Как найти площадь треугольника по векторам. Найти площадь треугольника по векторам


Как найти площадь треугольника по векторам

Содержание

  1. Инструкция

Треугольник - это простейшая из многоугольных плоских фигур, которую можно задать с помощью координат точек в вершинах ее углов. Площадь участка плоскости, который будет ограничен сторонами этой фигуры, в декартовой системе координат можно вычислить несколькими способами.

Инструкция

  • Если координаты вершин треугольника даны в двухмерном декартовом пространстве, то сначала составьте матрицу из разниц значений координат точек, лежащих в вершинах. Затем используйте определитель второго порядка для полученной матрицы - он будет равен векторному произведению двух векторов, составляющих стороны треугольника. Если обозначить координаты вершин как A(X₁, Y₁), B(X₂, Y₂) и C(X₃, Y₃), то формулу площади треугольника можно записать так: S=|(X₁-X₃)•(Y₂-Y₃)-(X₂-X₃)•(Y₁-Y₃)|/2.
  • Например, пусть даны такие координаты вершин треугольника на двухмерной плоскости: A(-2, 2), B(3, 3) и C(5, -2). Тогда, подставив числовые значения переменных в приведенную на предыдущем шаге формулу, вы получите: S=|(-2-5)•(3-(-2))-(3-5)•(2-(-2))|/2=|-7•5-(-2)•4|/2=|-35+8|/2=27/2=13,5 сантиметров.
  • Можно действовать по-другому - сначала вычислить длины всех сторон, а затем использовать формулу Герона, которая определяет площадь треугольника именно через длины его сторон. В этом случае сначала найдите длины сторон, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, составленного из самой стороны (гипотенуза) и проекций каждой стороны на оси координат (катеты). Если обозначить координаты вершин как A(X₁, Y₁), B(X₂, Y₂) и C(X₃, Y₃), то длины сторон будут следующими: AB=√((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²), BC=√((X₂-X₃)²+(Y₂-Y₃)²), CA=√((X₃-X₁)²+(Y₃-Y₁)²). Например, для координат вершин треугольника, приведенных на втором шаге, эти длины составят AB=√((-2-3)²+(2-3)²)=√((-5)²+(-1)²)=√(25+1)≈5,1, BC=√((3-5)²+(3-(-2))²)=√((-2)²)+5²)=√(4+25)≈5,36, CA=√((5-(-2))²+(-2-2)²)=√(7²+(-4)²)=√(49+16)≈8,06.
  • Найдите полупериметр, сложив известные теперь длины сторон и разделив результат на двойку: p=0,5•(√((X₁-X₂)²+(Y₁-Y₂)²)+√((X₂-X₃)²+(Y₂-Y₃)²)+√((X₃-X₁)²+(Y₃-Y₁)²)). Например, для длин сторон, рассчитанных на предыдущем шаге, полупериметр будет приблизительно равен p≈(5,1+5,36+8,06)/2≈9,26.
  • Рассчитайте площадь треугольника по формуле Герона S=√(p(p-AB)(p-BC)(p-CA)). Например, для образца из предыдущих шагов: S=√(9,26•(9,26-5,1)•(9,26-5,36)•(9,26-8,06))=√(9,26•4,16•3,9•1,2)=√180,28≈13,42. Как видите, результат на восемь сотых отличается от полученного на втором шаге - это результат округлений, использованных при расчетах на третьем, четвертом и пятом шагах.

completerepair.ru

Как найти площадь треугольника по векторам

Совет добавлен 17 октября 2011

Треугольник - это простейшая из многоугольных плоских фигур, которую можно задать с помощью координат точек в вершинах ее углов. Площадь участка плоскости, который будет ограничен сторонами этой фигуры, в декартовой системе координат можно вычислить несколькими способами.

Инструкция

1

Если координаты вершин треугольника даны в двухмерном декартовом пространстве, то сначала составьте матрицу из разниц значений координат точек, лежащих в вершинах. Затем используйте определитель второго порядка для полученной матрицы - он будет равен векторному произведению двух векторов, составляющих стороны треугольника. Если обозначить координаты вершин как A(X, Y), B(X, Y) и C(X, Y), то формулу площади треугольника можно записать так: S=|(X-X)•(Y-Y)-(X-X)•(Y-Y)|/2.

2

Например, пусть даны такие координаты вершин треугольника на двухмерной плоскости: A(-2, 2), B(3, 3) и C(5, -2). Тогда, подставив числовые значения переменных в приведенную на предыдущем шаге формулу, вы получите: S=|(-2-5)•(3-(-2))-(3-5)•(2-(-2))|/2=|-7•5-(-2)•4|/2=|-35+8|/2=27/2=13,5 сантиметров.

3

Можно действовать по-другому - сначала вычислить длины всех сторон, а затем использовать формулу Герона, которая определяет площадь треугольника именно через длины его сторон. В этом случае сначала найдите длины сторон, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, составленного из самой стороны (гипотенуза) и проекций каждой стороны на оси координат (катеты). Если обозначить координаты вершин как A(X, Y), B(X, Y) и C(X, Y), то длины сторон будут следующими: AB=((X-X)+(Y-Y)), BC=((X-X)+(Y-Y)), CA=((X-X)+(Y-Y)). Например, для координат вершин треугольника, приведенных на втором шаге, эти длины составят AB=((-2-3)+(2-3))=((-5)+(-1))=(25+1)5,1, BC=((3-5)+(3-(-2)))=((-2))+5)=(4+25)5,36, CA=((5-(-2))+(-2-2))=(7+(-4))=(49+16)8,06.

4

Найдите полупериметр, сложив известные теперь длины сторон и разделив результат на двойку: p=0,5•(((X-X)+(Y-Y))+((X-X)+(Y-Y))+((X-X)+(Y-Y))). Например, для длин сторон, рассчитанных на предыдущем шаге, полупериметр будет приблизительно равен p(5,1+5,36+8,06)/29,26.

5

Рассчитайте площадь треугольника по формуле Герона S=(p(p-AB)(p-BC)(p-CA)). Например, для образца из предыдущих шагов: S=(9,26•(9,26-5,1)•(9,26-5,36)•(9,26-8,06))=(9,26•4,16•3,9•1,2)=180,2813,42. Как видите, результат на восемь сотых отличается от полученного на втором шаге - это результат округлений, использованных при расчетах на третьем, четвертом и пятом шагах.

hydromet.com.ru

Площадь треугольника | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Площадь любого треугольника можно найти, зная основание и высоту. Вся простота схемы заключается в том, что высота делит основание a на две части a1 и a2, а сам треугольник – на два прямоугольных треугольника, площадь которых получается и . Тогда площадь всего треугольника будет суммой двух указанных площадей, и если мы вынесем одну вторую высоты за скобку, то в сумме мы получим обратно основание:

Более сложный для расчетов способ – это формула Герона, для которой необходимо знать все три стороны. Для этой формулы нужно вычислить сначала полупериметр треугольника: Сама формула Герона подразумевает квадратный корень из полупериметра, умноженного поочередно на разность его с каждой из сторон.

Следующий способ, также актуальный для любого треугольника, позволяет найти площадь треугольника через две стороны и угол между ними. Доказательство этому проистекает из формулы с высотой – проводим высоту на любую из известных сторон и через синус угла α получаем, что h=a⋅sinα . Для вычисления площади умножим половину высоты на вторую сторону.

Другой способ – найти площадь треугольника, зная 2 угла и сторону между ними. Доказательство этой формулы достаточно простое, и наглядно видно из схемы.

Опускаем из вершины третьего угла высоту на известную сторону и называем полученные отрезки x соответственно. Из прямоугольных треугольников видно, что первый отрезок x равен произведению котангенса угла α на высоту, а второй отрезок y – произведению котангенса угла β на эту же высоту. Дальше соединяем это вместе:

geleot.ru