Эксцентриситет гиперболы. Как найти эксцентриситет


Эксцентриситет гиперболы, формула и примеры

Определение и формула эксцентриситета гиперболы

Учитывая связь величины c с длинами a и b действительной и мнимой полуосей гиперболы легко получить следующие выражения для эксцентриситета e:

    \[e=\sqrt{1+\frac{b^{2} }{a{}^{2} } } \]

Из последней формулы следует, что эксцентриситет гиперболы больше единицы.

Замечание 1. Две гиперболы, имеющие одинаковый эксцентриситет, подобны.

Замечание 2. Эксцентриситет гиперболы можно рассматривать как числовую характеристику величины раствора угла между ее асимптотами.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

11.Эллипс и его каноническое уравнение. Эксцентриситет и директрисы эллипса.

  1. БЛОК

Эллипсом называется множество всех таких точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек постоянна. Фиксированные точки называются фокусами эллипса (F1, F2).

Пусть 2с — расстояние между фокусами, 2а — сумма расстояний от точки эллипса до фокусов (2a=r1+r2). Введем декартову систему координат Оху так, чтобы фокусы F1 и F2 имели координаты F1 (-с,0) и F2 (с,0), и выведем в ней уравнение эллипса. Стоящую перед нами задачу можно сформулировать так: найти множество всех таких точек

М(x, у), для которых MF1 + MF2 = 2а. Из неравенства треугольника, следует, что M F1 + M F2 ≥ F1 F2 т.е. a ≥ с. При

а = с эллипс вырождается в отрезок F1F2 поэтому будем считать, что а > с.

В координатах уравнение эллипса принимает вид

Выполнив стандартные преобразования получим:

Свойства эллипса: 1° . Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (оси Ох и Оу), а значит, и центр симметрии (начало координат О). Оси симметрии эллипса называются его полуосями; та из них, на которой лежат фокусы, называется большой полуосью, а другая — малой; числа а и b иногда также называют полуосями. 2°. Поскольку и, то эллипс целиком содержится в прямоугольнике (|х| ≤ a, |y| ≤ b), стороны которого параллельны его осям.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси.

Обозначается буквой .

Так как по определению 2a>2c, то эксцентриситет всегда выражается правильной дробью, т.е.  .

Если величина эксцентриситета приближается к единице, то эллипс сильно вытянут; если же ближе к нулю, то эллипс имеет более округлую форму. Если эксцентриситет равен нулю, то эллипс вырождается в окружность.

Пример.

Найти координаты фокусов, длины осей и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением .

Решение. Приведем уравнение эллипса к каноническому виду. Для этого разделим все его члены на 108: мы видим, что   , откуда;;

Так как b>c, то фокусы эллипса расположены на оси ординат. Они имеют координаты и, гдеопределяется из соотношения. Подставив в него значенияи, получим:

Итак, фокусами эллипса служат точки  и.

Далее находим: большую ось эллипса  ; малую ось; эксцентриситет.

Директрисы эллипса.

Определение. Директрисами эллипса называются две прямые, которые в канонической для эллипса системе координат имеют уравнения

или.

Теорема. Пусть М – произвольная точка эллипса, ,– ее фокальные радиусы,– расстояние от точки М до левой директрисы,– до правой. Тогда

, где– эксцентриситет эллипса.

  

Доказательство

Пусть М(х, у) – координаты произвольной точки эллипса. Тогда

откуда и следуют равенства

Теорема доказана.

12.Свойства сходящихся числовых последовательностей.

Последовательность { x n } называется ограниченной снизу ( сверху ), если существует такое число C , что все члены последовательности удовлетворяют условию x n  ≥  C ( x n  ≤  C ). Последовательность, ограниченную как сверху, так и снизу, называют ограниченной.

Не всякая ограниченная последовательность является сходящейся. Примером расходящейся ограниченной последовательности может служить последовательность { x n }: x n  = (–1) n .

Теорема о трех последовательностях. Если последовательности {xn}, {yn}, {zn} таковы, что xn ≤ yn ≤ zn для всех n ≥ N, и

то последовательность {yn} сходится, и

Если и для любогото a ≥ b.

Свойства сходящихся последовательностей:

Основные свойства сходящихся последовательностей

1. Если все элементы бесконечно малой последовательности {хn} равны одному и тому же числу с, то с = 0.

2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

4. Сумма (разность) сходящихся последовательностей {хn} и {уn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательностей {хn} и {уn}.

5. Произведение сходящихся последовательностей {хn} и {уn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {хn} и {уn}

6. Частное двух сходящихся последовательностей {хn} и {уn} при условии, что предел последовательности {уn}отличен от нуля, есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {хn} и {уn}.

7. Если элементы сходящейся последовательности {хn} удовлетворяют неравенству xn ≥ b (хn ≤ b) начиная с некоторого номера, то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству а ≥ b (а ≤ b).

8. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность или на число есть бесконечно малая последовательность.

9. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Справедлива следующая теорема (основная теорема теории пределов): если то:;;при условии, что b ≠ 0 идля всех n.

Последовательность {αn} называется бесконечно малой, если

Если число a – предел последовательности {xn}, то последовательность {αn}, где αn = xn – a, бесконечно малая. Примером бесконечно малой последовательности является геометрическая прогрессия {qn}, где |q| < 1.

  • Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

  • Из определения бесконечно малой последовательности непосредственно следует, что алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Заметим, что конечность числа бесконечно малых последовательностей в этой алгебраической сумме существенна.

  • Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Заметим, что и здесь конечность числа последовательностей также существенна, т. к. произведение бесконечного числа бесконечно малых последовательностей может уже и не быть бесконечно малой последовательностью.

Множества иназываются δ-окрестностями –∞ и +∞ соответственно.

Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если

Другими словами, , если для любого δ > 0 найдется номертакой, что для любогоАналогично вводятся понятия бесконечных пределов +∞ и –∞. Примерами бесконечно больших последовательностей могут служить {n2} или {1 – n}.

Пример 3. Найти предел .

Решение. При числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности, т.е. применить сразу теорему о пределе частного нельзя, так как она предполагает существование конечных пределов последовательностей. Преобразуем данную последовательность, разделив числитель и знаменатель на n2. Применяя затем теоремы о пределе частного, пределе суммы и снова пределе частного, последовательно находим

studfiles.net

Примеры решения задач

Задача 6.1. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса

Решение. Разделив данное уравнение эллипса на , приведем его к виду. Отсюда следует, что большая полуось эллипса, а малая полуось. Известно, что, поэтому

.

Следовательно, координаты фокусов и, а его эксцентриситет.

Ответ.

Задача 6.2. Эллипс касается оси ординат в начале координат, а центр симметрии его находится в точке . Составить уравнение эллипса, если его эксцентриситет равен.

Решение. Выполним чертеж (рис. 2.35).

Каноническое уравнение такого эллипса

В нашем случае

Рис. 2.35

Известно, что . Следовательно, для нахождениянадо знать. Найдемиз формулы эксцентриситета:,, откуда. Значит,,

Итак, уравнение искомого эллипса

Ответ.

Задача 6.3. Определитель траекторию точки , которая при своем движении остается втрое ближе к точке, чем к прямой

Решение. Траекторию точки найдем как уравнение множества точек плоскости, обладающих свойством(рис. 2.36).

Расстояние между любыми точками инайдем по формуле

Следовательно, .

Рис. 2.36

После преобразований получаем искомое уравнение:

.

Таким образом, точка движется по эллипсу. При этом большая ось эллипса и его фокусы расположены на оси

Ответ. .

Задача 6.4. Действительная полуось гиперболы , эксцентриситетСоставить каноническое уравнение гиперболы и начертить ее.

Решение. Эксцентриситет гиперболы Следовательно,

, ,

откуда фокусы гиперболы ,, а мнимая полуось. Искомым уравнением гиперболы будет

.

Ответ. .

Задача 6.5. Дана равносторонняя гипербола . Найти уравнение эллипса, фокусы которого находятся в фокусах гиперболы, если известно, что эллипс проходит через точку.

Решение. Для данной гиперболы . Следовательно, из соотношенияполучаем, откуда. Значит, фокусы гиперболыи. В этих же точках находятся фокусы эллипса.

Обозначим через исоответственно большую и малую полуоси эллипса. Тогда при условии, что, будем иметьДля определенияииспользуем еще одно условие: что точкалежит на эллипсе, т.е. ее координаты должны удовлетворять уравнению эллипса

(6.8)

Это значит, что Таким образом, для определенияиимеем систему уравнений

решив которую, получим ,Подставив эти значения в уравнение (6.8), найдем

Ответ.

Задача 6.6. Асимптоты гиперболы имеют уравнения . Фокусы лежат на осии расстояние между ними равно. Написать каноническое уравнение гиперболы и начертить ее.

Решение. Так как фокусы гиперболы лежат на оси , то ее каноническое уравнение имеет вид

Разрешив уравнение асимптот относительно , получим, откуда. Кроме того,, т.е.Так как для гиперболы, то для нахожденияиполучим систему уравнений

Рис. 2.38

решив которую, будем иметь ,. Следовательно, каноническое уравнение гиперболы (рис. 2.38)

Ответ.

Задача 6.7. Составить уравнение параболы и ее директрисы, если парабола проходит через точки пересечения прямой и окружностии симметрична относительно оси.

Решение. Найдем точки пересечения заданных линий, решив совместно их уравнения:

В результате получим два решения и. Точки пересеченияи. Так как парабола проходит через точкуи симметрична относительно оси, то в этой точке будет находиться вершина параболы. Поэтому уравнение параболы имеет вид. Так как парабола проходит через точку, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению параболы:,,

Итак, уравнением параболы будет , уравнение директрисыили, откуда

Ответ. ;

Задача 6.8. Мостовая арка имеет форму параболы. Определить параметр этой параболы, зная, что пролет арки равен, а высота

Решение. выберем прямоугольную систему координат так, чтобы вершина параболы (мостовой арки) находилась в начале координат, а ось симметрии совпадала с отрицательным направлением оси . В таком случае каноническое уравнение параболы имеет вид, а концы хорды аркии. Подставив координаты одного из концов хорды (например,) в уравнение параболы и решив полученное уравнение относительно, получим

Ответ.

Задача 6.9. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить эту кривую.

Решение. В уравнении ,,,,,Вычислим дискриминант старших членов:

.

Так как , данная линия является кривой эллиптического типа.

Найдем центр кривой из системы

Решив ее, получим ,.

С помощью параллельного переноса осей координат в центр уравнение кривой в новой системеприводится к виду:

,

подставив в исходное уравнение кривой, получим

(6.9)

Для дальнейшего упрощения уравнения (6.9) применим правило приведения квадратичной формы к каноническому виду. Составим характеристическое уравнение

или .

Отсюда .

Повернув теперь оси координат так, чтобы направления осей исовпадали с главными направлениями квадратичной формы, уравнение (6.5) приведем к каноническому виду

или .

Из уравнения видно, что это эллипс с полуосями ,. Чтобы построить этот эллипс найдем главное направление, соответствующее характеристическому числу(его мы приняли за осьв каноническом уравнении). Подставив коэффициенты нашего уравнения в систему

получим

Полагая , находим, что. Единичный вектор оси имеет в системекоординатыи. Следовательно,, а.

Повернув систему на уголпо часовой стрелке, получим прямоугольную систему координат, в которой легко построить эллипс (рис. 3.39).

Задача 6.10. Преобразовать к каноническому виду уравнение

(6.10)

и построить линию, задаваемую этим уравнением.

Рис. 3.39

Решение. В исходном уравнении ,,,,,Дискриминант старших членов

Следовательно, уравнение определяет нецентральную линию второго порядка, т.е. линию параболического типа.

Составим характеристическое уравнение квадратичной формы старших членов:

или

Отсюда ,

Найдем главное направление, соответствующее характеристическому числу . Для этого подставим в систему

коэффициенты нашего уравнения. Получим

Полагая , имеем. Следовательно, главное направление, соответствующее характеристическому числу, определяется вектором. Нормируя его, находим единичный вектор:. Это значит, что, а, т.е. поворачиваем системуна угол.

Используя теперь равенства (6.10), имеем:

Следовательно, уравнение (10.17) в системе координат принимает вид

(6.11)

Уравнение (6.11) определяет параболу. Для приведения его к каноническому виду найдем координаты нового начала. Сгруппируем члены с одинаковыми переменными и выделим полный квадрат:

Рис. 2.40

После параллельного переноса осей координат в новое начало уравнение параболы (6.11) в системе координатпримет канонический вид. Расположение параболы показано на рис. 2.40.

studfiles.net

Эксцентриситет — Википедия (с комментариями)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Эксцентрисите́т — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности. Обычно обозначается «<math>e</math>» или «<math>\varepsilon</math>».

Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия.

Определение

Все невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом:

Выберем на плоскости точку <math>F</math> и прямую <math>d</math> и зададим вещественное число <math>e>0</math>. Тогда геометрическое место точек <math>M</math>, для которых отношение расстояний до точки <math>F</math> и до прямой <math>d</math> равно <math>e</math>, является коническим сечением. То есть, если <math>M'</math> есть проекция <math>M</math> на <math>d</math>, то

<math>|FM| = e \cdot |MM'|</math>.

Это число <math>e</math> называется эксцентриситетом' конического сечения. Эксцентриситет окружности по определению равен 0.

Связанные определения

Свойства

  • В зависимости от эксцентриситета, получится:
  • Эксцентриситет эллипса может быть выражен через отношение малой (<math>b</math>) и большой (<math>a</math>) полуосей:
<math>e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}</math>.
  • Эксцентриситет гиперболы может быть выражен через отношение мнимой (<math>b</math>) и действительной (<math>a</math>) полуосей:
<math>e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}</math>.
  • Для эллипса также может быть выражен через отношение радиусов пери- (<math>r_\mathrm{p}</math>) и апоцентров (<math>r_\mathrm{a}</math>):
<math>e=\frac{r_\mathrm{ap}-r_\mathrm{per}}{r_\mathrm{ap}+r_\mathrm{per}}=1-\frac{2}{\frac{r_\mathrm{ap}}{r_\mathrm{per}}+1}</math>
  • Для эллипса и гиперболы эксцентриситет равен отношению расстояния между фокусами к большей или вещественной оси.

См. также

Напишите отзыв о статье "Эксцентриситет"

Литература

  • Акопян А. В., Заславский А. А. [math.ru/lib/452 Геометрические свойства кривых второго порядка]. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.

Отрывок, характеризующий Эксцентриситет

В настоящей русской литературе, от гимназиста до ученого историка, нет человека, который не бросил бы своего камушка в Александра I за неправильные поступки его в этот период царствования. «Он должен был поступить так то и так то. В таком случае он поступил хорошо, в таком дурно. Он прекрасно вел себя в начале царствования и во время 12 го года; но он поступил дурно, дав конституцию Польше, сделав Священный Союз, дав власть Аракчееву, поощряя Голицына и мистицизм, потом поощряя Шишкова и Фотия. Он сделал дурно, занимаясь фронтовой частью армии; он поступил дурно, раскассировав Семеновский полк, и т. д.». Надо бы исписать десять листов для того, чтобы перечислить все те упреки, которые делают ему историки на основании того знания блага человечества, которым они обладают. Что значат эти упреки? Те самые поступки, за которые историки одобряют Александра I, – как то: либеральные начинания царствования, борьба с Наполеоном, твердость, выказанная им в 12 м году, и поход 13 го года, не вытекают ли из одних и тех же источников – условий крови, воспитания, жизни, сделавших личность Александра тем, чем она была, – из которых вытекают и те поступки, за которые историки порицают его, как то: Священный Союз, восстановление Польши, реакция 20 х годов? В чем же состоит сущность этих упреков? В том, что такое историческое лицо, как Александр I, лицо, стоявшее на высшей возможной ступени человеческой власти, как бы в фокусе ослепляющего света всех сосредоточивающихся на нем исторических лучей; лицо, подлежавшее тем сильнейшим в мире влияниям интриг, обманов, лести, самообольщения, которые неразлучны с властью; лицо, чувствовавшее на себе, всякую минуту своей жизни, ответственность за все совершавшееся в Европе, и лицо не выдуманное, а живое, как и каждый человек, с своими личными привычками, страстями, стремлениями к добру, красоте, истине, – что это лицо, пятьдесят лет тому назад, не то что не было добродетельно (за это историки не упрекают), а не имело тех воззрений на благо человечества, которые имеет теперь профессор, смолоду занимающийся наукой, то есть читанном книжек, лекций и списыванием этих книжек и лекций в одну тетрадку. Но если даже предположить, что Александр I пятьдесят лет тому назад ошибался в своем воззрении на то, что есть благо народов, невольно должно предположить, что и историк, судящий Александра, точно так же по прошествии некоторого времени окажется несправедливым, в своем воззрении на то, что есть благо человечества. Предположение это тем более естественно и необходимо, что, следя за развитием истории, мы видим, что с каждым годом, с каждым новым писателем изменяется воззрение на то, что есть благо человечества; так что то, что казалось благом, через десять лет представляется злом; и наоборот. Мало того, одновременно мы находим в истории совершенно противоположные взгляды на то, что было зло и что было благо: одни данную Польше конституцию и Священный Союз ставят в заслугу, другие в укор Александру.

wiki-org.ru

Эксцентриситет гиперболы

Он служит для характеристики формы гиперболы.

Определение:Эксцентриситетом гиперболыназывается отношение половины фокусного расстояния к действительной полуоси, т. е, где, для гиперболы.

Чем меньше эксцентриситет, то есть чем ближе он к “1”, тем меньше , тем меньше, следовательно, отношение,значит, более вытянут её прямоугольник в направлении оси, соединяющей вершины гиперболы.

Замечание:

  1. если a=b, то имеем гиперболуили, которая называется равноостной гиперболой.

  1. Определение:Гиперболыиназываются сопряжёнными гиперболами.

Построим сопряжённые гиперболы.

Эксцентриситет гиперболы равен,

Примеры.

  1. Построить кривую по уравнению и вычислить с, , указать фокусы:

Решение: Уданной гиперболыa=4 - мнимая полуось,b=3 – действительная полуось и. Таким образом.

  1. Написать уравнение гиперболы для которой a=3 (действительная полуось),, центр лежит в О(0;0), построить эту гиперболу с фокусами.

Решение:(мнимая полуось).(равноосная гипербола).

Парабола

Определение:Параболой называется геометрическое место точек плоскости равноудалённых от данной точки, называемой фокусом и от данной прямой, называемой директрисой, расположенных на этой плоскости.

Вывод уравнения параболы.

В прямоугольной декартовой системе координат расположим директрису и фокус следующим образом:

p>0.

“p”-расстояние от фокуса до директрисы.

- уравнение директрисы параболы,-фокус параболы, точкапараболе.

По определению параболы имеем: MF=MB(1)

Заменим Получим уравнение параболы в этой системе координат:(2), упростим его:

Примечание 1:Надо доказать что уравнение (3) есть уравнение данной параболы. Доказательство смотрите в учебнике Н. В. Ефимова (краткий курс аналитической геометрии, М. 2005, стр. 96).

Таким образом уравнение -простейшее, т.е. каноническое уравнение параболы, определяющее параболу в некоторой системе декартовых координат, есть уравнение 2-ой степени, относительно “y”.

Форма параболы

  1. , т.е. параболалежит справа от осиOY(х=0)

  1. Так как , то ось ОХ(y=0) – ось симметрии параболы.

  2. При т.е.О(0;0)параболе и называется вершиной параболы.

  3. При неограниченном возрастании “x” неограниченно возрастает и ”y”:.

Замечание 1:

  1. Направление параболы в точке О(0;0) перпендикулярно к оси ОХ;

  2. Часть параболы, лежащая в верхней полуплоскости, своей выпуклостью обращена “вверх”.

Не будем доказывать эти свойства, т.к. такого рода исследование линии наиболее естественно проводить средствами математического анализа.

Виды парабол.

Уравнение (p>0) сводится к уравнениюпутём замены “x” на “-x”, т.е. путём преобразования координат, которое соответствует изменению осиOXна противоположное. Отсюда следует, что уравнениетакже определяет параболу, ось которой совмещена с осьюOX, а вершина – с началом координат, но котонная расположена в левой полуплоскости ().

Замечание 2:

  1. Осью симметрии любой параболы является та ось, одноимённая координата которой входит в 1-ой степени . Или так: если переменная “y” в уравнении параболы входит в чётной степени, то график симметричен относительно оси ОХ(y=0).

, здесь “х” – в 1-ой степени и, следовательно, осью симметрии является ось ОХ(y=0).

  1. Знак “+” в уравнениях и, (p>0), перед (2px) и (2py) указывает на то, что ветви параболы направлены в положительном направлении оси симметрии.

Знак “-” перед (2px) и (2py) указывает на то что, ветви параболы направлены в отрицательном направлении оси симметрии.

Это имеет место, так как , следовательно,;

, следовательно,;

, следовательно,;

Пример.

Построить кривую по уравнению, её директрису, фокус:

Решение: Имеем , следовательно,.

Ось симметрии – ОХ(y=0). Ветви параболы направлены в отрицательном направлнеии оси ОХ. Т. О(0;0) – вершина параболы.-фокус параболы.

studfiles.net

Эксцентриситет — WiKi

Сюда перенаправляется запрос «Директриса (геометрия)». На эту тему нужна отдельная статья. Эллипс (e=½), парабола (e=1) и гипербола (e=2) с фиксированными фокусом F{\displaystyle F} и директрисой. |FM|=e⋅|MM′|{\displaystyle |FM|=e\cdot |MM'|}.

Эксцентрисите́т — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности. Обычно обозначается e{\displaystyle e} или ε{\displaystyle \varepsilon }.

Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия.

Содержание

Все невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом:

Выберем на плоскости точку F{\displaystyle F}  и прямую d{\displaystyle d}  и зададим вещественное число e>0{\displaystyle e>0} . Тогда геометрическое место точек M{\displaystyle M} , для которых отношение расстояний до точки F{\displaystyle F}  и до прямой d{\displaystyle d}  равно e{\displaystyle e} , является коническим сечением. То есть, если M′{\displaystyle M'}  есть проекция M{\displaystyle M}  на d{\displaystyle d} , то

|FM|=e⋅|MM′|{\displaystyle |FM|=e\cdot |MM'|} .

Это число e{\displaystyle e}  называется эксцентриситетом конического сечения. Эксцентриситет окружности по определению равен 0.

Связанные определения

  • Точка F{\displaystyle F}  называется фокусом конического сечения.
  • Прямая d{\displaystyle d}  называется директрисой.
  Эллипсы и гиперболы всех возможных эксцентриситетов (e) от нуля до бесконечности, а также парабола (при y=0), на одной поверхности третьего порядка

ru-wiki.org

Эксцентриситет орбиты

Строение Солнечной системы

Строение Солнечной системы

Эксцентриситет (обозначается e или ε) входит в шестёрку кеплеровских элементов орбиты. Наряду с большой полуосью он определяют форму орбиты.

Определение эксцентриситета

Первый закон Кеплера гласит о том, что орбиты любой планеты Солнечной системы представляет собой эллипс. Эксцентриситет определяет, насколько орбита отлична от окружности. Он равен отношению расстояния от центра эллипса (c) до его фокуса большой полуоси (a).

Эксцентриситет орбит

Эксцентриситет орбит

У окружности фокус совпадает с центром, т.е. c = 0. Также любого эллипса c<a. Таким образом, при ε = 0 имеет форму окружности, при 0< ε< 1 – эллипса. При ε = 1 орбита является параболой, при ε > 1 – гиперболой. То есть, объект, орбита которого имеет эксцентриситет, равный или больший единицы, уже не обращается вокруг другого объекта. Примером тому являются некоторые кометы, которые, однажды, посетив Солнце, больше никогда к нему не вернуться. При эксцентриситете, равном бесконечности орбита представляет собой прямую линию.

Эксцентриситеты объектов Солнечной Системы

Орбита Седны

Орбита Седны. В центре координат — Солнечная система, окруженная роем планет и известных объектов пояса Койпера.

В нашей системе орбиты планет ничем не примечательны. Самой «круговой» орбитой обладает Венера. Её афелий всего-лишь на 1,4 млн. км.больше перигелия, а эксцентриситет равен 0,007 (у Земли – 0,016). По довольно вытянутой орбите движется Плутон. Обладая ε = 0,244, он временами приближается к Солнцу даже ближе чем Нептун. Однако, поскольку Плутон не так давно попал в разряд карликовых планет, самую вытянутую орбит среди планет теперь имеет Меркурий, обладающий ε = 0,204.

Среди карликовых планет наиболее примечательна Седна. Обладая ε = 0,86, она делает полный оборот вокруг Солнца почти за 12 тысяч лет, удаляясь от неё в афелии более чем на тысячу астрономический единиц. Однако даже это несравнимо с параметрами орбит долгопериодических комет. Периоды их обращения порой исчисляются миллионами лет, а многих из них и вовсе никогда не вернутся к Солнцу – т.е. обладают эксцентриситетом, большем 1. Облако Оорта может содержать триллионы комет, удалённых от Солнца на 50-100 тысяч астрономических единиц (0,5 – 1 световых лет). На таких расстояниях на нихмогут влиять другие звёзды и галактические приливные силы. Поэтому такие кометы могут обладать очень непредсказуемыми и непостоянными орбитами с самими различными эксцентриситетами.

Наконец, самым интересным является то, что даже Солнце обладает совсем ни круговой орбитой, как это может показаться на первый взгляд. Как известно, Солнце движется вокруг центра Галактики, проделывая свой путь за 223 млн. лет. Причём, из-за бесчисленного взаимодействия со звездами она получила довольно ощутимый эксцентриситет, равный 0,36.

Эксцентриситеты в других системах

Экзопланета HD 80606b

Сравнение орбиты HD 80606 b с внутренними планетами Солнечной системы

Открытие других солнечных систем неизбежно влечёт открытие планет с очень причудливыми параметрами орбит. Примером тому служат эксцентричные юпитеры, газовые гиганты с довольно высокими эксцентриситетами. В системах, имеющие такие планеты невозможно существование планет, подобных Земле. Они неизбежно упадут на гиганты или же статут их спутниками. Среди обнаруженных на данный момент эксцентричных юпитеров самым большим эксцентриситетом обладает HD 80606b. Он движется вокруг звезды чуть меньшей, чем наше Солнце. Эта планета в перигелии приближается к звезде в 10 раз ближе, чем Меркурий к Солнцу, тогда как в афелии она удаляется от неё почти на астрономическую единицу. Таким образом, она имеет эксцентриситет 0,933.

Стоит отметить, что хоть данная планета и пересекает зону жизни, ни о каких видах привычной биосферы не может идти и речи. Её орбита создаёт на планете экстремальный климат.За короткий период сближения со звездой температура её атмосферы за считанные часы меняется на сотни градусов, в результате чего скорость ветров достигают многих километров в секунду. Подобными условиями обладают прочие планеты с высокими коэффициентами. Тот же Плутон, к примеру, при приближение к Солнцу приобретает обширную атмосферу, которая оседает в виде снега при удалении. В тоже время все Землеподобные планеты обладают орбитами, близкими к круговым. Поэтому эксцентриситет можно назвать одним из параметров, определяющим возможность наличия органической жизни на планете.

comments powered by HyperComments

Понравилась запись? Расскажи о ней друзьям!

Просмотров записи: 4915

Система Orphus

spacegid.com