Как найти точку пересечения медиан треугольника. Как найти точку пересечения медиан


Разузнай! - Медиана треугольника - Уравнение длины медианы - Точка пересечения медиан треугольника

Медиана треугольника

Медиана и высота треугольника – это одна из самых увлекательных и интересных тем геометрии. Термин «Медиана» означает прямую или отрезок, который соединяет вершину треугольника с его противоположной стороной. Другими словами, медиана – это линия, которая проходит из середины одной стороны треугольника в противоположную вершину этого же треугольника. Поскольку у треугольника только три вершины и три стороны, значит и медианы может быть только три. 

Свойства медианы треугольника

  1. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и разделяются этой точкой в соотношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, если нарисовать в треугольнике все три медианы, то точка их пересечения будет делить их на две части. Часть, которая располагается ближе в вершине, будет составлять 2/3 всей линии, а часть, которая располагается ближе к стороне треугольника – 1/3 линии. Пересекаются медианы в одной точке.
  2. Три медианы, проведенные в одном треугольнике, делят этот треугольник на 6 маленьких треугольников, чья площадь будет равна.
  3. Чем больше сторона треугольника, от которой исходит медиана, тем меньше эта медиана. И наоборот, самая короткая сторона имеет самую длинную медиану.
  4. Медиана в прямоугольном треугольнике имеет ряд собственных характеристик. Например, если вокруг такого треугольника описать окружность, которая будет проходить через все вершины, то медиана прямого угла, проведенная к гипотенузе, станет радиусом описанной окружности (то есть ее длина будет составлять расстояние от любой точки окружности до ее центра).

Уравнение длины медианы треугольника

Формула медианы исходит из теоремы Стюарта и гласит, что медиана – это квадратный корень из отношения квадратов суммы сторон треугольника, которые образуют вершину, за вычетом квадрата стороны, к которой проведена медиана к четырем. Другими словами, чтобы узнать длину медианы нужно возвести в квадрат показатели длины каждой стороны треугольника, а затем записать это в виде дроби, в числителе которой будет сумма квадратов сторон, которые образуют угол, откуда исходит медиана, минус квадрат третьей стороны. В качестве знаменателя здесь выступает цифра 4. Затем из данной дроби нужно извлечь корень квадратный, и тогда мы получим длину медианы.

Точка пересечения медиан треугольника

Как мы писали выше, всем медианы одного треугольника пересекаются в одной точке. Эту точку называют центром треугольника. Он делит каждую медиану на две части, длина которым соотносится как 2:1. При этом центр треугольника является и центром описанной вокруг него окружности. А другие геометрические фигуры имеют собственные центры.

Координаты точки пересечения медиан треугольника

Чтобы найти координаты пересечения медиан одного треугольника, воспользуемся свойством центроида, согласно которому он делит каждую медиану на отрезки 2:1. Обозначаем вершины как как A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3),

и вычисляем координаты центра треугольника по формуле: x0 = (x1 + x2 + x3)/3; y0 = (y1 + y2 + y3)/3.

Площадь треугольника через медиану

Все медианы одного треугольника делят этот треугольник на 6 равных треугольников, а центр треугольника делит каждую медиану в соотношении 2:1. Поэтому если известны параметры каждой медианы, можно вычислить и площадь треугольника через площадь одного из маленьких треугольников, а затем увеличить этот показатель в 6 раз.

В случае с прямоугольным треугольником поступаем так. Вокруг треугольника описываем окружность, а еще одну вписываем в него. Помним, что площадь треугольника равна сумме квадрата радиуса внутренней окружности и двойного произведения радиуса описанной и вписанной окружности. При этом, радиус описанной равен длине медианы, которая идет к середине гипотенузы. А радиус вписанной вычисляем через свойство центра треугольника делить каждую медиану на две части в соотношении 2:1. Все полученные значения вставляем в формулу и получаем площадь прямоугольного треугольника.

  • < Денежное дерево
  • Мерчендайзер >

razuznai.ru

Как найти точку пересечения медиан

Медианой треугольника называется линия, которая проведена из его угла и делит пополам противолежащую сторону. Все медианы пересекаются в одной точке. Найти эту точку необходимо, если нужно знать, где находится центр тяжести детали, имеющей треугольную форму. Это можно сделать с помощью геометрических построений.

Вам понадобится

  • - треугольник с заданными параметрами;
  • - карандаш;
  • - транспортир;
  • - линейка;
  • - компьютер с программой AutoCAD.

Инструкция

  • Вычисления начните с геометрических построений. Постройте треугольник согласно имеющимся у вас данным. Это могут быть три стороны, сторона и два прилежащих к ней угла либо же две стороны и угол между ними. Для определения точки пересечения медиан вам необходимо знать размеры всех трех сторон, поэтому обозначьте на чертеже то, что вам известно и найдите остальные размеры.
  • Обозначьте треугольник как АВС. Стороны, противолежащие углам, будут соответственно, a, b и с. Проведите медианы и обозначьте их как m1, m2 и m3, а точку их пересечения — как О.
  • Вспомните свойство медиан. Точка пересечения отсекает от каждой из них отрезки в соотношении 2:1. Больший отрезок — тот, который ограничен вершиной угла и точкой О. Это важно, поскольку вам необходимо определить расстояние этой точки от каждого из углов.
  • Длину медианы, принадлежащей той или иной стороне, вычислите по формуле Стюарта. Она равна квадратному корню из дроби, числитель которой представляет собой сумму удвоенных квадратов сторон, не принадлежащих данной медиане, за вычетом из нее квадрата третьей стороны. В знаменателе подкоренного выражения стоит число 4. То есть m1 = √(2*a2+2*b2-c2)/4. Вычислите таким же образом две остальные медианы.
  • Обозначьте отрезки, на которые делит медиану точка пересечения, как L1 и L2. Отрезок L1 в два раза больше отрезка L2. При этом L2 = m1/3. Найдите расстояние L2. Оно равно 2*L1, то есть L2 = 2*m/3. Таким же образом найдите расстояния точки пересечения от остальных углов треугольника и его сторон.
  • Для определения точки пересечения медиан в AutoCAD постройте треугольник, определив координаты его вершин. Обозначьте треугольник как АBC. Найдите координату точки О по оси х. Она будет равна сумме координат х всех вершин треугольника, деленной на 3. Точно так же найдите и координату y. Для более точных расчетов пользуйтесь встроенным калькулятором.

completerepair.ru

Как найти точку пересечения медиан треугольника

Треугольник – одна из самых распространенных геометрических фигур. Из вершин треугольника выстраиваются биссектрисы, высоты и медианы. Если вырезать треугольник, например, из картона, то точка пересечения медиан будет центром тяжести этой фигуры.

Вам понадобится

  • - карандаш;
  • - линейка;
  • - циркуль.

Инструкция

  • Как известно, медиана – это луч, исходящий из угла треугольника и делящий противоположную сторону пополам. В любом треугольнике их может быть до трех. Чтобы определить точку пересечения медиан треугольника, необходимо сначала выстроить эти медианы. Для этого вычертите требуемый треугольник и разделите все три его стороны строго пополам. Чтобы разделить отрезок, представляющий собой сторону треугольника, на две равные части, воспользуйтесь циркулем. Примените так называемый метод засечек.
  • Итак возьмите циркуль и поставьте его иглу в один конец отрезка-стороны. Разверните ножки циркуля на расстояние больше половины отрезка и проведите дугу таким образом, чтобы ее концы заходили за центр отрезка. Теперь переставьте ножку циркуля в противоположный конец стороны треугольника и вновь прочертите дугу – сделайте засечки. У вас по обе стороны отрезка получится по два пересечения дуг.
  • Следующим действием возьмите линейку и соедините эти точки пересечения. Линия пройдет точно через центр стороны треугольника. Проделайте то же самое с остальными двумя сторонами треугольника, то есть обозначьте их середины. Ненужные теперь нарисованные карандашные дуги можно вытереть стиральной резинкой, чтобы они не мешали дальнейшим построениям.
  • Теперь проведите медианы. Для этого возьмите снова линейку и прочертите отрезки, соединяющие отмеченные середины сторон с вершинами противоположных углов. В результате вы получите точку пересечения трех медиан треугольника.

completerepair.ru

Как найти координаты точек пересечения медиан

Содержание

  1. Инструкция

Как найти координаты точек пересечения медиан

Из курса школьной геометрии известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Поэтому разговор следует вести о точке пересечения, а не о нескольких точках.

Инструкция

  • Сначала необходимо обговорить выбор удобной для решения задачи системы координат. Обычно в задачах такого рода одну из сторон треугольника помещают на оси 0Х так, чтобы одна точка совпадала с началом координат. Поэтому не стоит отходить от общепринятых канонов решения и сделать также (см. рис. 1). Способ задание самого треугольника не играет принципиальной роли, так как всегда можно перейти от одного из них к другому (в чем вы в дальнейшем сможете убедиться).

  • Пусть искомый треугольник задан двумя векторами его сторон АС и АВ a(x1, y1) и b(x2, y2), соот-ветственно. Более того, по построению y1=0. Третья сторона ВС соответствует c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2), согласно данной иллюстрации. Точка А помещена в начало координат, то есть ее координаты А(0, 0). Легко также заметить, что координаты В (x2, y2), a C (x1, 0). Отсюда можно сделать вывод, что задание треугольника двумя векторами автоматически совпало с его заданием тремя точками.
  • Далее следует достроить искомый треугольник до соответствующего ему по размерам параллелограмма ABDC. При этом известно, что в точке пересечения диагоналей параллелограмма они делятся пополам, так, что АQ медиана треугольника АВС, опускается из А на сторону ВС. Вектор диагонали s содержит эту медиану и является, по правилу параллелограмма, геометрической суммой a и b. Тогда s = a + b, а его координаты s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2). Такие же координаты будут и у точки D(x1+x2, y2).
  • Теперь можно переходить к составлению уравнение прямой, содержащей s, медиану AQ и, са-мое главное, искомую точку пересечения медиан H. Так как сам вектор s является направляю-щим для данной прямой, а также известна точка А(0, 0), принадлежащая ей, то самое простое – это использовать уравнение плоской прямой в каноническом виде:(x-x0)/m=(y-y0)/n.Здесь (x0, y0) координаты произвольной точки прямой (точка А(0, 0)), а (m, n) – координаты s (вектор (x1+x2, y2). И так, искомая прямая l1 будет иметь вид:x/( x1+x2)=y/ y2.
  • Самый естественный способ нахождения координат точки – это определение ее в пересечении двух прямых. Поэтому следует найти еще одну прямую, содержащую т. Н. Для этого на рис. 1 выполнено построение еще одного параллелограмма АPBC, диагональ которого g=a+c =g(2x1-x2, -y2) содержит вторую медиану CW, опущенную из С на сторону АВ. Это диагональ содержит точку С(x1, 0), координаты которой будут играть роль (x0, y0), а направляющий вектор здесь будет g(m, n)=g(2x1-x2, -y2). Отсюда l2 задается уравнением: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).
  • Решив совместно уравнения для l1 и l2, легко найти координаты точки пересечения медиан Н:Н((x1+x1)/3, y2/3).

completerepair.ru

Выведите формулы, выражающие координаты точки пересечения медиан треугольника через координаты его вершин

Пусть координаты таковы: A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3) AM, BN - медианы треугольника, O - точка пересечения медиан. Так как M - середина BC, то ее координаты: M((x2+x3)/2;(y2+y3)/2) Находим координаты вектора AM AM = ((x2+x3)/2-x1;(y2+y3)/2-y1) AM = ((x2+x3-2x1)/2;(y2+y3-2y1)/2) Дальше используем свойство, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то есть AO = 2 * OM, Тогда AO = 2/3 * AM Значит вектора AO AO = (2/3 * (x2+x3-2x1)/2;2/3 * (y2+y3-2y1)/2) AO = ((x2+x3-2x1)/3;(y2+y3-2y1)/3) Осталось найти координаты точки O(x0;y0) AO = (x0 - x1; y0 - y1) Значит x0 - x1 = (x2 + x3 - 2 * x1)/3 =&gt; x0 = (x1 + x2 + x3)/3 y0 - y1 = (y2 + y3 - 2 * y1)/3 =&gt; y0 = (y1 + y2 + y3)/3

уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки: (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) уравнение медианы - это (x1,y1) - координата третьей вершины (например, С) , x2=(xA+xB)/2, y2=(yA+yB)/2 то же самое делаем с другой медианой (все три пересекутся в одной точке, поэтому неважно, какую выбрать) чтобы две прямые пересеклись - надо решить систему уравнений: <img src="//otvet.imgsmail.ru/download/eda77434dda8e7f49c95d577eb026df8_i-60.jpg" >

A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3) AM, BN - медианы треугольника, O - точка пересечения медиан. Так как M - середина BC, то ее координаты: M((x2+x3)/2;(y2+y3)/2) Находим координаты вектора AM AM = ((x2+x3)/2-x1;(y2+y3)/2-y1) AM = ((x2+x3-2x1)/2;(y2+y3-2y1)/2) Дальше используем свойство, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то есть AO = 2 * OM, Тогда AO = 2/3 * AM Значит вектора AO AO = (2/3 * (x2+x3-2x1)/2;2/3 * (y2+y3-2y1)/2) AO = ((x2+x3-2x1)/3;(y2+y3-2y1)/3) Осталось найти координаты точки O(x0;y0) AO = (x0 - x1; y0 - y1) Значит x0 - x1 = (x2 + x3 - 2 * x1)/3 =&gt; x0 = (x1 + x2 + x3)/3 y0 - y1 = (y2 + y3 - 2 * y1)/3 =&gt; y0 = (y1 + y2 + y3)/3

ученики школ, сегодня в школу не ходят...

уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки: (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) уравнение медианы - это (x1,y1) - координата третьей вершины (например, С) , x2=(xA+xB)/2, y2=(yA+yB)/2 то же самое делаем с другой медианой (все три пересекутся в одной точке, поэтому неважно, какую выбрать) чтобы две прямые пересеклись - надо решить систему уравнений: или такПусть координаты таковы: A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3) AM, BN - медианы треугольника, O - точка пересечения медиан. Так как M - середина BC, то ее координаты: M((x2+x3)/2;(y2+y3)/2) Находим координаты вектора AM AM = ((x2+x3)/2-x1;(y2+y3)/2-y1) AM = ((x2+x3-2x1)/2;(y2+y3-2y1)/2) Дальше используем свойство, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то есть AO = 2 * OM, Тогда AO = 2/3 * AM Значит вектора AO AO = (2/3 * (x2+x3-2x1)/2;2/3 * (y2+y3-2y1)/2) AO = ((x2+x3-2x1)/3;(y2+y3-2y1)/3) Осталось найти координаты точки O(x0;y0) AO = (x0 - x1; y0 - y1) Значит x0 - x1 = (x2 + x3 - 2 * x1)/3 =&gt; x0 = (x1 + x2 + x3)/3 y0 - y1 = (y2 + y3 - 2 * y1)/3 =&gt; y0 = (y1 + y2 + y3)/3A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3) AM, BN - медианы треугольника, O - точка пересечения медиан. Так как M - середина BC, то ее координаты: M((x2+x3)/2;(y2+y3)/2) Находим координаты вектора AM AM = ((x2+x3)/2-x1;(y2+y3)/2-y1) AM = ((x2+x3-2x1)/2;(y2+y3-2y1)/2) Дальше используем свойство, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то есть AO = 2 * OM, Тогда AO = 2/3 * AM Значит вектора AO AO = (2/3 * (x2+x3-2x1)/2;2/3 * (y2+y3-2y1)/2) AO = ((x2+x3-2x1)/3;(y2+y3-2y1)/3) Осталось найти координаты точки O(x0;y0) AO = (x0 - x1; y0 - y1) Значит x0 - x1 = (x2 + x3 - 2 * x1)/3 =&gt; x0 = (x1 + x2 + x3)/3 y0 - y1 = (y2 + y3 - 2 * y1)/3 =&gt; y0 = (y1 + y2 + y3)/3

уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки: (y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) уравнение медианы - это (x1,y1) - координата третьей вершины (например, С) , x2=(xA+xB)/2, y2=(yA+yB)/2 то же самое делаем с другой медианой (все три пересекутся в одной точке, поэтому неважно, какую выбрать) чтобы две прямые пересеклись - надо решить систему уравнений:

посмотри тут <a rel="nofollow" href="http://content.foto.mail.ru/mail/ali-aleskerov/_answers/i-60.jpg" target="_blank">http://content.foto.mail.ru/mail/ali-aleskerov/_answers/i-60.jpg</a>

touch.otvet.mail.ru

Как найти точку пересечения медиан | DasBook.Ru

Как найти точку пересечения медиан

Медианой треугольника называется линия, которая проведена из его угла и делит пополам противолежащую сторону. Все медианы пересекаются в одной точке. Найти эту точку необходимо, если нужно знать, где находится центр тяжести детали, имеющей треугольную форму. Это можно сделать с помощью геометрических построений.

Вам понадобится

— треугольник с заданными параметрами;— карандаш;— транспортир;— линейка;— компьютер с программой AutoCAD.

Статьи по теме «Как найти точку пересечения медиан»Как найти координаты точек пересечения медианКак найти координаты точки в окружностиКак построить линию пересечения двух треугольников

Инструкция

1

Вычисления начните с геометрических построений. Постройте треугольник согласно имеющимся у вас данным. Это могут быть три стороны, сторона и два прилежащих к ней угла либо же две стороны и угол между ними. Для определения точки пересечения медиан вам необходимо знать размеры всех трех сторон, поэтому обозначьте на чертеже то, что вам известно и найдите остальные размеры.

2

Обозначьте треугольник как АВС. Стороны, противолежащие углам, будут соответственно, a, b и с. Проведите медианы и обозначьте их как m1, m2 и m3, а точку их пересечения — как О.

3

Вспомните свойство медиан. Точка пересечения отсекает от каждой из них отрезки в соотношении 2:1. Больший отрезок — тот, который ограничен вершиной угла и точкой О. Это важно, поскольку вам необходимо определить расстояние этой точки от каждого из углов.

4

Длину медианы, принадлежащей той или иной стороне, вычислите по формуле Стюарта. Она равна квадратному корню из дроби, числитель которой представляет собой сумму удвоенных квадратов сторон, не принадлежащих данной медиане, за вычетом из нее квадрата третьей стороны. В знаменателе подкоренного выражения стоит число 4. То есть m1 = v(2*a2+2*b2-c2)/4. Вычислите таким же образом две остальные медианы.

5

Обозначьте отрезки, на которые делит медиану точка пересечения, как L1 и L2. Отрезок L1 в два раза больше отрезка L2. При этом L2 = m1/3. Найдите расстояние L2. Оно равно 2*L1, то есть L2 = 2*m/3. Таким же образом найдите расстояния точки пересечения от остальных углов треугольника и его сторон.

6

Для определения точки пересечения медиан в AutoCAD постройте треугольник, определив координаты его вершин. Обозначьте треугольник как АBC. Найдите координату точки О по оси х. Она будет равна сумме координат х всех вершин треугольника, деленной на 3. Точно так же найдите и координату y. Для более точных расчетов пользуйтесь встроенным калькулятором.

dasbook.ru

Координаты точки пересечения медиан треугольника — Мегаобучалка

А В С А В С
1, 1 -3,-2 3,-4 3, 0 -1,-6 -3, 1
1,-1 -3, 1 3, 3 3, 1 -1, 4 -3,-1
1, 2 -3,-1 0,-2 3,-1 -1, 1 0,-4
-1, 1 -3,-2 2,-2 0, 3 6,-1 -1,-3
-1, 2 6, 0 0,-2 0,-3 4, 6 -1,-2
-1, 0 3, 4 6,-2 -3, 0 2, 3 6,-1
0, 1 4, 3 6,-1 3, 4 -1, 1 2,-1
1, 0 -3,-2 3,-3 4, 3 6,-1 1, 0
0,-1 -6, 1 -4,-5 4,-3 1, 1 7, 2
2, 1 -3, 0 -1,-5 -3, 4 0,-2 6, 1
2,-1 0, 6 -5, 0 1, 0 0, 2 -1, 1
2, 3 -2, 5 -6, 0 0, 1 -2, 0 -1,-1
-3, 2 2, 3 6, 1 2, 1 0, 3 -1, 2
3, 2 -2, 5 -1, 5 -1, 0 2, 2 5,-2
-3,-2 0,-5 5, 0 0,-2 5, 2 7,-4

 

4.Даны вершины пирамиды ABCD. Найти:

1) периметр основания АВС;

2) угол между ребрами АВ и AD;

3) площадь грани АВС;

4) уравнение плоскости АВС;

5) проекцию АВ на AD;

6) объем пирамиды ABCD;

7) длину высоты пирамиды DO;

8) канонические уравнения прямой, проходящей через точку D перпендикулярно плоскости ABC.

A B C D
1, 0, 0 0, 2, 1 2, 3, 4 -2, 1, 3
2, 0, 0 1, 2, 2 -1, 1, 1 3,-1, 1
3, 0, 0 1, 1, 1 2, 1, 0 -1, 2, 2
-1, 0, 0 2, 1, 0 3, 2,-1 1, 1, 1
-2, 0, 0 2, 1, 2 3,-1, 2 1, 2, 1
-3, 0, 0 3, 1, 1 2,-1, 2 1, 2, -1
1, 1, 0 2, 0, 1 1, 3, 0 0, 0, 4
1, 2, 0 -2, 0, 1 0, 3, 4 3, 1, 2
1, 3, 0 3, 1, 2 -1, 2, 1 -2, 1,-1
1,-1, 0 2, 1, 1 -1, 2, 2 0, 0, 3
1,-2, 0 2, 0, 0 0,-2, 1 4, 1, 2
1,-3, 0 3, 0, 1 2, 1, 2 -1, 2, 3
2, 1, 0 3, 2, 2 1, 0, 1 -1, 3, 3
2, 2, 0 1, 3, 1 -1, 1, 2 3,-1, 3
2,-2, 0 -1, 3, 4 -1, 4, 2 1,-2, 2
-2, 1, 0 1,-1, 1 2, 2, 2 3, 0, 3
-2,-1, 0 1, 1,-1 3, 2, 1 4, 0, 2
2, 0, 1 3, 2, 2 -1, 1, 0 0,-1, 3
3, 0, 1 4, 2, 2 2,-1, 1 -2, 2, 0
1, 0, 1 2,-2, 3 0, 1, 2 3, 3, 0
-2, 0, 1 2, 2, 2 1, 1, 3 -1, 3,-1
-2, 0,-1 2,-1, 0 1, 1, 1 3, 4, 2
2, 0, 2 3, 1, 1 1, 2,-1 -1, 3, 0
3, 0, 2 2, 2, 1 4, 1, 0 -1, 4, 3
3, 0, 4 1, 1, 3 2,-1,-1 4, 2, 1
2, 0, 4 1, 1, 2 -1, 2, 0 0,-1, 3
2, 0, 0 0, 0, 0 1,-1, 0 1, 1, 0
0, 0, 1 0, 0,-2 1, 0, 0 0,-1, 1
1, 1,-1 1, 0, 0 0, 1, 0 0, 0, 1
0, 1,-1 1,-1, 0 2, 1,-1 3, 2, 1

 

5.Даны векторы в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис. Найти координаты вектора в этом базисе.

-2, 4, 7 0, 1, 2 1, 0, 1 -1, 2, 4
6, 2,-1 1, 3, 0 2,-1, 1 0,-1, 2
1,-4, 4 2, 1,-1 0, 3, 2 1,-1, 1
-9, 5, 5 4, 1, 1 2, 0,-3 -1, 2, 1
-5,-5, 5 -2, 0, 1 1, 3,-1 0, 4, 1
13, 2, 7 5, 1, 0 2,-1, 3 1, 0,-1
-9, -1, 7 0, 1, 1 -2, 0, 1 3, 1, 0
3,-3, 4 1, 0, 2 0, 1, 1 2,-1, 4
3, 3,-1 3, 1, 0 -1, 2, 1 -1, 0, 2
-1, 7,-4 -1, 2, 1 2, 0, 3 1, 1,-1
6, 5,-4 1, 1, 4 0,-3, 2 2, 1,-1
5,15, 0 1, 0, 5 -1, 3, 2 0,-1, 1
6,-1, 7 1,-2, 0 -1, 1, 3 1, 0, 4
2,-1,11 1, 1, 0 0, 1,-2 1, 0, 3
11, 5,-3 1, 0, 2 -1, 0, 1 2, 5,-3
8, 0, 5 2, 0, 1 1, 1, 0 4, 1, 2
3, 1, 8 0, 1, 3 1, 2,-1 2, 0,-1
8, 1,12 1, 2,-1 3, 0, 2 -1, 1, 1
-9,-8,-3 1, 4, 1 -3, 2, 0 1,-1, 2
-5, 9,-3 0, 1,-2 3,-1, 1 4, 1, 0
-5, 5,6 0, 5, 1 3, 2,-1 -1, 1, 0
8, 9, 4 1, 0, 1 0,-2, 1 1, 3, 0
23,-4,30 2, 1, 0 1,-1, 0 -3, 2, 5
3, 1, 3 2, 1, 0 1, 0, 1 4, 2, 1
-1, 7, 0 0, 3, 1 1,-1, 2 2,-1, 0
11,-1, 4 1,-1, 2 3, 2, 0 -1, 1, 1
0,-8, 9 0,-2, 1 3, 1,-1 4, 0, 1
-3, 2,18 1, 1, 4 -3, 0, 2 1, 2,-1
8,-7,-13 0, 1, 5 3,-1, 2 -1, 0, 1
2, 7, 5 1, 0, 1 1,-2, 0 0, 3, 1

 

6. Преобразовать уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, построить ее и найти параметры, определяющие данную линию.

 

Глава 3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Функция, предел, непрерывность функций

3.1.1 Функция, основные понятия

Пусть даны два независимых множества Х и Y.

Определение 1. Соответствие , которое каждому элементу сопоставляет один и только один элемент , называется функцией и записывается , .

Определение 2.Множество Х называется областьюопределения функции f и обозначается . Множество всех называется множеством значенийфункции f и обозначается

Пример 1. Найти область определения функции

.

Решение.Функция у существует, если подкоренное выражение неотрицательное. Поэтому область определения находится из неравенства:

 
 

 

Таким образом, областью определения данной функции есть отрезок .

Четность, нечетность, периодичность функций

Пусть функция задана на промежутке , который симметричен относительно начала координат.

Определение1.Функция , определенная на промежутке , называется четной, если для любого выполняются условия ;

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Определение 2. Функция , определенная на промежутке , называется нечетной, если для любого выполняются условия ;

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 1. Пусть , где . Согласно известному свойству данной функции,

Следовательно, является нечетной функцией.

Пример 2. Пусть , где . Известно, что

Итак, является четной функцией.

Определение 3. Функция , определенная на всей числовой оси, называется периодической, если существует число такое, что для всех выполняется тождество

Число Т при этом называется периодом функции .

Если число Т является периодом функции , то и число –Т есть также периодом :

Если — периодическая функция с периодом Т, то функция , где , есть периодической с периодом .

В частности, если рассмотреть функцию , где — постоянные, то периодом этой функции есть число .

Пример 3. Найти период функции .

Решение. Функция имеет период , поэтому функция имеет период .

 

Читайте также:

©2015 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.

Почему 3458 студентов выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы

megaobuchalka.ru