Обратная матрица и её свойства. Обратная матрица как найти


Как найти обратную матрицу

Как же найти обратную матрицу? Да вот так!

Обратную матрицу можно найти только у квадратной матрицы, т.е. у матрицы у которой количество строк совпадает с количеством столбцов. Обратная матрица существует, если определитель первоначальной матрицы не равен нулю.

Найдём обратную матрицу у матрицы:

Обратная матрица находится по формуле:

Где наша обратная матрица, detA - определитель матрицы, - транспонированная матрица алгебраических дополнений. С ней мы разберёмся немого позже.

Теперь найдём матрицу алгебраических дополнений - . Каждый элемент матрицы алгебраических дополнений находится по формуле - , m - номер строки, n - столбца, М - минор. Минор - это определитель подматрицы найденный путём вычёркивания строки/столбца.

Найдём миноры нашей матрицы:

Если возникли трудности с перменожением на еденицу в степени, то в конце можно просто поменять знаки у следующих элементов: + знак остаётся, - знак меняется.

Подставляем их в нашу матрицу и получаем матрицу алгебраических дополнений:

Трансформируем её в транспонированную матрицу алгебраических дополнений. Для этого переставим местами строки со столбцами:

Подставляем всё это в формулу и получаем нашу обратную матрицу:

Проверим правильность нашей матрицы. Для этого нам нужно умножить исходную матрицу с обратной. Если обратная матрица правильна, то должна получится единичная матрица. Делать какие-то действия с нашей обратной матрицей несколько неудобно, так как элементы в ней дроби. Поэтому возьмём матрицу еще не поделённую на наш определитель и умножим её. В конце просто поделим получившуюся матрицу на наш определитель.

Значит наша матрица правильна.

kak-reshit.su

Обратные матрицы - Как найти обратную матрицу

Каталин Дэвид

Матрица обратима, если ее определитель отличен от нуля. Если A - обратимая матрица, то обратная ей матрица есть $A^{-1}=\frac{1}{\left|A\right|} \cdot adj(A)$. $adj(A)$ - присоединённая матрица исходной матрицы A.

Вычисление обратной матрицы

  1. Вычисляем определитель матрицы.
  2. Записываем транспонированную матрицу.
  3. Заменяем каждый элемент транспонированной матрицы его алгебраическим дополнением. Полученная матрица является присоединённой матрицей.
  4. Вычисляем обратную матрицу.

Пример 46$A=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}$

$\left|A\right|=1\cdot 5-6=-1$Матрица обратима, значит, можно найти обратную ей матрицу.

$ A^{T}= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 5 \end{pmatrix}$

Заменяем элементы транспонированной матрицы их алгебраическими дополнениями.

$1\longrightarrow (-1)^{1+1}\cdot \Delta_{1,1}=(-1)^{2}\cdot5 = 5$$2\longrightarrow (-1)^{1+2}\cdot \Delta_{1,2}=(-1)^{3}\cdot3 = -3$$3\longrightarrow (-1)^{2+1}\cdot \Delta_{2,1}=(-1)^{3}\cdot2 = -2$$5\longrightarrow (-1)^{2+2}\cdot \Delta_{2,2}=(-1)^{4}\cdot1 = 1$

$adj(A)= \begin{pmatrix} 5 & -3\\ -2 & 1\\ \end{pmatrix}$

$A^{-1}=- \begin{pmatrix} 5 & -3\\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

Пример 47$B=\begin{pmatrix} 2 & -7\\ -1 & 6 \end{pmatrix}$

$\left|B\right|=2\cdot 6-(-7)\cdot (-1) = 5$

Матрица обратима, значит, можно найти обратную ей матрицу.$A^{T}= \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -7 & 6 \end{pmatrix}$

Заменяем элементы транспонированной матрицы их алгебраическими дополнениями.$2\longrightarrow (-1)^{1+1}\cdot \Delta_{1,1}=(-1)^{2}\cdot6 = 6$$-1\longrightarrow (-1)^{1+2}\cdot \Delta_{1,2}=(-1)^{3}\cdot(-7) = 7$$-7\longrightarrow (-1)^{2+1}\cdot \Delta_{2,1}=(-1)^{3}\cdot(-1) = 1$$6\longrightarrow (-1)^{2+2}\cdot \Delta_{2,2}=(-1)^{4}\cdot2 = 2$

$adj(A)= \begin{pmatrix} 6 & 7\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

$A^{-1}=\frac{1}{5} \begin{pmatrix} 6 & 7\\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{6}{5} & \frac{7}{5}\\ \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}$

Пример 48$C=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ 4 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ \end{pmatrix}$

Вычисляем определитель по известной формуле и получаем $\left|B\right|=-18$.

Матрица обратима, значит, можно найти обратную ей матрицу.$C^{T}=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 1\\ 3 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

Заменяем каждый элемент транспонированной матрицы его алгебраическим дополнением.$ 1\longrightarrow (-1)^{1+1}\cdot \Delta_{1,1}=(-1)^{2}\cdot \begin{vmatrix} 1 & 2\\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 2 = 1$

$4\longrightarrow (-1)^{1+2}\cdot \Delta_{1,2}=(-1)^{3}\cdot \begin{vmatrix} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{vmatrix} = -(9-4)=-5$

$1\longrightarrow (-1)^{1+3}\cdot \Delta_{1,3}=(-1)^{4}\cdot \begin{vmatrix} 3 & 1\\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3-2=1$

$3\longrightarrow (-1)^{2+1}\cdot \Delta_{2,1}=(-1)^{3}\cdot \begin{vmatrix} 4 & 1\\ 1 & 3\\ \end{vmatrix} = -(12-1)=-11$

$1\longrightarrow (-1)^{2+2}\cdot \Delta_{2,2}=$ $(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 2 & 3\\ \end{vmatrix}=3-2=1$

$2\longrightarrow (-1)^{1+3}\cdot \Delta_{2,3}=$ $(-1)^{5}\cdot\begin{vmatrix} 1 & 4\\ 2 & 1 \end{vmatrix}= -(1-8)=7$

$2\longrightarrow (-1)^{3+1}\cdot \Delta_{3,1}=$ $(-1)^{4}\cdot\begin{vmatrix} 4 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix}=8-1=7$

$1\longrightarrow (-1)^{3+2}\cdot \Delta_{3,2}=$ $(-1)^{5}\cdot \begin{vmatrix} 1 & 1\\ 3 & 2 \end{vmatrix}=-(2-3)=1$

$3\longrightarrow (-1)^{3+3}\cdot \Delta_{3,3}=$ $(-1)^{6}\cdot\begin{vmatrix} 1 & 4\\ 3 & 1 \end{vmatrix}=1-12=-11$

$adj(A)= \begin{pmatrix} 1 & -5 & 1\\ -11 & 1 & 7\\ 7 & 1 & -11 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = - \frac{1}{18}\cdot \begin{pmatrix} 1 & -5 & 1\\ -11 & 1 & 7\\ 7 & 1 & -11 \end{pmatrix} =$ $\begin{pmatrix} - \frac{1}{18} & \frac{5}{18} & -\frac{1}{18}\\ \frac{11}{18} & -\frac{1}{18} & -\frac{7}{18}\\ -\frac{7}{18} & -\frac{1}{18} & \frac{11}{18} \end{pmatrix}$

Свойства обратной матрицы

Если A - обратимая матрица, то:$A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A=I_{n}$

Пример 49$A=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}$

$A^{-1}= \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

$A\cdot A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} 1\cdot(-5)+3\cdot2 & 1\cdot3 + 3\cdot(-1)\\ 2\cdot(-5)+5\cdot2 & 2\cdot3 +5\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}= I_{2}$

$A^{-1}\cdot A= \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 5 \end{pmatrix}=$ $\begin{pmatrix} -5\cdot1 + 3\cdot2 & -5\cdot3 + 3\cdot 5\\ 2\cdot1 +(-1)\cdot2 & 2\cdot3 +(-1)\cdot5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I_{2}$

www.math10.com

Обратная матрица 3*3. Калькулятор

Как найти обратную матрицу подробно описано в предыдущих уроках. Напомню лишь последовательность вычислений:

  • находим определитель главной матрицы;
  • дальше вычисляем алгебраические дополнения к матрице;
  • последним шагом нужно транспонировать матрицу алгебраических дополнений и разделить на определитель.

Результатом вычислений и будет обратная матрица.

Ниже приведены примеры пошагового вычисления матрицы 3х3.

Пример 1. Найти обратную матрицуРешение: Вычисляем определитель матрицы 3 * 3 по правилу треугольниковОпределитель отличен от нуля, следовательно матрица А не вырожденная и существует обратная к ней.Алгебраические дополнения равны минорам умноженным на (-1) в степени суммы номера строки и столбца элемента матрицы.Для простоты можно использовать приведенную ниже схему знаков миноровМиноры равны определителю на единицу меньшего порядка чем матрица и образуются вычеркиванием строки и столбца на пересечении которых находится элемент. Более понятно станет с вычислений алгебраических дополненийИз найденных значений выписываем матрицу алгебраических дополненийТранспонирует ее чтобы получить присоединенную (союзное) матрицуНа этом этапе будьте внимательны - можно выполнить правильно приведенные выше вычисления и из-за неумения транспонировать получить неверный результат.Делим на определитель и получаем обратную матрицу

Найти обратную матрицу Вам поможет калькулятор обратной матрицы YukhymCalc. Для этого заходите в меню калькулятора и выбираете вычисления обратных матриц

Далее задаете размер матрицыи вводить элементы матрицы.

После вычислений Вы получите элементы матрицы дополнений

союзной матрицы, и обратной, а также определитель.

Все действия расписаны подробно в отдельном окне

и результаты вычислений можно сохранить в текстовый файлИспользуйте калькулятор для нахождения обратной матрицы и проверки правильности вычислений.

Пример 2. Найти обратную матрицу Решение: Вычисляем определитель матрицы разложив его по первой строке. Это довольно удобно так как имеем два элемента которые равны нулюАлгебраические дополнения находим воспользовавшись приведенной выше схемой знаков миноров Если в определителе строка или столбец содержит элементы = 0 то он равен 0.Записываем матрицу алгебраических дополненийПрисоединенную матрицу находим транспонированием найденнойНаходим обратную матрицу по известной формулеКалькулятор обратной матрицы дает следующий результат

Сравнением убеждаемся что обратную матрицу найдено правильно. Используйте приведенную методику в обучении и с опытом у Вас не будет проблем с обратной матрицей.

yukhym.com

Нахождение обратной матрицы | akak-ich.ru

Назад (Математика).

В этой статье подробно разбирается нахождение обратной матрицы, рассмотрено построение союзной и транспонированной матрицы алгебраических дополнений. Особое внимание уделяется решению примеров, в которых требуется построить обратную матрицу для заданной. Нахождение обратных матриц является важной частью курса математического анализа. Умение работать с матрицами поможет в решении многих задач. Без этого навыка будет достаточно сложно в дальнейшем. Например, в некоторых разделах экономики при помощи матриц производятся различные вычисления.

Прежде чем приступить к рассмотрению примеров на нахождение обратной матрицы, рассмотрим один важный вопрос. Что необходимо знать и уметь для успешного изучения данного материала? А именно:

1. Что такое детерминант (определитель) матрицы?

Определитель матрицы - многочлен от элементов матрицы. Определитель можно найти только у квадратной матрицы, то есть у матрицы, у которой число строк равняется числу столбцов. читать далее...

2. Что такое минор матрицы?

Если в матрице выделить несколько произвольных строк и столько же столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено k строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка k. Примечательно то, что это свойство применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным. подробнее...

3. Уметь вычислять транспонированную матрицу.

О том, как транспонировать матрицу, будет рассказано ниже в этой статье.

4. Уметь вычислять союзную матрицу.

Сама процедура нахождения обратной матрицы называется обращением матрицы. Обращение матрицы возможно только для квадратных матриц (например: 2*2, 3*3, 4*4).

Обратная матрица - A-1. Условие: A*A-1 = A-1*A = I (единичная матрица).

Если определитель матрицы окажется равным нулю, то обратной матрицы не существует. Матрица, определитель которой отличен от нуля, называется неособенной или невырожденной или обратимой.

Иногда студент получает простое задание - найти обратную для матрицы 2*2. Тут особого мастерства от него не требуется, и вот почему...

Чтобы найти обратную матрицу для матрицы 2*2, нужно число, обратное определителю матрицы (1/det), умножить на немного измененную исходную матрицу. А именно, в исходной матрице элементы главной диагонали переставляют местами, а у элементов побочной диагонали меняют знак:

Пример: найти обратную матрицу для матрицы 2*2:

Нахождение обратной матрицы для матриц 3*3, 4*4 и т.д. требует более углубленных знаний.

A-1 = 1/detA * CT, где CT - транспонированная союзная матрица.

Транспонирование - замена строк столбцами (AT = [aij=aji]).

Пример: транспонировать матрицу:

Решение:

Согласно определению, просто заменяем строки столбцами:

Союзная матрица - матрица, состоящая из алгебраических дополнений, соответствующих элементам исходной матрицы.

Алгебраическим дополнениемэлемента aij определителя называется его минор Mij, умноженный на (–1)i+j. Формула нахождения алгебраического дополнения элемента: Aij = (-1)i+j*Mij.

Пример: найти обратную матрицу:

Решение:

1. Найдем детерминант матрицы:

2. Найдем союзную матрицу:

Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца , а второй -- номер строки , в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение:

  1. A11 = (-1)1+1*0 = 0;
  2. A12 = (-1)1+2*(-2) = 2;
  3. A13 = (-1)1+3*(-3) = -3;
  4. A21 = (-1)2+1*(-6) = 6;
  5. A22 = (-1)2+2*4 = 4;
  6. A23 = (-1)2+3*6 = -6;
  7. A31 = (-1)3+1*0 = 0;
  8. A32 = (-1)3+2*4 = -4;
  9. A33 = (-1)3+3*3 = 3.

Транспонируем союзную матрицу:

Ну и, собственно, сам ответ - обратная матрица:

Нахождение обратной матрицы требует довольно громоздких вычислений и необычной расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.

akak-ich.ru

Как найти обратную матрицу

Наверное, никто не станет оспаривать тот факт, что нахождение обратных матриц представляет собой важнейшую часть курса математического анализа. Собственно говоря, представление об обратных матрицах поможет разобраться с решением множества задач, а также разработке множества программ. А потому, отсутствие навыка решения обратных матриц может привести к достаточно серьезным проблемам впоследствии. Так, например, некоторые разделы экономики подразумевают различные вычисление посредством матриц. В данной статье мы попробуем разобраться, как именно можно рассчитать обратную матрицу. Итак, приступим.

Обратная матрица: определение

На самом деле существует огромное количество методов расчета обратной матрицы. И зная хотя бы один из них безо всякого труда можно решить поставленную задачу.

Однако в первую очередь следует понять, что именно представляет собой обратная матрица. Возьмем, например, матрицу А, обратной к которой будет матрица В в том случае, если при умножении В на А получится единичная матрица. Кроме того, следует помнить, что лишь квадратная матрица, обладающая отличным от нуля определителем, может обладать обратной.

Каким образом можно найти обратную матрицу

Берем первый элемент верхней строки исходной матрицы и перемещаемся слева направо.

Мысленно удаляем содержащие данное число строку и столбец матрицы.

Считаем определитель уменьшенной матрицы.

Переписываем полученные результаты в другую матрицу. При этом следует помнить, что если выбор элементов исходной матрицы осуществлялся построчно, то их следует записывать в столбцы новой матрицы.

Поменяйте знак у элементов, сумма индексов которых является нечетной. Как видим, замена осуществляется через один знак, причем, если говорить точнее, то знак элемента обратной матрицы определяется возведением числа (-1) в степень, равную сумме индексов.Найденная матрица и будет считаться обратной к исходной.

Метод Гауса

Рассмотрим еще один достаточно простой способ нахождения обратной матрицы, а именно – метод Гауса.

Справа от исходной матрицы запишите единичную матрицу.

Произведите эквивалентные преобразования строк исходной матрицы так, чтобы она трансформировалась в единичную.Проделайте те же преобразования и с записанной справа матрицей.

После того, как приведете исходную матрицу к единичной, рядом получите обратную.

Как видим, найти обратную матрицу достаточно просто – приложите чуть-чуть усилий, и результат превзойдет все ваши ожидания!

Поделитесь, пожалуйста:

find-the-answer.ru

Обратная матрица

15 февраля 2018

Эта тема является одной из самых ненавистных среди студентов. Хуже, наверное, только определители.

Фишка в том, что само понятие обратного элемента (и я сейчас не только о матрицах) отсылает нас к операции умножения. Даже в школьной программе умножение считается сложной операцией, а уж умножение матриц — вообще отдельная тема, которой у меня посвящён целый параграф и видеоурок.

Сегодня мы не будем вдаваться в подробности матричных вычислений. Просто вспомним: как обозначаются матрицы, как они умножаются и что из этого следует.

Повторение: умножение матриц

Прежде всего договоримся об обозначениях. Матрицей $A$ размера $\left[ m\times n \right]$ называется просто таблица из чисел, в которой ровно $m$ строк и $n$ столбцов:

\[A=\left[ m\times n \right]=\underbrace{\left[ \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & ... & {{a}_{1n}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & ... & {{a}_{2n}} \\ ... & ... & ... & ... \\ {{a}_{m1}} & {{a}_{m2}} & ... & {{a}_{mn}} \\\end{matrix} \right]}_{n}\]

Чтобы случайно не перепутать строки и столбцы местами (поверьте, на экзамене можно и единицу с двойкой перепутать — что уж говорить про какие-то там строки), просто взгляните на картинку:

Определение индексов для клеток матрицы

Что происходит? Если разместить стандартную систему координат $OXY$ в левом верхнем углу и направить оси так, чтобы они охватывали всю матрицу, то каждой клетке этой матрицы можно однозначно сопоставить координаты $\left( x;y \right)$ — это и будет номер строки и номер столбца.

Почему система координат размещена именно в левом верхнем углу? Да потому что именно оттуда мы начинаем читать любые тексты. Это очень просто запомнить.

А почему ось $x$ направлена именно вниз, а не вправо? Опять всё просто: возьмите стандартную систему координат (ось $x$ идёт вправо, ось $y$ — вверх) и поверните её так, чтобы она охватывала матрицу. Это поворот на 90 градусов по часовой стрелке — его результат мы и видим на картинке.

В общем, как определять индексы у элементов матрицы, мы разобрались. Теперь давайте разберёмся с умножением.

Определение. Матрицы $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$, когда количество столбцов в первой совпадает с количеством строк во второй, называются согласованными.

Именно в таком порядке. Можно сумничать и сказать, мол, матрицы $A$ и $B$ образуют упорядоченную пару $\left( A;B \right)$: если они согласованы в таком порядке, то совершенно необязательно, что $B$ и $A$, т.е. пара $\left( B;A \right)$ — тоже согласована.

Умножать можно только согласованные матрицы.

Определение. Произведение согласованных матриц $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$ — это новая матрица $C=\left[ m\times k \right]$, элементы которой ${{c}_{ij}}$ считаются по формуле:

\[{{c}_{ij}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{a}_{ik}}}\cdot {{b}_{kj}}\]

Другими словами: чтобы получить элемент ${{c}_{ij}}$ матрицы $C=A\cdot B$, нужно взять $i$-строку первой матрицы, $j$-й столбец второй матрицы, а затем попарно перемножить элементы из этой строки и столбца. Результаты сложить.

Да, вот такое суровое определение. Из него сразу следует несколько фактов:

  1. Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
  2. Однако умножение ассоциативно: $\left( A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left( B\cdot C \right)$;
  3. И даже дистрибутивно: $\left( A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
  4. И ещё раз дистрибутивно: $A\cdot \left( B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Дистрибутивность умножения пришлось отдельно описывать для левого и правого множителя-суммы как раз из-за некоммутативности операции умножения.

Если всё же получается так, что $A\cdot B=B\cdot A$, такие матрицы называются перестановочными.

Среди всех матриц, которые там на что-то умножаются, есть особые — те, которые при умножении на любую матрицу $A$ снова дают $A$:

Определение. Матрица $E$ называется единичной, если $A\cdot E=A$ или $E\cdot A=A$. В случае с квадратной матрицей $A$ можем записать:

\[A\cdot E=E\cdot A=A\]

Единичная матрица — частый гость при решении матричных уравнений. И вообще частый гость в мире матриц.:)

А ещё из-за этой $E$ кое-кто придумал всю ту дичь, которая будет написана дальше.

Что такое обратная матрица

Поскольку умножение матриц — весьма трудоёмкая операция (приходится перемножать кучу строчек и столбцов), то понятие обратной матрицы тоже оказывается не самым тривиальным. И требующим некоторых пояснений.

Ключевое определение

Что ж, пора познать истину.

Определение. Матрица $B$ называется обратной к матрице $A$, если

\[A\cdot B=B\cdot A=E\]

Обратная матрица обозначается через ${{A}^{-1}}$ (не путать со степенью!), поэтому определение можно переписать так:

\[A\cdot {{A}^{-1}}={{A}^{-1}}\cdot A=E\]

Казалось бы, всё предельно просто и ясно. Но при анализе такого определения сразу возникает несколько вопросов:

  1. Всегда ли существует обратная матрица? И если не всегда, то как определить: когда она существует, а когда — нет?
  2. А кто сказал, что такая матрица ровно одна? Вдруг для некоторой исходной матрицы $A$ найдётся целая толпа обратных?
  3. Как выглядят все эти «обратные»? И как, собственно, их считать?

Насчёт алгоритмов вычисления — об этом мы поговорим чуть позже. Но на остальные вопросы ответим прямо сейчас. Оформим их в виде отдельных утверждений-лемм.

Основные свойства

Начнём с того, как в принципе должна выглядеть матрица $A$, чтобы для неё существовала ${{A}^{-1}}$. Сейчас мы убедимся в том, что обе эти матрицы должны быть квадратными, причём одного размера: $\left[ n\times n \right]$.

Лемма 1. Дана матрица $A$ и обратная ей ${{A}^{-1}}$. Тогда обе эти матрицы — квадратные, причём одинакового порядка $n$.

Доказательство. Всё просто. Пусть матрица $A=\left[ m\times n \right]$, ${{A}^{-1}}=\left[ a\times b \right]$. Поскольку произведение $A\cdot {{A}^{-1}}=E$ по определению существует, матрицы $A$ и ${{A}^{-1}}$ согласованы в указанном порядке:

\[\begin{align} & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end{align}\]

Это прямое следствие из алгоритма перемножения матриц: коэффициенты $n$ и $a$ являются «транзитными» и должны быть равны.

Вместе с тем определено и обратное умножение: ${{A}^{-1}}\cdot A=E$, поэтому матрицы ${{A}^{-1}}$ и $A$ тоже согласованы в указанном порядке:

\[\begin{align} & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end{align}\]

Таким образом, без ограничения общности можем считать, что $A=\left[ m\times n \right]$, ${{A}^{-1}}=\left[ n\times m \right]$. Однако согласно определению $A\cdot {{A}^{-1}}={{A}^{-1}}\cdot A$, поэтому размеры матриц строго совпадают:

\[\begin{align} & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end{align}\]

Вот и получается, что все три матрицы — $A$, ${{A}^{-1}}$ и $E$ — являются квадратными размером $\left[ n\times n \right]$. Лемма доказана.

Что ж, уже неплохо. Мы видим, что обратимыми бывают лишь квадратные матрицы. Теперь давайте убедимся, что обратная матрица всегда одна.

Лемма 2. Дана матрица $A$ и обратная ей ${{A}^{-1}}$. Тогда эта обратная матрица — единственная.

Доказательство. Пойдём от противного: пусть у матрицы $A$ есть хотя бы два экземпляра обратных —$B$ и $C$. Тогда, согласно определению, верны следующие равенства:

\[\begin{align} & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end{align}\]

Из леммы 1 мы заключаем, что все четыре матрицы — $A$, $B$, $C$ и $E$ — являются квадратными одинакового порядка: $\left[ n\times n \right]$. Следовательно, определено произведение:

\[B\cdot A\cdot C\]

Поскольку умножение матриц ассоциативно (но не коммутативно!), мы можем записать:

\[\begin{align} & B\cdot A\cdot C=\left( B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left( A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \end{align}\]

Получили единственно возможный вариант: два экземпляра обратной матрицы равны. Лемма доказана.

Приведённые рассуждения почти дословно повторяют доказательство единственность обратного элемента для всех действительных чисел $b\ne 0$. Единственное существенное дополнение — учёт размерности матриц.

Впрочем, мы до сих пор ничего не знаем о том, всякая ли квадратная матрица является обратимой. Тут нам на помощь приходит определитель — это ключевая характеристика для всех квадратных матриц.

Лемма 3. Дана матрица $A$. Если обратная к ней матрица ${{A}^{-1}}$ существует, то определитель исходной матрицы отличен от нуля:

\[\left| A \right|\ne 0\]

Доказательство. Мы уже знаем, что $A$ и ${{A}^{-1}}$ — квадратные матрицы размера $\left[ n\times n \right]$. Следовательно, для каждой из них можно вычислить определитель: $\left| A \right|$ и $\left| {{A}^{-1}} \right|$. Однако определитель произведения равен произведению определителей:

\[\left| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot {{A}^{-1}} \right|=\left| A \right|\cdot \left| {{A}^{-1}} \right|\]

Но согласно определению $A\cdot {{A}^{-1}}=E$, а определитель $E$ всегда равен 1, поэтому

\[\begin{align} & A\cdot {{A}^{-1}}=E; \\ & \left| A\cdot {{A}^{-1}} \right|=\left| E \right|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| {{A}^{-1}} \right|=1. \\ \end{align}\]

Произведение двух чисел равно единице только в том случае, когда каждое из этих чисел отлично от нуля:

\[\left| A \right|\ne 0;\quad \left| {{A}^{-1}} \right|\ne 0.\]

Вот и получается, что $\left| A \right|\ne 0$. Лемма доказана.

На самом деле это требование вполне логично. Сейчас мы разберём алгоритм нахождения обратной матрицы — и станет совершенно ясно, почему при нулевом определителе никакой обратной матрицы в принципе не может существовать.

Но для начала сформулируем «вспомогательное» определение:

Определение. Вырожденная матрица — это квадратная матрица размера $\left[ n\times n \right]$, чей определитель равен нулю.

Таким образом, мы можем утверждать, что всякая обратимая матрица является невырожденной.

Как найти обратную матрицу

Сейчас мы рассмотрим универсальный алгоритм нахождения обратных матриц. Вообще, существует два общепринятых алгоритма, и второй мы тоже сегодня рассмотрим.

Тот, который будет рассмотрен сейчас, очень эффективен для матриц размера $\left[ 2\times 2 \right]$ и — частично — размера $\left[ 3\times 3 \right]$. А вот начиная с размера $\left[ 4\times 4 \right]$ его лучше не применять. Почему — сейчас сами всё поймёте.

Алгебраические дополнения

Готовьтесь. Сейчас будет боль. Нет, не переживайте: к вам не идёт красивая медсестра в юбке, чулках с кружевами и не сделает укол в ягодицу. Всё куда прозаичнее: к вам идут алгебраические дополнения и Её Величество «Союзная Матрица».

Начнём с главного. Пусть имеется квадратная матрица размера $A=\left[ n\times n \right]$, элементы которой именуются ${{a}_{ij}}$. Тогда для каждого такого элемента можно определить алгебраическое дополнение:

Определение. Алгебраическое дополнение ${{A}_{ij}}$ к элементу ${{a}_{ij}}$, стоящего в $i$-й строке и $j$-м столбце матрицы $A=\left[ n\times n \right]$ — это конструкция вида

\[{{A}_{ij}}={{\left( -1 \right)}^{i+j}}\cdot M_{ij}^{*}\]

Где $M_{ij}^{*}$ — определитель матрицы, полученной из исходной $A$ вычёркиванием той самой $i$-й строки и $j$-го столбца.

Ещё раз. Алгебраическое дополнение к элементу матрицы с координатами $\left( i;j \right)$ обозначается как ${{A}_{ij}}$ и считается по схеме:

  1. Сначала вычёркиваем из исходной матрицы $i$-строчку и $j$-й столбец. Получим новую квадратную матрицу, и её определитель мы обозначаем как $M_{ij}^{*}$.
  2. Затем умножаем этот определитель на ${{\left( -1 \right)}^{i+j}}$ — поначалу это выражение может показаться мозговыносящим, но по сути мы просто выясняем знак перед $M_{ij}^{*}$.
  3. Считаем — получаем конкретное число. Т.е. алгебраическое дополнение — это именно число, а не какая-то новая матрица и т.д.

Саму матрицу $M_{ij}^{*}$ называют дополнительным минором к элементу ${{a}_{ij}}$. И в этом смысле приведённое выше определение алгебраического дополнения является частным случаем более сложного определения — того, что мы рассматривали в уроке про определитель.

Важное замечание. Вообще-то во «взрослой» математике алгебраические дополнения определяются так:

  1. Берём в квадратной матрице $k$ строчек и $k$ столбцов. На их пересечении получится матрица размера $\left[ k\times k \right]$ — её определитель называется минором порядка $k$ и обозначается ${{M}_{k}}$.
  2. Затем вычёркиваем эти «избранные» $k$ строчек и $k$ столбцов. Снова получится квадратная матрица — её определитель называется дополнительным минором и обозначается $M_{k}^{*}$.
  3. Умножаем $M_{k}^{*}$ на ${{\left( -1 \right)}^{t}}$, где $t$ — это (вот сейчас внимание!) сумма номеров всех выбранных строчек и столбцов. Это и будет алгебраическое дополнение.

Взгляните на третий шаг: там вообще-то сумма $2k$ слагаемых! Другое дело, что для $k=1$ мы получим лишь 2 слагаемых — это и будут те самые $i+j$ — «координаты» элемента ${{a}_{ij}}$, для которого мы ищем алгебраическое дополнение.

Таким образом сегодня мы используем слегка упрощённое определение. Но как мы увидим в дальнейшем, его окажется более чем достаточно. Куда важнее следующая штука:

Определение. Союзная матрица $S$ к квадратной матрице $A=\left[ n\times n \right]$ — это новая матрица размера $\left[ n\times n \right]$, которая получается из $A$ заменой ${{a}_{ij}}$ алгебраическими дополнениями ${{A}_{ij}}$:

\[A=\left[ \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & ... & {{a}_{1n}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & ... & {{a}_{2n}} \\ ... & ... & ... & ... \\ {{a}_{n1}} & {{a}_{n2}} & ... & {{a}_{nn}} \\\end{matrix} \right]\Rightarrow S=\left[ \begin{matrix} {{A}_{11}} & {{A}_{12}} & ... & {{A}_{1n}} \\ {{A}_{21}} & {{A}_{22}} & ... & {{A}_{2n}} \\ ... & ... & ... & ... \\ {{A}_{n1}} & {{A}_{n2}} & ... & {{A}_{nn}} \\\end{matrix} \right]\]

Первая мысль, возникающая в момент осознания этого определения — «это сколько же придётся всего считать!» Расслабьтесь: считать придётся, но не так уж и много.:)

Что ж, всё это очень мило, но зачем это нужно? А вот зачем.

Основная теорема

Вернёмся немного назад. Помните, в Лемме 3 утверждалось, что обратимая матрица $A$ всегда не вырождена (т.е. её определитель отличен от нуля: $\left| A \right|\ne 0$).

Так вот, верно и обратное: если матрица $A$ не вырождена, то она всегда обратима. И даже существует схема поиска ${{A}^{-1}}$. Зацените:

Теорема об обратной матрице. Пусть дана квадратная матрица $A=\left[ n\times n \right]$, причём её определитель отличен от нуля: $\left| A \right|\ne 0$. Тогда обратная матрица ${{A}^{-1}}$ существует и считается по формуле:

\[{{A}^{-1}}=\frac{1}{\left| A \right|}\cdot {{S}^{T}}\]

А теперь — всё то же самое, но разборчивым почерком. Чтобы найти обратную матрицу, нужно:

  1. Посчитать определитель $\left| A \right|$ и убедиться, что он отличен от нуля.
  2. Составить союзную матрицу $S$, т.е. посчитать 100500 алгебраических дополнений ${{A}_{ij}}$ и расставить их на месте ${{a}_{ij}}$.
  3. Транспонировать эту матрицу $S$, а затем умножить её на некое число $q={1}/{\left| A \right|}\;$.

И всё! Обратная матрица ${{A}^{-1}}$ найдена. Давайте посмотрим на примеры:

Задача. Найдите обратную матрицу:

\[\left[ \begin{matrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end{matrix} \right]\]

Решение. Проверим обратимость. Посчитаем определитель:

\[\left| A \right|=\left| \begin{matrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\end{matrix} \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Определитель отличен от нуля. Значит, матрица обратима. Составим союзную матрицу:

\[S=\left[ \begin{matrix} {{A}_{11}} & {{A}_{12}} \\ {{A}_{21}} & {{A}_{22}} \\\end{matrix} \right]\]

Посчитаем алгебраические дополнения:

\[\begin{align} & {{A}_{11}}={{\left( -1 \right)}^{1+1}}\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & {{A}_{12}}={{\left( -1 \right)}^{1+2}}\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & {{A}_{21}}={{\left( -1 \right)}^{2+1}}\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & {{A}_{22}}={{\left( -1 \right)}^{2+2}}\cdot \left| 3 \right|=3. \\ \end{align}\]

Обратите внимание: определители |2|, |5|, |1| и |3| — это именно определители матриц размера $\left[ 1\times 1 \right]$, а не модули. Т.е. если в определителях стояли отрицательные числа, убирать «минус» не надо.

Итого наша союзная матрица выглядит так:

\[S=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end{array} \right]\]

Осталось посчитать обратную:

\[{{A}^{-1}}=\frac{1}{\left| A \right|}\cdot {{S}^{T}}=\frac{1}{1}\cdot {{\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end{array} \right]}^{T}}=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end{array} \right]\]

Ну вот и всё. Задача решена.

Ответ. $\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end{array} \right]$

Задача. Найдите обратную матрицу:

\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\]

Решение. Опять считаем определитель:

\[\begin{align} & \left| \begin{array}{*{35}{r}} 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end{array} \right|=\begin{matrix} \left( 1\cdot 2\cdot 1+\left( -1 \right)\cdot \left( -1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left( 2\cdot 2\cdot 1+\left( -1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left( -1 \right)\cdot 0 \right) \\\end{matrix}= \\ & =\left( 2+1+0 \right)-\left( 4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end{align}\]

Определитель отличен от нуля — матрица обратима. А вот сейчас будет самая жесть: надо посчитать аж 9 (девять, мать их!) алгебраических дополнений. И каждое из них будет содержать определитель $\left[ 2\times 2 \right]$. Полетели:

\[\begin{matrix} {{A}_{11}}={{\left( -1 \right)}^{1+1}}\cdot \left| \begin{matrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right|=2; \\ {{A}_{12}}={{\left( -1 \right)}^{1+2}}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end{matrix} \right|=-1; \\ {{A}_{13}}={{\left( -1 \right)}^{1+3}}\cdot \left| \begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\end{matrix} \right|=-2; \\ ... \\ {{A}_{33}}={{\left( -1 \right)}^{3+3}}\cdot \left| \begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end{matrix} \right|=2; \\ \end{matrix}\]

Короче, союзная матрица будет выглядеть так:

\[S=\left[ \begin{matrix} 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end{matrix} \right]\]

Следовательно, обратная матрица будет такой:

\[{{A}^{-1}}=\frac{1}{-1}\cdot \left[ \begin{matrix} 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end{array} \right]\]

Ну и всё. Вот и ответ.

Ответ. $\left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end{array} \right]$

Как видите, в конце каждого примера мы выполняли проверку. В связи с этим важное замечание:

Не ленитесь выполнять проверку. Умножьте исходную матрицу на найденную обратную — должна получиться $E$.

Выполнить эту проверку намного проще и быстрее, чем искать ошибку в дальнейших вычислениях, когда, например, вы решаете матричное уравнение.

Альтернативный способ

Как я и говорил, теорема об обратной матрице прекрасно работает для размеров $\left[ 2\times 2 \right]$ и $\left[ 3\times 3 \right]$ (в последнем случае — уже не так уж и «прекрасно»), а вот для матриц больших размеров начинается прям печаль.

Но не переживайте: есть альтернативный алгоритм, с помощью которого можно невозмутимо найти обратную хоть для матрицы $\left[ 10\times 10 \right]$. Но, как это часто бывает, для рассмотрения этого алгоритма нам потребуется небольшая теоретическая вводная.

Элементарные преобразования

Среди всевозможных преобразований матрицы есть несколько особых — их называют элементарными. Таких преобразований ровно три:

  1. Умножение. Можно взять $i$-ю строку (столбец) и умножить её на любое число $k\ne 0$;
  2. Сложение. Прибавить к $i$-й строке (столбцу) любую другую $j$-ю строку (столбец), умноженную на любое число $k\ne 0$ (можно, конечно, и $k=0$, но какой в этом смысл? Ничего не изменится же).
  3. Перестановка. Взять $i$-ю и $j$-ю строки (столбцы) и поменять местами.

Почему эти преобразования называются элементарными (для больших матриц они выглядят не такими уж элементарными) и почему их только три — эти вопросы выходят за рамки сегодняшнего урока. Поэтому не будем вдаваться в подробности.

Важно другое: все эти извращения нам предстоит выполнять над присоединённой матрицей. Да, да: вы не ослышались. Сейчас будет ещё одно определение — последнее в сегодняшнем уроке.

Присоединённая матрица

Наверняка в школе вы решали системы уравнений методом сложения. Ну, там, вычесть из одной строки другую, умножить какую-то строку на число — вот это вот всё.

Так вот: сейчас будет всё то же, но уже «по-взрослому». Готовы?

Определение. Пусть дана матрица $A=\left[ n\times n \right]$ и единичная матрица $E$ такого же размера $n$. Тогда присоединённая матрица $\left[ A\left| E \right. \right]$ — это новая матрица размера $\left[ n\times 2n \right]$, которая выглядит так:

\[\left[ A\left| E \right. \right]=\left[ \begin{array}{rrrr|rrrr}{{a}_{11}} & {{a}_{12}} & ... & {{a}_{1n}} & 1 & 0 & ... & 0 \\{{a}_{21}} & {{a}_{22}} & ... & {{a}_{2n}} & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\{{a}_{n1}} & {{a}_{n2}} & ... & {{a}_{nn}} & 0 & 0 & ... & 1 \\\end{array} \right]\]

Короче говоря, берём матрицу $A$, справа приписываем к ней единичную матрицу $E$ нужного размера, разделяем их вертикальной чертой для красоты — вот вам и присоединённая.:)

В чём прикол? А вот в чём:

Теорема. Пусть матрица $A$ обратима. Рассмотрим присоединённую матрицу $\left[ A\left| E \right. \right]$. Если с помощью элементарных преобразований строк привести её к виду $\left[ E\left| B \right. \right]$, т.е. путём умножения, вычитания и перестановки строк получить из $A$ матрицу $E$ справа, то полученная слева матрица $B$ — это обратная к $A$:

\[\left[ A\left| E \right. \right]\to \left[ E\left| B \right. \right]\Rightarrow B={{A}^{-1}}\]

Вот так всё просто! Короче говоря, алгоритм нахождения обратной матрицы выглядит так:

  1. Записать присоединённую матрицу $\left[ A\left| E \right. \right]$;
  2. Выполнять элементарные преобразования строк до тех пор, пока права вместо $A$ не появится $E$;
  3. Разумеется, слева тоже что-то появится — некая матрица $B$. Это и будет обратная;
  4. PROFIT!:)

Конечно, сказать намного проще, чем сделать. Поэтому давайте рассмотрим парочку примеров: для размеров $\left[ 3\times 3 \right]$ и $\left[ 4\times 4 \right]$.

Задача. Найдите обратную матрицу:

\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end{array} \right]\]

Решение. Составляем присоединённую матрицу:

\[\left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\]

Поскольку последний столбец исходной матрицы заполнен единицами, вычтем первую строку из остальных:

\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]

Больше единиц нет, кроме первой строки. Но её мы не трогаем, иначе в третьем столбце начнут «размножаться» только что убранные единицы.

Зато можем вычесть вторую строку дважды из последней — получим единицу в левом нижнем углу:

\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} \ \\ \downarrow \\ -2 \\\end{matrix}\to \\ & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]

Теперь можно вычесть последнюю строку из первой и дважды из второй — таким образом мы «занулим» первый столбец:

\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} -1 \\ -2 \\ \uparrow \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]

Умножим вторую строку на −1, а затем вычтем её 6 раз из первой и прибавим 1 раз к последней:

\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} \ \\ \left| \cdot \left( -1 \right) \right. \\ \ \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrr|rrr} 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]

Осталось лишь поменять местами строки 1 и 3:

\[\left[ \begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\\end{array} \right]\]

Готово! Справа — искомая обратная матрица.

Ответ. $\left[ \begin{array}{*{35}{r}}4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end{array} \right]$

Задача. Найдите обратную матрицу:

\[\left[ \begin{matrix} 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\end{matrix} \right]\]

Решение. Снова составляем присоединённую:

\[\left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\]

Немного позалимаем, попечалимся от того, сколько сейчас придётся считать... и начнём считать. Для начала «обнулим» первый столбец, вычитая строку 1 из строк 2 и 3:

\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]

Наблюдаем слишком много «минусов» в строках 2—4. Умножим все три строки на −1, а затем «выжжем» третий столбец, вычитая строку 3 из остальных:

\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} \ \\ \left| \cdot \left( -1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left( -1 \right) \right. \\ \left| \cdot \left( -1 \right) \right. \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]

Теперь самое время «поджарить» последний столбец исходной матрицы: вычитаем строку 4 из остальных:

\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]

Финальный бросок: «выжигаем» второй столбец, вычитая строку 2 из строки 1 и 3:

\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{array} \right]\begin{matrix} 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \ \\\end{matrix}\to \\ & \to \left[ \begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{array} \right] \\ \end{align}\]

И снова слева единичная матрица, значит справа — обратная.:)

Ответ. $\left[ \begin{matrix} 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & -1 \\\end{matrix} \right]$

Ну вот и всё. Проверку сделайте сами — мне в лом.:)

Смотрите также:

  1. Как считать определитель матрицы
  2. Угол между двумя прямыми
  3. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (средний)
  4. Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
  5. Тест по методу интервалов для строгих неравенств
  6. Формула простого процента: как найти исходное значение

www.berdov.com

Как найти обратную матрицу

Разберем как найти обратную матрицу.Если умножить матрицу на обратную ей, то получают единичную матрицу.Чтобы научиться находить обратную матрицу нужно уметь решать определители.Обратную матрицу можно найти двумя способами:

  1. Используя алгебраические дополнения.
  2. Используя элементарные преобразования.

Более простым является первый способ, который мы рассмотрим.Обратим внимание, что обратная матрица существует только для квадратных матриц.Квадратная матрица, как и обратное число, обозначается с  помощью степени -1, то есть .Рассмотрим самый простой случай — квадратную матрицу два на два.

Пример.К матрице найдем обратную матрицу.

Решение.

  1. Найдем определитель матрицы:

   

Анализируем результат:— при определителе матрицы равном нулю обратная матрица существовать не будет.

  1. Найдем матрицу миноров:

   

  1. Найдем матрицу алгебраических дополнений. Для этого в матрице миноров меняем знаки у двух чисел:

   

  1. Найдем транспонированную матрицу для матрицы алгебраических дополнений:

   

  1. Подставим в формулу для вычисления обратной матрицы все найденные значения:

   

Ответ. .

ru.solverbook.com