Простой способ складывать и вычитать вектора. Как вычесть из вектора вектор


Как вычесть вектор

Операция вычитания векторов, как и вычитание обычных чисел, обозначает действие, обратное операции сложения. Для обычных чисел это означает, что одно из слагаемых превращается в свою противоположность (его знак меняется на противоположный), а остальные действия осуществляются по тем же правилам, что и при обычном сложении. Для операции вычитания векторов нужно действовать также - сделать один из них (вычитаемый) своей противоположностью (поменять направление), а затем применить обычные правила сложения векторов.

Инструкция

  • Если вычитание надо отобразить на бумаге, то воспользуйтесь, например, правилом треугольника. Оно описывает операцию сложения векторов, а для того, чтобы применить ее к операции вычитания надо внести соответствующие поправки, касающиеся вычитаемого вектора. Его начало и конец надо поменять местами, то есть инвертировать вектор, и этим поменять его знак, чтобы операция сложения стала операцией вычитания.
  • Перенесите вычитаемый вектор параллельно самому себе таким образом, чтобы его окончание совпало с окончанием уменьшаемого вектора. Затем соедините начало перенесенного вектора с началом уменьшаемого и поставьте стрелку в том конце отрезка, который совпадает с началом перенесенного вектора. Этот вектор с началом, совпадающим с началом уменьшаемого вектора, и окончанием в начале перенесенного вектора и будет результатом операции вычитания.
  • Используйте правило параллелограмма (с поправкой на инвертирование вычитаемого вектора) в качестве альтернативы правилу треугольника. Для этого перенесите вычитаемый вектор параллельно самому себе таким образом, чтобы его окончание совпадало с началом уменьшаемого вектора. Таким способом вы получите две стороны геометрической фигуры - параллелограмма. Достройте его недостающие стороны и проведите диагональ из точки, которая является концом вычитаемого и началом уменьшаемого векторов. Эта диагональ и будет вектором, полученным в результате вычитания.
  • Если уменьшаемый и вычитаемый векторы заданы не графически, а координатами своих конечных точек в двухмерной или трехмерной системе координат, то и результат вычитания можно представить в таком же виде. Для этого просто отнимите значения координат вычитаемого вектора от соответствующих значений координат уменьшаемого вектора. Например, если вектор A (уменьшаемый) задан координатами (Xa;Ya;Za), а вектор B (вычитаемый) - координатами (Xb;Yb;Zb), то результатом операции вычитания A-B будет вектор C с координатами (Xa-Xb; Ya-Yb; Za-Zb).

completerepair.ru

Вычитание векторов и правила вычитания

Определение и правила вычитания векторов

Рассмотрим два вектора и (рис. 1).

Если задан вектор , то можно построить противоположный ему вектор , равный по длине, но противоположно направленный. Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору:

   

Таким образом, разность можно записать в следующем виде:

   

То есть разность двух векторов равна сумме уменьшаемого и вектора, противоположного вычитаемому.

Правило треугольника для разности векторов

Чтобы графически продемонстрировать разность векторов, необходимо отложить от произвольной точки вектор , из его начала вектор . Тогда вектор, начало которого совпадает с концом вектора , а конец – с концом вектора , и будет искомым вектором разности (рис. 2).

Правило параллелограмма разности векторов

Если два неколлинеарных вектора и имеют общее начало (рис. 3), то разностью этих вектор есть вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах и , причем начало этой диагонали совпадает с концом вектора , а конец – с концом вектора .

Если векторы и заданы своими координатами в некотором базисе: , то, чтобы найти координаты их разности , необходимо от координат вектора отнять соответствующие координаты вектора :

   

Примеры вычитания векторов

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Как вычесть вектор

Операция вычитания векторов, как и вычитание обычных чисел, обозначает действие, обратное операции сложения. Для обычных чисел это означает, что одно из слагаемых превращается в свою противоположность (его знак меняется на противоположный), а остальные действия осуществляются по тем же правилам, что и при обычном сложении. Для операции вычитания векторов нужно действовать также - сделать один из них (вычитаемый) своей противоположностью (поменять направление), а затем применить обычные правила сложения векторов.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как вычесть вектор" Как умножать простые дроби Как решать вектор Как умножить многочлен на многочлен

Инструкция

1

Если вычитание надо отобразить на бумаге, то воспользуйтесь, например, правилом треугольника. Оно описывает операцию сложения векторов, а для того, чтобы применить ее к операции вычитания надо внести соответствующие поправки, касающиеся вычитаемого вектора. Его начало и конец надо поменять местами, то есть инвертировать вектор, и этим поменять его знак, чтобы операция сложения стала операцией вычитания.

2

Перенесите вычитаемый вектор параллельно самому себе таким образом, чтобы его окончание совпало с окончанием уменьшаемого вектора. Затем соедините начало перенесенного вектора с началом уменьшаемого и поставьте стрелку в том конце отрезка, который совпадает с началом перенесенного вектора. Этот вектор с началом, совпадающим с началом уменьшаемого вектора, и окончанием в начале перенесенного вектора и будет результатом операции вычитания.

3

Используйте правило параллелограмма (с поправкой на инвертирование вычитаемого вектора) в качестве альтернативы правилу треугольника. Для этого перенесите вычитаемый вектор параллельно самому себе таким образом, чтобы его окончание совпадало с началом уменьшаемого вектора. Таким способом вы получите две стороны геометрической фигуры - параллелограмма. Достройте его недостающие стороны и проведите диагональ из точки, которая является концом вычитаемого и началом уменьшаемого векторов. Эта диагональ и будет вектором, полученным в результате вычитания.

4

Если уменьшаемый и вычитаемый векторы заданы не графически, а координатами своих конечных точек в двухмерной или трехмерной системе координат, то и результат вычитания можно представить в таком же виде. Для этого просто отнимите значения координат вычитаемого вектора от соответствующих значений координат уменьшаемого вектора. Например, если вектор A (уменьшаемый) задан координатами (Xa;Ya;Za), а вектор B (вычитаемый) - координатами (Xb;Yb;Zb), то результатом операции вычитания A-B будет вектор C с координатами (Xa-Xb; Ya-Yb; Za-Zb). Как просто

masterotvetov.com

Как вычитать и складывать векторы » VripMaster

Вектор - это математический объект, который характеризуется величиной и направлением (например, ускорение, перемещение), чем и отливается от скаляров, у которых направления нет (например, расстояние, энергия). Скаляры можно складывать, сложив их значения (например, 5 кДж работы плюс 6 кДж работы равно 11 кДж работы), а вот векторы складывать и вычитать не так просто.

Метод 1 из 3: Сложение и вычитание векторов с известными компонентами

  1. Так как векторы имеют величину и направление, то их можно разложить на компоненты, основываясь на размерностях х, у и/или z. Они, как правило, обозначаются так же, как точки в системе координат (например, ). Если компоненты известны, то сложить/вычесть векторы так же просто, как сложить/вычесть координаты x, y, z.
    • Обратите внимание, что векторы могут быть одномерными, двумерными или трехмерными. Таким образом, векторы могут иметь компонент «х», или компоненты «х» и «у», или компоненты «х», «у», «z». Ниже рассматриваются трехмерные векторы, но процесс аналогичен для одномерных и двумерных векторов.
    • Предположим, что вам даны два трехмерных вектора - вектор А и вектор B. Запишите эти векторы в векторной форме: А = <a1, b1, c1> и B = <a2, b2, c2>, где a1 и а2 – компоненты «х», b1 и b2 - компоненты «у», c1 и c2 - компоненты «z».
  2. Для сложения двух векторов сложите их соответствующие компоненты. Другими словами, сложите компонент «х» первого вектора с компонентом «х» второго вектора (и так далее). В результате вы получите компоненты х, у, z результирующего вектора.
    • A+B = <a1+a2,b1+b2,c1+c2>.
    • Сложим векторы A и B. A = <5, 9, -10> и B = <17, -3, -2>. A + B = <5+17, 9+-3, -10+-2>, или <22, 6, -12>.
  3. Для вычитания одного вектора из другого необходимо вычесть соответствующие компоненты. Как будет показано ниже, вычитание можно заменить сложением одного вектора и вектора, обратного другому, от другого можно рассматривать добавив его "обратная". Если компоненты двух векторов известны, вычтите соответствующие компоненты одного вектора из компонентов другого.
    • A-B = <a1-a2,b1-b2,c1-c2>
    • Вычтем векторы A и B. A = <18, 5, 3> и B = <-10, 9, -10>. A - B = <18--10, 5-9, 3--10>, or <28, -4, 13>.

Метод 2 из 3: Графическое сложение и вычитание

  1. Так как векторы имеют величину и направление, то у них есть начало и конец (начальная точка и конечная точка, расстояние между которыми равно значению вектора). При графическом отображении вектора он рисуется в виде стрелки, у которой наконечник – конец вектора, а противоположная точка – начало вектора.
    • При графическом отображении векторов стройте все углы очень точно; в противном случае вы получите неправильный ответ.
  2. Для сложения векторов нарисуйте их так, чтобы конец каждого предыдущего вектора соединялся с началом следующего вектора. Если вы складываете только два вектора, то это все, что вам нужно сделать, прежде чем найти результирующий вектор.
    • Обратите внимание, что порядок соединения векторов не важен, то есть вектор А + вектор B = вектор B + вектор А.
  3. Для вычитания вектора просто прибавьте обратный вектор, то есть измените направление вычитаемого вектора, а затем соедините его начало с концом другого вектора. Другими словами, чтобы вычесть вектор, поверните его на 180 (вокруг точки начала) и сложите его с другим вектором.

  4. Если вы складываете или вычитаете насколько (больше двух) векторов, то последовательно соедините их концы и начала. Порядок, в котором вы соединяете векторы, не имеет значения. Этот метод может быть использован для любого числа векторов.

  5. Нарисуйте новый вектор, начиная от начала первого вектора и заканчивая концом последнего вектора (при этом число складываемых векторов не важно). Вы получите результирующий вектор, равный сумме всех складываемых векторов. Обратите внимание, что этот вектор совпадает с вектором, полученным путем сложения компонентов «х», «у», «z» всех векторов.
    • Если вы нарисовали длины векторов и углы между ними очень точно, то вы можете найти значение результирующего вектора, просто измерив его длину. Кроме того, вы можете измерить угол (между результирующим вектором и другим указанным вектором или горизонтальной/вертикальной прямыми), чтобы найти направление результирующего вектора.
    • Если вы нарисовали длины векторов и углы между ними очень точно, то вы можете найти значение результирующего вектора при помощи тригонометрии, а именно теоремы синусов или теоремы косинусов. Если вы складываете несколько векторов (более двух), сначала сложите два вектора, затем сложите результирующий вектор и третий вектор и так далее. Смотрите следующий раздел для получения дополнительной информации.
  6. Представьте результирующий вектор, обозначив его значение и направление. Как отмечалось выше, если вы нарисовали длины складываемых векторов и углы между ними очень точно, то значение результирующего вектора равно его длине, а направление - это угол между ним и вертикальной или горизонтальной прямой. К значению вектора не забудьте приписать единицы измерения, в которых даны складываемые/вычитаемые вектора.
    • Например, если вы складываете векторы скорости, измеряемые в м/с, то и к значению результирующего вектора припишите «м/с», а также укажите угол результирующего вектора в формате « к горизонтальной прямой».

Метод 3 из 3: Сложения и вычитания векторов через нахождение значений их компонентов

  1. Чтобы найти значения компонентов векторов необходимо знать значения самих векторов и их направление (угол относительно горизонтальной или вертикальной прямой). Рассмотрим двумерный вектор. Сделайте его гипотенузой прямоугольного треугольника, тогда катетами (параллельными осям Х и Y) этого треугольника будут компоненты вектора. Эти компоненты можно рассматривать как соединенные два вектора, которые при сложении дают исходный вектор.
    • Длины (значения) двух компонентов (компонентов «х» и «у») исходного вектора могут быть вычислены при помощи тригонометри

vripmaster.com

Вектор, действия с векторами, сложение и вычитание

Тестирование онлайн

  • Проекция вектора

  • Сложение и вычитание векторов

Вектор

Вектор - это отрезок, который имеет направление. Конец вектора совпадает со стрелкой, начало - точка. Модуль вектора (абсолютная величина) - длина этого направленного отрезка.

Если начало вектора совпадает с его концом, получим нулевой вектор.

Два вектора являются равными, если их длина одинаковая и они имеют одинаковое направление. Они совмещаются при переносе.

На рисунке только вектор a равен вектору b. Вектор c им не равен, так как направлен в противоположную сторону

Вектор -c - это вектор c, но противоположного направления. Тогда

Проекция вектора

Проекция вектора на ось имеет положительное значение в том случае, когда направление вектора совпадает с направлением оси. Отрицательное значение - в противоположном случае.

Спроецируем вектор перемещения на ось Ox и на ось Oy. Для того, чтобы получить проекцию необходимо из координаты конца вектора отнять координату начала. На ось ОХ: sx=x-x0, на ось ОУ: sy=y-y0.

Рассмотрим примеры

Частные случаи, когда проекция на ось Ox или Oy нулевая.

Сумма составляющих вектора по осям равна данному вектору, т.е.

Сложение векторов

Правило параллелограмма: диагональ параллелограмма - сумма двух векторов с общим началом.

Правило треугольника: от конца первого вектора отложить второй вектор, тогда их суммой будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Рассмотрим правила на примерах.

Вычитание векторов

Вычитание векторов - это сумма положительного и отрицательного вектора.

Упражнения

Может ли при сложении двух векторов по правилу параллелограмма равнодействующая быть численно равной одному из составляющих векторов?

Может ли при сложении двух векторов по правилу параллелограмма равнодействующая быть меньше меньшего из составляющих векторов?

fizmat.by

Правила сложения и вычитания векторов

 

 

Сложение (и особенно вычитание) векторов – это классика, как простые вещи иногда объясняют сложным языком. Если я спрашиваю абитуриента, как складывать (или вычитать) вектора, он нередко говорит: «Ну, правило параллелограмма, надо начало первого соединить с концом второго…  Или наоборот…». В общем, дети вынуждены зазубривать правила, а все зазубренное, но не понятое, очень быстро забывается.

 Итак, рассмотрим простой и понятный способ складывать и вычитать вектора. Допустим, надо найти вектор , равный сумме векторов ,   и . То есть, надо найти =++ (рисунок 1)

Рисунок 1

 

С векторами разрешен только параллельный перенос. То есть, нельзя их поворачивать и менять их длину. А передвигать, не меняя длины и направления, можно. Теперь просто выстраиваем вектора друг за другом (рисунок 2).

Рисунок 2

 

Проводим стрелку из начала цепочки в конец (красная линия). Это и есть вектор суммы (рисунок 3). Все.

Рисунок 3

 

Тут, правда, есть один нюанс: как понимать фразу «выстраиваем вектора друг за другом»? Представьте, что по стрелкам векторов ползет жучок. Вы должны выстроить вектора так, чтобы жуку было понятно, куда ползти. Если вы выстроили вектора, например, вот так (рисунок 4):

Рисунок 4

 

то это не «друг за другом». Жук выползает из точки Х, двигается по стрелкам, но в точке Y ему непонятно, что делать дальше. Если вы правильно выстроили вектора «друг за другом», то жук по стрелкам проползет из начальной точки в конечную (рисунок 5).

Рисунок 5

 

Теперь попробуем поменять слагаемые местами и найдем =++. Как и в прошлом случае, выстраиваем вектора друг за другом (чтобы жуку было понятно) и рисуем стрелку из начала в конец пути (рисунок 6).

 

Рисунок 6

 

Как видите, суммарный вектор не зависит от очередности слагаемых. Тут как со скалярными величинами: от перемены мест слагаемых сумма не меняется. То есть, при сложении векторов их можно выстраивать в любом порядке. Результат будет одинаковым.

А как вычитать вектора? Да очень просто. Найдем, например, = -+. Чем отличается вектор  от вектора -  ? Только направлением (Рисунок 7).

Рисунок 7

 

Значит, выстраиваем друг за другом (чтобы жуку было понятно) вектора ,  - и . Соединяем начало и конец маршрута результирующим вектором  (рисунок 8). Все.

 

Рисунок 8

 

Фактически, тут мы нашли вектор  =+(- )+.

Надеюсь, теперь у вас с векторами не будет проблем. Допустим, вам встретилась задача: на рисунке 9 изображены силы, действующие на тело; найти равнодействующую.

Рисунок 9

 

Просто выстраиваем вектора друг за другом  (чтобы жуку было понятно) в любом порядке и строим результирующий вектор из начала в конец цепочки векторов (рисунок 10).

Рисунок 10

 

Красная стрелка на рисунке 10 – это вектор равнодействующей силы.

Похожая статья: что такое радиан.

---

Понравилась статья? Размести ссылку на сайт в социальных сетях

repetitor-fm.by

Вычитание векторов

Откладывание вектора от данной точки

Для того, чтобы ввести разность векторов, сначала необходимо разобраться в таком понятии, как откладывание вектора от данной точки.

Определение 1

Если точка $A$ начала какого-либо вектора $\overrightarrow{a}$, то говорят, что вектор $\overrightarrow{a}$ отложен от точки $A$ (рис. 1).

Рисунок 1. $\overrightarrow{a}$ отложенный от точки $A$

Введем следующую теорему:

Теорема 1

От любой точки $K$ можно отложить вектор $\overrightarrow{a}$ и притом только один.

Доказательство.

Существование: Здесь нужно рассмотреть два случая:

  1. Вектор $\overrightarrow{a}$ - нулевой.

    В этом случае, очевидно, что искомый вектор -- вектор $\overrightarrow{KK}$.

  2. Вектор $\overrightarrow{a}$ -- ненулевой.

    Обозначим точкой $A$ -- начало вектора $\overrightarrow{a}$, а точкой $B$ - конец вектора $\overrightarrow{a}$. Проведем через точку $K$ прямую $b$ параллельную вектору $\overrightarrow{a}$. Отложим на этой прямой отрезки $\left|KL\right|=|AB|$ и $\left|KM\right|=|AB|$. Рассмотрим векторы $\overrightarrow{KL}$ и $\overrightarrow{KM}$. Из этих двух векторов искомым будет тот, который будет сонаправлен с вектором $\overrightarrow{a}$ (рис. 2)

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Единственность: единственность сразу следует из построения, проведенного в пункте «существование».

Теорема доказана.

Вычитание векторов. Правило первое

Пусть нам даны векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$.

Определение 2

Разностью двух векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ называется такой вектор $\overrightarrow{c}$, который при сложении с вектором $\overrightarrow{b}$ дает вектор $\overrightarrow{a}$, то есть

\[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\]

Обозначение: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$.

Построение разности двух векторов рассмотрим с помощью задачи.

Пример 1

Пусть даны векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Построить вектор $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Решение.

Построим произвольную точку $O$ и отложим от нее векторы $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$. Соединив точку $B$ с точкой $A$, получим вектор $\overrightarrow{BA}$ (рис. 3).

Рисунок 3. Разность двух векторов

По правилу треугольника для построения суммы двух векторов видим, что

\[\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}\]

То есть

\[\overrightarrow{b}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}\]

Из определения 2, получаем, что

\[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA}\]

Ответ: $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA}$.

Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения разности двух векторов. Чтобы найти разность $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$ и соединить конец второго вектор с концом первого вектора.

Вычитание векторов. Правило второе

Вспомним следующее необходимое нам понятие.

Определение 3

Вектор $\overrightarrow{a_1}$ называется произвольным для вектора $\overrightarrow{a}$, если эти векторы противоположно направлены и имеют равную длину.

Обозначение: Вектор $(-\overrightarrow{a})$ противоположный для вектора $\overrightarrow{a}$.

Для того чтобы ввести второе правило для разности двух векторов, нам необходимо в начале ввести и доказать следующую теорему.

Теорема 2

Для любых двух векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ справедливо следующее равенство:

\[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\]

Доказательство.

По определению 2, имеем

Прибавим к обеим частям вектор $\left(-\overrightarrow{b}\right)$, получим

Так как векторы $\overrightarrow{b}$ и $\left(-\overrightarrow{b}\right)$ противоположны, то $\overrightarrow{b}+\left(-\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{0}$. Имеем

Теорема доказана.

Из этой теоремы получаем следующее правило для разности двух векторов: Чтобы найти разность $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ нужно от произвольной точки $O$ отложить вектор $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, затем от полученной точки $A$ отложить вектор $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{b}$ и соединить начало первого вектора с концом второго вектора.

Пример задачи на понятие разности векторов

Пример 2

Пусть дан параллелограмм $ADCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$ (рис. 4). Выразить через векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ следующие векторы:

а) $\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}$

б) $\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{OC}$

Рисунок 4. Параллелограмм

Решение.

а) Произведем сложение по правилу треугольника, получим

\[\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB}\]

Из первого правила разности двух векторов, получаем

\[\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\]

б) Так как $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AO}$, получим

\[\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{AO}\]

По теореме 2, имеем

\[\overrightarrow{BO}-\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{BO}+\left(-\overrightarrow{AO}\right)=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}\]

Используя правило треугольника, окончательно имеем

\[\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{a}\]

spravochnick.ru