Функция. Область определения и область значения функции. Область значения область определения


Область значения

Область значений это:

Область значений Запрос «Отображение» перенаправляется сюда. Cм. также другие значения.

В данной статье приведено общее определение математической функции. В средних школах и на нематематических специальностях высших учебных заведениях изучают более простое понятие числовой функции, являющееся частным случаем математической функции.

Содержание

  • 1 Определения
  • 2 Обозначения
  • 3 Связанные определения
  • 4 Свойства
    • 4.1 Свойства прообразов и образов
  • 5 Классы функций
  • 6 Вариации и обобщения
    • 6.1 Функции нескольких аргументов
  • 7 Примечания
  • 8 См. также
  • 9 Литература

Определения

  • Нестрогое определение: функция — это «закон», по которому каждому значению элемента x из некоторого множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.
  • Строгое определение: функция или отображе́ние — это бинарное отношение, обладающее свойством:
  • Функция называется инъективной, если

Обозначения

Связанные определения

  • F является продолжением функции на множество . Можно рассматривать продолжения, обладающие различными свойствами, например аналитическое продолжение.
  • Пусть . Тогда о́бразом множества M называется подмножество множества Y, определяемое равенством .
Множество F(X) называется образом отображения F и обозначается .
  • Пусть задано отображение , и y = F(x). Тогда x называется проо́бразом y, а y называется о́бразом x. Согласно определению отображения, каждый элемент должен иметь ровно один образ, но элемент может не иметь прообразов либо иметь один или несколько.
    • Например, пусть дана функция , где F(x) = x2. Тогда y = − 1 не имеет прообразов; y = 0 имеет единственный прообраз x = 0; y = 1 имеет два прообраза: x1 = 1 и x2 = − 1.
  • Пусть задано отображение , и . Тогда множество называется по́лным проо́бразом элемента y. Полный прообраз обозначается F - 1(y).
    • Например, пусть , и F(x) = sinx. Тогда .
  • Пусть . Тогда проо́бразом множества N называется подмножество множества X, определяемое равенством .

Свойства

Свойства прообразов и образов

Классы функций

При необходимости можно различать отображения в зависимости от природы множеств X и Y. Если X и Y — числовые множества, такие, как

или , то отображение называют функцией. Если X или Y многомерны, например, или , то отображение называют ве́ктор-фу́нкцией. Если X — произвольной природы, а Y — поле, то отображение называют функциона́лом. В специальных случаях используют и другие термины: оператор, функтор, преобразование, морфизм и т. д.

Вариации и обобщения

  • многозначная функция
Функции нескольких аргументов

Определение функции легко обобщить на случай функции многих аргументов.

Пусть даны множества

и множество Y, тогда упорядоченное множество всех кортежей называется функцией n аргументов тогда и только тогда, когда для любых и из следует, что .[1]

Примечания

  1. ↑ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — том 1. — М.: Высшая школа, 1981. — с. 8.

См. также

  • Композиция функций
  • График функции
  • Сюръективность
  • Инъективность
  • Биективность
  • Функция с множеством значений {0, 1}
  • Функциональное уравнение

Литература

  • Функция. Математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru>

Область определения функции

Область определения или область задания функции — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.

Определение

Если на множестве X {\displaystyle X} задана функция, которая отображает множество X {\displaystyle X} в другое множество, то множество X {\displaystyle X} называется областью определения или областью задания функции.

Более формально, если задана функция f {\displaystyle f} , которая отображает множество X {\displaystyle X} в Y {\displaystyle Y} , то есть: f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} , то

  • множество X {\displaystyle X} называется областью определения[1] или областью задания[2] функции f {\displaystyle f} и обозначается D ( f ) {\displaystyle D(f)} или d o m f {\displaystyle \mathrm {dom} \,f} (от англ. domain — «область»).

Иногда рассматривают функции, определенные на подмножестве D {\displaystyle D} некоторого множества X {\displaystyle X} . В этом случае множество X {\displaystyle X} иногда называют областью отправления функции f {\displaystyle f} [3].

Примеры

Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции. Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.

Числовые функции

Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:

  • вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } ;
  • а также комплекснозначные функции комплексного переменного вида f : C → C {\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} } ,

где R {\displaystyle \mathbb {R} } и C {\displaystyle \mathbb {C} }  — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.

Тождественное отображение

Область определения функции f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} совпадает с областью отправления ( R {\displaystyle \mathbb {R} } или C {\displaystyle \mathbb {C} } ).

Гармоническая функция

Область определения функции f ( x ) = 1 / x {\displaystyle f(x)=1/x} представляет собой комплексную плоскость без нуля:

d o m f = C ∖ { 0 } {\displaystyle \mathrm {dom} \,f=\mathbb {C} \setminus \{0\}} ,

поскольку формула не задаёт значение функции в нуле каким-нибудь числом, что требуется в формулировке понятия функции. Область отправления представляет собой всю комплексную плоскость.

Дробно-рациональные функции

Область определения функции вида

f ( x ) = a 0 + a 1 x + ⋯ + a m x m b 0 + b 1 x + ⋯ + b n x n {\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{m}x^{m}}{b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}}}}

представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения

b 0 + b 1 x + ⋯ + b n x n = 0 {\displaystyle b_{0}+b_{1}x+\dots +b_{n}x^{n}=0} .

Эти точки называются полюсами функции f {\displaystyle f} .

Так, например, f ( x ) = 2 x x 2 − 4 {\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x^{2}-4}}} определен на всех точках, где знаменатель не обращается в ноль, то есть, где x 2 − 4 ≠ 0 {\displaystyle x^{2}-4\neq 0} . Таким образом d o m f {\displaystyle \mathrm {dom} \,f} является множеством всех действительных (или комплексных) чисел кроме 2 и -2.

Мера

Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества.

Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.

Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка.

Функционал

Пусть F = { f ∣ f : X → R } {\displaystyle \mathbb {F} =\{f\mid f\colon X\to \mathbb {R} \}}  — семейство отображений из множества X {\displaystyle X} в множество R {\displaystyle \mathbb {R} } . Тогда можно определить отображение вида F : F → R {\displaystyle F\colon \mathbb {F} \to \mathbb {R} } . Такое отображение называется функционалом.

Если, например, фиксировать некоторую точку x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in ~X} , то можно определить функцию F ( f ) = f ( x 0 ) {\displaystyle F(f)=f(x_{0})} , которая принимает в «точке» f {\displaystyle f} то же значение, что и сама функция f {\displaystyle f} в точке x 0 {\displaystyle x_{0}} .

ru.wikipedia.org>

Область (значения) это:

Область (значения) В Викисловаре есть статья «область»

О́бласть — некоторая часть большей структуры. Термин о́бласть может означать:

В географии
  • Административная область
    • Область (административная единица) — единица федерального деления в России или административно-территориального деления в ряде других стран.
  • Зоогеографическая область — регион Земли, выделяющийся особенностями фаунистического состава.
  • Историческая область — территория, составлявшая в исторической ретроспективе политическое единство.
  • Историко-культурная область — территория с исторически сложившимися сходными культурно-бытовыми особенностями населения.
  • Физико-географическая область — часть физико-географической страны, расположенная в пределах одной природной зоны и имеющая морфоструктурную и литологическую однородность.
В математике
  • Область (топология) — открытое связное подмножество.

См. также

  • Домен (область)
Cписок значений слова или словосочетания со ссылками на соответствующие статьи. Если вы попали сюда из другой статьи Википедии, пожалуйста, вернитесь и уточните ссылку так, чтобы она указывала на статью.
Категория:
  • Многозначные термины

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru>

Как найти область определения и область значения функции x+8/x-4

Артур ройспих

а хрен знает) ну или вот ))))))))))))) .

одно из важнейших математических понятий. Напомним, что функцией называют та- кую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение перемен- ной у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у явля- ется функцией от переменной х. Значения зависи- мой переменной называют значениями функции. Если зависимость переменной у от переменной х является функцией, то коротко это записывают так: y=f(x). (Читают: у равно f от х. ) Символом f(x) обозначают значение функции, соответствую- щее значению аргумента, равному х. Пусть, например, функция задается формулой у=2х2 - 6. Тогда можно записать, что f(x) = 2х2 - 6. Найдем значения функции для значений х, равных, например, 1, 2,5, -3, т. е. найдем f(1), f (2,5), f(-3): f(1) = 2 • 1 2 - 6 = - 4; f(2,5) = 2 • 2,52 - 6 = 6,5; f(-3) = 2 • (-3)2-6 = 12. - 3 - Все значения независимой переменной образу- ют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образу- ют область значений функции. Если функция задана формулой и ее область оп- ределения не указана, то считают, что область оп- ределения функции состоит из всех значений аргу- мента, при которых формула имеет смысл. Напри- мер, областью определения функции f (х) = 5х + х2 является множество всех чисел; областью определе- Рис. 1 чисел, кроме -3. Область определения функции, описывающей реальный процесс, зависит от конкретных условий его протекания. Например, зависимость длины I железного стержня от температуры нагревания t выражается формулой l = l0(1 + at), где l0 — на- чальная длина стержня, а а — коэффициент ли- нейного расширения. Указанная формула имеет смысл при любых значениях t. Однако областью определения функции l = f(t) является промежуток в несколько десятков градусов, для которого спра- ведлив закон линейного расширения. Напомним, что графиком функции называют множество всех точек координатной плоскос- ти, абсциссы которых равны значениям аргу- мента, а ординаты — соответствующим зна- чениям функции. На рисунке 1 изображен график функции у = f(x), областью определе- ния которой является промежуток [-3; 7]. С помощью графика можно найти, например, что f(-3) = -2, f(0) = 2,5, f(2) = 4, f(5) = 2. Наи- меньшее значение функции равно -2, а наибольшее равно 4; при этом лю- бое число от -2 до 4 является значе- нием данной функции. Таким обра- зом, областью значений функции y = f(x) служит промежуток [-2; 4]. Мы изучили некоторые важные виды функций: линейную функцию, т. е. функцию, задаваемую формулой у =kx - b, где k и b — некоторые числа; прямую пропорциональность — частный случай линейной функции, она задается формулой y=kx - 4 - Рис. 2 Рис. 3 б) Графиком функции y = kx + b слу- жит прямая (рис. 2). Ее областью определения является множество всех чисел. Область значений этой ласть

Читайте также

zna4enie.ru

Функция: область определения и область значений функций | Учеба-Легко.РФ

Функция - это модель. Определим X, как множество значений независимой переменной // независимая -значит любая.

Функция это правило, с помощью которого  по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной. // т.е. для каждого х есть один у.

Из определения следует, что существует два понятия- независимая переменная (которую обозначаем х и она может принимать любые значения) и зависимая переменная (которую обозначаем y или f(х) и она высчитывается из функции, когда мы подставляем х).

НАПРИМЕР у=5+х 

1. Независимая -это х, значит берем любое значение, пусть х=3 

2. а теперь вычисляем у, значит у=5+х=5+3=8. (у зависима от х, потому что какой х подставим, такой у и получим)

Говорят, что переменная y функционально зависит от переменной x и обозначается это следующим образом: y = f (x).

НАПРИМЕР.

1.у=1/х.            (наз.гипербола)

2. у=х^2.          (наз. парабола)

3.у=3х+7.         (наз. прямая)

4. у= √ х.           (наз. ветвь параболы)

Независимая переменная (кот. мы обозначаем х) имеет название аргумент функции. 

Область определения функции

Множество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается  D (f) или D (y).

 Рассмотрим D (у) для 1.,2.,3.,4.

1. D (у)= ( ∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.

2. D (у)= ( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел

3. D (у)= ( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел

4. D (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел

Зависимая переменная (кот. мы обозначаем у ) имеет название значение функции.

Область значения функции

Множество всех значений, которые может принять зависимая переменная, называется областью значения функции и обозначается E (f) или E (y).

Рассмотрим  Е (у) для 1.,2.,3.,4.

1. Е (у)= ( ∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.

2. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел

3. Е (у)=( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел 

4. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел

Рассмотрим примеры подробнее

1) Постановка задачи. Найти функции у= 4х/(3+х)

Решение.

1. Найдем D (у)//т.е. какие значения может принимать х. для этого найдем ОДЗ(область допустимых значений дроби)

3+х≠0

х≠-3

значит D (у) данной функции  ( ∞; 3) и (3;+∞)// всё множество действительных чисел, кроме 3.

2. Найдем  Е (у)//т.е. какие значения может принимать у, при всех возможных х

решаем уравнение вида 4х/(3+х)=А, где  А є Е (у)

(3+х)А=4х

3А=4х-хА

3А=х(4-А)

х=3А/(4-А)

значит Е (у) данной функции ( ∞; 4) и (4;+∞)// всё множество действительных чисел, кроме 4.

2) Постановка задачи. Найти  D (у)и Е (у) функции, изображенной на графике

 

Область определения(значения х) смотрим по оси х- это промежуток [ 4; 7], 

Областью значения(значения у) смотрим по оси у- это промежуток [ 4; 4].

uclg.ru

Как найти область значения функции

Лекция 19. Функция. Область определения и множество значений функции.

Функция — одно из важнейших математических понятий.

Определение: Если каждому числу из некоторого множества x поставлено в соответствие единственное число y, то говорят, что на этом множестве задана функция y(x). При этом x называют независимой переменной или аргументом, а y — зависимой переменной или значением функции или простофункцией.

Говорят также, что переменная y является функцией от переменной x.

Обозначив соответствие некоторой буквой, например f, удобно писать: y=f (x), то есть, значение y получается из аргумента x с помощью соответствия f. (Читают: y равно f от x.) Символом f (x) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному x.

Пример 1 Пусть функция задается формулой y=2x2–6. Тогда можно записать, что f(x)=2x2–6. Найдем значения функции для значений х, равных, например, 1; 2,5;–3; т. е. найдем f(1), f(2,5), f(–3):

f(1)=2•12–6=–4; f(2,5)=2•2,52–6=6,5; f(–3)=2•(–3)2–6= 12.

Заметим, что в записи вида y=f (x) вместо f употребляют и другие буквы: g, и т. п.

Определение: Область определения функции — это все значения x, при которых существует функция.

Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Другими словами, область определения функции, заданной формулой, является все значения аргумента, за исключением тех, которые приводят к действиям, которые мы не можем выполнить. На данный момент мы знаем только два таких действия. Мы не можем делить на нуль и не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа.

Определение: Все значения, которые принимает зависимая переменная образуют область значения функции.

Область определения функции, описывающей реальный процесс, зависит от конкретных условий его протекания. Например, зависимость длины l железного стержня от температуры нагревания t выражается формулой , где l0 начальная длина стержня, а —коэффициент линейного расширения. Указанная формула имеет смысл при любых значениях t. Однако, областью определения функцииl=g(t) является промежуток в несколько десятков градусов, для которого справедлив закон линейного расширения.

Пример.

Укажите область значений функции y = arcsinx.

Решение.

Областью определения арксинуса является отрезок [-1; 1]. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.

Производная положительна для всех x из интервала (-1; 1), то есть, функция арксинуса возрастает на всей области определения. Следовательно, наименьшее значение она принимает при x = -1, а наибольшее при x = 1.

Мы получили область значений функции арксинуса

.

Найдите множество значений функции

на отрезке [1; 4].

Решение.

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.

Определим точки экстремума, принадлежащие отрезку [1; 4]:

Вычисляем значения исходной функции на концах отрезка и в точках

:

Следовательно, множеством значений функции на отрезке является интервал

.

Сейчас покажем, как находить множество значений непрерывной функции y = f(x) на открытых интервалах (a; b),

.

Сначала определяем точки экстремума, экстремумы функции, промежутки возрастания и убывания функции на данном интервале. Далее вычисляем односторонние пределы на концах интервала и (или) пределы на бесконечности (то есть, исследуем поведение функции на границах открытого интервала или на бесконечности). Этой информации достаточно, чтобы найти множество значений функции на таких промежутках.

studopedia.ru>

Область значений функции

Область значений (или множество значений) функции — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция[1][2][3].

Определение

Пусть на множестве X {\displaystyle X} задана функция f {\displaystyle f} , которая отображает множество X {\displaystyle X} в Y {\displaystyle Y} , то есть: f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} . Тогда областью (или множеством) значений функции f {\displaystyle f} называется совокупность всех её значений, которая является подмножеством множества Y {\displaystyle Y} и обозначается f ( X ) {\displaystyle f(X)} :

f ( X ) = y = f ( x ) , x ∈ X {\displaystyle f(X)=\\,y=f(x),\,x\in X\} .

Множество значений функции f {\displaystyle f} обозначается также символами E ( f ) {\displaystyle E(f)} , R ( f ) {\displaystyle R(f)} или r a n f {\displaystyle \mathrm {ran} \,f} (от англ. range).

Терминология

В некоторых источниках различаются понятия области значений и множества значений функции. При этом областью значений функции называют её кодомен, то есть множество Y {\displaystyle Y} в обозначении функции f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} [4], сохраняя термин множество значений для обозначения совокупности всех значений функции f {\displaystyle f} .

Множество значений f ( X ) {\displaystyle f(X)} называется также образом множества X {\displaystyle X} при отображении f {\displaystyle f} .

Иногда множество значений функции называют множеством всех значений или областью изменения функции[3].

ru.wikipedia.org>

Как найти область определения функции и область значения??? приведите пример и опишите подробнее пожалуйста

Маря

Каждая функция содержит два типа переменных: независимую переменную и зависимую переменную. Например, в функции y = f(x) = 2x + y «х» является независимой переменной, а «у» - зависимой переменной. Область определения функции - это множество чисел, на котором задается функция (другими словами, это те значения «х», которые можно подставить в данное уравнение). Область значений функции – все значения, которые принимает функция в ее области определения (другими словами, это те значения «у», которые вы получаете при подста Если функция задана дробным выражением, найдите корни выражения, стоящего в знаменателе. Для этого приравняйте выражение, стоящее в знаменателе, к нулю и найдите «х». 1,Пример: дана функция е (х) = х + 5 / х - 2. Эта функция задана дробным выражением. Найдите корни выражения в знаменателе: х – 2 = 0; х = 2.новке всех возможных значений «х»). 2. Запишите область определения функции. После нахождения корней выражения в знаменателе запишите область определения функции в математической форме. В нашем примере знаменатель равен 0 при х = 2, следовательно х не может принимать значение 2 (так как на 0 делить нельзя). Область определения запишется в следующем виде: (-∞; 2)U(2; +∞). Читается так: от минус бесконечности до двух и от двух до плюс бесконечности. 3.Нарисуйте координатную плоскость: проведите ось Х (горизонтально) и ось Y (вертикально). 4. На осях координат нанесите числовые отметки (через равные промежутки). 5.Найдите точки графика. Для этого подставьте в данную функцию значения «х» (из области определения функции) и найдите значения «у». В нашем примере подставьте любые значения «х», кроме 2, так как 2 исключена из области определения. 6.Отложите точки на координатной плоскости. Затем соедините их плавной линией. 7. Найдите область значений функции. Для этого на координатной плоскости найдите такую горизонтальную прямую, которая не пересекается с графиком функции. Точка пересечения этой прямой и оси Y будет исключена из области значений функции. В нашем примере прямая, заданная функцией у = 1, не пересекает график исходной функции. Следовательно «у» не принимает значение 1 и оно исключается из области значений функции. Математически область значений записывается так: (-∞,1)U(1,+∞) Читается так: от минус бесконечности до единицы и от единицы до плюс бесконечности.

Лира

Область определения функции это то множество значений, которые может принимать аргумент функции. Например, для y(x)=x/x-1 ООФ будет интервал от минус бесконечности до 1 и от 1 до плюс бесконечности (х не равно 1). Область значения функции это то множество значений, которое может принимать функция. Например, для y(x)=sin(x) ОЗФ это отрезок от -1 до 1.

Что такое область значения функции? мне нужно определение.

Катя

Множеством значений функции y = f(x) на интервале X называют множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех . Областью значений функции y = f(x) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех x из области определения . Область значений функции обозначают как E(f). Область значений функции и множество значений функции - это не одно и то же. Эти понятия будем считать эквивалентными, если интервал X при нахождении множества значений функции y = f(x) совпадает с областью определения функции.

Не путайте также область значений функции с областью допустимых значений функции (ОДЗ) . Область допустимых значений функции – это есть область определения функции.

Как найти область значений/изменений функции?

у=x^2-4x+7 у=8x-x^2-10

мб это и простейшее уравнение...но чтоөто для меня не доходит как решить...=Ь

Naumenko

области определения и значений функций отдельно решение квадратных уравнений отдельно: http://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg21.html ссылка на справочный сайт по элементарной математике. выпишите формулы и решайте, аккуратно считая. решите пару сотен уравнений и будете знатоком этого дела. Успеха!

Rideamus com

Область значений, множество значений, область изменения это суть одно и то же. Другими словами, каким может быть у, зависимая переменная. У тебя две параболы, первая ветви вверх, вторая - вниз. Т. е. область значений первой будут все у от вершины и до бесконечности, второй - от минус бесконечности и до вершины. Осталось найти вершину 1) x=-b/(2a)=4/2=2 y=2^2-4*2+7=3 E(y)=[3;+oo) 2) x=-b/(2a)=-8/(2*(-1))=4 y=8*4-4^2-10=32-16-10=6 E(y)=(-oo;6]

Читайте также

zna4enie.ru

Область определения функции, теория и примеры

1) Функцию можно представить в виде разности двух функций

   

Функция является многочленом и её областью определения есть множество всех действительных чисел .

Функция является дробно-рациональной. Найдем значения , которые обнуляют знаменатель

   

Таким образом, область определения функции находится из системы

   

2) Для нахождения области определения решим неравенство

   

Разложим на множители левую часть этого неравенства. Для этого решим уравнение . По теореме Виета: , отсюда . Таким образом, неравенство примет вид

   

Обозначим найденные корни на числовой оси и определим знак неравенства на полученных интервалах.

Таким образом, .

3) Функция представляет собой дробно-рациональную функцию, в числителе которой многочлен. Область определения многочлена есть множество действительных чисел . В знаменателе корень, область его определения находим из системы

   

Таким образом, .

ru.solverbook.com

Функция. Область определения и область значения функции

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Описание слайда:

Функции. Область определения и область значения функции Головко Татьяна Анатольевна учитель математики МБОУ СОШ №17 МО Усть-Лабинский район

2 слайд Описание слайда:

Определение функции * Если каждому значению х из некоторого множества чисел поставлено (по некоторому закону f) в соответствие единственное число у, то говорят, что на этом множестве задана функция у(х). х у f (х)

3 слайд Описание слайда:

Область определения и область значений функции * Область определения и область значений функции Все значения независимой переменной х образуют область определения функции D(f) х f Область определения функции Область значений функции Все значения, которые принимает зависимая переменная у, образуют область значений функции E(f) D(f) E(f) у (х)

4 слайд Описание слайда:

* Область определения и область значений функции, заданной на отрезке [-1; 4] 4 у = f (x) Область определения функции: Область значений (множество значений) функции:

5 слайд Описание слайда:

* Какова область определения функции? Какова область значений функции? D(f) = [-5;5] E(f) = [-2;4]

6 слайд Описание слайда:

* Какова область определения функции? Какова область значений функции? у = f(x) х 0 1 -1 1

7 слайд Описание слайда:

* Что значит найти область определения функции? Найти область определения функции y = 2x 2 - 13х + 5 Решение. Данная функция определена при любом действительном числе х, так при подстановке этих чисел можно выполнить все действия в правой части формулы. Ответ: х – любое число

8 слайд Описание слайда:

* Функция Область определения функции Устная тренировка

9 слайд Описание слайда:

* Найти область определения функции Рассуждаем устно так: «запретное» действие в правой части формулы – деление на 0, значит, 4 - х² ≠ 0 Оформляем запись: Решение. Данная функция определена, если 4 - х² ≠ 0; (2 – х)(2 + х) ≠ 0; откуда а) 2 – х ≠ 0, х 1 ≠ 2; б) 2 + х ≠ 0, х 2 ≠ ̶ 2. Ответ: х ≠ ± 2.

10 слайд Описание слайда:

* Рассуждаем устно так: извлекать корень чётной степени можно только из неотрицательного числа, т. е. 12 – 2х ≥ 0 Оформляем запись: Решение. Данная функция определена, если 12 – 2х ≥ 0; – 2х ≥ – 12 | : (– 2), откуда х ≤ 6. Ответ: х ≤ 6. Найти область определения функции

11 слайд Описание слайда:

* График функции Данная кривая не является графиком функции! Множество точек данной кривой содержит две точки с одной и той же абсциссой х = 2, но разными ординатами у1 и у2

12 слайд Описание слайда:

* Найдите график функции Числовой функцией называется соответствие, при котором каждому х из области определения ставится единственное у. Поэтому не всякий график является графиком функции. 1 2 3 Не функция Функция Не функция Подсказка

13 слайд Описание слайда:

* Пусть задана функция где ‒ 1 ≤ х ≤ 4 у х 0 1 2 4 3 -1 1 2 3 -1 3 0 1,5 1 1 2 0,75 3 0,6 4 0,5 График функции – это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента х, а ординаты – соответствующим значениям функции у х у

14 слайд Описание слайда:

* Повторение. Какие из данных графиков являются графиками каких-либо функций?

Найдите материал к любому уроку,указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Выберите категорию: Все категорииАлгебраАнглийский языкАстрономияБиологияВсемирная историяВсеобщая историяГеографияГеометрияДиректору, завучуДоп. образованиеДошкольное образованиеДругоеДругойЕстествознаниеИЗО, МХКИзобразительное искусствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИспанский языкИсторияИстория РоссииИстория Средних вековИтальянский языкКлассному руководителюКультурологияЛитератураЛитературное чтениеЛогопедияМатематикаМировая художественная культураМузыкаМХКНачальные классыНемецкий языкОБЖОбществознаниеОкружающий мирОсновы безопасности жизнедеятельностиПриродоведениеРелигиоведениеРисованиеРусский языкСоциальному педагогуТехнологияУкраинский языкФизикаФизическая культураФилософияФинский языкФранцузский языкХимияЧерчениеЧтениеШкольному психологуЭкология

Выберите класс: Все классыДошкольники1 класс2 класс3 класс4 класс5 класс6 класс7 класс8 класс9 класс10 класс11 класс

Выберите учебник: Все учебники

Выберите тему: Все темы

также Вы можете выбрать тип материала:

Краткое описание документа:

Презентация "Функция. Область определения и область значения функции" качественно выполненная работа. Тема в данной работе раскрыта полностью и содержит 14 слайдов по теме. Цель презентации - дать представление о функции и основных понятиях, связанных с ней; познакомить со способоми нахождения области определения и области значения функции, построении графика функции.

Презентация содержит не только теорию, но и практические задания.

Презентация ориентирована на проведение занятия с учениками девятого класса. Школьники могут самостоятельно изучать тему, углублять свои предметные знаний, готовиться к ГИА, просматривая данный материал на домашнем компьютере. Четкое изложение темы, использование доступных примеров помогут ученикам прочно усвоить урок.

Общая информация

Номер материала: 481254

Похожие материалы

infourok.ru

Алгебра (9 класс)/Квадратичная функция/Функция. Область определения и область значений функции

Теория

Функция

Функция —- зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y.

Переменную x называют независимой переменной или аргументом. Переменную y зависимой переменной, а также значениями функции. Записывают функцию так: y=f(x){\displaystyle y=f(x)} («игрек равно эф от икс»). Символом f(x){\displaystyle f(x)} также обозначают значение функции с аргументом x. f называют правило, по которому y зависит от x. Вместо f используют и другие буквы: g, φ и т.п.

Пример 1
Медицинский термометр

Когда вы измеряете температуру (своего тела), высота, на которую поднимется ртуть в градуснике, будет за

ru.wikiversity.org

Область определения функции - это... Что такое Область определения функции?

Область определения функции — множество, на котором задаётся функция.

Определение

Если задана функция, которая действует из одного множества в другое, то множество, из которого действует данная функция, называется областью определения.

Более формально, пусть задано отображение , которое отображает множество в , то есть: ; тогда

  • множество называется областью определения функции
  • и обозначается , или (от англ. domain «область»).

Обычно предполагается, что , из-за чего понятие области определения выглядит тавтологией: «область определения функции — это область, где определена функция». Для того, чтобы придать чёткий смысл данному понятию, рассматривается некоторое более широкое множество, которое называется областью отправления, и тогда область определения функции  — это такое подмножество множества (которое и есть область отправления функции), где для каждого элемента определено значение функции .

Этот факт коротко записывают в виде: .

Примеры

Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции. Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.

Числовые функции

Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:

  • вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида ;
  • а, также, комплекснозначные функции комплексного переменного это функции вида ,

где и  — множества вещественных и комплексных чисел соответственно.

Тождественное отображение

Область определения функции совпадает с областью отправления ( или ).

Гармоническая функция

Область определения функции : представляет собой комплексную плоскость без нуля

и не совпадает с областью отправления (вся комплексная плоскость).

Дробно-рациональные функции

Область определения дробно-рациональной функции вида

представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения

.

Эти точки называются полюсами функции .

Мера

Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества.

Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.

Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка.

Функционал

Пусть  — семейство отображений из множества в множество . Тогда можно определить отображение вида . Такое отображение называется функционалом.

Если, например, фиксировать некоторую точку , то можно определить функцию , которая принимает в «точке» то же значение, что и сама функция в точке .

См. также

Литература

  • Функция. Математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
  • Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
  • ISBN 5-02-014844-X
  • А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
  • А. Н. Колмогоров «Что такое функция» // «Квант». — М.: «Наука», 1970. — В. 1. — С. 27-36. — ISSN 0130-2221.

med.academic.ru