Математика, которая мне нравится. Периодические функции


Периодическая функция | Алгебра

Периодическая функция — это функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям её аргумента некоторого числа T (отличного от нуля).

Определение

Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое число T≠0, что для любого x из области определения этой функции выполняются равенства:

f(x-T)= f(x)=f(x+T).

Число T называют периодом функции y=f(x).

Из определения следует, что значения x-T и x+T также входят в область определения функции y=f(x).

Свойства периодических функций

  1. Если число T является периодом функции y=f(x), то и число  -T также является периодом этой функции.
  2. Если числа T1 и T2 являются периодами функции y=f(x) и T1+T2≠0, то и число T1+T2 также является периодом функции y=f(x).
  3. Если число T является периодом функции y=f(x), то и любое число вида nT, где n∈Ζ и n≠0 также является периодом этой функции.
  4. Если число T является периодом функции y=f(x), то число T/k является периодом функции y=f(kx+b) (где k≠0).
  5. Если число T является периодом функции y=f(x) и функции y=g(x), то сумма, разность, произведение и частное этих функций являются периодическими функциями с тем же периодом T.

Доказательство:

1) По определению периодической функции для любого x из области определения y=f(x) если T — период функции, то f(x-T)= f(x)=f(x+T).

Вместо каждого T подставим в это равенство -T:

f(x-(-T))= f(x)=f(x+(-T)), откуда

f(x+T)=f(x)=f(x-T), то есть -T также является периодом функции y=f(x).

2) Для любого x из области определения y=f(x) если T1 — период функции, то

f(x-T1)= f(x)=f(x+T1).

Так как T2 также является периодом функции y=f(x), то для аргумента x-T1

f((x-T1)-T2)=f(x-T1),

f(x-(T1+T2))=f(x-T1)=f(x).

Для аргумента x+T1

f(x+T1)=f((x+T1)+T2),

f(x)=f(x+T1)=f(x+(T1+T2)).

Таким образом, f(x-(T1+T2))=f(x)=f(x+(T1+T2)).

Следовательно, число T1+T2 является периодом функции y=f(x).

3) Это свойство непосредственно вытекает из свойства 2, если T взять в качестве слагаемого n раз.

4) Если T — период функции f(x), то для аргумента kx+b

f((kx+b)-T)=f(kx+b)=f((kx+b)+T),

f((kx-T)+b))=f(kx+b)=f((kx+T)+b),

   

   

Значит число T/k — период функции f(kx+b).

5) Эти свойства следуют непосредственно из определения.

Например, для суммы f(x) и g(x):

f(x-T)+g(x-T)=f(x)+g(x)=f(x+T)+g(x+T).

 

Из свойства 3 следует, что каждая периодическая функция имеет бесконечно много периодов.

Если среди всех периодов функции y=f(x) существует наименьший положительный период, то его называют главным (или основным) периодом функции.

 

Примеры периодических функций

1) Поскольку для любого x выполняются равенства

sin (x-2π)=sin x = sin (x-2π),

cos (x-2π)=cos x = cos (x-2π),

то функции y=sin x и y=cos x являются периодическими с периодом T=2π.

2) Так как для любого x из области определения функции y=tg x выполняется равенство

tg (x-π)=tg x =tg (x-π), то y=tg x — периодическая функция с периодом T=π.

Аналогично, y=ctg x — периодическая функция с периодом T=π.

3) Так как для любого действительного числа x и любого рационального числа k выполняется равенство D(x+k)=D(x), то функция Дирихле D(x) — периодическая с периодом T=k, где k∈Q, k≠0.

Поскольку k — любое рациональное число, невозможно его указать наименьшее положительное значение. Следовательно, функция Дирихле не имеет главного периода.

4) Рассмотрим частный случай линейной функции y=b, b — действительное число (b∈R). Эта функция определена на множестве действительных чисел и при любых значениях аргумента принимает единственное значение y=b, то есть для любого действительного числа m (m∈R), y(x)=y(x+m)=b.

Значит y=b — периодическая функция с периодом T=m, где m∈R, m≠0.

Так как m — любое действительное число, оно не имеет наименьшего положительного значения. Поэтому функция y=b не имеет главного периода.

5) Так как для любого действительного x и любого целого k выполняется равенство {x+k}={x}, то функция дробной части числа y={x} — периодическая с периодом T=k, где k∈Ζ, k≠0.

Наименьшим положительным целым числом является единица. Следовательно, T=1 — главный период функции y={x}.

 

Утверждения

Главный период функций y=sin x и y=cos x T=2π.

Главный период функций y=tg x и y=ctg x T=π.

Доказательство:

Если T — период функции y=sin x, то sin (x-2π)=sin x = sin (x-2π) для любого x.

В частности, при x= -T/2:

   

и, поскольку

   

получаем

   

Отсюда

   

   

   

Так как

   

   

   

То есть любой период функции y=sin x имеет вид 2πn, n∈Z.

Наименьшее положительное значение это выражение принимает при n=1 и оно равно T=2π.

Таким образом, 2π — главный период функции y=sin x.

Аналогично доказываются утверждения о главном периоде функций y=cos x, y=tg x и y=ctg x.

 

Из 4-го свойства периодических функций непосредственно следует, что для функций y=sin (kx+b) и y=cos (kx+b) (k≠0) наименьший положительный период

   

а для функций y=tg (kx+b) и y=ctg (kx+b) (k≠0) наименьший положительный период

   

 

График периодической функции повторяется через промежутки длиной T (на оси Ox).

Поэтому периодичность функции используют для построения графика: достаточно построить часть графика на любом промежутке, длина которого равна величине наименьшего положительного периода T (например, на отрезке [0;T]), а затем выполнить параллельный перенос построенной части вдоль оси Ox на ±T, ±2T, ±3T, … .

Пример.

 

Дана часть графика

периодической функции

с периодом T на

промежутке длиной T.

 

 

Чтобы построить график функции, выполняем параллельный перенос этой части графика вдоль оси Ox на ±T, ±2T,… :

www.algebraclass.ru

Периодические функции | Математика, которая мне нравится

Определение. Число T называется периодом функции , если и .

Если числа и принадлежат и , то .

Определение. Функция называется периодической, если у нее есть период, не равный нулю.

Примеры.

1) , , .

Любое целое число является периодом этой функции.

2) ,

,

,

.

Число является периодом любой из этих функций.

Теорема. Если — периоды функции , то — тоже периоды .

Доказательство. Пусть . Тогда

   

   

Аналогично доказывается, что — период.

Следствие. Если — период , , то — период .

Определение. Наименьший из всех положительных периодов функции называется главным периодом этой функции.

Постоянная функция периодична, но не имеет главного периода.

Функция Дирихле

   

Любое рациональное число является периодом функции Дирихле.

Теорема. Если — главный период функции , то любой ее период имеет вид , где .

Доказательство. Пусть — произвольный период функции и пусть . Тогда

   

является периодом функции . Если бы было , то было бы положительным периодом, меньшим . Это противоречит тому, что — главный период. Значит, .

Теорема. — главный период функций синус и косинус.

Доказательство. 1.

   

Значит, — период функций синус и косинус.

2. Так как решениями уравнения являются числа , и только эти числа и так как разность между любыми двумя из этих чисел по модулю не меньше , то синус не может иметь положительного периода, меньшего .

Аналогично доказательство проводится для косинуса.

Теорема. Главный период функций тангенс и котангенс — .

Доказательство. Аналогично доказательству предыдущей теоремы.

hijos.ru

Периодическая функция - это... Что такое Периодическая функция?

        функция, значение которой не изменяется при добавлении к аргументу определённого, неравного нулю числа, называемого периодом функции. Например, sin х и cos x: являются П. ф. с периодом 2π; {x} — дробная часть числа х — П. ф. с периодом 1; Показательная функция ex (если х — комплексное переменное) — П. ф. с периодом 2πi и т.п. Так как сумма и разность двух периодов есть снова период и, следовательно, любое кратное периода есть также период, то каждая П. ф. имеет бесконечное множество периодов. Если П. ф. имеет действительный период, непрерывна и отлична от постоянной, то для неё существует наименьший положительный период Т; всякий другой действительный период той же функции будет иметь вид kT, где k = ±1, ± 2,.... Сумма, произведение и частное П. ф. с одним и тем же периодом являются П. ф. с тем же периодом. Производная П. ф. есть П. ф. с тем же периодом, однако интеграл от П. ф. f (x) с периодом Т будет П. ф. (с тем же периодом) лишь в том случае, когда f (x) с периодом Т [подчинённая ещё некоторым условиям, например непрерывная и имеющая в интервале (О, T) лишь конечное число максимумов и минимумов] может быть представлена суммой сходящегося тригонометрического ряда (ряда Фурье) вида:         Для непрерывной П. ф. комплексного переменного возможен случай, когда существуют два периода T1 и T2, отношение которых не есть действительное число: если функция отлична от постоянной, то всякий её период будет иметь вид k1T1 + k2T2, где k1 = 0,±1, ±2,... и k2 = 0, ±1, ± 2,.... В этом случае П. ф. называется двоякопериодической функцией (См. Двоякопериодические функции). Рассматриваются ещё двоякопериодические функции второго и третьего родов; под ними понимают функции, которые при добавлении периодов к аргументу приобретают, соответственно, постоянный или показательный множитель [то есть f (x + T1) = a1f (x) и f (x + T2) = a2f (x) или f (x + T1) = и f (x + T2) -= ea2x f (x)].         Сумма П. ф. с разными периодами не будет периодической функцией в случае, когда периоды несоизмеримы [напр., cos х + cosПочти периодическая функция). П. ф. играют чрезвычайно большую роль в теории колебаний и вообще в математической физике.

dic.academic.ru

Периодическая функция: общие понятия

Часто при изучении явлений природы, химических и физических свойств различных веществ, а также при решении сложных технических задач приходится сталкиваться с процессами, характерной чертой которых является периодичность, то есть тенденция к повторению через некоторый промежуток времени. Для описания и графического изображения такой цикличности в науке существует функция особого вида – периодическая функция.

Самый простой и всем понятный пример – обращение нашей планеты вокруг Солнца, при котором все время меняющееся между ними расстояние подчиняется годовым циклам. Точно так же возвращается на свое место, совершив полный оборот, лопасть турбины. Все подобные процессы можно описать такой математической величиной, как периодическая функция. По большому счету, весь наш мир имеет цикличный характер. А значит, и периодическая функция занимает немаловажное место в системе человеческих координат.

Потребность математической науки в теории чисел, топологии, дифференциальных уравнениях и точных геометрических вычислениях привела к появлению в девятнадцатом веке новой категории функций с необычными свойствами. Ими стали периодические функции, принимающие тождественные значения в определенных точках в результате сложных преобразований. Сейчас они применяются во многих разделах математики и других наук. Например, при изучении различных колебательных эффектов в волновой физике.

В различных математических учебниках даются разные определения периодической функции. Однако независимо от этих расхождений в формулировках, все они эквивалентны, так как описывают они и те же свойства функции. Наиболее простым и понятным может быть следующее определение. Функции, числовые показатели которых не подвергаются изменениям, если прибавить к их аргументу некоторое число, отличное от нуля, так называемый период функции, обозначаемый литерой Т, называются периодическими. Что все это значит на практике?

Например, простая функция вида: y = f(x) станет периодической в том случае, если Х имеет определенное значение периода (Т). Из данного определения следует, что если числовое значение функции, имеющей период (Т), определено в одной из точек (х), то ее значение также становится известным в точках х + Т, х – Т. Важным моментом здесь является то, что при Т равном нулю функция превращается в тождество. Периодическая функция может обладать бесконечным числом различных периодов. В основной массе случаев среди положительных значений Т существует период с наименьшим числовым показателем. Его называют основным периодом. А все остальные значения Т всегда ему кратны. Это еще одно интересное и очень важное для различных областей науки свойство.

График периодической функции обладает тоже несколькими особенностями. Например, если Т является основным периодом выражения: y = f(x), то при построении графика данной функции достаточно всего лишь построить ветвь на одном из промежутков длины периода, а затем перенести ее по оси х на следующие значения: ±Т, ±2Т, ±3Т и так далее. В заключение следует отметить, что не у всякой периодической функции есть основной период. Классическим примером этого служит функция немецкого математика Дирихле следующего вида: y = d(x).

fb.ru

Периодическая функция — WiKi

Пусть M{\displaystyle M}  есть абелева группа (обычно предполагается M=(R,+){\displaystyle M=(\mathbb {R} ,+)}  — вещественные числа с операцией сложения или (C,+){\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}  — комплексные числа). Функция f:M→N{\displaystyle f:M\to N}  (где N{\displaystyle N}  — произвольное множество её значений) называется периодической с периодом T≠0{\displaystyle T\not =0}  , если справедливо

f(x+T)=f(x),∀x∈M{\displaystyle f(x+T)=f(x),\quad \forall x\in M} .

Если это равенство не выполнено ни для какого T∈M,T≠0{\displaystyle T\in M,\,T\not =0}  , то функция f{\displaystyle f}  называется апериоди́ческой.

Если для функции f:C→N{\displaystyle f:\mathbb {C} \to N}  существуют два периода T1,T2≠0{\displaystyle T_{1},T_{2}\not =0} , отношение которых не равно вещественному числу, то есть T1T2∉R{\displaystyle {\frac {T_{1}}{T_{2}}}\not \in \mathbb {R} } , то f{\displaystyle f}  называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения f{\displaystyle f}  на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на T1,T2{\displaystyle T_{1},T_{2}} .

Замечание

Период функции определён неоднозначно. В частности, если T{\displaystyle T}  — период, то и любой элемент T′{\displaystyle T'}  вида T′=T+⋯+T⏟n{\displaystyle T'=\underbrace {T+\cdots +T} _{n}}  (или T′=nT{\displaystyle T'=nT} , если в области определения функции определена операция умножения), где n∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} }  — произвольное натуральное число, также является периодом.

Множество всех периодов функции образует аддитивную группу.

Однако если у множества периодов {T,T>0,T∈R}{\displaystyle \{T,T>0,T\in \mathbb {R} \}}  имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

ru-wiki.org

Периодическая функция • ru.knowledgr.com

В математике периодическая функция - функция, которая повторяет ее ценности в регулярных интервалах или периодах. Самые важные примеры - тригонометрические функции, которые повторяются по интервалам 2π радианы. Периодические функции используются всюду по науке, чтобы описать колебания, волны и другие явления та периодичность выставки. Любая функция, которая не является периодической, вызвана апериодическая.

Определение

Функция f, как говорят, периодическая с периодом P (P быть константой отличной от нуля), если у нас есть

:

для всех ценностей x в области. Если там существует наименее положительный

постоянный P с этой собственностью, это называют фундаментальным периодом (также примитивный период, основной период или главный период.) Функция с периодом P повторится на интервалах длины P и этих интервалах

упоминаются как периоды.

Геометрически, периодическая функция может быть определена как функция, граф которой показывает переводную симметрию. Определенно, функция f периодическая с периодом P, если граф f инвариантный в соответствии с переводом в x-направлении расстоянием P. Это определение периодических может быть расширено на другие геометрические формы и образцы, такие как периодические составления мозаики самолета.

Функция, которая не является периодической, вызвана апериодическая.

Примеры

Например, функция синуса периодическая с периодом 2π с тех пор

:

для всех ценностей x. Эта функция повторяется на интервалах длины 2π (см. граф вправо).

Повседневные примеры замечены, когда переменная - время; например, руки часов или фазы лунного шоу периодическое поведение. Периодическое движение - движение, в котором положение (я) системы выразимые как периодические функции, все с тем же самым периодом.

Для функции на действительных числах или на целых числах, который означает, что весь граф может быть сформирован из копий одной особой части, повторенной равномерно.

Простой пример периодической функции - функция f, который дает «фракционную часть» ее аргумента. Его период равняется 1. В частности

: f (0.5) = f (1.5) = f (2.5) =... = 0.5.

Граф функции f является пилообразной волной.

Тригонометрический синус функций и косинус - общие периодические функции с периодом 2π (см. число справа). Предмет ряда Фурье исследует идею, что 'произвольная' периодическая функция - сумма тригонометрических функций с соответствием периодам.

Согласно определению выше, некоторые экзотические функции, например функция Дирихле, также периодические; в случае функции Дирихле любое рациональное число отличное от нуля - период.

Свойства

Если функция f периодическая с периодом P, то для всего x в области f и всех целых чисел n,

: f (x + nP) = f (x).

Если f (x) является функцией с периодом P, то f (ax+b), где положительной константы, периодический с периодом P/a. Например, f (x) у =sinx есть период 2π, поэтому грешите (5x), будет иметь период 2π/5.

Двойные периодические функции

У

функции, область которой - комплексные числа, может быть два несоизмеримых периода, не будучи постоянной. Овальные функции - такие функции.

(«Несоизмеримый» в этом контексте означает не реальную сеть магазинов друг друга.)

Сложный пример

Используя сложные переменные у нас есть общая функция периода:

:

Как Вы видите, так как косинус и функции синуса периодические, и комплекс, показательный выше, составлен из волн косинуса/синуса, тогда у вышеупомянутого (фактически формула Эйлера) есть следующая собственность. Если L - период функции тогда:

:

Обобщения

Антипериодические функции

Одно общее обобщение периодических функций - обобщение антипериодических функций. Это - функция f таким образом, что f (x + P) = −f (x) для всех x. (Таким образом, функция P-antiperiodic - функция 2P-periodic.), Например, функция синуса или косинуса - π-antiperiodic и 2π-periodic

Bloch-периодические функции

Дальнейшее обобщение появляется в контексте Спиновых волн и теории Флоке, которые управляют решением различных периодических отличительных уравнений. В этом контексте решением (в одном измерении), как правило, является функция формы:

:

где k - действительное число или комплексное число (Блох wavevector или образец Флоке). Функции этой формы иногда вызываются Bloch-периодические в этом контексте. Периодическая функция - особый случай k = 0, и антипериодическая функция - особый случай k = π/P.

Фактор делает интервалы как область

В сигнале, обрабатывающем Вас, сталкиваются с проблемой, что ряды Фурье представляют периодические функции

и что ряды Фурье удовлетворяют теоремы скручивания

(т.е. скручивание ряда Фурье соответствует умножению представленной периодической функции и наоборот),

но периодические функции не могут быть скручены с обычным определением,

так как включенные интегралы отличаются.

Возможный выход должен определить периодическую функцию на ограниченной, но периодической области.

С этой целью Вы можете использовать понятие пространства фактора:

:

= \{x +\mathbb {Z}: x\in\mathbb {R }\\}\

Таким образом, каждый элемент в является классом эквивалентности

из действительных чисел, которые разделяют ту же самую фракционную часть.

Таким образом функция как

представление 1-периодической функции.

См. также

  • Список периодических функций
  • Периодическая последовательность
  • Почти периодическая функция
  • Определенная подача
  • Вдвойне периодическая функция
  • Квазипериодическая функция
  • Периодическое суммирование
  • Светское изменение

Внешние ссылки

  • Периодические функции в
MathWorld

ru.knowledgr.com

Периодическая функция Википедия

Графики синуса и косинуса — периодических функций с периодом T=2π{\displaystyle T=2\pi }.

Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.

Говоря более формально, функция называется периодической с периодом T≠0{\displaystyle T\neq 0}, если для каждой точки x{\displaystyle x} из её области определения точки x+T{\displaystyle x+T} и x−T{\displaystyle x-T} также принадлежат её области определения, и для них выполняется равенство f(x)=f(x+T)=f(x−T){\displaystyle f(x)=f(x+T)=f(x-T)}.

Исходя из определения, для периодической функции справедливо также равенство f(x)=f(x+nT){\displaystyle f(x)=f(x+nT)}, где n{\displaystyle n} — любое целое число.

Все тригонометрические функции являются периодическими.

Формальное определение

Пусть M{\displaystyle M} есть абелева группа (обычно предполагается M=(R,+){\displaystyle M=(\mathbb {R} ,+)} — вещественные числа с операцией сложения или (C,+){\displaystyle (\mathbb {C} ,+)} — комплексные числа). Функция f:M→N{\displaystyle f:M\to N} (где N{\displaystyle N} — произвольное множество её значений) называется периодической с периодом T≠0{\displaystyle T\not =0} , если справедливо

f(x+T)=f(x),∀x∈M{\displaystyle f(x+T)=f(x),\quad \forall x\in M}.

Если это равенство не выполнено ни для какого T∈M,T≠0{\displaystyle T\in M,\,T\not =0} , то функция f{\displaystyle f} называется апериоди́ческой.

Если для функции f:C→N{\displaystyle f:\mathbb {C} \to N} существуют два периода T1,T2≠0{\displaystyle T_{1},T_{2}\not =0}, отношение которых не равно вещественному числу, то есть T1T2∉R{\displaystyle {\frac {T_{1}}{T_{2}}}\not \in \mathbb {R} }, то f{\displaystyle f} называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения f{\displaystyle f} на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на T1,T2{\displaystyle T_{1},T_{2}}.

Замечание

Период функции определён неоднозначно. В частности, если T{\displaystyle T} — период, то и любой элемент T′{\displaystyle T'} вида T′=T+⋯+T⏟n{\displaystyle T'=\underbrace {T+\cdots +T} _{n}} (или T′=nT{\displaystyle T'=nT}, если в области определения функции определена операция умножения), где n∈N{\displaystyle n\in \mathbb {N} } — произвольное натуральное число, также является периодом.

Множество всех периодов функции образует аддитивную группу.

Однако если у множества периодов {T,T>0,T∈R}{\displaystyle \{T,T>0,T\in \mathbb {R} \}} имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

Примеры

  • Вещественные функции синус и косинус являются периодическими с основным периодом 2π{\displaystyle 2\pi } , так как
sin⁡(x+2π)=sin⁡x,cos⁡(x+2π)=cos⁡x,∀x∈R.{\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin x,\;\cos(x+2\pi )=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb {R} .}
  • Функция, равная константе f(x)=const{\displaystyle f(x)=\mathrm {const} }, является периодической, и любое ненулевое число является её периодом. Основного периода функция не имеет.
  • Функция Дирихле является периодической, её периодом является любое ненулевое рациональное число. Основного периода она также не имеет.
  • Функция f(x)=x2,x∈R{\displaystyle f(x)=x^{2},\;x\in \mathbb {R} } является апериодической.

Некоторые особенности периодических функций

  • Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами не всегда является непериодической функцией.
  • Существуют периодические функции, не равные константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа. Например, у функции f(x){\displaystyle f(x)}, принимающей значения 1 при алгебраическом x и 0 в остальных случаях, любое алгебраическое число является периодом, а среди алгебраических чисел есть и несоизмеримые.

См. также

Ссылки

wikiredia.ru