зависимая переменная, значения которой зависят от значений независимой переменной. Например, в функции y = f(x) = 2x + y независимой переменной является «х», а зависимой – «у» (другими словами, «у» – это функция от «х»). Допустимые значения независимой переменной «х» называются областью определения функции, а допустимые значения зависимой переменной «у» называются областью значений функции.

Шаги

Часть 1 Нахождение области определения функции

  1. 1 Определите тип данной вам функции. Областью значений функции являются все допустимые значения «х» (откладываются по горизонтальной оси), которым соответствуют допустимые значения «у». Функция может быть квадратичной или содержать дроби или корни. Для нахождения области определения функции сначала необходимо определить тип функции.
    • Квадратичная функция имеет вид: ax2 + bx + c: f(x) = 2x2 + 3x + 4
    • Функция, содержащая дробь: f(x) = (1/x), f(x) = (x + 1)/(x - 1) (и так далее).
    • Функция, содержащая корень: f(x) = √x, f(x) = √(x2 + 1), f(x) = √-x (и так далее).
  2. 2 Выберите соответствующую запись для области определения функции. Область определения записывается в квадратных и/или круглых скобках. Квадратная скобка применяется в том случае, когда значение входит в область определения функции; если значение не входит в область определения, используется круглая скобка. Если у функции несколько несмежных областей определения, между ними ставится символ «U».
    • Например, область определения [-2,10) U (10,2] включает значения -2 и 2, но не включает значение 10.
    • С символом бесконечности ∞ всегда используются круглые скобки.
  3. 3 Постройте график квадратичной функции. График такой функции представляет собой параболу, ветви которой направлены либо вверх, либо вниз. Так как парабола возрастает или убывает на всей оси Х, то областью определения квадратичной функции являются все действительные числа. Другими словами, областью определения такой функции является множество R (R обозначает все действительные числа).
    • Для лучшего уяснения понятия функции выберите любое значение «х», подставьте его в функцию и найдите значение «у». Пара значений «х» и «у» представляют собой точку с координатами (х,у), которая лежит на графике функции.
    • Нанесите эту точку на плоскость координат и проделайте описанный процесс с другим значением «х».
    • Нанеся на плоскость координат несколько точек, вы получите общее представление о форме графика функции.
  4. 4 Если функция содержит дробь, приравняйте ее знаменатель к нулю. Помните, что делить на нуль нельзя. Поэтому, приравняв знаменатель к нулю, вы найдете значения «х», которые не входят в область определения функции.
    • Например, найдите область определения функции f(x) = (x + 1)/(x - 1).
    • Здесь знаменатель: (х - 1).
    • Приравняйте знаменатель к нулю и найдите «х»: х - 1 = 0; х = 1.
    • Запишите область определения функции. Область определения не включает 1, то есть включает все действительные числа за исключением 1. Таким образом, область определения функции: (-∞,1) U (1,∞).
    • Запись (-∞,1) U (1,∞) читается так: множество всех действительных чисел за исключением 1. Символ бесконечности ∞ означает все действительные числа. В нашем примере все действительные числа, которые больше 1 и меньше 1, включены в область определения.
  5. 5 Если функция содержит квадратный корень, то подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю. Помните, что квадратный корень из отрицательных чисел не извлекается. Поэтому любое значение «х», при котором подкоренное выражение становится отрицательным, нужно исключить из области определения функции.
    • Например, найдите область определения функции f(x) = √(x + 3).
    • Подкоренное выражение: (х + 3).
    • Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю: (х + 3) ≥ 0.
    • Найдите «х»: х ≥ -3.
    • Область определения этой функции включает множество всех действительных чисел, которые больше или равны -3. Таким образом, область определения: [-3,∞).

Часть 2 Нахождение области значений квадратичной функции

  1. 1 Убедитесь, что вам дана квадратичная функция. Квадратичная функция имеет вид: ax2 + bx + c: f(x) = 2x2 + 3x + 4. График такой функции представляет собой параболу, ветви которой направлены либо вверх, либо вниз. Существуют различные методы нахождения области значений квадратичной функции.
    • Самый простой способ найти область значений функции, содержащей корень или дробь, – это построить график такой функции при помощи графического калькулятора.
  2. 2 Найдите координату «х» вершины графика функции. В случае квадратичной функции найдите координату «х» вершины параболы. Помните, что квадратичная функция имеет вид: ax2 + bx + c. Для вычисления координаты «х» воспользуйтесь следующим уравнением: х = -b/2a. Это уравнение является производной от основной квадратичной функции и описывает касательную, угловой коэффициент которой равен нулю (касательная к вершине параболы параллельна оси Х).
    • Например, найдите область значений функции 3x2 + 6x -2.
    • Вычислите координату «х» вершины параболы: х = -b/2a = -6/(2*3) = -1
  3. 3 Найдите координату «у» вершины графика функции. Для этого в функцию подставьте найденную координату «х». Искомая координата «у» представляет собой предельное значение области значений функции.
    • Вычислите координату «у»: y = 3x2 + 6x – 2 = 3(-1)2 + 6(-1) -2 = -5
    • Координаты вершины параболы этой функции: (-1,-5).
  4. 4 Определите направление параболы, подставив в функцию по крайней мере одно значение «х». Выберите любое другое значение «х» и подставьте его в функцию, чтобы вычислить соответствующее значение «у». Если найденное значение «у» больше координаты «у» вершины параболы, то парабола направлена вверх. Если же найденное значение «у» меньше координаты «у» вершины параболы, то парабола направлена вниз.
    • Подставьте в функцию х = -2: y = 3x2 + 6x – 2 = y = 3(-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
    • Координаты точки, лежащей на параболе: (-2,-2).
    • Найденные координаты свидетельствуют о том, что ветки параболы направлены вверх. Таким образом, область значений функции включает все значения «у», которые больше или равны -5.
    • Область значений этой функции: [-5, ∞)
  5. 5 Область значений функции записывается аналогично области определения функции. Квадратная скобка применяется в том случае, когда значение входит в область значений функции; если значение не входит в область значений, используется круглая скобка. Если у функции несколько несмежных областей значений, между ними ставится символ «U».
    • Например, область значений [-2,10) U (10,2] включает значения -2 и 2, но не включает значение 10.
    • С символом бесконечности ∞ всегда используются круглые скобки.

Часть 3 Нахождение области значений функции по ее графику

  1. 1 Постройте график функции. Во многих случаях проще найти область значений функции, построив ее график. Областью значений многих функций с корнями является (-∞,0] или [0,+∞), так как вершина параболы, направленной вправо или влево, лежит на оси Х. В этом случае область значений включает все положительные значения «у», если парабола возрастает, или все отрицательные значения «у», если парабола убывает. Функции с дробями имеют асимптоты, которые определяют область значений.
    • Вершины графиков некоторых функций с корнями лежат выше или ниже оси Х. В этом случае область значений определяется координатой «у» вершины параболы. Если, например, координата «у» вершины параболы равна -4 (у = -4), а парабола возрастает, то область значений равна [-4,+∞).
    • Самый простой способ построить график функции – это воспользоваться графическим калькулятором или специальным программным обеспечением.
    • Если у вас нет графического калькулятора, постройте приблизительный график, подставив в функцию несколько значений «х» и вычислив соответствующие значения «у». Нанесите найденные точки на координатную плоскость, чтобы получить общее представление о форме графика.
  2. 2 Найдите минимум функции. Построив график функции, вы увидите на нем точку, в которой функция имеет минимальное значение. Если наглядного минимума нет, то он не существует, а график функции уходит в -∞.
    • Область значений функции включает все значения «у» за исключением значений асимптот. Зачастую, области значений таких функций записываются так: (-∞, 6) U (6, ∞).
  3. 3 Определите максимум функции. Построив график функции, вы увидите на нем точку, в которой функция имеет максимальное значение. Если наглядного максимума нет, то он не существует, а график функции уходит в +∞.
  4. 4 Область значений функции записывается аналогично области определения функции. Квадратная скобка применяется в том случае, когда значение входит в область значений функции; если значение не входит в область значений, используется круглая скобка. Если у функции несколько несмежных областей значений, между ними ставится символ «U».
    • Например, область значений [-2,10) U (10,2] включает значения -2 и 2, но не включает значение 10.
    • С символом бесконечности ∞ всегда используются круглые скобки.

Прислал: Лебедева Мария . 2017-11-06 17:22:28

kak-otvet.imysite.ru

Как найти множество значений функции

Множество значений (область значений) функции – все значения, которые принимает функция в ее области определения. Другими словами, это те значения у, которые вы получаете при подстановке всех возможных значений х. Все возможные значения х и называются областью определения функции. Выполните следующие действия для нахождения множества значений функции.

Множество значений функции. Пусть задана функция у = f(x) с областью определения D(f). Множество чисел, пробегаемое функцией у, когда х принимает все возможные значения (т.е. при всех значениях ), называется множеством значений функции, или областью значений функции, или областью изменения функции и обозначается через E(f).

Пример 1

Найдём множество значений функции у = 2х2 + 5. Поскольку об области определения функции ничего не сказано, мы должны рассматривать её на естественной области определения, т.е. при  всех действительных значениях х (). Поскольку в области определения , причём все неотрицательные значения выражение 2х2принимает, данная функция, очевидно, принимает все значения, не меньшие, чем число 5:  .

Ответ: E(f) = [5; +∞).

Пример 2

Найдём область значений функции у = 2х2 + 5 на отрезке [-2; 5]. На этот раз область определения задана явно, используем это. Самое трудное здесь – «уследить», что при  выражение х2 изменяется от 0 до 25 (это становится очевидным, если, например, нарисовать график функции у = х2; можно получить это и аналитически, если рассмотреть отдельно, как меняется выражение х2 на отрезках, где оно монотонно – [–2; 0] и [0; 5], на первом из них это выражение убывает, а на втором – возрастает; это хорошо видно на том же графике). После этого легко получаем:

.

Ответ: E(f) = [5; 55].

Пример 3

Найдём область изменения функции у = 2х2 + 5 на отрезке [2; 5]. Рассуждая аналогично и учитывая, что на этот рах фукнкция в области определения монотонна (возрастает), получаем:

.

Ответ: E(f) = [13; 55].

bichka.info

Как найти область значения функции 9 класс примеры

Сумма двух чисел равна 25,а их произведение равно 144. найдите эти числа. Реклама. Пусть первое число а и второе b тогда a+b=25 ab=144 a=144/b 144/b+b=25 (144+b^2)/b=25 144+b^2-25b=0 b1=9 b2=16 a=16 если b=9 a=9 если b=16. Подставляем любые числа, что бы их сумма равнялась 25 13+12.

Функция: область определения и область значений функций

Функция-это модель. Определим X, как множество значений независимой переменной // независимая — значит любая.

Функция это правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной. // т. е. для каждого х есть один у.

Из определения следует, что существует два понятия — независимая переменная (которую обозначаем х и она может принимать любые значения) и зависимая переменная (которую обозначаем y или f(х) и она высчитывается из функции, когда мы подставляем х).

1. Независимая — это х, значит берем любое значение, пусть х=3

2. а теперь вычисляем у, значит у=5+х=5+3=8. (у зависима от х, потому что какой х подставим, такой у и получим)

Говорят, что переменная y функционально зависит от переменной x и обозначается это следующим образом: y = f (x).

2. у=х^2. (наз. парабола)

3.у=3х+7. (наз. прямая)

4. у= √ х. (наз. ветвь параболы)

Независимая переменная (кот. мы обозначаем х) имеет название аргумент функции.

Область определения функции

Множество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается D (f) или D (y).

Рассмотрим D (у) для 1.,2.,3.,4.

1. D (у)= ( ∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.

4. D (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат. чисел

Зависимая переменная (кот. мы обозначаем у ) имеет название значение функции.

Область значения функции

Множество всех значений, которые может принять зависимая переменная, называется областью значения функции и обозначается E (f) или E (y).

Рассмотрим Е (у) для 1.,2.,3.,4.

1. Е (у)= ( ∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.

2. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат. чисел

4. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат. чисел

Рассмотрим примеры подробнее

1) Постановка задачи. Найти функции у= 4х/(3+х)

1. Найдем D (у)//т. е. какие значения может принимать х. для этого найдем ОДЗ(область допустимых значений дроби)

Значит D (у) данной функции ( ∞; 3) и (3;+∞)// всё множество действительных чисел, кроме 3.

2. Найдем Е (у)//т. е. какие значения может принимать у, при всех возможных х

Решаем уравнение вида 4х/(3+х)=А, где А є Е (у)

Значит Е (у) данной функции ( ∞; 4) и (4;+∞)// всё множество действительных чисел, кроме 4.

2) Постановка задачи. Найти D (у)и Е (у) функции, изображенной на графике

Область определения(значения х) смотрим по оси х — это промежуток [ 4; 7],

Областью значения(значения у) смотрим по оси у — это промежуток [ 4; 4].

Нужна помощь в учебе?

Все неприличные комментарии будут удаляться.

Как найти область значения функции 9 класс примеры

Функция: область определения и область значений функций

Функция-это модель. Определим X, как множество значений независимой переменной // независимая — значит любая.

Функция это правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной. // т. е. для каждого х есть один у.

Из определения следует, что существует два понятия — независимая переменная (которую обозначаем х и она может принимать любые значения) и зависимая переменная (которую обозначаем y или f(х) и она высчитывается из функции, когда мы подставляем х).

1. Независимая — это х, значит берем любое значение, пусть х=3

2. а теперь вычисляем у, значит у=5+х=5+3=8. (у зависима от х, потому что какой х подставим, такой у и получим)

Говорят, что переменная y функционально зависит от переменной x и обозначается это следующим образом: y = f (x).

2. у=х^2. (наз. парабола)

3.у=3х+7. (наз. прямая)

4. у= √ х. (наз. ветвь параболы)

Независимая переменная (кот. мы обозначаем х) имеет название аргумент функции.

Область определения функции

Множество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается D (f) или D (y).

Рассмотрим D (у) для 1.,2.,3.,4.

1. D (у)= ( ∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.

4. D (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат. чисел

Зависимая переменная (кот. мы обозначаем у ) имеет название значение функции.

Область значения функции

Множество всех значений, которые может принять зависимая переменная, называется областью значения функции и обозначается E (f) или E (y).

Рассмотрим Е (у) для 1.,2.,3.,4.

1. Е (у)= ( ∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.

2. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат. чисел

4. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат. чисел

Рассмотрим примеры подробнее

1) Постановка задачи. Найти функции у= 4х/(3+х)

1. Найдем D (у)//т. е. какие значения может принимать х. для этого найдем ОДЗ(область допустимых значений дроби)

Значит D (у) данной функции ( ∞; 3) и (3;+∞)// всё множество действительных чисел, кроме 3.

2. Найдем Е (у)//т. е. какие значения может принимать у, при всех возможных х

Решаем уравнение вида 4х/(3+х)=А, где А є Е (у)

Значит Е (у) данной функции ( ∞; 4) и (4;+∞)// всё множество действительных чисел, кроме 4.

2) Постановка задачи. Найти D (у)и Е (у) функции, изображенной на графике

Область определения(значения х) смотрим по оси х — это промежуток [ 4; 7],

Областью значения(значения у) смотрим по оси у — это промежуток [ 4; 4].

Нужна помощь в учебе?

Все неприличные комментарии будут удаляться.

Как найти область значения функции 9 класс примеры

Область значений функции (множество значений функции). Необходимые понятия и примеры нахождения.

Многие задачи приводят нас к поиску множества значений функции на некотором отрезке или на всей области определения. К таким задачам можно отнести различные оценки выражений, решение неравенств.

В этой статье дадим определение области значений функции, рассмотрим методы ее нахождения и подробно разберем решение примеров от простых к более сложным. Весь материал снабдим графическими иллюстрациями для наглядности. Так что эта статья является развернутым ответом на вопрос как находить область значений функции.

Область значений функции обозначают как E(f) .

Область значений функции и множество значений функции — это не одно и то же. Эти понятия будем считать эквивалентными, если интервал X при нахождении множества значений функции y = f(x) совпадает с областью определения функции.

Не путайте также область значений функции с областью допустимых значений (ОДЗ) переменной x для выражения, находящегося в правой части равенства y=f(x) . Область допустимых значений переменной x для выражения f(x) – это есть область определения функции y=f(x) .

На рисунке приведены несколько примеров.

Графики функций показаны жирными синими линиями, тонкие красные линии – это асимптоты, рыжими точками и линиями на оси Оy изображена область значений соответствующей функции.

Как видите, область значений функции получается, если спроецировать график функции на ось ординат. Она может быть одним единственным числом (первый случай), множеством чисел (второй случай), отрезком (третий случай), интервалом (четвертый случай), открытым лучом (пятый случай), объединением числовых промежутков (шестой случай) и т. п.

Так что же нужно делать для нахождения области значений функции.

Начнем с самого простого случая: покажем как определять множество значений непрерывной функции y = f(x) на отрезке [a; b] .

Для примера найдем область значений функции арксинуса.

Укажите область значений функции y = arcsinx.

Областью определения арксинуса является отрезок [-1; 1] . Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.

Производная положительна для всех x из интервала (-1; 1) , то есть, функция арксинуса возрастает на всей области определения. Следовательно, наименьшее значение она принимает при x = -1 , а наибольшее при x = 1 .

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.

Определим точки экстремума, принадлежащие отрезку [1; 4] :

Сначала определяем точки экстремума, экстремумы функции, промежутки возрастания и убывания функции на данном интервале. Далее вычисляем односторонние пределы на концах интервала и (или) пределы на бесконечности (то есть, исследуем поведение функции на границах интервала или на бесконечности). Этой информации достаточно, чтобы найти множество значений функции на таких промежутках.

Найдем точки экстремума функции, попадающие на промежуток (-2; 2) :

Точка x = 0 является точкой максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус при переходе через нее, а график функции от возрастания переходит к убыванию.

Выясним поведение функции при x стремящемся к -2 справа и при x стремящемся к 2 слева, то есть, найдем односторонние пределы:

Найдите область значений функции натурального логарифма y = lnx.

Мы видим, что при изменении x от нуля к плюс бесконечности значения функции возрастают от минус бесконечности к плюс бесконечности. Следовательно, областью значений функции натурального логарифма является все множество действительных чисел.

Эта функция определена для всех действительных значений x. Определим точки экстремума, а также промежутки возрастания и убывания функции.

Посмотрим на поведение функции на бесконечности:

Таким образом, на бесконечности значения функции асимптотически приближаются к нулю.

Мы выяснили, что при изменении аргумента от минус бесконечности к нулю (точке максимума) значения функции возрастают от нуля до девяти (до максимума функции), а при изменении x от нуля до плюс бесконечности значения функции убывают от девяти до нуля.

Посмотрите на схематический рисунок.

Пусть область определения функции y = f(x) представляет собой объединение нескольких промежутков. При нахождении области значений такой функции определяются множества значений на каждом промежутке и берется их объединение.

На этом промежутке функция тоже убывает.

Отдельно следует остановиться на периодических функциях. Область значений периодических функций совпадает с множеством значений на промежутке, отвечающем периоду этой функции.

Найдите область значений функции синуса y = sinx.

Вычисляем значения функции в этих точках и на границах отрезка, выбираем наименьшее и наибольшее значение:

В разделе основные элементарные функции, их свойства и графики Вы можете посмотреть области значений степенной, показательной, логарифмической функции, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Рассмотренная выше теория позволяет проверить приведенные области значений основных элементарных функций. Рекомендуем запомнить эти данные, так как они достаточно часто используются.

Знание областей значений основных элементарных функций позволяет находить области значений функций, полученных из основных элементарных с помощью геометрических преобразований графиков.

Приведем решение еще одного примера, но без пояснений (они не требуются, так как полностью аналогичны).

Для полноты картины следует поговорить о нахождении области значений функции, которая не является непрерывной на области определения. В этом случае, область определения разбиваем точками разрыва на промежутки, и находим множества значений на каждом из них. Объединив полученные множества значений, получим область значений исходной функции. Рекомендуем вспомнить классификацию точек разрыва функции.

Функция определена для всех действительных значений x. Исследуем функцию на непрерывность в точках x = -3 и x = 3 :

Следовательно, в точке x = 3 разрыв второго рода. При стремлении к 3 слева значения функции стремятся к минус единице, а при стремлении x к 3 справа значения функции стремятся к плюс бесконечности.

Функция определена для всех действительных значений аргумента. Выясним промежутки возрастания и убывания функции.

Производная обращается в ноль при x=-1 и x=3 . Отметим эти точки на числовой оси и определим знаки производной на полученных интервалах.

Вычислим соответствующие минимум и максимум функции:

Проверим поведение функции на бесконечности:

Второй предел вычисляли по правилу Лопиталя.

Сделаем схематичный чертеж.

poiskvstavropole.ru

Как найти область определения и область значения функции

Чтобы найти область определения и значения функции f, нужно определить два множества. Одно из них является совокупностью всех значений аргумента x, а другое состоит из соответствующих им объектов f(x).

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как найти область определения и область значения функции" как решить функцию Как найти область определения функции решения Как решать графики функций

Инструкция

1

На первом этапе любого алгоритма исследования математической функции следует найти область определения. Если этого не сделать, то все расчеты будут бесполезной тратой времени, поскольку на ее основе формируется область значений. Функция – это определенный закон, по которому элементы первого множества ставятся в соответствие другому.

2

Чтобы найти область определения функции, нужно рассмотреть ее выражение с точки зрения возможных ограничений. Это может быть присутствие дроби, логарифма, арифметического корня, степенной функции и т.д. Если таких элементов несколько, то для каждого из них составьте и решите свое неравенство, чтобы выявить критические точки. Если ни одного ограничения нет, то область определения представляет собой все числовое пространство (-?; ?).

3

Бывает шесть видов ограничений:

Степенная функция вида f^(k/n), где знаменатель степени – четное число. Выражение, стоящее под корнем, не может быть меньше нуля, следовательно, неравенство выглядит так: f ? 0.

Функция логарифма. По свойству выражение, стоящее под его знаком, может быть только строго положительным: f > 0.

Дробь f/g, где g – тоже функция. Очевидно, что g ? 0.

tg и ctg: x ? ?/2 + ?•k, поскольку в этих точках эти тригонометрические функции не существуют (cos или sin, стоящие в знаменателе, обращаются в ноль).

arcsin и arccos: -1 ? f ? 1. Ограничение накладывается областью значений этих функций.

Степенная функция со степенью в виде другой функции того же аргумента: f^g. Ограничение представляется в виде неравенства f>0.

4

Чтобы найти область значения функции, подставьте в ее выражение все точки из области определения путем перебора одного за другим. Существует понятие множества значений функции на интервале. Эти два термина следует различать, за исключением случая, когда заданный интервал совпадает с областью определения. В противном случае это множество является подмножеством области значений. Как просто

masterotvetov.com