Как упрощать алгебраические выражения. Как упростить выражение алгебра


Упрощение логических выражений

Замечание 1

Логическую функцию можно записать с помощью логического выражения, а затем можно перейти к логической схеме. Упрощать логические выражения надо для того, чтобы получить как можно более простую (а значит, и более дешёвую) логическую схему. По сути, логическая функция, логическое выражение и логическая схема −это три разных языка, рассказывающие об одной сущности.

Для упрощения логических выражений используют законы алгебры логики.

Какие-то преобразования похожи на преобразования формул в классической алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т.п.), а другие преобразования основаны на свойствах, которыми операции классической алгебры не обладают (использование распределительного закона для конъюнкции, законов поглощения, склеивания, правил де Моргана и др.).

Законы алгебры логики формулируются для базовых логических операций — “НЕ” – инверсия (отрицание), “И” – конъюнкция (логическое умножение) и “ИЛИ” – дизъюнкция (логическое сложение).

Закон двойного отрицания означает, что операция “НЕ” обратима: если применить ее дважды, то в итоге логическое значение не изменится.

Закон исключенного третьего гласит, что любое логическое выражение либо истинно, либо ложно (“третьего не дано”). Поэтому если $A=1$, то $\bar{A}=0$ (и наоборот), а, значит, конъюнкция этих величин всегда равно нулю, а дизъюнкция равна единице.

Операции с константами и закон повторения легко проверяются по таблицам истинности операций “И” и “ИЛИ”.

Переместительный и сочетательный законы выглядят так же, как и в математике. Почти всегда “работает” аналогия с классической алгеброй, нужно только помнить, что в логике $1 + 1 = 1$, а не $2$.

Рисунок 1.

Распределительный закон для дизъюнкции — это просто раскрытие скобок. А вот для конъюнкции выражение незнакомое, и в математике это равенство неверно. Доказательство начинаем с правой части. Раскроем скобки:

$(A+B) \cdot (A+C) = A \cdot A+A \cdot C+B \cdot A+B \cdot C$

Используем закон повторения

$A \cdot A = A$,

Далее $A \cdot A+C \cdot A = A+C \cdot A = A \cdot (1+C)=A \cdot 1 = A$

Аналогично

$A+A \cdot B = A \cdot (1+B) = A \cdot 1=A$, таким образом,

$(A+B) \cdot (A+C) = A+B \cdot C$

Равенство доказано.

Попутно был доказан закон поглощения для операции “И”.

Из распределительного закона следует полезная формула

$A+ \bar{A} \cdot B = (A+ \bar{A}) \cdot (A+B) = A+B$

Замечание 2

Правила, которые позволяют раскрывать инверсию сложных выражений, получили своё название в честь де Моргана, шотландского математика и логика. Важно следующее: “общее” отрицание не просто переходит на отдельные выражения, но и конъюнкция заменяется на дизъюнкцию (и наоборот). Доказать эти правила можно с помощью таблиц истинности.

Большинство законов и аксиом алгебры логики записаны парами. При внимательном изучении пар можно вывести принцип двойственности– если в тождестве произвести взаимные замены операций дизъюнкции и конъюнкции, а также элементы $0$ и $1$, в случае если они имеются, то получим тоже тождество. Такое свойство принято называть принципом двойственности.

Примеры упрощения логических выражений

  1. $(A \cdot B) + (A \cdot \bar{B}) = A \cdot (B + B)= A \cdot 1 = A$

  2. Рисунок 2.

здесь был использовано правило де Моргана для дизъюнкции и закон двойного отрицания, далее вынесли за скобку сомножитель $\bar{X}$, получили в скобках закон исключённого третьего и использовали операцию с константами.

Пример 1

Кто из учеников $A$, $B$, $C$ и $D$ играет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее:

а) если $A$ или $B$ играет, то $C$ не играет;

б) если $B$ не играет, то играют $C$ и $D$;

в) $C$ играет

Решение. Определим следующие простые высказывания:

$A$ — «ученик $A$ играет в шахматы»;

$B$ — «ученик $B$ играет в шахматы»;

$C$ — «ученик $C$ играет в шахматы»;

$D$ — «ученик $D$ играет в шахматы».

С помощью простых высказываний запишем высказывания из условия:

а) ($A + B) → C$;

б) $B → C \cdot D$;

в) $C$.

Составим конъюнкцию записанных сложных высказываний:

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Упростим эту формулу:

Рисунок 3.

Отсюда следует, что $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Ответ: в шахматы играют ученики $B$, $C$ и $D$, а ученик $A$ не играет.

При упрощении логических выражений можно выполнять такую последовательность действий:

  1. Заменить все “небазовые” операции (эквивалентность, импликацию, исключающее ИЛИ и др.) на их выражения через базовые операции инверсию, конъюнкцию и дизъюнкцию.
  2. Раскрыть инверсии сложных выражений по правилам де Моргана таким образом, чтобы операции отрицания остались только у отдельных переменных.
  3. Затем упростить выражение, используя раскрытие скобок, вынесение общих множителей за скобки и другие законы алгебры логики.

Пример 2

Здесь последовательно использованы правило де Моргана, распределительный закон, закон исключенного третьего, переместительный закон, закон повторения, вновь переместительный закон и закон поглощения.

Рисунок 4.

Также можно использовать упрощение логических выражений для нахождения решений логического уравнения.

Пример 3

Требуется найти все решения уравнения

Рисунок 5.

Упрощаем выражение, заменяя импликацию по формуле $А → В = \bar{А} + В$, и получаем

Рисунок 6.

Используем правило де Моргана

$B + C + \bar{A} + \bar{A} \cdot \bar{C} + D = 0$

и закон поглощения

$B + C + \bar{A} + D = 0$

Для того чтобы логическая сумма была равна нулю, каждое слагаемое должно быть равно нулю, поэтому

$A = 1$, $B = 0$, $C = 0$, $D = 0.$

Пример 4

Выполнить преобразование логической функции

Рисунок 7.

Применим последовательно следующие законы алгебры логики: правило де Моргана для конъюнкции, правило де Моргана для дизъюнкции, закон двойного отрицания, закон исключённого третьего, вынос общего множителя за скобки и операцию с константой

Рисунок 8.

spravochnick.ru

Как упрощать алгебраические выражения Как? Так!

Содержимое:

3 метода:

Упрощение алгебраических выражений является одним из ключевых моментов изучения алгебры и чрезвычайно полезным навыком для всех математиков. Упрощение позволяет привести сложное или длинное выражение к простому выражению, с которым легко работать. Базовые навыки упрощения хорошо даются даже тем, кто не в восторге от математики. Соблюдая несколько простых правил, можно упростить многие из наиболее распространенных типов алгебраических выражений без каких-либо специальных математических знаний.

Шаги

Важные определения
  1. 1 Подобные члены. Это члены с переменной одного порядка, члены с одинаковыми переменными или свободные члены (члены, не содержащие переменную). Другими словами, подобные члены включают одну переменную в одной и той же степени, включают несколько одинаковых переменных или не включают переменную вовсе. Порядок членов в выражении не имеет значения.
    • Например, 3x2 и 4x2 – это подобные члены, так как они содержат переменную «х» второго порядка (во второй степени). Однако х и x2 не являются подобными членами, так как содержат переменную «х» разных порядков (первого и второго). Точно так же -3yx и 5хz не являются подобными членами, так как содержат разные переменные.
  2. 2 . Это нахождение таких чисел, произведение которых приводит к исходному числу. Любое исходное число может иметь несколько множителей. Например, число 12 может быть разложено на следующий ряд множителей: 1 × 12, 2 × 6 и 3 × 4, поэтому можно сказать, что числа 1, 2, 3, 4, 6 и 12 являются множителями числа 12. Множители совпадают с делителями, то есть числами, на которые делится исходное число.
    • Например, если вы хотите разложить на множители число 20, запишите это так: 4 × 5.
    • Обратите внимание, что при разложении на множители переменная учитывается. Например, 20x = 4(5x).
    • Простые числа не могут быть разложены на множители, потому что они делятся только на себя и на 1.
  3. 3 Запомните и соблюдайте порядок выполнения операций во избежание ошибок.
    • Скобки
    • Степень
    • Умножение
    • Деление
    • Сложение
    • Вычитание

Метод 1 Приведение подобных членов

  1. 1 Запишите выражение. Простейшие алгебраические выражения (которые не содержат дробей, корней и так далее) можно решить (упростить) всего за несколько шагов.
    • Например, упростите выражение 1 + 2x - 3 + 4x.
  2. 2 Определите подобные члены (члены с переменной одного порядка, члены с одинаковыми переменными или свободные члены).
    • Найдите подобные члены в этом выражении. Члены 2x и 4x содержат переменную одного порядка (первого). Кроме того, 1 и -3 – это свободные члены (не содержат переменную). Таким образом, в этом выражении члены 2х и 4x являются подобными, и члены 1 и -3 тоже являются подобными.
  3. 3 Приведите подобные члены. Это значит сложить или вычесть их и упростить выражение.
  4. 4 Перепишите выражение с учетом приведенных членов. Вы получите простое выражение с меньшим количеством членов. Новое выражение равно исходному.
    • В нашем примере: 1 + 2x - 3 + 4x = 6х - 2, то есть исходное выражение упрощено и с ним легче работать.
  5. 5 Соблюдайте порядок выполнения операций при приведении подобных членов. В нашем примере было легко привести подобные члены. Однако в случае сложных выражений, в которых члены заключены в скобки и присутствуют дроби и корни, привести подобные члены не так просто. В этих случаях соблюдайте порядок выполнения операций.
    • Например, рассмотрим выражение 5(3x - 1) + х((2x)/(2)) + 8 - 3x. Здесь было бы ошибкой сразу определить 3x и 2x как подобные члены и привести их, потому что сначала необходимо раскрыть скобки. Поэтому выполните операции согласно их порядку.
      • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
      • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
      • 15x - 5 + x2 + 8 - 3x. Теперь, когда в выражении присутствуют только операции сложения и вычитания, вы можете привести подобные члены.
      • x2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
      • x2 + 12x + 3

Метод 2 Вынесение множителя за скобки

  1. 1 Найдите (НОД) всех коэффициентов выражения. НОД – это наибольшее число, на которое делятся все коэффициенты выражения.
    • Например, рассмотрим уравнение 9x2 + 27x - 3. В этом случае НОД=3, так как любой коэффициент данного выражения делится на 3.
  2. 2 Разделите каждый член выражения на НОД. Полученные члены будут содержать меньшие коэффициенты, чем в исходном выражении.
    • В нашем примере разделите каждый член выражения на 3.
      • 9x2/3 = 3x2
      • 27x/3 = 9x
      • -3/3 = -1
      • Получилось выражение 3x2 + 9x - 1. Оно не равно исходному выражению.
  3. 3 Запишите исходное выражение как равное произведению НОД на полученное выражение. То есть заключите полученное выражение в скобки, а за скобки вынесите НОД.
    • В нашем примере: 9x2 + 27x – 3 = 3(3x2 + 9x - 1)
  4. 4 Упрощение дробных выражений с помощью вынесения множителя за скобки. Зачем просто выносить множитель за скобки, как это было сделано ранее? Затем, чтобы научиться упрощать сложные выражения, например дробные выражения. В этом случае вынесение множителя за скобки может помочь избавиться от дроби (от знаменателя).
    • Например, рассмотрим дробное выражение (9x2 + 27x - 3)/3. Воспользуйтесь вынесением множителя за скобки, чтобы упростить это выражение.
      • Вынесите множитель 3 за скобки (как вы делали это ранее): (3(3x2 + 9x - 1))/3
      • Обратите внимание, что теперь и в числителе, и в знаменателе присутствует число 3. Его можно сократить, и вы получите выражение: (3x2 + 9x – 1)/1
      • Так как любая дробь, у которой в знаменателе находится число 1, равна просто числителю, то исходное дробное выражение упрощается до: 3x2 + 9x - 1.

Метод 3 Дополнительные методы упрощения

  1. 1 Упрощение дробных выражений. Как отмечалось выше, если и в числителе, и в знаменателе присутствуют одинаковые члены (или даже одинаковые выражения), то их можно сократить. Для этого нужно вынести за скобки общий множитель у числителя или у знаменателя, или как у числителя, так и у знаменателя. Или можно разделить каждый член числителя на знаменатель и таким образом упростить выражение.
    • Например, рассмотрим дробное выражение (5x2 + 10x + 20)/10. Здесь просто разделите каждый член числителя на знаменатель (10). Но учтите, что член 5x2 не делится на 10 нацело (так как 5 меньше 10).
      • Поэтому запишите упрощенное выражение так: ((5x2)/10) + x + 2 = (1/2)x2 + x + 2.
  2. 2 Упрощение подкоренных выражений. Выражения, стоящие под знаком корня, называются подкоренными выражениями. Они могут быть упрощены через их разложение на соответствующие множители и последующий вынос одного множителя из-под корня.
    • Рассмотрим простой пример: √(90). Число 90 можно разложить на следующие множители: 9 и 10, а из 9 извлечь квадратный корень (3) и вынести 3 из-под корня.
      • √(90)
      • √(9×10)
      • √(9)×√(10)
      • 3×√(10)
      • 3√(10)
  3. 3 Упрощение выражений со степенями. В некоторых выражениях присутствуют операции умножения или деления членов со степенью. В случае умножения членов с одним основанием их степени складываются; в случае деления членов с одним основанием их степени вычитаются.
    • Например, рассмотрим выражение 6x3 × 8x4 + (x17/x15). В случае умножения сложите степени, а в случае деления – вычтите их.
      • 6x3 × 8x4 + (x17/x15)
      • (6 × 8)x3 + 4 + (x17 - 15)
      • 48x7 + x2
    • Далее приведено объяснение правила умножения и деления членов со степенью.
      • Умножение членов со степенями равносильно умножению членов на самих себя. Например, так как x3 = x × x × x и x 5 = x × x × x × x × x, то x3 × x5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), или x8.
      • Аналогично, деление членов со степенями равносильно делению членов на самих себя. x5/x3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Так как подобные члены, находящиеся и в числителе, и в знаменателе, могут быть сокращены, то в числителе остается произведение двух «х», или x2.

Советы

  • Всегда помните о знаках (плюс или минус), стоящих перед членами выражения, так как многие испытывают затруднения с выбором правильного знака.
  • Попросите о помощи, если это необходимо!
  • Упрощать алгебраические выражения нелегко, но если вы набьете руку, вы сможете использовать этот навык всю жизнь.

Предупреждения

  • Убедитесь, что операции выполняются в правильном порядке.
  • Всегда ищите подобные члены и не ошибитесь с их выбором из-за степени.

Похожие статьи

Прислал: Лебедева Мария . 2017-11-12 13:14:59

kak-otvet.imysite.ru

Как упрощать выражения по алгебре 7 класс

Свойства сложения, вычитания, умножения и деления полезны тем, что позволяют преобразовывать суммы и произведения в удобные выражения для вычислений. Научимся, как можно с помощью этих свойств упрощать выражения.Вычислим сумму:

52 + 287 + 48 + 13 =В этом выражении есть числа, при сложении которых получаются «круглые» числа. Заметив это, легко провести вычисления устно. Воспользуемся переместительным законом сложения.Также для упрощения вычисления произведений можно использовать переместительный закон умножения.7 • 2 • 9 • 5 = (2 • 5) • (7 • 9) = 10 • 63 = 630 

Сочетательные и переместительные свойства используются и приупрощении буквенных выражений.6 • a • 2 = 6 • 2 • a = 12a2 • a • 4 • b = 2 • 4 • a • b = 8ab5b + 8b = (5 + 8) • b = 13b14y - 12y = (14 - 12) • y = 2yРаспределительный закон умножения часто применяется для упрощения вычислений.Применяя распределительное свойство умножения относительно сложения или вычитания к выражению (a + b) • с и (a - b) • c, мы получаем выражение, не содержащее скобки. В этом случае говорят, что мы раскрыли (опустили) скобки. Для применения свойств не имеет значения, где записан множитель «c» - перед скобками или после.Раскроем скобки в выражениях.2(t + 8) = 2t + 16(3b - 5)4 = 4 • 3b - 4 • 5 = 12b - 20Запомним! Если перед буквой не записано число, то подразумевается, что перед буквой стоит числовой множитель 1.t + 4t = (1 + 4)t = 5tВынесение общего множителя за скобкиПоменяем местами правую и левую часть равенства:(a + b)с = ac + bc

Получим:ac + bc = (a + b)с

В таких случаях говорят, что из «ac + bc» вынесен общий множитель«с» за скобки.Примеры вынесения общего множителя за скобки.73 • 8 + 7 • 8 = (73 + 7) • 8 = 80 • 8 = 6407x - x - 6 = (7 - 1)x - 6 = 6x - 6 = 6(x - 1)

Оцени ответ

shkolniku.com

Как упростить выражение в математике

Научиться упрощать выражения в математике просто необходимо, чтобы правильно и быстро решать задачи, различные уравнения. Упрощение выражения подразумевает уменьшение количества действий, что облегчает вычисления и экономит время.

Инструкция

  • Научитесь вычислять степени с натуральными показателями. При умножении степеней с одинаковыми основаниями получают степень числа, основание которого остается прежним, а показатели степеней складываются b^m+b^n=b^(m+n). При делении степеней с одинаковыми основаниями получают степень числа, основание которого остается прежним, а показатели степеней вычитаются, причем из показателя делимого вычитается показатель делителя b^m:b^n=b^(m-n). При возведении степени в степень получается степень числа, основание которого остается прежним, а показатели перемножаются (b^m)^n=b^(mn)При возведении в степень произведения чисел в эту степень возводится каждый множитель.(abc)^m=a^m*b^m*c^m
  • Раскладывайте многочлены на множители, т.е. представляйте их в виде произведения нескольких сомножителей – многочленов и одночленов. Выносите общий множитель за скобки. Выучите основные формулы сокращенного умножения: разность квадратов, квадрат суммы, квадрат разности, сумму кубов, разность кубов, куб суммы и разности. Например, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Именно эти формулы являются основными в упрощении выражений. Используйте способ выделения полного квадрата в трехчлене вида ax^2+bx+c.
  • Как можно чаще сокращайте дроби. Например, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Но помните, что сокращать можно только множители. Если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножать на одно и то же число, отличное от нуля, то при этом значение дроби не изменится. Преобразовывать рациональные выражения можно двумя способами: цепочкой и по действиям. Предпочтительней второй способ, т.к. легче проверить результаты промежуточных действий.
  • Нередко в выражениях необходимо извлекать корни. Корни четной степени извлекаются только из неотрицательных выражений или чисел. Корни нечетной степени извлекаются из любых выражений.

completerepair.ru

Упростить выражение типичные примеры для тестов по математике

Упростить выражение примеры.

Очень часто на тестах по математике необходимо решить пример на упрощение выражений . Рассмотри некоторые типичные примеры.

Переворачиваем дробь, пользуясь правилом деления на дробь.

Воспользуемся правилом умножения дробей.

Производим сокращение.

Воспользуемся формулой разности квадратов.

Разложим числитель дроби на множители.

Производим сокращение.

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

Производим сокращение.

Разложим числитель дроби на множители.

Сдавая тесты по математике, указываем вот такой правильный ответ:

Рассмотри еще один пример

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Приводим дроби к общему знаменателю.

Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями.

Раскрываем скобки.

Приводим подобные члены.

Сдавая тесты по математике, указываем правильный ответ:

Запись создана: Понедельник, 20 Август 2018 в 1:24 и находится в рубриках Алгебраические преобразования, уравнения, неравенства. Вы можете следить за комментариями к этой записи через ленту RSS 2.0. Комментарии и уведомления в настоящее время закрыты.

testmath.ru

Как упрощать алгебраические выражения

3 методика:Приведение подобных членовВынесение множителя за скобкиДополнительные методы упрощения

Упрощение алгебраических выражений является одним из ключевых моментов изучения алгебры и чрезвычайно полезным навыком для всех математиков. Упрощение позволяет привести сложное или длинное выражение к простому выражению, с которым легко работать. Базовые навыки упрощения хорошо даются даже тем, кто не в восторге от математики. Соблюдая несколько простых правил, можно упростить многие из наиболее распространенных типов алгебраических выражений без каких-либо специальных математических знаний.

Шаги

Важные определения
  1. 1 Подобные члены. Это члены с переменной одного порядка, члены с одинаковыми переменными или свободные члены (члены, не содержащие переменную). Другими словами, подобные члены включают одну переменную в одной и той же степени, включают несколько одинаковых переменных или не включают переменную вовсе. Порядок членов в выражении не имеет значения.
    • Например, 3x2 и 4x2 - это подобные члены, так как они содержат переменную «х» второго порядка (во второй степени). Однако х и x2 не являются подобными членами, так как содержат переменную «х» разных порядков (первого и второго). Точно так же -3yx и 5хz не являются подобными членами, так как содержат разные переменные.
  2. 2 Разложение на множители. Это нахождение таких чисел, произведение которых приводит к исходному числу. Любое исходное число может иметь несколько множителей. Например, число 12 может быть разложено на следующий ряд множителей: 1 × 12, 2 × 6 и 3 × 4, поэтому можно сказать, что числа 1, 2, 3, 4, 6 и 12 являются множителями числа 12. Множители совпадают с делителями, то есть числами, на которые делится исходное число.
    • Например, если вы хотите разложить на множители число 20, запишите это так: 4 × 5.
    • Обратите внимание, что при разложении на множители переменная учитывается. Например, 20x = 4(5x).
    • Простые числа не могут быть разложены на множители, потому что они делятся только на себя и на 1.
  3. 3 Запомните и соблюдайте порядок выполнения операций во избежание ошибок.
    • Скобки
    • Степень
    • Умножение
    • Деление
    • Сложение
    • Вычитание

Метод 1 из 3: Приведение подобных членов

  1. 1 Запишите выражение. Простейшие алгебраические выражения (которые не содержат дробей, корней и т.п.) можно решить (упростить) всего за несколько шагов.
    • Например, упростите выражение 1 + 2x - 3 + 4x.
  2. 2 Определите подобные члены (члены с переменной одного порядка, члены с одинаковыми переменными или свободные члены).
    • Найдите подобные члены в этом выражении. Члены 2x и 4x содержат переменную одного порядка (первого). Кроме того, 1 и -3 – это свободные члены (не содержат переменную). Таким образом, в этом выражении члены 2х и 4x являются подобными, и члены 1 и -3 тоже являются подобными.
  3. 3 Приведите подобные члены. Это значит сложить или вычесть их и упростить выражение.
  4. 4 Перепишите выражение с учетом приведенных членов. Вы получите простое выражение с меньшим количеством членов. Новое выражение равно исходному.
    • В нашем примере: 1 + 2x - 3 + 4x = 6х - 2, то есть исходное выражение упрощено и с ним легче работать.
  5. 5 Соблюдайте порядок выполнения операций при приведении подобных членов. В нашем примере было легко привести подобные члены. Однако в случае сложных выражений, в которых члены заключены в скобки и присутствуют дроби и корни, привести подобные члены не так просто. В этих случаях соблюдайте порядок выполнения операций.
    • Например, рассмотрим выражение 5(3x - 1) + х((2x)/(2)) + 8 - 3x. Здесь было бы ошибкой сразу определить 3x и 2x как подобные члены и привести их, потому что сначала необходимо раскрыть скобки. Поэтому выполните операции согласно их порядку.
      • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
      • 15x - 5 + x(x) + 8
      • 15x - 5 + x2 + 8 - 3x. Теперь, когда в выражении присутствуют только операции сложения и вычитания, вы можете привести подобные члены.
      • x2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
      • x2 + 12x + 3

Метод 2 из 3: Вынесение множителя за скобки

  1. 1 Найдите наибольший общий делитель (НОД) всех коэффициентов выражения. НОД – это наибольшее число, на которое делятся все коэффициенты выражения.
    • Например, рассмотрим уравнение 9x2 + 27x - 3. В этом случае НОД=3, так как любой коэффициент данного выражения делится на 3.
  2. 2 Разделите каждый член выражения на НОД. Полученные члены будут содержать меньшие коэффициенты, чем в исходном выражении.
    • В нашем примере разделите каждый член выражения на 3.
      • 9x2/3 = 3x2
      • 27x/3 = 9x
      • -3/3 = -1
      • Получилось выражение 3x2 + 9x - 1. Оно не равно исходному выражению.
  3. 3 Запишите исходное выражение как равное произведению НОД на полученное выражение. То есть заключите полученное выражение в скобки, а за скобки вынесите НОД.
    • В нашем примере: 9x2 + 27x – 3 = 3(3x2 + 9x - 1)
  4. 4 Упрощение дробных выражений с помощью вынесения множителя за скобки. Зачем просто выносить множитель за скобки, как это было сделано ранее? Затем, чтобы научиться упрощать сложные выражения, например дробные выражения. В этом случае вынесение множителя за скобки может помочь избавиться от дроби (от знаменателя).
    • Например, рассмотрим дробное выражение (9x2 + 27x - 3)/3. Воспользуйтесь вынесением множителя за скобки, чтобы упростить это выражение.
      • Вынесите множитель 3 за скобки (как вы делали это ранее): (3(3x2 + 9x - 1))/3
      • Обратите внимание, что теперь и в числителе, и в знаменателе присутствует число 3. Его можно сократить и вы получите выражение: (3x2 + 9x – 1)/1
      • Так как любая дробь, у которой в знаменателе находится число 1, равна просто числителю, то исходное дробное выражение упрощается до: 3x2 + 9x - 1.

Метод 3 из 3: Дополнительные методы упрощения

  1. 1 Упрощение дробных выражений. Как отмечалось выше, если и в числителе, и в знаменателе присутствуют одинаковые члены (или даже одинаковые выражения), то их можно сократить. Для этого нужно вынести за скобки общий множитель у числителя, или у знаменателя, или как у числителя, так и у знаменателя. Или можно разделить каждый член числителя на знаменатель и таким образом упростить выражение.
    • Например, рассмотрим дробное выражение (5x2 + 10x + 20)/10. Здесь просто разделите каждый член числителя на знаменатель (10). Но учтите, что член 5x2 не делится на 10 нацело (так как 5 меньше 10).
      • Поэтому запишите упрощенное выражение так: ((5x2)/10) + x + 2 = (1/2)x2 + x + 2.
  2. 2 Упрощение подкоренных выражений. Выражения, стоящие под знаком корня, называются подкоренными выражениями. Они могут быть упрощены через их разложение на соответствующие множители и последующий вынос одного множителя из-под корня.
    • Рассмотрим простой пример: √(90). Число 90 можно разложить на следующие множители: 9 и 10, а из 9 извлечь квадратный корень (3) и вынести 3 из-под корня.
      • √(90)
      • √(9×10)
      • √(9)×√(10)
      • 3×√(10)
      • 3√(10)
  3. 3 Упрощение выражений со степенями. В некоторых выражениях присутствуют операции умножения или деления членов со степенью. В случае умножения членов с одним основанием их степени складываются; в случае деления членов с одним основанием их степени вычитаются.
    • Например, рассмотрим выражение 6x3 × 8x4 + (x17/x15). В случае умножения сложите степени, а в случае деления – вычтите их.
      • 6x3 × 8x4 + (x17/x15)
      • (6 × 8)x3 + 4 + (x17 - 15)
      • 48x7 + x2
    • Далее приведено объяснение правила умножения и деления членов со степенью.
      • Умножение членов со степенями равносильно умножению членов на самих себя. Например, так как x3 = x × x × x и x 5 = x × x × x × x × x, то x3 × x5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), или x8.
      • Аналогично, деление членов со степенями равносильно делению членов на самих себя. x5/x3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Так как подобные члены, находящиеся и в числителе, и в знаменателе, могут быть сокращены, то в числителе остается произведение двух «х», или x2.

Советы

  • Упрощать алгебраические выражения нелегко, но если вы набьете в этом руку, вы сможете использовать этот навык всю жизнь.
  • Попросите о помощи, если это необходимо!
  • Всегда помните о знаках (плюс или минус), стоящих перед членами выражения, так как многие испытывают затруднения с выбором правильного знака.

Предупреждения

  • Убедитесь, что операции выполняются в правильном порядке.
  • Всегда ищите подобные члены и не ошибитесь с их выбором из-за степени.

ves-mir.3dn.ru

Как упростить выражение | Сделай все сам

Дабы стремительно и результативно изготавливать расчеты, упрощайте математические выражения. Для этого используйте математические соотношения, дозволяющие сделать выражение короче, а расчеты упростить.

Вам понадобится

  • — представление одночлена многочлена;
  • — формулы сокращенного умножения;
  • — действия с дробями;
  • — основные тригонометрические тождества.

Инструкция

1. Если в выражении имеются одночлены с идентичными множителями, обнаружьте сумму показателей при них и умножьте на цельный для них множитель. Скажем, если есть выражение 2•а-4•а+5•а+а=(2-4+5+1)?а=4?а.

2. Для облегчения выражения используйте формулы сокращенного умножения. К особенно знаменитым относятся квадрат разности, разность квадратов, разность и сумма кубов. Скажем, если есть выражение 256-384+144, представьте его как 16?-2•16•12+12?=(16-12)?=4?=16.

3. В том случае, если выражение представляет собой естественную дробь, выделите из числителя и знаменателя всеобщий множитель и сократите дробь на него. Скажем, если необходимо сократить дробь (3•a?-6•a•b+3•b?)/(6?a?-6?b?), вынесите из числителя и знаменателя всеобщие множители в числителе это будет 3, в знаменателе 6. Получите выражение (3•(a?-2•a•b+b?))/(6?(a?-b?)). Сократите числитель и знаменатель на 3 и примените к оставшимся выражениям формулы сокращенного умножения. Для числителя это квадрат разности, а для знаменателя разность квадратов. Получите выражение (a-b)?/(2? (a+b)?(a-b)) сократив его на всеобщий множитель a-b, получите выражение (a-b)/(2? (a+b)), которое при определенных значениях переменных значительно легче посчитать.

4. Если одночлены имеют идентичные множители, возведенные в степень, то при их суммировании следите, дабы степени были равны, напротив сводить сходственные невозможно. Скажем, если есть выражение 2?m?+6•m?-m?-4•m?+7, то при сведении сходственных получится m?+2•m?+7.

5. При облегчении тригонометрических тождеств используйте формулы для их реформирования. Основное тригонометрическое тождество sin?(x)+cos?(x)=1, sin(x)/cos(x)=tg(x), 1/ tg(x)= ctg(x), формулы суммы и разности доводов, двойного, тройного довода и другие. Скажем, (sin(2?x)- cos(x))/ ctg(x). Распишите формулу двойного довода и котангенса, как отношения косинуса на синус. Получите (2? sin(x)• cos(x)- cos(x))• sin(x)/cos(x). Вынесите всеобщий множитель, cos(x) и сократите дробь cos(x)•(2? sin(x) — 1)• sin(x)/cos(x)= (2? sin(x) — 1) • sin(x).

Краткость, как говорится, — сестра дара. Всякому хочется блеснуть даром, но вот его сестра — штука трудная. Феноменальные мысли отчего-то сами собой облекаются в сложноподчинённые предложения со большинством деепричастных циклов. Впрочем в ваших силах упростить свои предложения и сделать их внятными и доступными каждым.

Инструкция

1. Дабы облегчить адресату (будь то слушатель либо читатель) жизнь, постарайтесь заменять причастные и деепричастные циклы короткими придаточными предложениями, исключительно если вышеуказанных циклов слишком много в одном предложении. «Пришедший домой кот, только что съевший мышь, громко мурлыча, ласкался к владельцу, пытаясь заглянуть ему в глаза, веря выпросить рыбу, принесённую из магазина» — такое не пойдёт. Разбейте сходственную конструкцию на несколько частей, не спешите и не пытайтесь сказать всё одним предложением, и будет вам блаженство.

2. Если вы замыслили феноменальное высказывание, но в нём оказалось слишком много придаточных предложений (тем больше с одним союзом), то отличнее разбить высказывание на несколько отдельных предложений либо опустить какой-то элемент. «Мы решили, что он расскажет Марине Васильевне, что Катя скажет Вите, что…» — дозволено продолжать беспредельно. Своевременно остановитесь и припомните о том человеке, кто будет это читать либо выслушивать.

3. Впрочем подводные камни кроются не только в структуре предложения. Обратите внимание на лексику. Иноязычные слова, длинные термины, слова, почерпнутые из художественной литературы 19 столетия — всё это только осложнит воспринятие. Нужно уточнить для себя, для какой аудитории вы составляете текст: технари, безусловно, осознают и трудные термины, и специфические слова; но если вы те же слова предложите учительнице литературы, вряд ли она вас поймёт.

4. Дар — великая вещь. Если вы гениальны (а людей без способностей не бывает), перед вами открывается уйма дорог. Но дар состоит не в трудности, а простоте, как ни необычно. Будьте проще, и ваши дары будут внятны и доступны каждым.

Видео по теме

«Выражением » в математике обыкновенно называют комплект арифметических и алгебраических действий с числами и переменными значениями. По аналогии с форматом записи чисел такой комплект называют «дробным» в том случае, когда он содержит операцию деления. К дробным выражениям, как и к числам в формате обычной дроби, применимы операции облегчения.

Инструкция

1. Начните с нахождения всеобщего множителя для выражений, стоящих в числителе и знаменателе дроби — это правило идентично как для численных соотношений, так и для содержащих неведомые переменные. Скажем, если в числителе стоит выражение 45*X, а в знаменателе 18*Y, то наибольшим всеобщим множителем будет число 9. Позже выполнения этого шага числитель дозволено записать как 9*5*X, а знаменатель — как 9*2*Y.

2. Если выражения в числителе и знаменателе содержат комбинацию основных математических операций (умножение, деление, сложение и вычитание), то вначале придется перенести за скобки всеобщий множитель для всякого из них в отдельности, а после этого вычленить из этих чисел крупнейший всеобщий делитель. Скажем, для выражения 45*X+180, стоящего в числителе, за скобки следует перенести множитель 45: 45*X+180 = 45*(X+4). А выражение 18+54*Y в знаменателе нужно привести к виду 18*(1+3*Y). После этого, как в предыдущем, шаге обнаружьте крупнейший всеобщий делитель вынесенных за скобки множителей: 45*X+180 / 18+54*Y = 45*(X+4) / 18*(1+3*Y) = 9*5*(X+4) / 9*2*(1+3*Y). В этом примере он тоже равен девятке.

3. Сократите обнаруженный на предыдущих шагах всеобщий множитель выражений в числителе и знаменателе дроби. Для примера из первого шага всю операцию облегчения дозволено записать так: 45*X / 18*Y = 9*5*X / 9*2*Y = 5*X / 2*Y.

4. Не неукоснительно при облегчении уменьшаемым всеобщим делителем должно быть число, это может быть и выражение, содержащее переменную. Скажем, если в числителе дроби стоит (4*X + X*Y + 12 + 3*Y), а в знаменателе (X*Y + 3*Y — 7*X — 21), то наибольшим всеобщим делителем будет выражение X+3, которое и следует сократить для облегчения выражения: (4*X + X*Y + 12 + 3*Y) / (X*Y + 3*Y — 7*X — 21) = (X+3)*(4+Y) / (X+3)*(Y-7) = (4+Y) / (Y-7).

Видео по теме

jprosto.ru