Координаты проекции точки на плоскость и на прямую.Расстояние от точки до плоскости и до прямой. Как найти проекцию точки на прямую


Проекция точки на прямую онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на прямую. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления проекции точки на прямую, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точки и элементы уравнения в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Проекция точки на прямую − теория, примеры и решения

Рассмотрим эту задачу в двухмерном и трехмерном пространствах.

1. Пусть в двухмерном пространстве задана точка M0(x0, y0) и прямая L:

где q=(m,p) направляющий вектор прямой L.

Найдем проекцию точки M0 на прямую (1)(Рис.1).

Нахождение проекции точки на прямую L содержит следующие шаги:

  • построить прямую L1, проходящую через точку M0 и перпендикулярную прямой L,
  • найти пересечение прямых L и L1(точка M1)

Уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0) имеет следующий вид:

где n=(A,B) нормальный вектор прямой L1.

Как видно из рисунка Рис.1, для того, чтобы прямая L1 была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n прямой L1, поэтому в качестве нормального вектора прямой L1 достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение прямой L1, представленной уравнением (2) можно записать так:

Откроем скобки

Для нахождения точки пересечения прямых L и L1, которая и будет проекцией точки M0 на прямую L, можно решить систему из двух уравнений (1) и (3) с двумя неизвестными x и y. Выражая неизвестную x из одного уравнения и подставляя в другое уравнение получим координаты точки M1(x1, y1).

Найдем точку пересечения прямых L и L1 другим методом.

Выведем параметрическое уравнение прямой (1):

Подставим значения x и y в (4):

Мы нашли такое значение t=t', при котором координаты x и y точки на прямой L удовлетворяют уравнению прямой L1(4). Следовательно, подставляя значение t' в (5) получим координаты проекции точки M0 на прямую L:

где x1=mt'+x', y1=pt'+y'.

Пример 1. Найти проекцию точки M0(1, 3) на прямую

Решение.

Направляющий вектор прямой (6) имеет вид:

Т.е. m=4, p=5. Из уравнения прямой (6) видно, что она проходит через точку M' (x', y')=(2, −3)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (6) получим тождество 0=0), т.е. x'=2, y'=-3. Подставим значения m, p, x0, y0, x', y' в (5'):

Подставляя значение t в (5), получим:

Ответ:

Проекцией точки M0(1, 3) на прямую (6) является точка:

 

2. Пусть в трехмерном пространстве задана точка M0(x0, y0, z0) и прямая L:

где q=(m, p, l) направляющий вектор прямой L.

Найдем проекцию точки M0 на прямую (7)(Рис.2).

Нахождение проекцию точки на прямую L содержит следующие шаги:

  • построить плоскость α, проходящую через точку M0 и перпендикулярную прямой L,
  • найти пересечение плоскости α и прямой L(точка M1)

Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) имеет следующий вид:

где n=(A,B,C) нормальный вектор плоскости α.

Как видно из рисунка Рис.2, для того, чтобы плоскость α была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n плоскости α, поэтому в качестве нормального вектора плоскости α достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение плоскости α, представленной уравнением (8) можно записать так:

Откроем скобки

Для нахождения точки пересечения плоскости α и прямой L, которая и будет проекцией точки M0 на прямую L, выведем параметрическое уравнение прямой (7):

Подставим значения x и y в (9):

Мы нашли такое значение t=t', при котором координаты x,y и z точки на прямой L удовлетворяют уравнению плоскости (9). Следовательно, подставляя значение t' в (10) получим координаты проекции точки M0 на прямую L:

где x1=mt'+x', y1=pt'+y', z1=lt'+z'.

Пример 2. Найти проекцию точки M0(3, −1, −2) на прямую

Решение.

Направляющий вектор прямой (11) имеет вид:

Т.е. m=2, p=3, l=−4. Из уравнения прямой (11) видно, что она проходит через точку M' (x', y', z')=(2, 1, 1)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (11) получим тождество 0=0=0), т.е. x'=2, y'=1, z'=1. Подставим значения m, p, l x0, y0, z0 x', y', z' в (10'):

Подставляя значение t=t' в (10), получим:

Ответ:

Проекцией точки M0(3, −1, −2) на прямую (11) является точка:

matworld.ru

Проекция точки на плоскость онлайн

Координаты проекции точки
Введенное выражение

В данном материале  мы рассмотрим решение задачи нахождения координат  проекции точки на какую либо плоскость  в пространстве.

 

 

Теории практически не будет и думаю для тех кто интересуется могут понять это все из ниже разобранного примера

 

Найти проекцию точки M(1,-3,2) на плоскость 2x+5y-3z-19=0

 

Проекция точки М на данную поверхность - есть точка пересечения с данной плоскостью прямой, проходящей через точку М перпендикулярно к данной плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M(1,-3,2) перпедикулярно к плоскости 2x+5y-3z-19=0 имеет вид

 

или в виде системы

 

Добавив сюда исходное уравнение плоскости получим полноценную систему линейных уравнений которая легко решается

 

 

В данном примере проекция точки имеет координаты (3,2,-1)

 

Удачных расчетов!!

 

  • Проекция точки на прямую >>

www.abakbot.ru

1.12. Проекция точки на плоскость или прямую

1-12.Проекция точки на плоскость или прямую

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти координаты проекции Р' точки P{^PiУРЧzp) па плоскость Ах+ By-\-Cz-\-D = О,

ПЛАН РЕШЕНИЯ. ПроекцияР' точкиР на плоскость является ос­ нованием перпендикуляра, опущенного из точкиР на эту плоскость.

1. Составляем уравнения прямой, проходящей через точку Р пер­ пендикулярно данной плоскости. Для этого в качестве направляю­ щего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости:а = п = = {А,В, С}. Тогда канонические уравнения прямой имеют вид

х-хр

у-ур

Z-

zp

А

В

С

'

2. Находим координаты точки пересечения Р' этой прямой с за­ данной плоскостью (см. задачу 1.11). Положим

х-хр

_ у-ур_ Z- Zp _

А

~ В ~ С "

Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид

X = At-\-хр, у =Bt-\-yp,Z =zCt-\-Zp.

3.Подставляя x^y^z в уравнение плоскости и решая его относи­ тельно t, находим значение параметра t = to, при котором происходит пересечение прямой и плоскости.

4.Найденное значение ^о подставляем в параметрические уравне­ ния прямой и получаем искомые координаты точки Р'.

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решается задача о нахождении коорди­ нат проекции точки на прямую.

ПРИМЕР . Найти координаты проекции Р ' точкиР(1,2,—1)на плоскость Зж —2/4-22:— 4 = 0.

РЕШЕНИЕ.

1. Составляем уравнения прямой, проходящей через точку Р пер­ пендикулярно данной плоскости. Для этого в качестве направляю­ щего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости:а = п =

32

Гл. 1. Ансиитическая геометрия

= {3, —1,2}.Тогда канонические уравнения прямой имеют вид

 

х-1

_ у-2_z-hl

 

3

"" - 1

2

'

 

2. Найдем координаты ТОЧЮЙ пересеченияР' этой прямой с задан­

ной плоскостью. Положим

 

 

 

 

х-~1__у-2 __Z + 1 _

 

3

"" - 1

•" 2

"^ '

Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид

 

 

x^St

+ 1,

 

 

 

y = - t + 2,

 

 

 

2 = 2t - 1.

 

3. Подставляя эти выражения для х^ у и z в уравнение плоскости, находим значение параметра ^, при котором происходит пересечение прямой и плоскости:

3(3t + 1) - l{-t + 2) +2{2t - 1) - 27 = О = > to = 2.

4. Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение to = 2, получаем жо = 7, уо = О, ^о = 1.

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости и, следо­ вательно, проекция точки Р на плоскость имеет координаты (7,0,1).

Ответ. Проекция Р' имеет координаты (7,0,1).

У с л о в ия ЗАДАЧ. Найти координаты

проекции точки I^ на плос-

1.

Р(1,0,1),

4х + бу -f4z -

25 = 0.

2.

Р(-1,0,-1),

2х + 6у'-2г-\-11

= 0.

3.

Р(2,1,0),

2/-hz+ 2 = 0.

 

 

4.

Р(0,2,1),

2а: 4- 42/ -

3 = 0.

 

5.

Р(-1,2,0),

4 х - 5 2 / - г - 7

= 0.

6.

Р(2,-1,1),

x-y-\-2z-2=^0.

 

 

7.

Р(1,1,1),

ж-f-42/+З2:4-5= 0.

8.

Р(1,2,3),

2х -hЮу + lOz -

1 = 0.

9. Р(0,-3,-2),

2х -МО2/-f-lOz -

1 = 0.

10. Р(1,0,-1),

2y + 4z-l

= 0.

 

Ответы. 1.(2,3/2,2). 2. (-3/2,-3/2,-1/2).3.(2,-1/2,-3/2).4.(-1/2,1,1).5.(1,-1/2,-1/2).6.(3/2,-1/2,0).7.(1/2,-1,-1/2).8.(1/2,-1/2,1/2).9.(1/2,-1/2,1/2).10.(1,1/2,0).

1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости

33

1.13.Симметрия относительно прямой или плоскости

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Найти координаты точкиQ, симметрич­

ной точке P{xp,yp,zp)

относительно

прямой

X - хр _ у -уо_ Z -ZQ

I

т

п

ПЛАН РЕШЕНИЯ. Искомая точкаQ лежит на прямой, перпенди­ кулярной данной и пересекающей ее в точкеР'. Поскольку точка Р ' делит отрезокPQ пополам, координаты жд, уд иZQ ТОЧКИQ определяются из условий

^Р'

=

хрЛ-XQ

yp + yq

zp + ZQ

(1)

2 " ^ , УР' =

2 ~ ^ . ^Р' =

^ ,

где xp,yp,zp

— координаты точ1си Р иxp^^ypf^zp/ — координаты

еепроекции Р' на данную прямую.

1.Найдем проекцию точки Р на данную прямую, т.е. точку Р ' (см. задачу 1.12). Для этого:

а) составим уравнение плоскости, проходящей через точку Р пер­ пендикулярно данной прямой. В качестве нормального вектора п этой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой, т.е.п = а = {l^m^n}. Получаем

1{х - Хр) + т{у -УР) -f n{z - zp) =0;

б) найдем координаты точки пересечения Р ' этой плоскости с за­ данной прямой. Для этого запишем уравнения прямой в параметри­ ческой форме

X = Н-\-жо, y =mt-\-yo,Z =nt-\-ZQ.

Подставляя x^y^z в уравнение плоскости и решая его относительно t, находим значение параметра t = to, при котором происходит пересе­ чение прямой и плоскости;

в) найденное значение to подставляем в параметрические уравне­ ния прямой и получаем искомые координаты точки Р'.

2. Координаты точки Q, симметричной точке Р относительно дан­ ной прямой, определяем из условий (1). Получаем

XQ = 2хр/ - Хр,yq = 2ур' - ур, ZQ = 22;р/ -zp.

34

Гл. 1. Аналитическая геометрия

ЗАМЕЧАНИЕ. Аналогично решается задача о нахождении коорди­ нат точки, симметричной данной, относительно плоскости.

ПРИМЕР. Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(2,-1,2)относительно прямой

X — 1 _ у __ Z -\-1

1 "^ О - 2 *

РЕШЕНИЕ.

1.Найдем проекцию точки Р на данную прямую, т.е. точку Р'. Для этого:

а) составим уравнение плоскости, проходящей через точку Р пер­ пендикулярно данной прямой. В качестве нормального векторап этой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой: n = a ={1,0,-2}.Тогда

1(а: -

2) + 0(2/ + 1) - 2(z - 2) = О =Ф ж - 2z + 2 = 0;

б) найдем

точку пересечения

заданной прямой и плоскости

X — 2z + 2 =

0. Для этого запишем уравнения прямой в парамет­

рической форме:

 

 

x = t +

l,

 

z = -2t-

1.

Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости, на­ ходим значение параметра t, при котором происходит пересечение прямой и плоскости: to =—1;

в) подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение to = —1,получаем

жр/ = О, г/р/ = О, zpr = 1.

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости и, следова­ тельно, проекция точки Р на прямую есть Р'(0,0,1).

2. Координаты точки Q, симметричной точке Р относительно дан­ ной прямой, определяются из условий (1):

XQ = 2хр' — Хр= —2,

VQ = 2ур/ - 2/р = 1,

ZQ = 2zpf— zp= 0.

Ответ. Точка Q имеет координаты(—2,1,0).

1.13. Симметрия относительно прямой или плоскости

35

Условия ЗАДАЧ. Найти координаты точки, симметричной точ­ ке Р от^носителъно заданной прямой.

1.

Р(0,-1,3),

X — 1

_

2/ .

Z

 

 

 

1

 

- 1

"

1

 

2.

Р((2,1,-1),

X —

 

 

 

 

 

 

~2

 

 

0

 

- 1 *

 

 

 

 

 

 

 

3.

Р(-1,0,3),

X

_ 2/ +

1 _

1 *

 

 

 

0

'

2

 

'

 

4.

Р(3,0,-1),

X

_

2 / - 1 .

Z

 

 

 

Т''

1

 

 

 

5.

Р(-1,2,1),

х + 1 __ у -2

_z

 

- 1

-

 

~

 

 

 

 

 

 

 

6.

Р(3,-1,0),

X

_

^ +

1

 

I ~

0

~

2

 

 

 

 

7.

Р(-1,3,0),

X

_

2^

_ г - 1

 

 

 

т

 

- 1

 

- 1

 

8.

Р(1,-1,2),

X

_

2/ +

1 _

Z - 2

 

0

 

 

1

 

- 2

'

 

 

 

 

 

9.

Р(0,3,-1),

X

+

1 _

2/

Z

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.Р(0,2,1),

X - 4 _у_+ 1 _ 2^ - 2

 

 

2

 

-

1

3 -

Ответы. 1.(4,-1,-1).2.(2,-1,-1).3.(1,2,-1).4.(-1,4,-1).5.(-1,2,-1).6.(-1,1,2).7.(-1,-1,4).8.(-1,-1,2).9.(2,-1,1).10.(4,-2,-3).

studfiles.net

Методическая разработка урока по математике на тему "Проекция точки на прямую, координаты проекции точки на прямую" (9 класс)

Проекция точки на прямую, координаты проекции точки на прямую.

В этой статье сначала дано определение проекции точки на прямую (на ось) и приведен поясняющий рисунок. Далее разобран способ нахождения координат проекции точки на прямую во введенной прямоугольной системе координат на плоскости и в трехмерном пространстве, показаны решения примеров с подробными пояснениями.

Навигация по странице.

Проекция точки на прямую – определение.

Вообще проецирование некоторой фигуры на прямую является обобщением понятия ортогонального проецирования фигуры на плоскость (смотрите статью проекция точки на плоскость).

Так как все геометрические фигуры состоят из точек, а проекция фигуры представляет собой множество проекций всех точек этой фигуры, то для проецирования фигуры на прямую необходимо уметь проецировать точки этой фигуры на данную прямую.

Так что же называют проекцией точки на прямую?

Определение.

Проекция точки на прямую – это либо сама точка, если она лежит на данной прямой, либо основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на заданную прямую.

На приведенном ниже рисунке точка h2 является проекцией точки M1 на прямую a, а точка M2 есть проекция самой точки М2 на прямую a, так как М2 лежит на прямой a.

Это определение проекции точки на прямую справедливо как для случая на плоскости, так и для случая в трехмерном пространстве.

На плоскости, чтобы построить проекцию точки М1 на прямую a нужно провести прямую b, которая проходит через точку М1 и перпендикулярна прямой a. Тогда точка пересечения прямых a и b является проекцией точки М1 на прямую a.

В трехмерном пространстве проекцией точки М1 на прямую a является точка пересечения прямой a и плоскости , проходящей через точку М1 перпендикулярно к прямой a.

К началу страницы

Нахождение координат проекции точки на прямую – теория и примеры.

Начнем с нахождения координат проекции точки на прямую, когда проецируемая точка и прямая заданы в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости. После этого покажем, как находятся координаты проекции точки на прямую в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве.

Координаты проекции точки на прямую на плоскости.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная система координат Oxy, задана точка , прямая a и требуется определить координаты проекции точки М1 на прямую a.

Решим эту задачу.

Проведем через точку М1 прямую b, перпендикулярную прямой a, и обозначим точку пересечения прямых a и b как h2. Тогда h2 – проекция точки М1 на прямую a.

Из проведенного построения логически следует алгоритм, позволяющий найти координаты проекции точки  на прямую a:

Разберемся с нахождением координат проекции точки на прямую при решении примера.

Пример.

На плоскости относительно прямоугольной системы координат Oxy заданы точка  и прямая a, которой соответствует общее уравнение прямойвида . Найдите координаты проекции точки М1 на прямую a.

Решение.

Уравнение прямой a нам известно из условия, так что можно переходить ко второму шагу алгоритма.

Получим уравнение прямой b, которая проходит через точку М1 и перпендикулярна прямой a. Для этого нам потребуются координаты направляющего вектора прямой b.Так как прямая b перпендикулярна прямойa, то нормальный вектор прямой a является направляющим вектором прямой b. Очевидно, нормальным вектором прямой  является вектор с координатами , следовательно, направляющим вектором прямой bявляется вектор . Теперь мы можем написать каноническое уравнение прямой b, так как знаем координаты точки , через которую она проходит, и координаты ее направляющего вектора: .

Осталось найти координаты точки пересечения прямых a и b, которые дадут искомые координаты проекции точки М1 на прямую a. Для этого сначала перейдем от канонических уравнений прямой b к ее общему уравнению: . Теперь составим систему уравнений из общих уравнений прямых a и b, после чего найдем ее решение (при необходимости обращайтесь к статье решение систем линейных уравнений):

Таким образом, проекция точки  на прямую  имеет координаты .

Ответ:

.

Пример.

На плоскости в прямоугольной системе координат Oxy заданы три точки . Найдите координаты проекции точки М1 на прямую АВ.

Решение.

Для нахождения координат проекции точки М1 на прямую АВ будем действовать по полученному алгоритму.

Напишем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки  и :.

Теперь можно от полученного канонического уравнения прямой АВ перейти к общему уравнению прямой АВ и продолжить решение по аналогии с предыдущим примером. Но давайте рассмотрим другой способ нахождения уравнения прямой b, проходящей через точку М1 перпендикулярно прямой АВ.

Из канонического уравнения прямой АВ получим уравнение прямой с угловым коэффициентом: . Угловой коэффициент прямой АВравен , а угловой коэффициент прямой b, которая перпендикулярна прямойАВ, равен  (смотрите условие перпендикулярности прямых). Тогда уравнение прямой b, проходящей через точку  и имеющей угловой коэффициент , имеет вид .

Чтобы определить координаты проекции точки  на прямую АВосталось решить систему уравнений :

Ответ:

.

Давайте еще отдельно остановимся на нахождении координат проекции точки  на координатные прямые Ox и Oy, а также на прямые, им параллельные.

Очевидно, что проекцией точки  на координатную прямую Ox, которой соответствует неполное общее уравнение прямой вида , является точка с координатами . Аналогично, проекция точки  на координатную прямую Oy имеет координаты .

Любая прямая, параллельная оси абсцисс, может быть задана неполным общим уравнением вида , а прямая, параллельная оси ординат, - уравнением вида . Проекциями точки  на прямые  и  являются точки с координатами  и соответственно.

Пример.

Какие координаты имеют проекции точки  на координатную прямуюOy и на прямую .

Решение.

Проекцией точки  на прямую Oy является точка с координатами .

Перепишем уравнение прямой  как . Теперь хорошо видно, что проекция точки  на прямую  имеет координаты .

Ответ:

 и .

Координаты проекции точки на прямую в трехмерном пространстве.

Теперь переходим к нахождению координат проекции точки на прямую относительно прямоугольной системы координат Oxyz, введенной в трехмерном пространстве.

Пусть в пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана точка , прямая a и требуется найти координаты проекции точки М1 на прямую a.

Решим эту задачу.

Построим плоскость , которая проходит через точку М1 перпендикулярно к прямойa. Проекцией точки М1 на прямую a является точка пересечения прямой a и плоскости . Таким образом, получаем алгоритм, позволяющий найти координаты проекции точки  на прямую a:

Рассмотрим решение примера.

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxyz задана точка  и прямая a, причем прямую a определяют канонические уравнения прямой в пространствевида . Найдите координаты проекции точки М1 на прямую a.

Решение.

Для определения координат проекции точки М1 на прямую a воспользуемся полученным алгоритмом.

Уравнения прямой a нам сразу известны из условия, так что переходим ко второму шагу.

Получим уравнение плоскости , которая перпендикулярна к прямой a и проходит через точку . Для этого нам нужно знать координаты нормального вектора плоскости . Найдем их. Из канонических уравнений прямой a видны координаты направляющего вектора этой прямой: . Направляющий вектор прямой a является нормальным вектором плоскости, которая перпендикулярна к прямой a. То есть,  - нормальный вектор плоскости . Тогда уравнение плоскости , проходящей через точку  и имеющей нормальный вектор , имеет вид .

Осталось найти координаты точки пересечения прямой a и плоскости  - они являются искомыми координатами проекции точки  на прямую a. Покажем два способа их нахождения.

Первый способ.

Из канонических уравнений прямой a получим уравнения двух пересекающихся плоскостей, которые определяют прямую a:

Координаты точки пересечения прямой  и плоскости  мы получим, решив систему линейных уравнений вида . Применим метод Крамера (если Вам больше нравиться метод Гаусса или какой-нибудь другой метод решения систем линейных уравнений, то применяйте его):

Таким образом, точка с координатами  является проекцией точки М1 на прямую a.

Второй способ.

Зная канонические уравнения прямой a, легко записать ее параметрические уравнения прямой в пространстве: . Подставим в уравнение плоскости  вида  вместо x, y и z их выражения через параметр:

Теперь мы можем вычислить искомые координаты точки пересечения прямой aи плоскости  по параметрическим уравнениям прямой a при :.

То есть, проекция точки М1 на прямую a имеет координаты .

Ответ:

.

В заключении заметим, что проекциями точки  на координатные прямыеOx, Oy и Oz являются точки с координатами  и соответственно.

infourok.ru

Координаты проекции точки на плоскость и на прямую.Расстояние от точки до плоскости и до прямой.

Координаты проекции точки на плоскость.

Плоскость ABC задана координатами трёх её точек

Задана точка

Точка M является проекцией точки S на плоскость ABC:

Найти координаты точки M

Координаты векторов

По условию, так как прямые AB и AC не параллельны, векторное произведение векторов

Равно нулю смешанное произведение векторов

Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, перпендикулярна этой плоскости

Равны нулю скалярные произведения:

Получаем систему из трёх уравнений с тремя неизвестными xm, ym, zm:

Введём обозначения

Определитель этой системы отличен от нуля:

Система имеет единственное решение:

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние между точкой S и плоскостью ABC может быть найдено по формуле:

Расстояние между точкой S и плоскостью ABC может быть найдено вторым способом, как высота параллелепипеда, сторонами которого являются [AB] и [AC], а боковым ребром является [AS].

Векторное произведение векторов AB и AC имеет координаты:

Модуль векторного произведения векторов AB и AC:

Модуль смешанного произведения векторов AS, AB, AC:

Расстояние между точкой S и плоскостью ABC может быть найдено по формуле:

Координаты проекции точки на прямую.

Прямая AB задана координатами двух её точек

Задана точка

Точка K является проекцией точки S на прямую AB.

Найти координаты точки K

Для нахождения координат точки K используем условия:

  1. Векторы AK и AB – коллинеарны, их координаты пропорциональны;
  2. Векторы SK и AB ортогональны, и их скалярное произведение равно нулю ;

Из первого уравнения

Подставляя xk, yk, zk во второе уравнение, находим t:

Координаты проекции точки S на прямую AB, то есть координаты точки K(xk, yk, zk):

Расстояние от точки до прямой.

Расстояние между точкой S и прямой AB может быть найдено по формуле:

Расстояние между точкой S и прямой AB может быть найдено вторым способом, как высота параллелограмма, сторонами которого являются [AB] и [AS].

Векторное произведение векторов AB и AS имеет координаты:

Модуль векторного произведения векторов AB и AS:

Модуль вектора AB:

Расстояние между точкой S и прямой AB может быть найдено по формуле:

Программа «Координаты проекции точки на плоскость, на прямую. Расстояние от точки до плосоксти, до прямой».

Программа «Координаты проекции точки на плоскость, на прямую. Расстояние от точки до плосоксти, до прямой».

Версия от 15 декабря 2012 года.

Выдаётся точное значение координат проекции точки на плосокость или прямую в виде несократимой рациональной дроби c/r. Выдаётся точное значение расстояния от в виде c*sqrt(p)/r

Дробь c/r является несократимой рациональной дробью, а подкоренное выражение p не содержит в качестве своих делителей квадраты натуральных чисел.

Результат можно вывести в файл.

Для перевода курсора в следующее поле и вычисления результата используйте клавишу Enter.

Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми.

На главную страницу.

ateist.spb.ru

проекция точки на прямую | C++ для приматов

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

 

struct point //точка

{

    double x;

    double y;

};

struct straight //прямая в виде общего уравнения Ax + By + C = 0

{

    double A;

    double B;

    double C;

};

straight create_straight (point A, point B)

{

    straight s;

    s.A = A.y - B.y;

    s.B = B.x - A.x;

    s.C = A.x * B.y - B.x * A.y;

    return s;

}

double r (point A, point B) //расстояние между двумя точками

{

    return sqrt((A.x - B.x)*(A.x - B.x)+(A.y - B.y)*(A.y - B.y));

}

point projection (point A, point B, point C) // проекция точки С на прямую AB

{

    double x = B.y - A.y; //x и y - координаты вектора, перпендикулярного к AB

    double y = A.x - B.x;

    double L = (A.x*B.y - B.x*A.y + A.y*C.x - B.y*C.x + B.x*C.y - A.x*C.y)/(x*(B.y - A.y) + y*(A.x - B.x));

    point H;

    H.x = C.x + x * L;

    H.y = C.y + y * L;

    return H;

}

point intersection (straight a, straight b) //точка пересечения прямых a и b

{

    point ans;

    ans.x = (b.C*a.B - a.C*b.B)/(a.A*b.B - b.A*a.B);

    ans.y = (a.C*b.A - b.C*a.A)/(b.B*a.A - a.B*b.A);

    return ans;

}

void check_projection (point A, point B, point C, double & min_dis)

{

    point H = projection(A,B,C);

    if ((H.x >= min(A.x,B.x) && H.x <= max(A.x,B.x)) && (H.y >= min(A.y,B.y) && H.y <= max(A.y,B.y))) //проекция принадлежит отрезку

    {

        if (r(H,C) < min_dis)

        {

            min_dis = r(H,C);

        }

    }

}

double distance_if_not_intersect (point A, point B, point C, point D) //расстояние между отрезками, если они не пересекаются

{

    double min_dis = min(min(r(A,C),r(A,D)),min(r(B,C),r(B,D)));

    check_projection (A,B,C,min_dis);

    check_projection (A,B,D,min_dis);

    check_projection (C,D,A,min_dis);

    check_projection (C,D,B,min_dis);

    return min_dis;

}

int main()

{

    point A,B,C,D;

    cin>>A.x>>A.y>>B.x>>B.y>>C.x>>C.y>>D.x>>D.y;

    straight AB = create_straight(A,B);

    straight CD = create_straight(C,D);

    if (AB.A/CD.A == AB.B/CD.B) //условие параллельности прямых

    {

        cout<<distance_if_not_intersect(A,B,C,D);

    }

    else

    {

        point H = intersection(AB,CD);

        if ( (H.x >= min(A.x, B.x) && H.x <= max(A.x,B.x) && H.x >= min(C.x, D.x) && H.x <= max(C.x,D.x)) && //точка пересечения принадлежит обоим отрезкам

        (H.y >= min(A.y, B.y) && H.y <= max(A.y,B.y) && H.y >= min(C.y, D.y) && H.y <= max(C.y,D.y)) )

        {

            cout<<0;

        }

        else

        {

            cout<<distance_if_not_intersect(A,B,C,D);

        }

    }

    return 0;

}

cpp.mazurok.com

Как найти проекцию точки на прямую

Для решения сложных геометрических задач часто оказывается достаточно знания алгоритмов простых операций. Так иногда оказывается достаточно просто найти проекцию точки на прямую и сделать несколько дополнительных построений, чтобы нерешаемая на первый взгляд задача превратилась в доступную.

Инструкция

  • Научитесь пользовать координатной плоскостью. Основные затруднения могут возникнуть с отрицательными числами. Запомните, что всего имеется четыре квадранта: в первом расположены положительные значения, во втором – положительные только по оси абсцисс, в третьем – отрицательные по обеим осям, а в четвертом отрицательные сохраняются только на оси абсцисс. Вы можете произвольно задавать направления координатных осей, но в математике по традиции принято, чтобы ось ординат была направлена вверх (соответственно, внизу расположены отрицательные числа), а ось абсцисс шла слева направо (равно как и смена отрицательных чисел через ноль на положительные).
  • Зафиксируйте данные задачи. Вам нужно знать координаты точки, а также уравнение прямой, проекцию точки на которую необходимо найти. Нарисуйте чертеж. Начинайте с изображения координатной плоскости, обозначения центра координат, осей и их направления, а также единичных отрезков. Выполнив это действие, нанесите на полученную плоскость данную вам точку, исходя из знания о ее координатах, и проведите заданную прямую. Если вы хотите быть математически грамотным, ваша прямая должна занимать всю координатную плоскость, не выходя за ее пределы, но и не завершаться до их достижения.
  • Опустите перпендикуляр из данной точки на прямую. Найти проекцию точки означает найти координаты точки пересечения. Для этого проведите через исходную точку и точку пересечения прямую. Вы получите две перпендикулярных прямых. Воспользуйтесь теоремой о том, что у двух перпендикулярных прямых отношение угловых коэффициентов есть минус единица.
  • Исходя из этого, составьте систему уравнений. Координаты искомой точки – (А, В), данной – (А1, В1), уравнение прямой – Сх+Е, уравнение проведенной прямой – (-С)х+К, где К пока неизвестно. Первое уравнение: АС+Е=В. Оно верно, так как искомая точка лежит на данной прямой. Второе уравнение: А1(-С)+К=В1. И третье уравнение: А(-С)+К=В. Имея три линейных уравнения с тремя неизвестными (– А, В, К), вы легко решите поставленную задачу.

completerepair.ru