Обратная матрица и методы ее вычисления. Как проверить обратную матрицу


Обратная матрица и методы ее вычисления

Запишем вспомогательную матрицу

   

и приведем её, с помощью элементарных преобразований, к матрице, в которой единичная матрица будет слева. Переставим местами первую и вторую строки

   

Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на а к третьей строке первую, умноженную на

   

Прибавим ко второй строке третью, умноженную на

   

Умножим вторую строку на

   

Прибавим к первой строке вторую, умноженную на а к третьей вторую, умноженную на

   

Разделим третью строку на 3

   

К первой строке прибавим третью, умноженную на

   

Тогда обратная матрица равна

ru.solverbook.com

Нахождение обратной матрицы: три алгоритма и примеры

Нахождение обратной матрицы - задача, которая чаще решается двумя методами:

  • методом алгебраических дополнений, при котором требуется находить определители и транспонировать матрицы;
  • методом исключения неизвестных Гаусса, при котором требуется производить элементарные преобразования матриц (складывать строки, умножать строки на одно и то же число и т. д.).

Для особо любознательных существуют и другие методы, например, метод линейных преобразований. На этом уроке разберём три упомянутых метода и алгоритмы нахождения обратной матрицы этими методами.

Обратной матрицей, которую требуется отыскать для данной квадратной матрицы А, называется такая матрица

,

произведение на которую матрицы А справа является единичной матрицей, т.е, .                (1)

Обратной матрицей, которую требуется отыскать для данной квадратной матрицы А, называется такая матрица

,

произведение на которую матрицы А справа является единичной матрицей, т.е, .                (1)

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице.

Теорема. Для каждой неособенной (невырожденной, несингулярной) квадратной матрицы можно найти обратную матрицу, и притом только одну. Для особенной (вырожденной, сингулярной) квадратной матрицы обратная матрица не существует.

Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной, несингулярной), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной, сингулярной), если её определитель равен нулю.

Обратная матрица может быть найдена только для квадратной матрицы. Естественно, обратная матрица также будет квадратной и того же порядка, что и данная матрица. Матрица, для которой может быть найдена обратная матрица, называется обратимой матрицей.

Для обратной матрицы существует уместная аналогия с обратным числом. Для каждого числа a, не равного нулю, существует такое число b, что произведение a и b равно единице: ab = 1. Число b называется обратным для числа b. Например, для числа 7 обратным является число 1/7, так как 7*1/7=1.

Для неособенной квадратной матрицы А обратной является матрица

,  (2)

где - определитель матрицы А, а - матрица, союзная с матрицей А.

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом алгебраических дополнений

1. Найти определитель данной матрицы A. Если определитель равен нулю, нахождение обратной матрицы прекращается, так как матрица вырожденная и обратная для неё не существует.

2. Найти матрицу, транспонированную относительно A.

3. Вычислить элементы союзной матрицы как алгебраические дополнения марицы, найденной на шаге 2.

4. Применить формулу (2): умножить число, обратное определителю матрицы A, на союзную матрицу, найденную на шаге 4.

5. Проверить полученный на шаге 4 результат, умножив данную матрицу A на обратную матрицу. Если произведение этих матриц равно единичной матрицы, значит обратная матрица была найдена верно. В противном случае начать процесс решения снова.

Пример 1. Для матрицы

найти обратную матрицу.

Решение. Для нахождения обратной матрицы необходимо найти определитель матрицы А . Находим по правилу треугольников:

Следовательно, матрица А – неособенная (невырожденная, несингулярная) и для неё существует обратная.

Найдём матрицу, союзную с данной матрицей А.

Найдём матрицу , транспонированную относительно матрицы A:

Вычисляем элементы союзной матрицы как алгебраические дополнения матрицы, транспонированной относительно матрицы A:

Следовательно, матрица , союзная с матрицей A, имеет вид

Замечание. Порядок вычисления элементов и транспонирования матрицы может быть иным. Можно сначала вычислить алгебраические дополнения матрицы A, а затем транспонировать матрицу алгебраических дополнений. В результате должны получиться те же элементы союзной матрицы.

Применяя формулу (2), находим матрицу, обратную матрице А:

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса

1. К матрице A приписать единичную матрицу того же порядка.

2. Полученную сдвоенную матрицу преобразовать так, чтобы в левой её части получилась единичная матрица, тогда в правой части на месте единичной матрицы автоматически получится обратная матрица. Матрица A в левой части преобразуется в единичную матрицу путём элементарных преобразований матрицы.

2. Если в процессе преобразования матрицы A в единичную матрицу в какой-либо строке или в каком-либо столбце окажутся только нули, то определитель матрицы равен нулю, и, следовательно, матрица A будет вырожденной, и она не имеет обратной матрицы. В этом случае дальнейшее нахождение обратной матрицы прекращается.

Пример 2. Для матрицы

найти обратную матрицу.

Решение. Составляем сдвоенную матрицу

и будем её преобразовывать, так чтобы в левой части получилась единичная матрица. Начинаем преобразования.

Умножим первую строку левой и правой матрицы на (-3) и сложим её со второй строкой, а затем умножим первую строку на (-4) и сложим её с третьей строкой, тогда получим

.

Чтобы по возможности не было дробных чисел при последующих преобразованиях, создадим предварительно единицу во второй строке в левой части сдвоенной матрицы. Для этого умножим вторую строку на 2 и вычтем из неё третью строку, тогда получим

.

Сложим первую строку со второй, а затем умножим вторую строку на (-9) и сложим её с третьей строкой. Тогда получим

.

Разделим третью строку на 8, тогда

.

Умножим третью строку на 2 и сложим её со второй строкой. Получается:

.

Переставим местами вторую и третью строку, тогда окончательно получим:

.

Видим, что в левой части получилась единичная матрица, следовательно, в правой части получилась обратная матрица . Таким образом:

.

Можно проверить правильность вычислений, умножим исходную матрицу на найденную обратную матрицу:

.

В результате должна получиться обратная матрица.

Пример 3. Для матрицы

найти обратную матрицу.

Решение. Составляем сдвоенную матрицу

и будем её преобразовывать.

Первую строку умножаем на 3, а вторую на 2, и вычитаем из второй, а затем первую строку умножаем на 5, а третью на 2 и вычитаем из третьей строки, тогда получим

.

Первую строку умножаем на 2 и складываем её со второй, а затем из третьей строки вычитаем вторую, тогда получим

.

Видим, что в третьей строке в левой части все элементы получились равными нулю. Следовательно, матрица вырожденная и обратной матрицы не имеет. Дальнейшее нахождение обратной марицы прекращаем.

Матрицы теснейшим образом связаны с системами линейных уравнений. Каждой матрице соответствует система линейных уравнений, коэффициенты в которой есть элементы матрицы. И наоборот, системе линейных уравнений соответствует некоторая матрица.

Поэтому существует метод линейных преобразований для нахождения обратной матрицы. Для решения задач нам будет достаточно знать, что линейное преобразование - это система линейных уравнений, вид которой будет приведён ниже в алгоритме.

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом линейных преобразований

1. Для данной невырожденной матрицы A составить линейное преобразование - систему линейных уравнений вида

,

где aij - элементы матрицы A.

2. Решить полученную систему относительно y - найти для предыдущего линейного преобразование обратное линейное преобразование

,

в котором Aij - алгебраические дополнения элементов матрицы A, Δ - определитель матрицы A. Внимание! Алгебраические дополнения располагаются как в транспонированной матрице, то есть для элементов строки - в столбце, а для элементов столбца - в строке.

3. Находим коэффициенты при y: , которые и будут элементами матрицы, обратной для матрицы A.

4. Пользуясь элементами, найденными на шаге 3, записать найденную обратную матрицу.

Наиболее наблюдательные могли заметить, что по сути метод линейных преобразований - это тот же метод алгебраических преобразований (союзной матрицы), но с другой формой записи. Для кого-то метод линейных преобразований может оказаться более удобным как более компактный.

Пример 4. Найти обратную матрицу для матрицы

.

Сначала проверим, не равен ли нулю определитель данной матрицы. Он не равен нулю, следовательно, обратная матрица существует.

Для данной матрицы записываем линейное преобразование:

.

Находим линейное преобразование, обратное предыдущему, для этого потребуется находить алгебраические дополнения (урок откроется в новом окне). Запишем обратное линейное преобразование:

Коэффициенты при иксах в обратном линейном преобразовании - это элементы обратной матрицы для матрицы A. Таким образом нашли обратную матрицу:

Начало темы "Матрицы"

Другие темы линейной алгебры

function-x.ru

Обратная матрица. Примеры вычисления

Нахождение обратной матрицы является важной составляющей в разделе линейной алгебры. С помощью таких матриц, если они существуют, можно быстро найти решение системы линейных уравнений.

Матрицаназывается обратной к матрице,если выполняются следующие равенства.

.

Если определитель матрицыотличен от нуля, то матрицу называют не особо или невырожденной.

Для того, чтобы матрица имела обратную необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Пусть имеем квадратную матрицу

и нужно найти обратную к ней. Для этого нужно выполнить следующие действия:

1. Найти определитель матрицы. Если он не равен нулю то выполняем следующие действия. В противном случае данная матрица вырождена и для нее не существует обратной

2. Найти алгебраические дополнения элементов матрицы . Они равны минорам, умноженным на в степени суммы строки и столбца, для которого ищем.

3. Составить матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы матрицы и протранспонировать ее. Эта матрица называется присоединенной или союзной и обозначается .

4. Разделить присоединенную матрицу на детерминант . Полученная матрица будет обратной и иметь свойства, которые изложены в начале статьи.

--------------------------------------------

Пример 1.

Найти матрицу, обратную к матрице (Дубовик В.П., Юрик И.И. "Высшая математика. Сборник задач")

1) (1.127)

2) (1.130)

3) (1.133)

Решение.

1)Находим определитель матрицы

Так как детерминант не равен нулю (), то обратная матрица существует. Находим матрицу, составленную из алгебраических дополнений

Матрица дополнений примет вид

Транспонируем ее и получаем присоединенную

Разделим ее на определитель и получим обратную

Видим, что в случае, когда определитель равен единице присоединена и обратная матрицы совпадают.

2) Вычисляем определитель матрицы

Находим матрицу алгебраических дополнений

Конечный вид матрицы дополнений

Транспонируем ее и находим союзную матрицу

Находим обратную матрицу

3) Вычислим детерминант матрицы. Для этого разложим его на первую строчку. В результате получим два отличны от нуля слагаемые

Находим матрицу алгебраических дополнений. Расписание определителя проводим по строкам и столбцам, в которых больше нулевых элементов (обозначены черным цветом).

Конечный вид матрицы дополнений следующий

Транспонируем ее и находим присоединенную матрицу

Поскольку определитель матрицы равен единице то обратная матрица совпадает с присоединенной. Данный пример назад.

При вычислениях обратной матрицы типичными являются ошибки связанные с неправильными знаками при вычислении определителя и матрицы дополнений.

--------------------------------------------

------------------------------

yukhym.com

Способы нахождения обратной матрицы

Пусть дана квадратная матрица [cbm]A[/cbm] . Требуется найти обратную матрицу [cbm]A^{-1}[/cbm] .

Первый способ. В теореме 4.1 существования и единственности обратной матрицы указан один из способов ее нахождения.

1. Вычислить определитель [cbm]\det{A}[/cbm] данной матрицы. Если [cbm]\det{A}=0[/cbm] , то обратной матрицы не существует (матрица [cbm]A[/cbm] вырожденная).

2. Составить матрицу [cbm]\begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix}[/cbm] из алгебраических дополнений [cbm]A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}[/cbm] элементов матрицы [cbm]A[/cbm] .

3. Транспонируя матрицу [cbm]\begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix}[/cbm] , получить присоединенную матрицу [cbm]A^{+}=(A_{ij})^{T}[/cbm] .

4. Найти обратную матрицу (4.1), разделив все элементы присоединенной матрицы на определитель [cbm]\det{A}:[/cbm]

[cbm]A^{-1}=\frac{1}{\det{A}}\cdot A^{+}.[/cbm]

Второй способ. Для нахождения обратной матрицы можно использовать элементарные преобразования.

1. Составить блочную матрицу [cbm](A\mid E)[/cbm] , приписав к данной матрице [cbm]A[/cbm] единичную матрицу того же порядка.

2. При помощи элементарных преобразований, выполняемых над строками матрицы [cbm](A\mid E)[/cbm] , привести ее левый блок [cbm]A[/cbm] к простейшему виду [cbm]\Lambda[/cbm] . При этом блочная матрица приводится к виду [cbm](\Lambda\mid S)[/cbm] , где [cbm]S[/cbm] — квадратная матрица, полученная в результате преобразований из единичной матрицы [cbm]E[/cbm] .

3. Если [cbm]\Lambda=E[/cbm] , то блок [cbm]S[/cbm] равен обратной матрице, т.е. [cbm]S=A^{-1}[/cbm] . Если [cbm]\Lambda\ne E[/cbm] , то матрица [cbm]A[/cbm] не имеет обратной.

В самом деле, при помощи элементарных преобразований строк матрицы [cbm](A\mid E)[/cbm] можно привести ее левый блок [cbm]A[/cbm] к упрощенному виду [cbm]\Lambda[/cbm] (см. рис. 1.5). При этом блочная матрица [cbm](A\mid E)[/cbm] преобразуется к виду [cbm](\Lambda\mid S)[/cbm] , где [cbm]S[/cbm] — элементарная матрица, удовлетворяющая равенству [cbm]\Lambda=SA[/cbm] . Если матрица [cbm]A[/cbm] невырожденная, то согласно п.2 замечаний 3.3 ее упрощенный вид совпадает с единичной матрицей [cbm]\Lambda=E[/cbm] . Тогда из равенства [cbm]E=\Lambda=SA[/cbm] следует, что [cbm]S=A^{-1}[/cbm] . Если же матрица [cbm]A[/cbm] вырожденная, то ее упрощенный вид [cbm]\Lambda[/cbm] отличается от единичной матрицы, а матрица [cbm]A[/cbm] не имеет обратной.

Замечания 4.3

1. Для невырожденных квадратных матриц [cbm]A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}[/cbm] второго порядка можно указать простое правило нахождения обратной матрицы, следующее из первого способа:

а) поменять местами элементы на главной диагонали;

б) изменить знаки у элементов побочной диагонали;

в) поделить полученную матрицу на определитель [cbm]\det{A}=ad-bc[/cbm] .

В результате получим обратную матрицу [cbm]A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\!\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}\!.[/cbm]

(4.2)

Действительно, следуя первому способу, имеем:

[cbm]\begin{aligned}&\bold{1.}~\det{A}=ad-bc;\qquad \bold{2.}~\begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}d&-c\\ -b&a \end{pmatrix}\!;\\[5pt] &\bold{3.}~A^{+}= \begin{pmatrix}A_{ij} \end{pmatrix}^T= \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\!;\quad \bold{4.}~A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}= \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\!,\end{aligned}[/cbm]

2. Второй способ нахождения обратной матрицы при помощи элементарных преобразований данной матрицы может быть реализован следующим образом.

1. Составить блочную матрицу [cbm]\left(\frac{A}{E}\right)[/cbm] , приписав к данной матрице [cbm]A[/cbm] , единичную матрицу того же порядка.

2. При помощи элементарных преобразований над столбцами привести блочную матрицу к виду [cbm]\left(\frac{E}{T}\right)[/cbm] . В полученной матрице блок [cbm]T[/cbm] равен обратной матрице, т.е. [cbm]T=A^{-1}[/cbm] .

Пример 4.2. Дана матрица [cbm]A=\begin{pmatrix}1&2\\1&4\end{pmatrix}[/cbm] . Найти обратную.

Решение. Первый способ. 1. Находим определитель [cbm]\det{A}= \begin{vmatrix}1&2\\1&4\end{vmatrix}=2\ne0[/cbm] Поэтому матрица [cbm]A[/cbm] невырожденная и, следовательно, имеет обратную.

2. Составляем матрицу из алгебраических дополнений:

[cbm]\begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}4&-1\\ -2&1 \end{pmatrix}\!.[/cbm]

3. Транспонируя матрицу [cbm](A_{ij})[/cbm] , получаем присоединенную матрицу

[cbm]A^{+}=\begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix}^T= \begin{pmatrix}4&-2\\-1&1 \end{pmatrix}\!.[/cbm]

4. Разделив все элементы присоединенной матрицы на определитель [cbm]\det{A}=2[/cbm] находим обратную матрицу:

[cbm]A^{-1}=\frac{1}{2}\cdot\! \begin{pmatrix}4&-2\\-1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&-1\\-1/2&1/2\end{pmatrix}\!.[/cbm]

Сделаем проверку [cbm]\begin{pmatrix}2&-1\\-1/2&1/2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}1&2\\1&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\!.[/cbm] .

Используя правило, указанное в п.1 замечаний 4.3, для матрицы [cbm]A=\begin{pmatrix}1&2\\ 1&4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}[/cbm] получаем

[cbm]A^{-1}=\frac{1}{\det{A}}\! \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}= \frac{1}{2}\! \begin{pmatrix}4&-2\\-1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&-1\\-1/2&1/2 \end{pmatrix}\!.[/cbm]

Заметим, что [cbm]\det{A^{-1}}=\frac{1}{2}=\frac{1}{\det{A}}[/cbm] .

Второй способ. 1. Составляем блочную матрицу

[cbm]\begin{pmatrix}A\mid E\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&2\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 1&4\!\!&\vline\!\!&0&1\end{pmatrix}\!.[/cbm]

2. Элементарными преобразованиями над строками приводим ее к простейшему виду [cbm](E\mid A^{-1})[/cbm] . Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на (-1):

[cbm]\begin{pmatrix}A\mid E\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1&2\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 1&4\!\!&\vline\!\!&0&1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&2\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 0&2\!\!&\vline\!\!&-1&1 \end{pmatrix}\!.[/cbm]

Теперь к первой строке прибавим вторую, умноженную на (-1):

[cbm]\begin{pmatrix}1&2\!\!&\vline\!\!&1&0\\ 0&2\!\!&\vline\!\!&-1&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0\!\!&\vline\!\!&2&-1\\ 0&2\!\!&\vline\!\!&-1&1\end{pmatrix}\!.[/cbm]

Для получения в левом блоке единичной матрицы надо разделить вторую строку на 2:

[cbm]\begin{pmatrix}1&0\!\!&\vline\!\!&2&-1\\ 0&2\!\!&\vline\!\!&-1&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&0\!\!&\vline\!\!&2&-1\\ 0&1\!\!&\vline\!\!&-1/2&1/2\end{pmatrix}\!.[/cbm]

В правом блоке получили обратную матрицу [cbm]A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\ -1/2&1/2 \end{pmatrix}[/cbm] .

Пример 4.3. Дана матрица [cbm]A=\begin{pmatrix}1&2&1\\ 0&1&0\\0&2&2 \end{pmatrix}[/cbm] . Найти обратную.

Решение. Первый способ. 1. Находим определитель матрицы [cbm]\det{A}=2[/cbm] .

2. Находим алгебраические дополнения данной матрицы:

[cbm]\begin{array}{lll} A_{11}=(-1)^{1+1}\!\begin{vmatrix}1&0\\2&2\end{vmatrix}=2;&\quad A_{12}=(-1)^{1+2}\!\begin{vmatrix}0&0\\0&2\end{vmatrix}=0;&\quad A_{13}=(-1)^{1+3}\!\begin{vmatrix}0&1\\0&2\end{vmatrix}=0;\\\\[-5pt] A_{21}=(-1)^{2+1}\!\begin{vmatrix}2&1\\2&2\end{vmatrix}=-2;&\quad A_{22}=(-1)^{2+2}\!\begin{vmatrix}1&1\\0&2\end{vmatrix}=2;&\quad A_{23}=(-1)^{2+3}\!\begin{vmatrix}1&2\\0&2\end{vmatrix}=-2;\\\\[-5pt] A_{31}=(-1)^{3+1}\!\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}=-1;&\quad A_{32}=(-1)^{3+2}\!\begin{vmatrix}1&1\\0&0\end{vmatrix}=0;&\quad A_{33}=(-1)^{3+3}\!\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}=1. \end{array}[/cbm]

и составляем из них матрицу [cbm](A_{ij})= \begin{pmatrix}2&0&0\\ -2&2&-2\\ -1&0&1\end{pmatrix}[/cbm] .

Транспонируя матрицу [cbm](A_{ij})[/cbm] , получаем присоединенную матрицу

[cbm]A^{+}=\begin{pmatrix}A_{ij}\end{pmatrix}^T= \begin{pmatrix}2&-2&-1\\ 0&2&0\\ 0&-2&1 \end{pmatrix}\!.[/cbm]

4. Разделив все элементы присоединенной матрицы на определитель [cbm]\det{A}=2[/cbm] , получим обратную матрицу:

[cbm]A^{-1}=\frac{1}{\det{A}}\cdot A^{+}= \begin{pmatrix}1&-1&-1/2\\ 0&1&0\\ 0&-1&1/2 \end{pmatrix}\!.[/cbm]

Проверим равенство [cbm]A^{-1}A=E:[/cbm]

[cbm]\begin{pmatrix}1&-1&-1/2\\ 0&1&0\\ 0&-1&1/2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 1&2&1\\0&1&0\\0&2&2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\!.[/cbm]

Второй способ. 1. Составим блочную матрицу [cbm](A\mid E)[/cbm] , приписав к матрице [cbm]A[/cbm] единичную матрицу того же порядка:

[cbm](A\mid E)= \begin{pmatrix}1&2&1\!\!&\vline\!\!&1&0&0\\ 0&1&0\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ 0&2&2\!\!&\vline\!\!&0&0&1 \end{pmatrix}\!.[/cbm]

2. Элементарными преобразованиями над строками приводим ее к виду [cbm](E\mid A^{-1})\colon[/cbm]

[cbm](A\mid E)\sim \begin{pmatrix}1&0&1\!\!&\vline\!\!&1&-2&0\\ 0&1&0\!\!& \vline\!\!&0&1&0\\ 0&0&2\!\!&\vline\!\!&0&-2&1\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&1\!\!& \vline\!\!&1&-2&0\\ 0&1&0\!\!&\vline\!\!&0&1&0\\ 0&0&1\!\!& \vline\!\!&0&-1&1/2\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1&0&0\!\!& \vline\!\!&1&-1&-1/2\\ 0&1&0\!\!& \vline\!\!&0&1&0\\ 0&0&1\!\!& \vline\!\!&0&-1&1/2\end{pmatrix}\!.[/cbm]

В правом блоке получаем обратную матрицу [cbm]A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&-1/2\\ 0&1&0\\ 0&-1&1/2 \end{pmatrix}[/cbm] .

Обращение блочных матриц

Пусть квадратная невырожденная матрица [cbm]Q[/cbm] (m+n)-го порядка разбита на блоки

[cbm]Q=\begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline C\!\!&\vline\!\!&D \end{pmatrix}\!,[/cbm]

где [cbm]A[/cbm] - невырожденная квадратная матрица m-го порядка, а [cbm]B,\,C,\,D[/cbm] -произвольные матрицы размеров [cbm]m\times n,[/cbm] [cbm]n\times m[/cbm] [cbm]n\times n[/cbm] соответственно.

Обратная матрица [cbm]Q[/cbm] существует и находится по формуле Фробениуса

[cbm]Q^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}+A^{-1}BNCA^{-1}\!\!&\vline\!\!&-A^{-1}BN\\\hline -NCA^{-1}\!\!&\vline\!\!&N \end{pmatrix}\!,[/cbm]

(4.3)

где [cbm]N=(D-CA^{-1}B)^{-1}[/cbm] . Эта формула сводит обращение матрицы (m+n)-го порядка к обращению двух матриц [cbm]A[/cbm] и [cbm]N[/cbm] меньшего порядка ( [cbm]m[/cbm] и [cbm]n[/cbm] соответственно).

Если предположить, что матрица [cbm]D[/cbm] — невырожденная (вместо матрицы [cbm]A[/cbm] ), то формула имеет вид:

[cbm]Q^{-1}=\begin{pmatrix}M\!\!&\vline\!\!&-MBD^{-1}\\\hline -D^{-1}CM\!\!&\vline\!\!& D^{-1}+D^{-1}CMBD^{-1} \end{pmatrix}\!.[/cbm]

где [cbm]M=(A-BD^{-1}C)^{-1}[/cbm] — квадратная матрица m-го порядка.

Наконец, если обе матрицы [cbm]A[/cbm] и [cbm]D[/cbm] невырожденные, то

[cbm]Q^{-1}=\begin{pmatrix}M\!\!&\vline\!\!&-MBD^{-1}\\\hline -D^{-1}CM\!\!&\vline\!\!&N \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}M\!\!&\vline\!\!&-A^{-1}BN\\\hline -NCA^{-1}\!\!&\vline\!\!&N \end{pmatrix}\!,[/cbm]

(4.4)

где, как и ранее, [cbm]M=(A-BD^{-1}C)^{-1},~N=(D-CA^{-1}B)^{-1}[/cbm] — квадратные матрицы порядков [cbm]m[/cbm] и [cbm]n[/cbm] соответственно.

Доказательство формул (4.3), (4.4) сводится к умножению блочных матриц.

Пример 4.4. Найти обратную для блочной матрицы

[cbm]Q= Q=\begin{pmatrix}1&-1\!\!&\vline\!\!&0&1\\ -1&2\!\!&\vline\!\!&-1&0\\\hline 0&2\!\!&\vline\!\!& 0&1\\ 2&0\!\!&\vline\!\!& 1&2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline C\!\!&\vline\!\!&D\end{pmatrix}\!.[/cbm]

Решение. Матрица [cbm]A[/cbm] — невырожденная второго порядка. Применяя правило (4.2), последовательно находим:

[cbm]\begin{gathered}A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\!;\qquad CA^{-1}=\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&2\\4&2\end{pmatrix}\!;\hfill\\[5pt] D-CA^{-1}B= \begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}2&2\\4&2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}- \begin{pmatrix} -2&2\\-2&4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}2&-1\\3&-2\end{pmatrix}\!;\hfill\\[5pt]N=(D-CA^{-1}B)^{-1}= \frac{1}{-1}\! \begin{pmatrix}-2&1\\-3&2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2&-1\\3&-2\end{pmatrix}\hfill\\[5pt] A^{-1}B=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1&2\\-1&1\end{pmatrix}\!;\quad A^{-1}BN=\begin{pmatrix}-1&2\\-1&1\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2&-1\\3&-2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}4&-3\\1&-1\end{pmatrix}\!;\hfill\\[5pt] A^{-1}BNCA^{-1}= \begin{pmatrix} 4&-3\\1&-1 \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}2&2\\4&2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -4&2\\-2&0 \end{pmatrix}\!;\quad A^{-1}+A^{-1}BNCA^{-1}= \begin{pmatrix} -2&3\\-1&1 \end{pmatrix}\!; \hfill\\[5pt] NCA^{-1}= \begin{pmatrix}2&-1\\3&-2\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} 2&2\\4&2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0&2\\-2&2\end{pmatrix}\!. \end{gathered}[/cbm]

По формуле (4.3) имеем

[cbm]Q^{-1}= \begin{pmatrix} -2&3\!\!&\vline\!\!&-4&3\\ -1&1\!\!&\vline\!\!&-1&1\\\hline 0&-2\!\!&\vline\!\!&2&-1\\ 2&-2\!\!&\vline\!\!&3&-2 \end{pmatrix}\!.[/cbm]

Учитывая, что матрица [cbm]D[/cbm] в данной блочной матрице [cbm]Q[/cbm] является невырожденной, обратную матрицу [cbm]Q^{-1}[/cbm] можно aнайти по формуле (4.4). Вычисляем левый верхний блок матрицы [cbm]Q^{-1}[/cbm] (остальные блоки такие же как формуле (4.3):

[cbm]\begin{gathered}A-BD^{-1}C= \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}-2&1\\1&0\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 0&2\\-2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-3\\ 1&-2\end{pmatrix}\!;\hfill\\[5pt] M=\begin{pmatrix} A-BD^{-1}C\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix}1&-3\\1&-2\end{pmatrix}^{-1}= \begin{pmatrix} -2&3\\-1&1\end{pmatrix}\!. \end{gathered}[/cbm]

Результаты вычислений по формулам (4.3) и (4.4) совпадают.

Замечание 4.4. Если определитель [cbm]\Delta=\begin{vmatrix}A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline C\!\!&\vline\!\!&D\end{vmatrix}[/cbm] разбит на четыре блока, где матрицы [cbm]A[/cbm] и [cbm]D[/cbm] — квадратные,то справедливы формулы:

[cbm]\Delta=|A|\cdot|D-CA^{-1}B|[/cbm] при [cbm]|A|\ne0\,;[/cbm]

[cbm]\Delta=|A-BD^{-1}C|\cdot|D|[/cbm] при [cbm]|D|\ne0\,.[/cbm]

В частном случае, когда все четыре матрицы [cbm]A,\,B,\,C,\,D[/cbm] квадратные одного и того же порядка, справедливы формулы Шура:

[cbm]\Delta=|AD-ACA^{-1}B|[/cbm] при [cbm]|A|\ne0\,;[/cbm]

[cbm]\Delta=|AD-BD^{-1}CD|[/cbm] при [cbm]|D|\ne0\,.[/cbm]

Если матрицы [cbm]A[/cbm] и [cbm]C[/cbm] перестановочны [cbm](AC=CA)[/cbm] , то [cbm]\Delta=|AD-CB|[/cbm] , а если матрицы [cbm]C[/cbm] и [cbm]D[/cbm] перестановочны, то [cbm]\Delta=|AD-BC|[/cbm] .

Докажем, например, формулу [cbm]\Delta=|A|\cdot|D-CA^{-1}B|[/cbm] . Пусть [cbm]A[/cbm] и [cbm]D[/cbm] -квадратные матрицы m-го и n-го порядков соответственно, причем [cbm]|A|\ne0[/cbm] . Составим блочную матрицу [cbm]S=\begin{pmatrix}E_m\!\!&\vline\!\!&O\\\hline -CA^{-1}\!\!&\vline\!\!&E_n\end{pmatrix}[/cbm] , где [cbm]O[/cbm] — нулевая матрица размеров [cbm]m\times n[/cbm] . Матрицу [cbm]S[/cbm] можно рассматривать как элементарную блочную матрицу, так как она получена из единичной блочной матрицы [cbm]E_{m+n}= \begin{pmatrix} E_m\!\!&\vline\!\!&O\\\hline O^{T}\!\!& \vline\!\!& E_n\end{pmatrix}[/cbm] в результате прибавления ко второй ее строке блоков первой строки блоков, умноженных на матрицу [cbm](-CA^{-1})[/cbm] . Умножим блочную матрицу [cbm]\begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline C\!\!& \vline\!\!&D\end{pmatrix}[/cbm] слева на матрицу [cbm]S:[/cbm]

[cbm]\begin{pmatrix}E_m\!\!&\vline\!\!&O\\\hline -CA^{-1}\!\!& \vline\!\!& E_n\end{pmatrix} \!\cdot\! \begin{pmatrix}A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline C\!\!& \vline\!\!&D\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} A\!\!&\vline\!\!&B\\\hline O^T\!\!& \vline\!\!&D-CA^{-1}B\end{pmatrix}[/cbm]

Найдем определители матриц в левой и правой частях этого равенства. Определитель матрицы [cbm]S[/cbm] равен единице, так как это нижняя треугольная числовая матрица с единицами на главной диагонали (см. п.1 замечаний 2.2). Определитель матрицы в правой части равен [cbm]|A|\cdot|D-CA^{-1}B|[/cbm] , так как это блочно-треугольная матрица (см. п.2 замечаний 2.4). По теореме 2.2 об определителе произведения матриц получаем доказываемую формулу

[cbm]\begin{array}{|c|c|}E_m&O\\\hline -CA^{-1}& E_n\end{array} \cdot \begin{array}{|c|c|}A&B\\\hline C&D\end{array}= \begin{array}{|c|c|}A&B\\\hline O^{T}& D-CA^{-1}B\end{array}\quad \Leftrightarrow\quad 1\cdot\Delta= |A|\cdot|D-CA^{-1}B|.[/cbm]

В вашем браузере отключен Javascript. Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Источник

calcsbox.com

Обратная матрица онлайн

www.matcabi.net позволяет найти обратную матрицу онлайн. Сайт производит вычисление обратной матрицы онлайн. За неколько секунд сервер выдаст точное решение. Обратной матрицей будет являться такая матрица, умножение исходной матрицы на которую дает единичную матрицу, при условии, что определитель начальной матрицы не равен нулю, иначе обратной матрицы для нее не существует. В задачах, когда вычисляем обратную матрицу онлайн, необходимо, чтобы определитель матрицы был отличным от нуля, иначе www.matcabi.net выдаст соответствующее сообщение о невозможности вычислить обратную матрицу онлайн. Такую матрицу еще называют вырожденной. Найти обратную матрицу в режиме онлайн можно только для квадратной матрицы. Операция нахождения обратной матрицы онлайн сводится к вычислению определителя матрицы, затем составляется промежуточная матрица по известному правилу, и в завершении операции - умножения найденного ранее определителя на транспонированную промежуточную матрицу. Точного результата от определения обратной матрицы онлайн можно добиться, изучив теорию по этому курсу. Данная операция занимает особое место в теории матриц и линейной алгебры, позволяет решать системы линейных уравнений, так называемым, матричным методом. Задача по нахождению обратной матрицы онлайн встречается уже в начале изучения высшей математики и присутствует почти в каждой математической дисциплине как базовое понятие алгебры, являясь математическим инструментом в прикладных задачах. www.matcabi.net находит обратную матрицу заданной размерности в режиме онлайн мгновенно. Вычисление обратной матрицы онлайн при заданной её размерности - это нахождение матрицы той же размерности в числовом ее значении, а также в символьном, найденного по правилу вычисления обратной матрицы. Нахождение обратной матрицы онлайн широко распространено в теории матриц. Результат нахождения обратной матрицы онлайн используется при решении линейной системы уравнений матричным методом. Если определитель матрицы будет равен нулю, то обратной матрицы, для которой найден нулевой определитель, не существует. Для того, чтобы вычислить обратную матрицу или найти сразу для нескольких матриц соответствующие им обратные, необходимо затратить не мало времени и усилий, в то время как наш сервер в считанные секунды найдет обратную матрицу онлайн. При этом ответ по нахождению обратной матрицы будет правильным и с достаточной точностью, даже если числа при нахождении обратной матрицы онлайн будут иррациональными. На сайте www.matcabi.net допускаются символьные записи в элементах матриц, то есть обратная матрица онлайн может быть представлена в общем символьном виде при вычислении обратной матрицы онлайн. Полезно проверить ответ, полученный при решении задачи по нахождению обратной матрицы онлайн, используя сайт www.matcabi.net. При совершении операции вычисления обратной матрицы онлайн необходимо быть внимательным и предельно сосредоточенным при решении данной задачи. В свою очередь наш сайт поможет Вам проверить своё решение на тему обратная матрица онлайн. Если у Вас нет времени на долгие проверки решенных задач, то www.matcabi.net безусловно будет являться удобным инструментом для проверки при нахождении и вычислении обратной матрицы онлайн.

www.matcabi.net

обратная матрица

Нахождение обратной матрицы.

В этой статье разберемся с понятием обратной матрицы, ее свойствами и способами нахождения. Подробно остановимся на решении примеров, в которых требуется построить обратную матрицу для заданной.

Навигация по странице.

  • Обратная матрица - определение.

  • Нахождение обратной матрицы с помощью матрицы из алгебраических дополнений.

  • Свойства обратной матрицы.

  • Нахождение обратной матрицы методом Гаусса-Жордана.

  • Нахождение элементов обратной матрицы с помощью решения соответствующих систем линейных алгебраических уравнений.

Обратная матрица - определение.

Понятие обратной матрицы вводится лишь для квадратных матриц, определитель которых отличен от нуля, то есть для невырожденных квадратных матриц.

Определение.

Матрица  называется обратной для матрицы , определитель которой отличен от нуля , если справедливы равенства , где E – единичная матрица порядка n на n.

Нахождение обратной матрицы с помощью матрицы из алгебраических дополнений.

Как же находить обратную матрицу для данной?

Во-первых, нам потребуются понятия транспонированной матрицы, минора матрицы и алгебраического дополнения элемента матрицы.

Определение.

Минор k-ого порядка матрицы A порядка m на n – это определитель матрицы порядка k на k, которая получается из элементов матрицы А, находящихся в выбранныхk строках и k столбцах. (k не превосходит наименьшего из чисел m или n).

Минор (n-1)-ого порядка, который составляется из элементов всех строк, кроме i-ой, и всех столбцов, кроме j-ого, квадратной матрицы А порядка n на n обозначим как .

Иными словами, минор  получается из квадратной матрицы А порядка n на nвычеркиванием элементов i-ой строки и j-ого столбца.

Для примера запишем, минор 2-ого порядка, который получаетсся из матрицы выбором элементов ее второй, третьей строк и первого, третьего столбцов . Также покажем минор, который получается из матрицы  вычеркиванием второй строки и третьего столбца . Проиллюстрируем построение этих миноров:  и .

Определение.

Алгебраическим дополнением элемента  квадратной матрицы  называют минор (n-1)-ого порядка, который получается из матрицы А, вычеркиванием элементов ее i-ой строки и j-ого столбца, умноженный на .

Алгебраическое дополнение элемента  обозначается как . Таким обрзом, .

Например, для матрицы  алгебраическое дополнение элемента  есть .

Во-вторых, нам пригодятся два свойства определителя, которые мы разобрали в разделевычисление определителя матрицы:

На основании этих свойств определителя, определения операции умножения матрицы на число и понятия обратной матрицы справедливо равенство , где  - транспонированная матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения .

Матрица  действительно является обратной для матрицы А, так как выполняются равенства . Покажем это

Составим алгоритм нахождения обратной матрицы с использованием равенства .

  1. Вычисляем определитель матрицы А и убеждаемся, что он отличен от нуля (в противном случае матрица А необратима).

  2. Строим  - матрицу из алгебраических дополнений элементов .

  3. Транспонируем матрицу , тем самым получаем .

  4. Умножаем каждый элемент матрицы  на число . Этой операцией завершается нахождение обратной матрицы .

  5. Проводим проверку результата, вычисляя произведения  и . Если , то обратная матрица найдена верно, в противном случае где-то была допущена ошибка.

Разберем алгоритм нахождения обратной матрицы на примере.

Пример.

Дана матрица . Найдите обратную матрицу.

Решение.

Вычислим определитель матрицы А, разложив его по элементам третьего столбца:

Определитель отличен от нуля, так что матрица А обратима.

Найдем матрицу из алгебраических дополнений:

Поэтому

Выполним транспонирование матрицы из алгебраических дополнений:

Теперь находим обратную матрицу как :

Проверяем полученный результат:

Равенства  выполняются, следовательно, обратная матрица найдена верно.

Свойства обратной матрицы.

Понятие обратной матрицы, равенство , определения операций над матрицами и свойства определителя матрицы позволяют обосновать следующие свойства обратной матрицы:

  1. Для невырожденной квадратной матрицы А справедливо равенство .

  2. Для обратимой матрицы А выполняется равенство .

  3. Для любого отличного от нуля числа k справедливо равенство .

  4. Для невырожденных квадратных матриц А и В одного порядка выполняется равенство .

Нахождение элементов обратной матрицы с помощью решения соответствующих систем линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим еще один способ нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы Апорядка n на n.

Этот метод основан на решении n систем линейных неоднородных алгебраических уравнений с n неизвестными. Неизвестными переменными в этих системах уравнений являются элементы обратной матрицы.

Идея очень проста. Обозначим обратную матрицу как X, то есть, . Так как по определению обратной матрицы , то

Приравнивая соответствующие элементы по столбцам, получим n систем линейных уравнений

Решаем их любым способом и из найденных значений составляем обратную матрицу.

Разберем этот метод на примере.

Пример.

Дана матрица . Найдите обратную матрицу.

Решение.

Примем . Равенство  дает нам три системы линейных неоднородных алгебраических уравнений:

Не будем расписывать решение этих систем, при необходимости обращайтесь к разделурешение систем линейных алгебраических уравнений.

Из первой системы уравнений имеем , из второй - , из третьей - . Следовательно, искомая обратная матрица имеет вид . Рекомендуем сделать проверку, чтобы убедиться в правильности результата.

Подведем итог.

Мы рассмотрели понятие обратной матрицы, ее свойства и три метода ее нахождения.

Пример решений методом обратной матрицы

Задание 1. Решить СЛАУ методом обратной матрицы.  2 x 1 + 3x2 + 3x3+ x4= 1  3 x 1 + 5x2 + 3x3+ 2x4= 2  5 x 1 + 7x2 + 6x3+ 2x4= 3  4 x 1 + 4x2 + 3x3+ x4= 4

Начало формы

Конец формы

Решение. Запишем матрицу в виде:    Вектор B:  BT = (1,2,3,4)  Главный определитель  Минор для (1,1):     = 5•(6•1-3•2)-7•(3•1-3•2)+4•(3•2-6•2) = -3  Минор для (2,1):     = 3•(6•1-3•2)-7•(3•1-3•1)+4•(3•2-6•1) = 0  Минор для (3,1):     = 3•(3•1-3•2)-5•(3•1-3•1)+4•(3•2-3•1) = 3  Минор для (4,1):     = 3•(3•2-6•2)-5•(3•2-6•1)+7•(3•2-3•1) = 3  Определитель минора  ∆ = 2•(-3)-3•0+5•3-4•3 = -3

Транспонированная матрица    Алгебраические дополнения    ∆1,1 = 5•(6•1-2•3)-3•(7•1-2•4)+2•(7•3-6•4) = -3    ∆1,2 = -3•(6•1-2•3)-3•(7•1-2•4)+1•(7•3-6•4) = 0    ∆1,3 = 3•(3•1-2•3)-3•(5•1-2•4)+1•(5•3-3•4) = 3    ∆1,4 = -3•(3•2-2•6)-3•(5•2-2•7)+1•(5•6-3•7) = -3    ∆2,1 = -3•(6•1-2•3)-3•(5•1-2•4)+2•(5•3-6•4) = 9    ∆2,2 = 2•(6•1-2•3)-3•(5•1-2•4)+1•(5•3-6•4) = 0    ∆2,3 = -2•(3•1-2•3)-3•(3•1-2•4)+1•(3•3-3•4) = -6    ∆2,4 = 2•(3•2-2•6)-3•(3•2-2•5)+1•(3•6-3•5) = 3    ∆3,1 = 3•(7•1-2•4)-5•(5•1-2•4)+2•(5•4-7•4) = -4    ∆3,2 = -2•(7•1-2•4)-3•(5•1-2•4)+1•(5•4-7•4) = 1    ∆3,3 = 2•(5•1-2•4)-3•(3•1-2•4)+1•(3•4-5•4) = 1    ∆3,4 = -2•(5•2-2•7)-3•(3•2-2•5)+1•(3•7-5•5) = 0    ∆4,1 = -3•(7•3-6•4)-5•(5•3-6•4)+3•(5•4-7•4) = -12    ∆4,2 = 2•(7•3-6•4)-3•(5•3-6•4)+3•(5•4-7•4) = -3    ∆4,3 = -2•(5•3-3•4)-3•(3•3-3•4)+3•(3•4-5•4) = 9    ∆4,4 = 2•(5•6-3•7)-3•(3•6-3•5)+3•(3•7-5•5) = -3  Обратная матрица    Вектор результатов X  X = A-1 ∙ B      XT = (2,-1,-0.33,1)  x1 = 2  x2 = -1  x3 = -0.33  x4 = 1

см. также решений СЛАУ методом обратной матрицы online. Для этого введите свои данные и получите решение с подробными комментариями.

Задание 2. Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы. Сделать проверку полученного решения.  Решение:xml:xls

Пример 2. Записать систему уравнений в матричной форме и решить с помощью обратной матрицы.  Решение:xml:xls

Пример. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется: 1) найти ее решение с помощью формул Крамера; 2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления.  Методические рекомендации. После решения методом Крамера, найдите кнопку "Решение методом обратной матрицы для исходных данных". Вы получите соответствующее решение. Таким образом, данные вновь заполнять не придется.  Решение. Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:

Вектор B: BT=(4,-3,-3) С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B. Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е. Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1. Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля. Найдем главный определитель. ∆=-1•(-2•(-1)-1•1)-3•(3•(-1)-1•0)+2•(3•1-(-2•0))=14 Итак, определитель 14 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения. Пусть имеем невырожденную матрицу А:

A=

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

Тогда:

A=1/∆

A11

A21

A31

A12

A22

A32

A13

A23

A33

где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А. Транспонированная матрица

Вычисляем алгебраические дополнения.

∆1,1=(-2•(-1)-1•1)=1

∆1,2=-(3•(-1)-0•1)=3

∆1,3=(3•1-0•(-2))=3

∆2,1=-(3•(-1)-1•2)=5

∆2,2=(-1•(-1)-0•2)=1

∆2,3=-(-1•1-0•3)=1

∆3,1=(3•1-(-2•2))=7

∆3,2=-(-1•1-3•2)=7

∆3,3=(-1•(-2)-3•3)=-7 Обратная матрица

Вектор результатов X X=A-1 • B

XT=(-1,1,2) x1=-14 / 14=-1 x2=14 / 14=1 x3=28 / 14=2 Проверка. -1•-1+3•1+0•2=4 3•-1+-2•1+1•2=-3 2•-1+1•1+-1•2=-3  doc:xml:xls  Ответ: -1,1,2.

studfiles.net

Алгоритм вычисления обратной матрицы.

1. Находим определитель исходной матрицы. Если , то матрица- вырожденная и обратной матрицыне существует. Если, то матрицаневырожденная и обратная матрица существует.

2. Находим матрицу , транспонированную к.

3. Находим алгебраические дополнения элементов и составляем из них присоединенную матрицу.

4. Составляем обратную матрицу по формуле    .

5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения:.

Пример. Найти матрицу, обратную данной: .

Р е ш е н и е.

1)    Определитель матрицы

.

2)   Находим алгебраические дополнения элементов матрицы и составляем из них  присоединенную матрицу :

.

3)              Вычисляем обратную матрицу:

,

4)              Проверяем:

.

№4 Ранг матрицы. Линейная независимость строк матрицы

Для решения и исследования ряда математических и прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.

В матрице размеромвычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы-го порядка, где. Определители таких подматриц называютсяминорами -го порядка матрицы.

Например, из матриц можно получить подматрицы 1, 2 и 3-го порядка.

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначение:или.

Из определения следует:

1) Ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е..

2) тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е..

3) Для квадратной матрицы n-го порядка тогда и только тогда, когда матрица- невырожденная.

Поскольку непосредственный перебор всех возможных миноров матрицы , начиная с наибольшего размера, затруднителен (трудоемок), то пользуются элементарными преобразованиями матрицы, сохраняющими ранг матрицы.

Элементарные преобразования матрицы:

1)   Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2)   Умножение всех элементов строки (столбца) на число .

3)   Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4)   Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5)   Транспонирование матрицы.

Определение. Матрица , полученная из матрицыпри помощи элементарных преобразований, называется эквивалентной и обозначаетсяА В.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда.

Матрица называется ступенчатой если она имеет вид:

, где ,,.

Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк , т.к. имеется минор-го порядка, не равный нулю:

.

Пример. Определить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований.

 .

Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк, т.е. .

№5Линейная независимость строк матрицы

Дана матрица размера

Обозначим строки матрицы следующим образом:

Две строки называются равными, если равны их соответствующие элементы. .

Введем операции умножения строки на число и сложение строк как операции, проводимые поэлементно:

.

Определение. Строка называется линейной комбинацией строкматрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа(любые числа):

.

Определение. Строки матрицы называютсялинейно зависимыми, если существует такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:

, где . (1.1)

Линейная зависимость строк матрицы обозначает, что хотя бы 1 строка матрицы является линейной комбинацией остальных.

Определение. Если линейная комбинация строк (1.1) равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты , то строкиназываютсялинейно независимыми.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные строки (столбцы).

Теорема играет принципиальную роль в матричном анализе, в частности, при исследовании систем линейных уравнений.

№6 Решение системы линейных уравнений снеизвестными

Системы линейных уравнений находят широкое применение в экономике.

Система линейных уравнений спеременными имеет вид:

,

где () - произвольные числа, называемыекоэффициентами при переменных и свободными членами уравнений, соответственно.

Краткая запись: ().

Определение. Решением системы называется такая совокупность значений , при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

1)             Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

2)             Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

3)             Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными), если они имеют одно и то же множество решений (например, одно решение).

studfiles.net