В прямоугольном параллелепипеде АВСДА1В1С1Д1 известны длины ребер. Как найти длину ребра в прямоугольном параллелепипеде


Ребра параллелепипеда | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Прямоугольный параллелепипед строится на ребрах трех длин, расположенных под прямым углом друг к другу. Зная ребра параллелепипеда, можно найти все возможные параметры, характеризующие его. В первую очередь, каждая грань параллелепипеда представляет собой прямоугольник с двумя одинаковыми сторонами, периметр же всего объемного тела ищется как умноженная на четыре сумма всех сторон-ребер параллелепипеда. P=4(a+b+c)

Площадь прямоугольного параллелепипеда складывается из площадей всех его граней, то есть шести прямоугольников, попарно конгруэнтных. Площадь каждого прямоугольника равна произведению его сторон, поэтому чтобы найти площадь параллелепипеда, необходимо сложить эти произведения. S=2ab+2bc+2ac=2(ab+bc+ac)

Чтобы вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, зная его ребро, нужно перемножить их между собой, так как объем любого прямого тела с двумя основаниями равен произведению площади основания на высоту тела, а в основании параллелепипеда находится прямоугольник, площадь которого также равна произведению – его сторон. V=abc

У прямоугольного параллелепипеда есть четыре диагонали – диагонали его боковых граней и основания, и диагональ самого параллелепипеда, проходящая через его внутреннее пространство. Все диагонали рассчитывается через прямоугольные треугольники по теореме Пифагора, где они являются гипотенузами. Для диагоналей боковых граней и основания катетами являются ребра параллелепипеда, а для четвертой диагонали, катеты представляют собой боковое ребро и диагональ основания. (рис. 22.1,22.2,22.3,22.4) d_1=√(a^2+c^2 ) d_2=√(a^2+b^2 ) d_3=√(b^2+c^2 ) d_4=√(a^2+〖d_3〗^2 )=√(a^2+b^2+c^2 )

Угол α, образованный внутренней диагональю прямоугольного параллелепипеда и диагональю основания, можно вычислить через отношение тангенса - бокового ребра а и диагонали основания d3.(рис.22.5) tan⁡α=a/d_3 =a/√(b^2+c^2 )

geleot.ru

Математика для блондинок: Прямоугольный параллелепипед

Вновь поступил вопрос про прямоугольный параллелепипед. И вопрос этот не простой, смотрите сами:

Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите площадь его поверхности. Подскажите, как это переварить?

Вопрос, конечно, не простой - что такое прямоугольный параллелепипед, как и с чем его едят? В частности, как найти рецепт приготовления площади поверхности этого то ли фрукта, то ли овоща? Так, для начала давайте посмотрим, что это вообще такое - прямоугольный параллелепипед? Вот картинка прямоугольного параллелепипеда.

Как видите, прямоугольный параллелепипед - это, собственно, обыкновенный кирпич. Кстати, если бы Ньютону на голову упала не сфера в виде яблока, а прямоугольный параллелепипед в виде кирпича, то в школе мы вряд ли бы учили его законы. Прямоугольная комната - это тоже прямоугольный параллелепипед, который позволяет вам совершить обзорную экскурсию по его достопримечательностям прямо изнутри. Если вы хотите произвести внешний осмотр достопримечательностей сего математического чуда, тогда возьмите в руки коробку из-под обуви и можете вертеть её, сколько душе угодно.

И так, прямоугольный параллелепипед на картинке дает нам возможность увидеть вершины, ребра и диагонали. Вершины мы можем потрогать пальцем, ребра мы можем измерять, диагональ можем высчитать. Нам сейчас диагональ не нужна. Закон движения учеников в классе знаете? Если леди-учитель покидает класс, класс движется быстрее. Закон решения задач очень похож: чем меньше всякой ерунды нам нужно искать, тем проще задача.

Первая проблема, с которой мы сталкиваемся в задаче, это проблема сленга. Задача сформулирована на бытовом сленге, а все формулы и определения в математике формулируются на математическом сленге. Поэтому нам самим предстоит выполнить перевод. Приступаем к поэтапному переводу, по фразам.

"Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины ..." - собственно, здесь говорится о тех ребрах, которые позволяют нам определить размеры прямоугольного параллелепипеда и на основании этих размеров выполнить все необходимые вычисления. На картинке это ребра a, b и c. Кто бы сомневался, что именно эти три ребра нам дадут по условию, но только не я. Ни один математик вам этого не скажет (не потому, что они этого не знают, а из боязни нарваться на очень неудобные вопросы), но если в условии задачи дать две длины параллельных ребер и одного перпендикулярного им, то нашу задачу в принципе решить будет невозможно. В прямоугольном параллелепипеде из любой вершины всегда выходит три взаимно перпендикулярных ребра. Вот по этому в нашей задаче прямо говорится об этом. Если верить Священным Писаниям разных религий, то именно из одного такого ребра сотворены все прямоугольные параллелепипеды, задачи о которых решает вся прекрасная половина человечества.

Следующая фраза "... равны 1, 2, 3" обозначает, что нам не нужно искать этот злополучный прямоугольный параллелепипед и свою линейку, чтобы измерить длины его граней, как это показано на рисунке. Тот, кто эту задачу придумал, уже сам всё измерил (или выдумал эти размеры, что в данном случае принципиального значения не имеет). Кто есть кто в этом списке чисел? Где длина, ширина, высота нашего параллелепипеда? Нам это без разницы. Как бы мы этот прямоугольный параллелепипед не крутили, площадь его поверхности всегда будет оставаться неизменной. Предыдущие поколения математиков этот факт не единожды проверили. Когда мы доберемся до решения, мы сами в этом убедимся.

Теперь вопрос, в чём же конкретно измеряется наш прямоугольный параллелепипед и площадь его поверхности? В каких единицах измерения? Ответ довольно прост - в любых единицах измерения длины. Англичане и американцы любят дюймы, футы, мили. Мы предпочитаем сантиметры, метры, километры. В чем измеряют длину инопланетяне? Мы вообще не знаем. Да нам эти единицы измерения и не важны. В чем бы мы не измеряли длину граней, циферки возле длин и площади будут одинаковыми. Циферки остаются, единицы измерения меняются. Вот два способа получения результата в математике.

разные числа + одинаковые единицы измерения = разный результат

одинаковые числа + разные единицы измерения = разный результат

Приблизительно, как в этом счетчике. Крутим одно колесико - меняются числа. Крутим другое колесико - меняются единицы измерения. Так устроена настоящая математика, маленький кусочек которой мы сейчас рассматриваем.

Это уже не детская математика, придуманная специально для того, чтобы мучить нас задачками. Это взрослая математика, одинаковая для всех.

В нашей задаче мы измеряем всё в абстрактных единицах измерения длины. Соответственно, полученная нами площадь будет измеряться в этих же единицах измерения, возведенных в квадрат.

Теперь нам осталось только достать из глубокого кармана шпаргалку с формулами для прямоугольного параллелепипеда и посмотреть, чего полезного для нас там имеется.

Что вообще есть в этой шпаргалке? Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда, формула объема. Есть несколько формул для площади поверхности: полная, основания, боковая. Вот одна из этих формул нам как раз нужна. Разберемся в площадях на примере коробки для обуви. Площадь основания - это площадь донышка или крышки коробки. Площадь боковой поверхности - это боковые стеночки коробки без донышка и крышки. Полная площадь - это боковые стеночки вместе с донышком и крышкой.

Теперь смотрим в условие задачи и определяем, "чё тебе надобно, старче?". А надобно ему (ей, им) "площадь поверхности". Если уточнений типа "боковой" или "основания" нет, значит искать нужно полную площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Длины трех граней у нас есть, формула тоже, можно произвести расчет. Заморачиваться с основаниями и боками нам нет смысла.

Как видим, полная площадь поверхности нашего прямоугольного параллелепипеда получилась равной 22 единицы в квадрате. Какие именно единицы? А какие вам не жалко или какие вы больше всего любите.

По просьбе учащихся добавляю картинку про сумму длин ребер прямоугольного параллелепипеда.

Сумма ребер прямоугольного параллелепипеда. Формула, кртинка. Прямоугольный параллелепипед периметр. Математика для блондинок.
Сумма ребер прямоугольного параллелепипеда
Сумму длин всех ребер параллелепипеда я обозначил через букву "P", поскольку она очень похожа на периметр прямоугольника. Кстати, в формуле длин всех ребер я этого не записал, но если мы возьмем три фигурообразующие грани прямоугольного параллелепипеда, которыми являются прямоугольники, то сумма длин всех ребер параллелепипеда будет равна сумме периметров этих прямоугольников.

Спонсор страницы: был, да сплыл.

www.webstaratel.ru

Найти боковое ребро правильного параллелепипеда

Четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм, является параллелепипедом. В параллелепипеде 6 граней: 4 — боковые и 2 — его основание. Грани, как правило, представляют собой параллелограмм. Противолежащие грани параллельны и равны. Параллелепипеды бывают прямыми и наклонными. У прямого параллелепипеда боковые грани являются прямоугольниками. Прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник, называется прямоугольным. У него все шесть граней — прямоугольники, противоположные стороны которых параллельны и равны, а все углы — прямые. Прямоугольный параллелепипед строится на трех ребрах, расположенных друг к другу под прямым углом. Длины этих ребер, обладающих общим концом, называются его измерениями.

Боковое ребро прямоугольного параллелепипеда можно рассчитать несколькими способами, в зависимости от исходных данных.Если известны объем (V) и два ребра (b, c) правильного параллелепипеда, третье ребро (а) будет равно частному от деления объема на произведение двух ребер (b×c):

a = V / bc

Если известна площадь боковой поверхности и два ребра (b, c), находим неизвестное ребро (а) путем деления площади боковой поверхности (S) на удвоенную сумму двух известных ребер 2 (b+c).

a = Sб.п. / 2 (a+c)

Если известны два ребра (b, c) и полная площадь поверхности (S п.п.), неизвестное ребро (а) находим по формуле:

a = (Sп.п. — 2bc) / 2 (b+c)

Проведенный внутри параллелепипеда отрезок, соединяющий противоположные вершины двух его оснований, является диагональю параллелепипеда (D). Отрезок, соединяющий противоположные вершины одного из оснований, является диагональю основания (d). Внутри прямоугольного параллелепипеда можно построить прямоугольный треугольник, у которого гипотенузой будет диагональ параллелепипеда D, одним из катетов — диагональ основания d, другим — боковое ребро параллелепипеда (а). Используя теорему Пифагора, выразим квадрат диагонали основания d (гипотенузу) как сумму квадратов его сторон (катетов) b, с. Отсюда, квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда (D) равен сумме квадратов трёх его измерений (а,b,с). Зная ребра и диагональ параллелепипеда, находим боковое ребро по формуле:

a = √D2 + d2 = √D2 + b2 + c2

Боковое ребро параллелепипедагде b, c — ребра параллелепипеда, a — боковое ребро параллелепипеда, D — диагональ параллелепипеда, d — диагональ основания.

Калькулятор расчета длины бокового ребра правильного параллелепипеда

infofaq.ru

Как найти длины рёбер параллелепипеда по диагонали

Параллелепипед – многогранная геометрическая фигура, обладающая несколькими интересными свойствами. Знание этих свойств помогает в решении задач. Существует, например, определенная связь между его линейными и диагональными измерениями, с помощью которой можно найти длины ребер параллелепипеда по диагонали.

Инструкция

  • Параллелепипед имеет одну особенность, не свойственную другим фигурам. Его грани попарно параллельны и имеют равные измерения и числовые характеристики, такие как площадь и периметр. Любую пару таких граней можно принять за основания, тогда оставшиеся будут составлять его боковую поверхность.
  • Можно найти длины рёбер параллелепипеда по диагонали, однако одной этой величины мало. Во-первых, обратите внимание на то, какая разновидность этой пространственной фигуры вам дана. Это может быть правильный параллелепипед, обладающий прямыми углами и равными измерениями, т.е. куб. В этом случае будет достаточно знать длину одной диагонали. Во всех остальных случаях должен быть, как минимум, еще один известный параметр.
  • Диагонали и длины сторон в параллелепипеде связаны определенным соотношением. Эта формула вытекает из теоремы косинусов и представляет собой равенство суммы квадратов диагоналей и суммы квадратов ребер:d1² + d2² + d3² + d4² = 4•а² + 4•b² + 4•c², где а – длина, b – ширина и c - высота.
  • Для куба формула упрощается:4•d² = 12•а² а = d/√3.
  • Пример: найти длину стороны куба, если его диагональ равна 5 см.Решение.25 = 3•а²а = 5/√3.
  • Рассмотрим прямой параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основаниям, а сами основания являются параллелограммами. Его диагонали попарно равны и связаны с длинами ребер по следующему принципу:d1² = а² + b² + c² + 2•а•b•cos α;d2² = а² + b² +c² – 2•а•b•cos α, где α – острый угол между сторонами основания.
  • Этой формулой можно воспользоваться, если известны, к примеру, одна из сторон и угол или эти величины могут быть найдены по другим условиям задачи. Решение упрощается, когда все углы в основании прямые, тогда:d1² + d2² = 2•а² + 2•b² + 2•c².
  • Пример: найдите ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда, если ширина b больше длины а на 1 см, высота c – в 2 раза больше, а диагональ d – в 3.Решение.Запишите основную формулу квадрата диагонали (в прямоугольном параллелепипеде они равны):d² = а² + b² + c².
  • Выразите все измерения через заданную длину а:b = а + 1;c = а•2;d = а•3.Подставьте в формулу:9•а² = а² + (а + 1)² + 4•а²
  • Решите квадратное уравнение:3•а² – 2•а – 1 = 0Найдите длины всех ребер:а = 1; b = 2; c = 2.

completerepair.ru

Как найти сумму длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда

В геометрических задачах довольно часто возникает необходимость нахождения каких-либо характеристик прямоугольного параллелепипеда. На самом деле, это задача несложная.

Для того, чтобы её решить, необходимо знать свойства параллелепипеда. Если их понять, то и решать задачи потом будет не так сложно. В качестве примера попробуем найти сумму длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда.

Быстрая навигация по статье

Подготовка

Для того чтобы было удобно, необходимо определиться с обозначениями: стороны прямоугольного параллелепипеда назовём А и В, а его боковую грань – С.

Теперь, если внимательно присмотреться, можно сделать вывод, что в основании прямоугольного параллелепипеда лежит параллелограмм. Все его рёбра, при этом, будут иметь длины сторон А и В.

Найти сумму длин всех рёбер можно будет только в том случае, если понимать, что такое параллелограмм. Для тех, кто не помнит, следует сказать, что параллелограмм – это четырёхугольник, противоположные стороны которого равны между собой и параллельны.

Рассуждения

У параллелограмма противоположные стороны равны между собой. Получается, что напротив стороны А лежит такая же сторона А. Исходя из определения параллелограмма понятно, что верхняя грань его тоже равна А. Получается, что сумма длин всех сторон данного параллелограмма равна 4А.

Аналогичные рассуждения могут быть приведены и для стороны В — получается, что сумма сторон параллелограмма, созданного из стороны В, будет равняться 4 В.

Если внимательно присмотреться, то можно сделать вывод, что боковые грани прямоугольного параллелепипеда – это тоже параллелограммы. Причём, ребро С одновременно относится к двум соседним граням прямоугольного параллелепипеда. И аналогично представленными выше рассуждениям, сумма длин всех рёбер будет равняться 4 С.

Решение

Теперь остаётся найти сумму длин всех рёбер просто просуммировав все прямоугольные параллелограммы. И получается, что эта сумма равняется: 4А+4В+4С или 4(А+В+С).

Можно рассмотреть частный случай, когда необходимо будет найти сумму длин всех рёбер не прямоугольного параллелепипеда, а куба — в таком случае эта сумма будет равна 12 А.

Для того чтобы решить любые геометрические задачи, всегда надо хорошо знать определения, в чём вы только что и убедились.

Поделитесь этой статьёй с друзьями в соц. сетях:

podskajem.com

В прямоугольном параллелепипеде с площадью поверхности 118

В треугольнике АВС медианы АА и ВВ пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника АВО равна S. Решение. В условиях задач 572—574 использованы следующие обозначения для элементов прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С и высотой СН:.

В прямоугольном параллелепипиде с площадью поверхности 118 два ребра равны 5 и 7.Найдите длину третьего ребра параллелепипеда.

Ответ или решение 1

Примем прямоугольник со сторонами, равными 5 и 7 за основание параллелепипеда. Примем третью сторону за высоту Н параллелепипеда.

Тогда площадь поверхности So определяется как площадь двух оснований и площади боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из четырёх прямоугольников, два из которых попарно равны: 5 х Н, 5 х Н, 7 х Н, 7 х Н.

Запишем площади шести прямоугольников, площадь каждого равна произведению их сторон.

So = 2 * (5 * 7) + 2 * 5 * Н + 2 * 7 * Н = 2 * 35 + 10 * Н + 14 * Н = 70 + 24 * Н = 118.

В прямоугольном параллелепипеде с площадью поверхности 118

В прямоугольном параллелепипиде с площадью поверхности 118 два ребра равны 5 и 7.Найдите длину третьего ребра параллелепипеда.

Ответ или решение 1

Примем прямоугольник со сторонами, равными 5 и 7 за основание параллелепипеда. Примем третью сторону за высоту Н параллелепипеда.

Тогда площадь поверхности So определяется как площадь двух оснований и площади боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из четырёх прямоугольников, два из которых попарно равны: 5 х Н, 5 х Н, 7 х Н, 7 х Н.

Запишем площади шести прямоугольников, площадь каждого равна произведению их сторон.

So = 2 * (5 * 7) + 2 * 5 * Н + 2 * 7 * Н = 2 * 35 + 10 * Н + 14 * Н = 70 + 24 * Н = 118.

В прямоугольном параллелепипеде с площадью поверхности 118

Как вычислить площадь параллелепипеда

Формула нахождения полной площади параллелепипеда

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании имеющая параллелограмм. Существуют готовые формулы для расчета боковой и полной площади поверхности фигуры, для которых необходимы лишь длины трех измерений параллелепипеда.

Как найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда

Необходимо различать прямоугольный и прямой параллелепипед. Основание прямой фигуры может представлять собой любой параллелограмм. Площадь такой фигуры необходимо вычислять по другим формулам.

Сумма S боковых граней прямоугольного параллелепипеда вычисляется по простой формуле P*h, где P – периметр и h – высота. На рисунке видно, что у прямоугольного параллелепипеда противоположные грани равны, а высота h совпадает с длиной ребер, перпендикулярных основанию.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Полная площадь фигуры состоит из боковой и площади 2-х оснований. Как найти площади прямоугольного параллелепипеда:

, где a, b и c – это измерения геометрического тела.

Описанные формулы просты для понимания и полезны при решении множества задач геометрии. Пример типового задания представлен на следующем изображении.

При решении подобного рода задач следует помнить, что основание четырехугольной призмы выбирается произвольно. Если за основание принять грань с измерениями x и 3, то значения Sбок будет иным, а Sполн останется 94 см2.

Площадь поверхности куба

Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все 3 измерения равны между собой. В связи с этим формулы полной и боковой площади куба отличаются от стандартных.

Периметр куба равен 4a, следовательно, Sбок= 4*a*a = 4*a2. Данные выражения не обязательны для заучивания, но значительно ускоряют решение заданий.

Пример решения задачи

Приведенные формулы могут использоваться в ходе поиска диагоналей параллелепипеда.

Для нахождение B1D достаточно применить теорему Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

в прямоугольном параллелепипеде с площадью поверхности 118

poiskvstavropole.ru

В прямоугольном параллелепипеде АВСДА1В1С1Д1 известны длины ребер

Задание.В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB = 3 см, AD = 5 см, AA1 = 12 см. Найти площадь сечения параллелепипеда плоскостью, которая проходит через точки A, B и C1.

Решение.Построим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.Через точки A, B и C1 проведем плоскость ABC1D1, которая пересечет этот параллелепипед.Поскольку данный параллелепипед является прямоугольным, все углы построенного сечения будут прямыми. Противоположные стороны сечения AD1 и BC1, а также AB и D1C1 будут также равными. Таким образом, сечение будет являться прямоугольником.Площадь сечения будем искать как площадь прямоугольника по формуле:

    \[S_{ABC1D1}=AB\cdot AD1\]

Длина стороны AB по условию равна 3 см. Необходимо найти длину отрезка AD1.Для этого рассмотрим треугольник ADD1. Он является прямоугольным, так как ребро DD1 прямоугольного параллелепипеда перпендикулярно ребру AD. Применим к треугольнику теорему Пифагора:

    \[{AD1}^2={AD}^2+{DD1}^2\]

    \[AD1=\sqrt{{AD}^2+{DD1}^2}\]

Поскольку ребра AA1, BB1, CC1 и DD1 у прямоугольного параллелепипеда равны, то DD1 = AA1 = 12 см.Подставим известные значения в формулу:

    \[AD1=\sqrt{5^2+{12}^2}\]

    \[AD1=\sqrt{25+144}\]

    \[AD1=\sqrt{169}\]

AD1=13 (см).Длина отрезка AD1 найдена, подставим известные величины в формулу искомой площади сечения ABC1D1:

    \[S_{ABC1D1}=AB\cdot AD1\]

    \[S_{ABC1D1}=3\cdot 13\]

S_{ABC1D1}=39 (кв. см).

Ответ. 39 кв. см.

ru.solverbook.com