Как умножить степени с разными основаниями и показателями? Как умножить степени с одинаковыми основаниями


Как умножать степени | Алгебра

Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие — нет? Как число умножить на степень?

В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:

1) если степени имеют одинаковые основания;

2) если степени имеют одинаковые показатели.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели — сложить:

   

При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

   

Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.

   

Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней — учитывают:

   

При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:

   

   

   

   

В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом — умножение:

   

   

www.algebraclass.ru

Как умножать и делить степени? Что делают при умножении и делении степеней?

Если говорить простыми словами, то возведение числа в степень - это операция, при которой число многократно умножается само на себя.

Здесь число a - это основание степени, а число n - это показатель степени.

Умножение степеней.

При умножении степеней их основания могут совпадать, а могут различаться.

_

Сначала рассмотрим, как умножать степени с одинаковыми основаниями.

Для этого нужно сложить показатели степеней, а основания оставить без изменений.

Здесь a - основание степеней, а n и m - показатели.

Например:

6² * 6³ = 6^5 = 7776.

Проверить эту формулу очень легко - достаточно возвести в степень каждый множитель, а затем перемножить полученные числа.

6² * 6³ = (6*6) * (6*6*6) = 36 * 216 = 7776.

_

Теперь об умножении степеней с разными основаниями.

Здесь возможны 3 варианта:

1) Основания степеней различаются, но показатели совпадают.

В этом случае нужно перемножить основания и возвести их в указанную степень.

Например:

5³ * 6³ = (5 * 6)³ = 30³ = 27000.

2) Основания и показатели различаются, но имеется возможность привести степени к одному основанию.

Например:

9² * 81².

Здесь 81 можно представить в виде 9².

Поэтому 81² = (9²)² = 9^4 (при возведении степени в степень показатели перемножаются).

В итогу получим, что 9² * 81² = 9^2 * 9^4 = 9^6 = 531441.

3) Основания и показатели различаются, но можно привести данные степени к одному показателю.

Например:

5² * 8^4.

8^4 можно представить как 8² * 8².

Поэтому:

5² * 8^4 = 5² * 8² * 8² = (5*8*8)² = 320² = 102400.

4) Основания и показатели различаются, возможность приведения степеней к одному основанию и показателю отсутствует.

Например:

3² * 7³.

Основания и показатели в этом случае являются простыми числами. Поэтому здесь единственный вариант - возводить в степень каждый множитель отдельно, а затем перемножать результаты.

3² * 7³ = 9 * 343 = 3087.

Деление степеней.

Здесь всё по аналогии с умножением - основания степеней бывают одинаковыми, а бывают разными.

_

Если вы выполняете деление степеней с одинаковыми основаниями, то нужно делать следующее:

Основания оставить без изменений, а показатели степеней отнять друг от друга.

Например:

7³ : 7² = 7^1 = 7.

Проверка выполняется описанным выше способом:

7³ : 7² = 343 : 49 = 7.

_

Что касается деления степеней с разными основаниями, то здесь все принципы будут аналогичны умножению.

Если основания и показатели степеней - простые числа, то нужно отдельно возводить в степень делимое и делитель.

В ином случае степени можно привести либо к одному основанию, либо к одному показателю.

Вот несколько примеров:

4² : 2^4 = 4² : (2²)² = 4² : 4² = 1.

10³ : 5³ = (10 : 5)³ = 2³ = 8.

9³ : 2^6 = 9³ : (2³ * 2³) = 4,5³ : 2³ = 2,25³ = 11,390625.

www.bolshoyvopros.ru

Умножение степеней с одинаковыми основаниями (формула an∗ak=an+k)

На этом уроке мы изучим умножение степеней с одинаковыми основаниями. Вначале вспомним определение степени и сформулируем теорему о справедливости равенства . Затем приведем примеры ее применения на конкретных числах и докажем ее. Также мы применим теорему для решения различных задач.

Тема: Степень с натуральным показателем и ее свойства

Урок: Умножение степеней с одинаковыми основаниями (формула )

Основные определения:

Здесь a - основание степени,

 n - показатель степени,

- n-ая степень числа.

Теорема 1. Для любого числа а и любых натуральных n иk справедливо равенство:

По-иному: если а – любое число; n иk натуральные числа, то:

Отсюда правило 1:

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, основание остается неизменным.

Разъясняющие примеры:

1)

2)

Вывод: частные случаи подтвердили правильность теоремы №1. Докажем ее в общем случае, то есть для любого а и любых натуральных n и k.

Дано число а – любое; числа n и k – натуральные. Доказать: 

Доказательство основано на определении степени.

То есть 

Пример 1: Представьте в виде степени.

Для решения следующих примеров воспользуемся теоремой 1.

а)  

б) 

в)

г)

д)

е)

ж)

Здесь использовано обобщение:

Пример 2: Вычислите (можно использовать таблицу основных степеней).

а)  (по таблице)

б)

Пример 3: Запишите в виде степени с основанием 2.

а)  

б)

в)

г)

Пример 4: Определите знак числа:

, а – отрицательное число.

По-иному:

Пример 5: Замените (*) степенью числа с основанием r:

Имеем , то есть .

Список рекомендованной литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ 

3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. ГДЗ. Видеоуроки по математике (Источник).

2. Школьный помощник (Источник).

3. Testent.ru (Источник).

4. Математика-повторение (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Представьте в виде степени:

а)      б)       в) г)        д)

2.  Вычислите:

а)       б)  

3. Запишите в виде степени с основанием 2:

а)       б)

4. Определите знак числа:

а)

5. Замените (*) степенью числа с основанием r:

а) ;      б)

mirror.vsibiri.info

Как умножить степени с разными основаниями и показателями?

1) Если умножаются 2 числа с одинаковыми основаниями, но разными показателями, то общее основание возводится в сумму степеней.:

Пример3⁴*3³=3⁴⁺³=3⁷

2) Если основания разные, а показатели одинаковые. В этом случае мы возводим в степень произведение оснований.aⁿ*bⁿ=(ab)ⁿ

Пример:5²*2²=(5*2)²=10²=1003) Если основания разные и показатели разные, то тут 2 варианта:1. Выделяем одинаковое основание, т.е. раскладываем один из множителей.

Представим число b=a*c

Пример

2. Приводим к общему показателю:

Пример

Оцени ответ

nebotan.com

как умножить или разделить степени с разными показателями и основаниями? пожалуйста, очень срочно нужно!

Приводят все основания к одному и действуют по правилам. Если к одному основанию свести нельзя, то считают каждую степень по отдельности.

Если основания одинаковы, то при умножении основание остается прежним, показатели складываются (при делении вычитаются) . Степень с разными основаниями нельзя умножать или делить, пока эти основания не приравнять друг к другу. Показатели тут роли не играют.

<img src="//otvet.imgsmail.ru/download/222734490_f86420b81e20f3cb351d6808990639dc_800.jpg" alt="" data-lsrc="//otvet.imgsmail.ru/download/222734490_f86420b81e20f3cb351d6808990639dc_120x120.jpg" data-big="1">

представь 14^2 как 2^2*7^2 и тогда все получится

touch.otvet.mail.ru

Как делить степени | Алгебра

Как делить степени? При каких условиях деление степеней возможно?

В алгебре найти частное степеней можно в двух случаях:

1) если степени имеют одинаковые основания;

2) если степени имеют одинаковые показатели.

Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя (или коротко: при делении степеней показатели вычитают):

   

или

   

или

   

(последнюю формулу удобно использовать, если показатель степени в знаменателе больше показателя степени в числителе).

При делении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

   

Рассмотрим, как делить степени, на конкретных примерах.

   

Единицу в показателе степени не пишут, но при делении степеней ее следует учесть:

   

При делении степеней с одинаковыми основаниями и одинаковыми показателями получаем единицу:

   

   

   

   

Вынесение общего показателя при делении степеней позволяет упростить вычисления:

   

   

В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

Если нужно число разделить на степень либо степень разделить на число, сначала следует выполнить возведение в степень, а затем — деление:

   

   

www.algebraclass.ru

Свойства степеней с одинаковыми основаниями — Науколандия

Существует три свойства степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Это

  • Произведение двух степеней с одинаковыми основаниями равно выражению, где основание то же самое, а показатель есть сумма показателей исходных множителей.
  • Частное двух степеней с одинаковыми основаниями равно выражению, где основание то же самое, а показатель есть разность показателей исходных множителей.
  • Возведение степени числа в степень равно выражению, в котором основание — это то же самое число, а показатель — это произведение двух степеней.

Будьте внимательны! Правил относительно сложения и вычитания степеней с одинаковыми основаниями не существует.

Запишем эти свойства-правила в виде формул:

  • am × an = am+n
  • am ÷ an = am–n
  • (am)n = amn

Теперь рассмотрим их на конкретных примерах и попробуем доказать.

52 × 53 = 55 — здесь мы применили правило; а теперь представим как бы мы решали этот пример, если бы не знали правила:

52 × 53 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 55 — пять в квадрате — это пять умноженное на пять, а в кубе — произведение трех пятерок. В результате получилось произведение пяти пятерок, но это нечто иное как пять в пятой степени: 55.

39 ÷ 35 = 39–5 = 34. Запишем деление в виде дроби:

Ее можно сократить:

В результате получим:

Таким образом мы доказали, что при делении двух степеней с одинаковыми основаниями, их показатели надо вычитать.

Однако при делении нельзя, чтобы делитель был равен нулю (так как на ноль делить нельзя). Кроме того, поскольку мы рассматриваем степени только с натуральными показателями, то не можем в результате вычитания показателей получить число меньше, чем 1. Поэтому на формулу am ÷ an = am–n накладываются ограничения: a ≠ 0 и m > n.

Перейдем к третьему свойству:(22)4 = 22×4 = 28

Запишем в развернутом виде:(22)4 = (2 × 2)4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 28

Можно прийти к такому выводу и логически рассуждая. Нужно перемножить два в квадрате четыре раза. Но в каждом квадрате две двойки, значит всего двоек будет восемь.

scienceland.info