В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Квадрат гипотенузы равен


Гипотенуза в прямоугольном треугольнике - формула, пример расчета, калькулятор

Гипотенуза – это самая длинная сторона прямоугольного треугольника. Она лежит напротив прямого угла. Длина гипотенузы может быть найдена различными способами.прямоугольный треугольникЕсли известна длина обоих катетов, то ее размер вычисляется по теореме Пифагора: сумма квадратов двух катетов равняется квадрату гипотенузы.{a^2}+{b^2}={c^2}

Соответственно длина гипотенузы в прямоугольном треугольнике вычисляется по формуле:

c=sqrt{{a^2}+{b^2}} Иконка карандаша 24x24К примеру: катет a = 3 см, катет b = 4 см. Чтобы найти длину гипотенузы в прямоугольном треугольнике, подставим числа в формулу. c=sqrt{{3^2}+{4^2}}=sqrt{9+16}=sqrt{25}=5 см

Преобразовав эту формулу можно найти и длину одного неизвестного катета.a=sqrt{{c^2}-{b^2}}, b=sqrt{{c^2}-{a^2}}

В случае если известна длина катета A и гипотенузы C, угол α можно определить по формуле:sin(alpha)={A/C} Второй угол будет вычисляться так: β = 180°-90°-α. Зная, что сумма всех углов составляет 180°, вычитаем прямой угол и уже известный. Иконка карандаша 24x24К примеру: A = 3 см, C=5 см, подставляем значения в формулу: sin(alpha)={3/5}=0,6 По таблицу синусов угол α будет приблизительно равен 36°, соответственно угол β = 54°.

Если по условиям даны параметры двух катетов, то можно найти острый угол по следующей формуле:tan(alpha)={A/B}

Иконка карандаша 24x24К примеру: A = 3 см, B = 4 см Подставляем значения в формулу tan(alpha)={3/4}=0,75 По таблице тангенсов угол α будет равняться 36°, соответственно угол β = 54°.

Также стороны прямоугольного треугольника можно найти по различным формулам в зависимости от количества известных переменных.

При расчете параметров прямоугольного треугольника важно обращать внимание на известные значения и решать задачу по самой простой формуле.

2mb.ru

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

 

ГЕОМЕТРИЯ. ТЕОРЕМЫ.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА.

 

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

 

Дано: 

Треугольник АВС - прямоугольный;

АВ = b – катет;

ВС = а – катет;

АС = с – гипотенуза.

 

 

Доказать:

 

 

Доказательство:

 

1. Достроим треугольник АВС до квадрата. Сторона ВК = a + b.

 

 

2. Площадь квадрата BKMN равна:

 

 

3. Квадрат BKMN состоит из:

 

 

 

б) Квадрата AEFC, который имеет сторону равную с. Значит, площадь квадрата AEFC равна:

 

 

4. Площадь квадрата найдем как:

 

 

 

5. Из пунктов 2 и 4 следует:

 

 

 

 

 

Теорема доказана.

Все теоремы с доказательствами >>>

 

www.1variant.ru

как найти гипотенузу прямоугольного треугольника по данным катетам А,В

квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, соответственно, гипотенуза равно корню квадратному из суммы квадратов катетов....

Теорема Пифагора чтоли?

теорема пифагора, если у тебя есть катеты, возведи их в квадрат и сложи-будет гипотенуза

гипотенуза равна суме квадратов катетов!!

Квадратный корень из суммы квадратов катетов даст длину гипотенузы (Пифагор, Его величество-математик) )))

гипотенуза равна суме квадратов катетов - это даже я знаю

ваче-та КВАДРАТ гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.. Теорема Пифагора. - C^2=A^2+B^2 Например : 1 катет равен 5 см 2 катет равен 12 см Гипотенуза? дм возводим в квадрат 5 и 12 1) 5^2+12^2 2) 25 + 144 = 169 3) Теперь найдем корень числа 169 = 13 Гипотенуза равна 13 см 13^2 = 5^2 + 12^2

touch.otvet.mail.ru

чему равна длинна гипотенузы прямоугольного треугольника

Длина гиппотенузы равна сумме квадрата катетов под корнем квадратным (теорема Пифагора)

Гипотенуза (греч. ὑποτείνουσα, натянутая [1]) — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника может быть найдена с помощью теоремы Пифагора: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Например, если длина одного из катетов равна 3 м (квадрат его длины равен 9 м²), а длина другого — 4 м (квадрат его длины равен 16 м²), то сумма их квадратов равна 25 м². Длина гипотенузы в этом случае равна квадратному корню из 25 м², то есть 5 м.

Как сказал поэт Маршак,,, А я думал, что гипотенуза - река Советского Союза

touch.otvet.mail.ru

Люди помогите чему равен квадратный корень гипотенуза???

у тебя тут ошибок в составлении вопроса больше, чем смысла в нем

ты не корректно сформулировала вопрос, предположительно ответ на вопрос (а^2+b^2)^1/4

Может не квадратный корень, а квадрат? Тогда квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Если квадратный корень- то наверное квадратный корень гипотенузы равен сумме квдратных корней катетов

квадрат гипотенузы =сумме квадратов катетов

квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

touch.otvet.mail.ru

квадрату гипотенузы равна сумма катетов, возведенных в квадрат

Каждый школьник знает, что всегда квадрат гипотенузы равен сумме катетов, каждый из которых возведен в квадрат. Эта утверждение носит название теоремы Пифагора. Она является одной из самых известных теорем тригонометрии и математики в целом. Рассмотрим ее подробнее.

Понятие о прямоугольном треугольнике

Перед тем, как переходить к рассмотрению теоремы Пифагора, в которой квадрат гипотенузы равен сумме катетов, которые возведены в квадрат, следует рассмотреть понятие и свойства прямоугольного треугольника, для которого справедлива теорема.

Треугольник - плоская фигура, имеющая три угла и три стороны. Прямоугольный же треугольник, как следует из его названия, имеет один прямой угол, то есть этот угол равен 90o.

Из общих свойств для всех треугольников известно, что сумма всех трех углов этой фигуры равна 180o, а это означает, что для прямоугольного треугольника сумма двух углов, которые не являются прямыми, составляет 180o - 90o = 90o. Последний факт означает, что любой угол в прямоугольном треугольнике, который не является прямым, будет всегда меньше 90o.

Сторону, которая лежит против прямого угла, принято называть гипотенузой. Две же другие стороны являются катетами треугольника, они могут быть равны между собой, а могут и отличаться. Из тригонометрии известно, что чем больше угол, против которого лежит сторона в треугольнике, тем больше длина этой стороны. Это означает, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза (лежит против угла 90o) будет всегда больше любого из катетов (лежат против углов < 90o).

Математическая запись теоремы Пифагора

Доказательство теоремы Пифагора

Эта теорема гласит, что квадрату гипотенузы равна сумма катетов, каждый из которых предварительно возведен в квадрат. Чтобы математически записать эту формулировку, рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором стороны a, b и c являются двумя катетами и гипотенузой, соответственно. В этом случае теорема, которая формулируется, как квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, формулой следующей может быть представлена: c2 = a2 + b2. Отсюда могут быть получены другие важные для практики формулы: a = √(c2 - b2), b = √(c2 - a2) и c = √(a2 + b2).

Отметим, что в случае прямоугольного равностороннего треугольника, то есть a = b, формулировка: квадрат гипотенузы равен сумме катетов, каждый из которых возведен в квадрат, математически запишется так: c2 = a2 + b2 = 2a2, откуда вытекает равенство: c = a√2.

Историческая справка

Изображение Пифагора

Теорема Пифагора, гласящая, что квадрату гипотенузы равна сумма катетов, каждый из которых возведен в квадрат, была известна задолго до того, когда на нее обратил внимание знаменитый греческий философ. Многие папирусы Древнего Египта, а также глиняные таблички Вавилонян подтверждают, что эти народы использовали отмеченное свойство сторон прямоугольного треугольника. Например, одна из первых египетских пирамид, пирамида Хефрена, строительство которой относится к XXVI веку до нашей эры (за 2000 лет до жизни Пифагора), была построена, исходя из знания соотношения сторон в прямоугольном треугольнике 3x4x5.

Почему же тогда в настоящее время теорема носит имя грека? Ответ прост: Пифагор является первым, кто математически доказал эту теорему. В сохранившихся вавилонских и египетских письменных источниках говорится лишь об ее использовании, но не приводится никакого математического доказательства.

Считается, что Пифагор доказал рассматриваемую теорему путем использования свойств подобных треугольников, которые он получил, проведя высоту в прямоугольном треугольнике из угла 90o к гипотенузе.

Пример использования теоремы Пифагора

Расчет длины лестницы

Рассмотрим простую задачу: необходимо определить длину наклонной лестницы L, если известно, что она имеет высоту H = 3 метра, и расстояние от стены, в которую упирается лестница, до ее подножия равно P = 2,5 метра.

В данном случае H и P - это катеты, а L - гипотенуза. Поскольку длина гипотенузы равна сумме квадратов катетов, получаем: L2 = h3 + P2, откуда L = √(h3 + P2) = √(32 + 2,52) = 3,905 метра или 3 м и 90,5 см.

fb.ru

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5

Ответ: 0,8

 

27667. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (-2;0) и (0;2).

Для нахождения углового коэффициента прямой необходимо знать формулу для нахождения уравнения прямой (в нашем случае это уравнение прямой проходящей через две данные точки) и уметь привести её к виду:

Либо знать определение тангенса в прямоугольном треугольнике и уметь находить его, так как

Покажем этот угол:

Найдём искомый коэффициент и тем и другим способом.

Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:

Наши точки имеют координаты (-2;0) и (0;2), значит

Приведём к виду

Получили, что угловой коэффициент равен единице,

Теперь второй способ. Найдём тангенс угла между прямой осью ох:

Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике является отношение противолежащего катета к прилежащему.

Обратите внимание, что ОВ и ОА это длины катетов треугольника (то есть положительные величины).

Ответ: 1

 

27668. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки с координатами (2;0) и (0;2).

Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:

Наши точки имеют координаты (2;0) и (0;2), значит

Приведём к виду

Получили, что угловой коэффициент равен единице,

Ответ: -1

 

27669. Прямая a проходит через точки с координатами (0;4) и (6;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0;8) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox

Конечно, в данной задаче можно найти уравнение прямой a, определить угловой коэффициент для этой прямой. У прямой b угловой коэффициент будет такой же, так как они параллельны. Далее составить уравнение прямой b. А затем, подставив значение y=0, найти абсциссу. НО!

Есть более простые варианты.

Первый.

Прямоугольные треугольники, образованные прямыми подобны, а это значит, что отношения их соответствующих сторон равны.

Искомая абсцисса равна 12.

Второй. Построить данные прямые на листке в клетку. Вы обнаружите, что прямая b пересекает ось ох в точке (12;0).

Ответ: 12

 

27670. Прямая a проходит через точки с координатами (0;4) и (-6;0). Прямая b проходит через точку с координатами (0;-6) и параллельна прямой a. Найдите абсциссу точки пересечения прямой b с осью Ox.

Образованные прямоугольные треугольники подобны (по трём углам). Значит, их линейные размеры пропорциональны. Введём обозначения.

Следовательно

Искомая абсцисса равна 9.

Ответ: 9

 

27671. Найдите ординату точки пересечения оси оy и прямой, проходящей через точку B(6;4) и параллельной прямой, проходящей через начало координат и точку A(6;8).

Задача решается просто: параллельным переносом сдвигаем прямую вниз вдоль оси оу до точки (6;4). Сдвиг произошёл на 4 единицы, то есть точка А(6;8) перешла в точку В(6;4), а точка О(0;0) перешла в точку (0;-4). Значит, полученная прямая будет пересекать ось оу в точке (0;-4). Искомая ордината равна -4.

Другой вариант решения.

Найдём формулу уравнения прямой проходящей через точки с координатами (0;0) и (6;8).

Формула уравнения прямой походящей через две данные точки имеет вид:

Наши точки имеют координаты (0;0) и (6;8), значит

Приведём к виду

Значит уравнение прямой, проходящей через точку В(6;4) имеет вид:

так как угловые коэффициенты параллельных прямых равны. Значение b найдём подставив в это уравнение координаты точки В(6;4).

Получили уравнение прямой:

Теперь, чтобы найти ординату точки пересечения с осью оу подставляем в найденное уравнение х=0

Ответ: -4

 

27672. Точки O(0;0), B(6;2), C(0;6) и A являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки A.

Самый простой путь к решению это построить данный параллелограмм на листке в клетку:

Координаты точки А(6;8). Ордината равна 8.

Ответ: 8

 

27675. Точки O(0;0), A(6;8), B(6;2), C(0;6) являются вершинами четырехугольника. Найдите ординату точки P пересечения его диагоналей.

Действуем тем же простым способом. Строим четырёхугольник на листке в клетку, строим диагонали:

Получили, что точка Р имеет координаты (3;4). Ордината равна 4.

Ответ: 4

 

27678. Точки O(0;0), A(10;8), C(2;6) и B являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки B.

Строим параллелограмм на листке в клетку по координатам. При построении важно соблюдать свойства фигуры (в данном случае параллельность сторон параллелограмма):

Получили, что точка В имеет координаты (8;2). Ордината этой точки равна 2.

 

27685. Точки О(0;0), А(6;8), В(8;2) являются вершинами треугольника. Найдите длину его средней линии CD, параллельной OA.

Длина любого отрезка на координатной плоскости определяется по формуле:

Значит, нам необходимо найти координаты точек C и D. Сделать это можно двумя путями.

Первый. Так как CD средняя линия, то это означает, что C и D середины соответствующих сторон треугольника. Формулы для нахождения координат середины отрезка мы уже применяли в предыдущих задачах.

Второй. Через построение на листке в клетку. Строим по координатам треугольник:

Получили, что С имеет координаты (7;5), а D(4;1). Длина CD равна:

27686. Точки O(0;0), A(10;0), B(8;6), C(2;6) являются вершинами трапеции. Найдите длину ее средней линии DE.

Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований:

ОА=10, СВ=8-2=6. ED = (10+6):2=8.

Ответ: 8

 

27687. Найдите абсциссу точки пересечения прямой, заданной уравнением , с осью Ox.

Координата точки пересечения заданной прямой с осью ох имеет вид (х;0). Подставим в уравнение у=0, и найдём х:

Абсцисса точки пересечения с осью ох равна 2.

Ответ: 2

27689. Найдите абсциссу точки пересечения прямых, заданных уравнениями и .

Когда заданны две прямые, и стоит вопрос о нахождении координат точки пересечения этих прямых, решается система из данных уравнений:

Подставляем :

Абсцисса равна 1,2

Ответ: 1,2

 

27692. Окружность с центром в начале координат проходит через точку P(8;6). Найдите ее радиус.

Изобразим окружность и построим отрезок ОР, который будет являться радиусом:

Задача сводится к нахождению гипотенузы ОР в прямоугольном треугольнике ОРА. По теореме Пифагора:

Читайте также:

lektsia.com