Пределы с корнями: примеры решений. Как решить примеры с корнями


Как решать примеры с корнями

Корнем n степени из числа называют такое число, которое при возведении в эту степень даст то число, из которого извлекается корень. Почаще каждого, действия производятся с корнями квадратными, которые соответствуют 2 степени. При извлечении корня зачастую нереально обнаружить его очевидно, а итогом является число, которое нереально представить в виде естественной дроби (трансцендентное). Но применяя некоторые приемы, дозволено гораздо упростить решение примеров с корнями.

Вам понадобится

  • — представление корня из числа;
  • — действия со степенями;
  • — формулы сокращенного умножения;
  • — калькулятор.

Инструкция

1. Если не требуется безусловная точность, при решении примеров с корнями воспользуйтесь калькулятором. Дабы извлечь из числа квадратный корень, наберите его на клавиатуре, и примитивно нажмите соответствующую кнопку, на которой изображен знак корня. Как водится, на калькуляторах берется корень квадратный. Но для вычисления корней высших степеней, воспользуйтесь функцией возведения числа в степень (на инженерном калькуляторе).

2. Для извлечения квадратного корня возведите число в степень 1/2, кубического корня в 1/3 и так дальше. При этом неукоснительно рассматривайте, что при извлечении корней четных степеней, число должно быть позитивным, напротив калькулятор примитивно не выдаст результат. Это связанно с тем, что при возведении в четную степень всякое число будет позитивным, скажем, (-2)^4=(-2)? (-2)? (-2)? (-2)=16. Для извлечения квадратного корня нацело, когда это допустимо, воспользуйтесь таблицей квадратов естественных чисел.

3. Если же рядом нет калькулятора, либо требуется безусловная точность в расчетах, используйте свойства корней, а также разные формулы для облегчения выражений. Из многих чисел дозволено извлечь корень отчасти. Для этого воспользуйтесь свойством, что корень из произведения 2-х чисел равен произведению корней из этих чисел ?m?n=?m??n.

4. Пример. Вычислите значение выражения (?80-?45)/ ?5. Прямое вычисление ничего не даст, от того что нацело не извлекается ни один корень. Преобразуйте выражение (?16?5-?9?5)/ ?5=(?16??5-?9??5)/ ?5=?5?(?16-?9)/ ?5. Произведите сокращение числителя и знаменателя на ?5, получите (?16-?9)=4-3=1.

5. Если подкоренное выражение либо сам корень построены в степень, то при извлечении корня воспользуйтесь тем свойством, что показатель степени подкоренного выражения дозволено поделить на степень корня. Если деление производится нацело, число вносится из-под корня. Скажем, ?5^4=5?=25. Пример. Вычислить значение выражения (?3+?5)?(?3-?5). Примените формулу разности квадратов и получите (?3)?-(?5)?=3-5=-2.

Обычная дробь — число своенравное. Изредка доводится помучиться, дабы обнаружить решение задачи с дробью и представить его в надлежащем виде. Обучившись решать примеры с дробью , вы легко совладаете с этой неприятной вещью.

Инструкция

1. Разглядите сложение и вычитание дробей. К примеру, 5/2+10/5. Приведите обе дроби к всеобщему знаменателю. Для этого обнаружьте то число, которое дозволено поделить без остатка на знаменатель и первой, и 2-й дроби. В нашем случае это число 10. Преобразуйте вышеуказанные дроби, получается 25/10+20/10.Сейчас сложите между собой числители, а знаменатель оставьте непоколебимым. Получается 45/10.Дозволено сократить полученную дробь, то есть поделить числитель и знаменатель на одно и то же число. Получается 9/2.Выделите целую часть. Обнаружьте наивысшее число, которое дозволено поделить без остатка на знаменатель. Это число 8. Поделите его на знаменатель — это и будет целая часть. Выходит, в итоге получается 4 1/2.Произведите схожие действия при вычитании дробей.

2. Разглядите умножение дробей. Тут все примитивно. Перемножьте между собой числители и знаменатели. К примеру, 2/5 умножить на 4/2 получается 8/10. Сократите дробь, получается 4/5.

3. Разглядите деление дробей. При выполнении этого действия опрокиньте одну из дробей, а после этого перемножьте числители и знаменатели. Скажем, 2/5 поделить на 4/2 — получается 2/5 умножить на 2/4 — получается 4/20. Сократите дробь, получается 1/5.

Видео по теме

jprosto.ru

Как решать примеры с корнями

Корнем n степени из числа называют такое число, которое при возведении в эту степень даст то число, из которого извлекается корень. Чаще всего, действия производятся с корнями квадратными, которые соответствуют 2 степени. При извлечении корня часто невозможно найти его явно, а результатом является число, которое невозможно представить в виде натуральной дроби (трансцендентное). Но используя некоторые приемы, можно значительно упростить решение примеров с корнями.

Вам понадобится

  • - понятие корня из числа;
  • - действия со степенями;
  • - формулы сокращенного умножения;
  • - калькулятор.

Инструкция

  • Если не требуется абсолютная точность, при решении примеров с корнями воспользуйтесь калькулятором. Чтобы извлечь из числа квадратный корень, наберите его на клавиатуре, и просто нажмите соответствующую кнопку, на которой изображен знак корня. Как правило, на калькуляторах берется корень квадратный. Но для вычисления корней высших степеней, воспользуйтесь функцией возведения числа в степень (на инженерном калькуляторе).
  • Для извлечения квадратного корня возведите число в степень 1/2, кубического корня в 1/3 и так далее. При этом обязательно учитывайте, что при извлечении корней четных степеней, число должно быть положительным, иначе калькулятор просто не выдаст ответ. Это связанно с тем, что при возведении в четную степень любое число будет положительным, например, (-2)^4=(-2)∙ (-2)∙ (-2)∙ (-2)=16. Для извлечения квадратного корня нацело, когда это возможно, воспользуйтесь таблицей квадратов натуральных чисел.
  • Если же рядом нет калькулятора, или требуется абсолютная точность в расчетах, используйте свойства корней, а также различные формулы для упрощения выражений. Из многих чисел можно извлечь корень частично. Для этого воспользуйтесь свойством, что корень из произведения двух чисел равен произведению корней из этих чисел √m∙n=√m∙√n.
  • Пример. Вычислите значение выражения (√80-√45)/ √5. Прямое вычисление ничего не даст, поскольку нацело не извлекается ни один корень. Преобразуйте выражение (√16∙5-√9∙5)/ √5=(√16∙√5-√9∙√5)/ √5=√5∙(√16-√9)/ √5. Произведите сокращение числителя и знаменателя на √5, получите (√16-√9)=4-3=1.
  • Если подкоренное выражение или сам корень возведены в степень, то при извлечении корня воспользуйтесь тем свойством, что показатель степени подкоренного выражения можно поделить на степень корня. Если деление производится нацело, число вносится из-под корня. Например, √5^4=5²=25. Пример. Вычислить значение выражения (√3+√5)∙(√3-√5). Примените формулу разности квадратов и получите (√3)²-(√5)²=3-5=-2.

completerepair.ru

Преобразование и упрощение более сложных выражений с корнями (алгебра 8 класс)

Дополнительные сочинения

В начале урока мы повторим основные свойства квадратных корней, а затем рассмотрим несколько сложных примеров на упрощение выражений, содержащих квадратные корни.

Тема: Функция . Свойства квадратного корня

Урок: Преобразование и упрощение более сложных выражений с корнями

1. Повторение свойств квадратных корней

Вкратце повторим теорию и напомним основные свойства квадратных корней.

Свойства квадратных корней:

1. , следовательно, ;

2. ;

3. ;

4. .

2. Примеры на упрощение выражений с корнями

Перейдем к примерам использования этих свойств.

Пример 1. Упростить выражение .

Решение. Для упрощения число 120 необходимо разложить на простые множители:

. Квадрат суммы раскроем по соответствующей формуле:

.

Ответ. 11.

Пример 2. Упростить выражение .

Решение. Учтем, что данное выражение имеет смысл не при всех возможных значениях переменной, т. к. в данном выражении присутствуют квадратные корни и дроби, что приводит к «сужению» области допустимых значений. ОДЗ: ().

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю и распишем числитель последней дроби как разность квадратов:

при.

Ответ. при.

Пример 3. Упростить выражение .

Решение. Видно, что вторая скобка числителя имеет неудобный вид и нуждается в упрощении, попробуем разложить ее на множители с помощью метода группировки.

. Для возможности выносить общий множитель мы упростили корни путем их разложения на множители. Подставим полученное выражение в исходную дробь:

. После сокращения дроби применяем формулу разности квадратов.

Ответ. 13.

3. Пример на избавление от иррациональности

Пример 4. Освободиться от иррациональности (корней) в знаменателе: а) ; б) .

Решение. а) Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, применяется стандартный метод домножения и числителя и знаменателя дроби на сопряженный к знаменателю множитель (такое же выражение, но с обратным знаком). Это делается для дополнения знаменателя дроби до разности квадратов, что позволяет избавиться от корней в знаменателе. Выполним этот прием в нашем случае:

.

б) выполним аналогичные действия:

       

.

Ответ.; .

4. Пример на доказательство и на выделение полного квадрата в сложном радикале

Пример 5. Докажите равенство .

Доказательство. Воспользуемся определением квадратного корня, из которого следует, что квадрат правого выражения должен быть равен подкоренному выражению:

. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы:

, получили верное равенство.

Доказано.

Пример 6. Упростить выражение .

Решение. Указанное выражение принято называть сложным радикалом (корень под корнем). В данном примере необходимо догадаться выделить полный квадрат из подкоренного выражения. Для этого заметим, что из двух слагаемых является претендентом на роль удвоенного произведения в формуле квадрата разности (разности, т. к. присутствует минус). Распишем его в виде такого произведения: , тогда на роль одного из слагаемых полного квадрата претендует , а на роль второго – 1.

. Подставим это выражение под корень:

. Модуль раскрывается в таком виде, т. к. .

Ответ..

На этом занятии мы заканчиваем тему «Функция . Свойства квадратного корня», а на следующем уроке начинаем новую тему «Действительные числа».

Список литературы

1. Башмаков М. И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал xenoid. ru .

2. Математическая школа .

3. Интернет-портал XReferat. Ru .

Домашнее задание

1. №357, 360, 372, 373, 382. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: а) , б) .

3. Упростите выражение: а) , б) .

4. Докажите тождество .

dp-adilet.kz

Как решать пределы с корнями, примеры решений

Среди задач на решение пределов попадаются пределы с корнями. В результате подстановки значения в функцию получаются неопределенности трёх видов:

  1.  

Перед тем, как приступить к решению определите тип своей задачи

Тип 1

Для того, чтобы раскрывать такие неопределенности необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное к выражению содержащему корень.

Пример 1
Найти предел с корнем
Решение

Подставляем в подпределельную функцию:

Получаем неопределенность . Домножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное к нему, так как он содержит корень:

Используя формулу разности квадратов приведем предел к следующему виду:

Раскрываем скобки в знаменателе и упрощаем его:

Сокращам функцию в пределе на , имеем:

Ответ

Тип 2

Пределы с корнем такого типа, когда вычислять нужно по-другому в отличии от предыдущего случая. Необходимо определить старшие степени выражений числителя и знаменателя. Затем вынести самую старшую из двух степеней за скобки и сократить.

Пример 2
Решить предел с корнем
Решение

Вставляем в предел и получаем . Определяем, что в числителе старшая степень это , а в знаменателе . Выносим их за скобки: 

Теперь выполняем сокращение:

Снова подставляем в предел, имеем:

Ответ

Тип 3

Этот вид пределов часто попадается в дополнительных заданиях на экзамене. Ведь часто студенты не правильно вычисляют пределы такого типа. Как решать пределы с корнями данного вида? Всё просто. Необходимо умножить и разделить функцию, стоящую в пределе, на выражение сопряженное к ней.

Пример 3
Вычислить предел корня
Решение

При  в пределе видим:

После домножения и разделения на сопряженное имеем предел:

Упростим числитель, используя формулу разности квадратов:

После раскрытия скобок и упрощения получаем:

Далее выносим за скобки и сокращаем:

Снова подставляем в предел и вычисляем его:

Ответ

xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai

Как решать корни?

Очень не нравятся, некоторым, школьникам уравнения и задачи, в которых встречается знак корня. А ведь решить пример с корнем не так сложно, важно знать, с какой стороны подойти к проблеме. Сам значок, который обозначает извлечение корня, называется радикалом. Как решать корни? Извлечь квадратный корень из числа – это значит, подобрать такое число, которое в квадрате даст то самое значение под знаком радикала.

Итак, как решать квадратные корни

Решать квадратные корни несложно. Например, требуется выяснить, сколько будет корень из 16. Для того чтобы решить этот простой пример, нужно вспомнить, сколько будет 2 в квадрате - 22, затем 32, и, наконец, 42. Только теперь мы увидим, что результат (16) соответствует запросу. То есть, для того, чтобы извлечь корень, нам пришлось подбирать возможные значения. Оказывается, для того, чтобы решать корни, не существует точного и проверенного алгоритма. Для облегчения труда "решателя", математики рекомендуют заучить наизусть (именно назубок, как таблицу умножения) значения квадратов чисел до двадцати. Тогда можно будет запросто извлекать корень из чисел, которые больше сотни. И, наоборот, видеть сразу, что корень из этого числа извлечь нельзя, то есть ответ не будет иметь целое число.

Мы разобрались, как решать квадратные корни. А теперь давайте разберемся, какие квадратные корни решения не имеют. Например, отрицательные числа. Здесь понятно, что если два отрицательных числа перемножить – ответ получится со знаком плюс. Далее что следует знать. Корень извлечь можно из любого числа (кроме отрицательного, как упоминалось выше). Просто ответ может обернуться десятичной дробью. То есть содержать какое-то количество цифр после запятой. Например, корень из двух имеет значение 1.41421 и это еще не все цифры после запятой. Такие значения округляются для облегчения расчетов, иногда до второй цифры после запятой, иногда до третьей или четвертой. Кроме того частенько практикуется так и оставлять число под корнем в качестве ответа, если оно хорошо и компактно смотрится. Ведь и так ясн

elhow.ru

как решать примеры с корнем под корнем? Оо например 4 корень три и все это в корне,двойной корень то есть

у квадратных корней не пишут степень корня. но подразумевается. показатели корней перемножаются и получается один корень, но более высокой степени. попробую на примере : под знаком кубического корня квадратный корень из чего-нить, ну пусть М корень квадратный из М можно записать как М в степени 1\2 аналогично М"1\2 в степени 1\3 получается М в степени \6 или корень 6 степени из М. стало понятно?

Корни перемножаются и всё. Например корень третей степени от квадратногого корня из 64, два умножить на три и получится корень 6-ой степени из 64 и равно 2.

Корни перемножаются и всё. Например корень третей степени от квадратногого корня из 64, два умножить на три и получится корень 6-ой степени из 64 и равно 2. 1 Нравится Комментировать Пожаловаться

Корни перемножаются и всё. Например корень третей степени от квадратногого корня из 64, два умножить на три и получится корень 6-ой степени из 64 и равно 2. 1 Нравится Комментировать Пожаловаться Нравится 1 Комментарий Пожаловаться

touch.otvet.mail.ru

Как решить пример с корнями?

Решение примеров с корнями При преобразовании выражений с корнями используют определение и свойство арифметического корня n-ой степени, свойства степени с рациональным показателем, а так же правила внесения множителя под знак корня и вынесения множителя из под знака корня. При этом разделяют случаи четной и нечетной степени корня. ПРИМЕР 1. Задание Вычислить \[ \sqrt{27+ 2 \sqrt{50}} \cdot (5-\sqrt{2}) \] Решение Представим подкоренное выражение в виде: \[ \sqrt{27+ 2 \sqrt{50}} \cdot (5-\sqrt{2}) = \sqrt{25+ 2 \sqrt{2 \cdot 25}+2} \cdot (5-\sqrt{2}) = \] \[ = \sqrt{25+ 2 \cdot 5 \sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}} \cdot (5-\sqrt{2}) \] Таким образом, подкоренное выражение представляет собой квадрат суммы: \[ \sqrt{27+ 2 \sqrt{50}} \cdot (5-\sqrt{2}) = \sqrt{25+ 2 \cdot 5 \sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}} \cdot (5-\sqrt{2}) = \] \[ = \sqrt{(5+\sqrt{2})^{2}} \cdot (5-\sqrt{2}) \] По свойству арифметического квадратного корня \sqrt{a^{2}}=|a| , получим: \[ \sqrt{27+ 2 \sqrt{50}} \cdot (5-\sqrt{2}) = \sqrt{(5+\sqrt{2})^{2}} \cdot (5-\sqrt{2}) = |5+\sqrt{2}| \cdot (5-\sqrt{2}) = \] \[ = (5+\sqrt{2}) \cdot (5-\sqrt{2}) \] Полученное выражение представляет собой разность квадратов, свернем его: \[ \sqrt{27+ 2 \sqrt{50}} \cdot (5-\sqrt{2}) = (5+\sqrt{2}) \cdot (5-\sqrt{2}) = 5^{2}-(\sqrt{2})^{2}=25-2=23 \] Ответ:23. Корнем n степени из числа называют такое число, которое при возведении в эту степень даст то число, из которого извлекается корень. Чаще всего, действия производятся с корнями квадратными, которые соответствуют 2 степени. При извлечении корня часто невозможно найти его явно, а результатом является число, которое невозможно представить в виде натуральной дроби (трансцендентное). Но используя некоторые приемы, можно значительно упростить решение примеров с корнями. Вам понадобится - понятие корня из числа; - действия со степенями; - формулы сокращенного умножения; - калькулятор. Инструкция 1.Если не требуется абсолютная точность, при решении примеров с корнями воспользуйтесь калькулятором. Чтобы извлечь из числа квадратный корень, наберите его на клавиатуре, и просто нажмите соответствующую кнопку, на которой изображен знак корня. Как правило, на калькуляторах берется корень квадратный. Но для вычисления корней высших степеней, воспользуйтесь функцией возведения числа в степень (на инженерном калькуляторе). 2.Для извлечения квадратного корня возведите число в степень 1/2, кубического корня в 1/3 и так далее. При этом обязательно учитывайте, что при извлечении корней четных степеней, число должно быть положительным, иначе калькулятор просто не выдаст ответ. Это связанно с тем, что при возведении в четную степень любое число будет положительным, например, (-2)^4=(-2)∙ (-2)∙ (-2)∙ (-2)=16. Для извлечения квадратного корня нацело, когда это возможно, воспользуйтесь таблицей квадратов натуральных чисел. 3.Если же рядом нет калькулятора, или требуется абсолютная точность в расчетах, используйте свойства корней, а также различные формулы для упрощения выражений. Из многих чисел можно извлечь корень частично. Для этого воспользуйтесь свойством, что корень из произведения двух чисел равен произведению корней из этих чисел √m∙n=√m∙√n. 4.Пример. Вычислите значение выражения (√80-√45)/ √5. Прямое вычисление ничего не даст, поскольку нацело не извлекается ни один корень. Преобразуйте выражение (√16∙5-√9∙5)/ √5=(√16∙√5-√9∙√5)/ √5=√5∙(√16-√9)/ √5. Произведите сокращение числителя и знаменателя на √5, получите (√16-√9)=4-3=1. 5.Если подкоренное выражение или сам корень возведены в степень, то при извлечении корня воспользуйтесь тем свойством, что показатель степени подкоренного выражения можно поделить на степень корня. Если деление производится нацело, число вносится из-под корня. Например, √5^4=5²=25. Пример. Вычислить значение выражения (√3+√5)∙(√3-√5). Примените формулу разности квадратов и получите (√3)²-(√5)²=3-5=-2.

otvetof.org