Как определить периодичность функции. Периодичность функции это


Периодичность функций

В этой статье обсуждаем периодичность функций: как определить, периодична ли  функция, и каков ее период.

Функция периодична, если  некоторый набор ее значений повторяется раз за разом, и точки с одинаковыми значениями функции расположены на числовой оси с равными промежутками. Это расстояние и будем называть периодом. Периодичная функция может иметь и несколько периодов, самый маленький положительный из них будем называть основным.

Тогда, если мы знаем период, мы можем, зная все значения функции на протяжении данного периода, достроить функцию, либо узнать ее значения в любой точке числовой оси – то есть при любом аргументе.

Периодичная функция

 

Пример 1: функция имеет период, равный 2: и при . Найдите значение выражения .

Раз наша функция принимает форму части параболы на отрезке [-2; 0] при периоде, равном 2, значит, такую же форму она будет иметь и на следующем отрезке – [0;2], и на отрезке [2;4]. Изобразим ее:

Определение значения периодичной функции

Видно, что функция принимает одинаковые значения в точках, отстоящих друг от друга на 2, 4, 6  единиц и т.д., тогда . Найдем эти значения функции. В точке (-1) функция принимает значение , в точке (3,5) функция принимает значение .

Теперь найдем значение искомого выражения: .

Строго говоря, функция периодична, если есть такое число Т, что .

Попробуем научиться определять, периодична ли функция или нет. Для этого рассмотрим несколько примеров.

Пример 2. Проверим, периодична ли функция .

Установим, выполняется ли условие: , то есть ? Очевидно, что данное условие не выполняется. Значит, функция непериодична.

Пример 3. Проверим, периодична ли функция .

Функцию для удобства представим в виде: .

Установим, выполняется ли условие: , то есть ? Очевидно, что данное условие не выполняется: . Значит, функция непериодична.

Пример 4. Проверим, периодична ли функция . Если функция периодична, то будет выполняться условие: , то есть . Поскольку нам все равно, в какой точке числовой оси мы проведем свое исследование, то очень удобно начать с точки . Тогда  , или . Это означает, что либо  , либо ,  то есть либо ,  либо ,  а так как главным считается наименьший  положительный период, то .

Определение периода функции

В данном примере делать проверку необязательно, но проверка бывает очень полезна в более сложных задачах, поэтому сделаем ее здесь для тренировки: .

 Пример 5. Определить периодичность функции .

Если Т – период, то .

В это равенство подставим какие-нибудь «удобные» точки, например, . Получим:

Далее есть два пути отыскания периода, первый – решение этого уравнения, второй – составление еще одного уравнения такого же вида. Если функция имеет период Т, то верно и следующее: . Подставим  «удобную» точку :

Пользуясь четностью косинуса  и нечетностью синуса можем записать:

Имеем систему:

Уравнения сложим, и получим

, откуда

, при получим  – ведь нам нужен наименьший период.

Теперь испробуем второй путь, решим это уравнение: . Из основного тригонометрического тождества:

Оставим в левой части только корень:

Возведем в квадрат:

Тогда либо , либо и .

Это уравнение имеет два решения, одно из которых (второе) – посторонний корень, появившийся при возведении в квадрат. Проверка подстановкой его в исходное уравнение позволит нам выявить его и отбросить. Таким образом, получаем:

и наименьшим будет период при , то есть .

Здесь также необходимо сделать проверку. Подставим полученный период в условие  :

, то есть

период данной функции – .

Определение периода функции

Пример 6. Определить периодичность функции и найти ее основной период.

Если Т – период, то

Подставим , имеем

,

Или , , наименьший период при , .

Проверим:

Определение периода функции

Пример 7. Определим период функции .

Запишем условие периодичности:

, если , то

, откуда  , . При , , при , . Проверкой можно показать, что периодом не является. Тогда . Действительно:

Определение периода функции

Пример 8. Доказать, что периодом функции является .

Тогда:

Пример 9. Доказать, что периодом функции является .

Тогда:

Если , то

, а  так как и –  одна и та же точка на единичной окружности, то равенство выполняется.

Удачи вам в учебе и надеюсь, эта статья вам помогла.

easy-physic.ru

Периодическая функция - это... Что такое Периодическая функция?

Графики синуса и косинуса — периодических функций с периодом .

Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через какой-то регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции).

Говоря более формально, функция периодична, если существует такое число T≠0 (период), что на всей области определения функции выполняется равенство .

Все тригонометрические функции являются периодическими.

Формальное определение

Пусть есть абелева группа (обычно предполагается  — вещественные числа с операцией сложения или  — комплексные числа). Функция (где  — произвольное множество её значений) называется периодической с периодом , если справедливо

.

Если это равенство не выполнено ни для какого , то функция называется апериоди́ческой.

Если для функции существуют два периода , отношение которых не равно вещественному числу, то есть , то называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на .

Замечание

Период функции определён неоднозначно. В частности, если  — период, то и любой элемент вида (или , если в области определения функции определена операция умножения), где  — произвольное натуральное число, также является периодом.

Множество всех периодов функции образует аддитивную группу.

Однако если у множества периодов имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

Примеры

  • Вещественные функции синус и косинус являются периодическими с основным периодом , так как
  • Функция, равная константе , является периодической, и любое ненулевое число является её периодом. Основного периода функция не имеет.
  • Функция Дирихле является периодической, её периодом является любое ненулевое рациональное число. Основного периода она также не имеет.
  • Функция является апериодической.

Некоторые особенности периодических функций

  • Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами не всегда является непериодической функцией. Например, функция из предыдущего примера и функция имеют несоизмеримые периоды, но их сумма равна константе, а значит, является периодической функцией.
  • Существуют периодические функции, не равные константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа. Например, у функции , принимающей значения 1 при алгебраическом x и 0 в остальных случаях, любое алгебраическое число является периодом, а среди алгебраических чисел есть и несоизмеримые.

См. также

  • Квазипериодическая функция

Ссылки

dic.academic.ru

Как определить периодичность функции

Содержание

  1. Инструкция

По школьным урокам математики каждый помнит график синуса, равномерными волнами уходящий вдаль. Аналогичным свойством — повторяться через определенный промежуток — обладают и многие другие функции. Они называются периодическими. Периодичность — очень важное свойство функции, часто встречающееся в различных задачах. Поэтому полезно уметь определять, является ли функция периодической.

Инструкция

  • Если F(x) — функция аргумента x, то она называется периодической, если есть такое число T, что для любого x F(x + T) = F(x). Это число T и называется периодом функции.Периодов может быть и несколько. Например, функция F = const для любых значений аргумента принимает одно и то же значение, а потому любое число может считаться ее периодом.Обычно математика интересует наименьший не равный нулю период функции. Его для краткости и называют просто периодом.
  • Классический пример периодических функций — тригонометрические: синус, косинус и тангенс. Их период одинаков и равен 2π, то есть sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) и так далее. Однако, разумеется, тригонометрические функции — не единственные периодические.
  • Относительно простых, базовых функций единственный способ установить их периодичность или непериодичность — вычисления. Но для сложных функций уже есть несколько простых правил.
  • Если F(x) — периодическая функция с периодом T, и для нее определена производная, то эта производная f(x) = F′(x) — тоже периодическая функция с периодом T. Ведь значение производной в точке x равно тангенсу угла наклона касательной графика ее первообразной в этой точке к оси абсцисс, а поскольку первообразная периодически повторяется, то должна повторяться и производная. Например, производная от функции sin(x) равна cos(x), и она периодична. Беря производную от cos(x), вы получите –sin(x). Периодичность сохраняется неизменно.Однако обратное не всегда верно. Так, функция f(x) = const периодическая, а ее первообразная F(x) = const*x + C — нет.
  • Если F(x) — периодическая функция с периодом T, то G(x) = a*F(kx + b), где a, b, и k — константы и k не равно нулю — тоже периодическая функция, и ее период равен T/k. Например sin(2x) — периодическая функция, и ее период равен π. Наглядно это можно представить так: умножая x на какое-нибудь число, вы как бы сжимаете график функции по горизонтали именно в столько раз
  • Если F1(x) и F2(x) — периодические функции, и их периоды равны T1 и T2 соответственно, то сумма этих функций тоже может быть периодической. Однако ее период не будет простой суммой периодов T1 и T2. Если результат деления T1/T2 — рациональное число, то сумма функций периодична, и ее период равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов T1 и T2. Например, если период первой функции равен 12, а период второй — 15, то период их суммы будет равен НОК (12, 15) = 60.Наглядно это можно представить так: функции идут с разной «шириной шага», но если отношение их ширин рационально, то рано или поздно (а точнее, именно через НОК шагов), они снова сравняются, и их сумма начнет новый период.
  • Однако если соотношение периодов иррационально, то суммарная функция не будет периодической вовсе. Например, пусть F1(x) = x mod 2 (остаток от деления x на 2), а F2(x) = sin(x). T1 здесь будет равен 2, а T2 равен 2π. Соотношение периодов равняется π — иррациональному числу. Следовательно, функция sin(x) + x mod 2 не является периодической.

completerepair.ru

ЧТО ТАКОЕ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ И ПЕРИОД ФУНКЦИИ - периодичность функций

Если отношение периодов двух функций и является рациональным числом, то сумма и произведение этих функций также будут периодическими функциями. Аналогично можно доказать, что периодом функции cos φ также является угол в 360° Предлагаем учащимся убедиться в этом самостоятельно.

Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами не всегда является непериодической функцией. Число называется периодом функции . Иными словами, периодической функцией является такая функция, значения которой повторяются через некоторый промежуток. Если для функции существуют два периода , отношение которых не равно вещественному числу, то есть , то называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. Не следует думать, что периодическими бывают только тригонометрические функции.

Это требование однозначности функции является обязательным. Монотонная функция. Функция, которая только возрастает или толькоубывает, называется монотонной. Если функция непрерывна во всехточках своей области определения, тоона называется непрерывной функцией. Если для любогоx из области определенияфункции имеет место:f ( -x ) = f ( x ), то функция называется чётной;если же имеет место: f (-x) = -f (x), то функция называется нечётной.

Асимптота. Если график функции неограниченно приближается к некоторой прямой при своём удалении от начала координат, то эта прямая называется асимптотой. В §1 по заданному числу мы определяли точку на тригонометрической окружности, и далее тригонометрические функции рассматриваемого числа определялись только этой точкой. Таким образом, если два числа дают одну и ту же точку на окружности, то значения их одноименных тригонометрических функций совпадают.

Определение 3.1. Число называется периодом функции f, если для всех x из области ее определения справедливо равенство. Итак, периодическая функция, не являющаяся постоянной, обладает следующим свойством: существует такое число , что периоды функции f имеют вид , где . Такое число Т называется наименьшим периодом.

Периодичности функции можно придать и геометрический смысл. Функция f имеет период Т, если ее график переходит в себя при сдвиге на вектор, имеющий длину Т и параллельной оси абсцисс.

График периодической функции обычно строят на промежутке x0;x0+T, а затем повторяют на всю область определения. 2. Функция называется периодической, если она имеет хотя бы один период. Периодические функции естественно возникают при описании колебательных процессов.

Пусть мы слышим музыкальный звук. Тогда давление воздуха в данной точке — периодическая функция от времени. Наименьший положительный период функции, описывающей колебания (как в наших примерах 1-3), называется просто периодом этих колебаний.

Легко проверить (мы предложим это сделать в задачах), что — действительно наименьший положительный период тангенса и котангенса. Часто слова «период функции» употребляют в значении «наименьший положительный период». Замечание 6. График периодической функциине изменяется при сдвиге вдоль оси абсцисс Ox на период вправо или влево (см., например, раздел «Графики тригонометрических функций» нашего справочника).

Тогда, чтобы получить весь график, достаточно будет сдвинуть построенную часть вправо и влево на целое число периодов. Проголосуйте за ту тему, которая по Вашему мнению недостаточно освещена в этом блоге. Мнение большинства будет учтено при подготовке последующих публикаций.

Теорема о выборке определяет условия, при которых возможно по выборке восстановить непрерывную функцию . В общем случае восстановить по выборке непрерывную функцию невозможно. Однако если исходная функция имеет финитный спектр Фурье (конечный по протяженности), то при соблюдении определенных условий для шага выборки функцию можно восстановить однозначно.

Между тем, при работе с дискретными функциями и их фурье-образами удобнее получать выборку с обычным расположением элементов. Периодическая функция, функция, значение которой не изменяется при добавлении к аргументу определённого, неравного нулю числа, называемого периодом функции.

Чётная и нечётная функции. Если это равенство не выполнено ни для какого , то функция называется апериоди́ческой. В частности, если — период, то и любой элемент вида (или , если в области определения функции определена операция умножения), где — произвольное натуральное число, также является периодом.

Читайте также:

koldernc.ru

Как определить периодичность функции | Сделай все сам

По школьным урокам математики всякий помнит график синуса, равномерными волнами уходящий вдаль. Аналогичным свойством — повторяться через определенный интервал — владеют и многие другие функции. Они именуются периодическими. Периодичность — дюже значимое качество функции, зачастую встречающееся в разных задачах. Следственно благотворно уметь определять, является ли функция периодической.

Инструкция

1. Если F(x) — функция довода x, то она именуется периодической, если есть такое число T, что для всякого x F(x + T) = F(x). Это число T и именуется периодом функции.Периодов может быть и несколько. Скажем, функция F = const для всяких значений довода принимает одно и то же значение, а потому всякое число может считаться ее периодом.Традиционно математика волнует минимальный не равный нулю период функции. Его для краткости и называют примитивно периодом.

2. Типичный пример периодических функций — тригонометрические: синус, косинус и тангенс. Их период идентичен и равен 2?, то есть sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) и так дальше. Впрочем, разумеется, тригонометрические функции — не исключительные периодические.

3. Касательно примитивных, базовых функций исключительный метод установить их периодичность либо непериодичность — вычисления. Но для трудных функций теснее есть несколько примитивных правил.

4. Если F(x) — периодическая функция с периодом T, и для нее определена производная, то эта производная f(x) = F?(x) — тоже периодическая функция с периодом T. Чай значение производной в точке x равно тангенсу угла наклона касательной графика ее первообразной в этой точке к оси абсцисс, а от того что первообразная периодично повторяется, то должна повторяться и производная. Скажем, производная от функции sin(x) равна cos(x), и она периодична. Беря производную от cos(x), вы получите –sin(x). Периодичность сохраняется постоянно.Впрочем обратное не неизменно правильно. Так, функция f(x) = const периодическая, а ее первообразная F(x) = const*x + C — нет.

5. Если F(x) — периодическая функция с периодом T, то G(x) = a*F(kx + b), где a, b, и k — константы и k не равно нулю — тоже периодическая функция, и ее период равен T/k. Скажем sin(2x) — периодическая функция, и ее период равен ?. Наглядно это дозволено представить так: умножая x на какое-либо число, вы как бы сжимаете график функции по горизонтали именно в столько раз

6. Если F1(x) и F2(x) — периодические функции, и их периоды равны T1 и T2 соответственно, то сумма этих функций тоже может быть периодической. Впрочем ее период не будет легкой суммой периодов T1 и T2. Если итог деления T1/T2 — разумное число, то сумма функций периодична, и ее период равен наименьшему всеобщему кратному (НОК) периодов T1 и T2. Скажем, если период первой функции равен 12, а период 2-й — 15, то период их суммы будет равен НОК (12, 15) = 60.Наглядно это дозволено представить так: функции идут с различной «шириной шага», но если отношение их ширин осмысленно, то рано либо поздно (а вернее, именно через НОК шагов), они вновь сравняются, и их сумма начнет новейший период.

7. Впрочем если соотношение периодов иррационально, то суммарная функция не будет периодической совсем. Скажем, пускай F1(x) = x mod 2 (остаток от деления x на 2), а F2(x) = sin(x). T1 тут будет равен 2, а T2 равен 2?. Соотношение периодов равняется ? — иррациональному числу. Следственно, функция sin(x) + x mod 2 не является периодической.

Многие математические функции имеют одну специфика, облегчающую их построение, — это периодичность , то есть повторяемость графика на координатной сетке через равные интервалы.

Инструкция

1. Самыми вестимыми периодическими функциями математики являются синусоида и косинусоида. Эти функции имеют волнообразный нрав и стержневой период, равный 2П. Также частным случаем периодической функции является f(x)=const. На позицию х подходит всякое число, основного периода данная функция не имеет, потому что представляет собой прямую.

2. Вообще функция является периодической, если существует такое целое число N, которое отменно от нуля и удовлетворяет правилу f(x)=f(x+N), таким образом обеспечивая повторяемость. Период функции — это и есть наименьшее число N, но не нуль. То есть, скажем, функция sin x равна функции sin (x+2ПN), где N=±1, ±2 и т.д.

3. Изредка при функции может стоять множитель (скажем sin 2x), тот, что увеличит либо сократит период функции. Для того дабы обнаружить период по графику , нужно определить экстремумы функции — самую высокую и самую низкую точки графика функции. Потому что синусоида и косинусоида имеют волнообразный нрав, это довольно легко сделать. От данных точек постройте перпендикулярные прямые до пересечения с осью Х.

4. Расстояние от верхнего экстремума до нижнего будет половиной периода функции. Комфортнее каждого вычислять период от пересечения графика с осью Y и, соответственно, нулевой отметки по оси х. Позже этого нужно умножить полученное значение на два и получить стержневой период функции.

5. Для простоты построения графиков синусоиды и косинусоиды нужно подметить, что если при функции стоит целое число, то ее период удлинится (то есть 2П необходимо умножить на этот показатель) и график будет выглядеть больше мягко, плавно; а если число дробное, напротив, сократится и график станет больше «острым», скачкообразным на вид.

Видео по теме

jprosto.ru

[Билет 12] Период, основной период функции. Теоремы о периодических функциях. Примеры.

Период, основной период функции.

Период функции – положительное число Т, обладающее двумя свойствами:а) вместе с числом х в область определения данной функции входят также числа х + Т и х – Т;б) для любого значения х из области определения функции справедливы равенства f(x – T) = f(x) = f(x + T).Наименьшее из чисел Т, обладающих указанными свойствами, называется основным периодом функции.

Теоремы о периодических функциях. Примеры. Теорема. Если число T - основной период f(x), то число T/k - основной период для f(kx), где k не равно 0.Доказательство.  Пусть Т - основной период f(x), тогда f(x)=f(x+T), рассмотрим f(kx) = f(kx+T)=f(k(x+T/k)) => T/k -период, ч.т.д.

Теорема 1. Если числа    и    являются периодами функции   f ,  то и их сумма   и разность    также являются периодами функции  f . Следствие.  Если   – период функции   f ,  то число  ,  где  , – также период этой функции. Теорема 2.  Если   – наименьший положительный период функции   f   то любой пе­риод  T этой функции представим в виде  ,  где  . Следствие.  Если наименьшие положительные периоды функций    и    соизме­римы, т.е. отношение   – рационально, то и сумма (произведение) этих функций – также периодическая функция.

Замечание.  Если отношение наименьших периодов всюду определенных и непре­рывных функций иррационально, то сумма и произведение этих функций – функции непериодические (без доказательства).

Теорема 4.  Если   – периодическая функция с периодом  T,  то какова бы ни была функция  F,  сложная  функция  – также функция периодическая, причем число  T является и ее периодом. Теорема 5.  Если   – периодическая функция с периодом  T,  то любая сложная функция вида   – также функция периодическая, причем ее периодом является число  . Теорема. — главный период функций синус и косинус. Доказательство. 1. Значит, — период функций синус и косинус.

Аналогично доказательство проводится для косинуса.

Теорема. Главный период функций тангенс и котангенс — . Доказательство. Аналогично доказательству предыдущей теоремы.

fizmatinf.blogspot.com

Доказательства непериодичности функций

В обычных школьных задачах доказать периодичность той или иной функции обычно нетрудно: так, чтобы убедиться, что функция $y=sin\frac34 x+sin\frac27 x$ является периодической, достаточно просто отметить, что произведение $T=4\times7\times 2\pi$ является ее периодом: если мы прибавим к х число Т, то это произведение «съест» оба знаменателя и под знаком синуса окажутся лишними только целые кратные числа $2\pi$, которые «съест» сам синус.

Но доказательство непериодичности той или иной функции непосредственно по определению периодической функции может оказаться совсем не простым. Так, для доказательства непериодичности рассмотренной выше функции $y=\sin x^2$ можно выписать равенство $sin(x+T)^2=\sin x^2$, но не решать по привычке это тригонометрическое уравнение, а догадаться подставить в него х=0, после чего дальнейшее получится почти автоматически: $\sin T^2=0$, $T^2=k\pi$, где k — некоторое целое число, большее 0, т.е. $T=\sqrt {k\pi}$, а если теперь догадаться подставить в него $x=\sqrt {\pi}$, то получится, что $\sin(\sqrt{\pi}+\sqrt{k\pi})=0$, откуда $\sqrt{\pi}+\sqrt{k\pi}=n\pi$, $1+\sqrt{k}=n\sqrt{\pi}$, $1+k+2\sqrt{k}=n^2\pi$, $2\sqrt{k}=n^2\pi-1-k=n^2\pi=m$, $4k=n^4{\pi}^2+2mn^2x+m^2$, и таким образом, число р является корнем уравнения $n^4x^2+2mn^2\pi+m^2-4k=0$, т.е. является алгебраическим, что неверно: $\pi$ является, как мы знаем, трансцендентным, т.е. не является корнем никакого алгебраич­ской уравнения с целыми коэффициентами. Впрочем, в будущем мы получим гораздо более простое доказательство этого утверждения — но уже с помощью средств математического анализа.

При доказательстве непериодичности функций часто помогает элементарный логический трюк: если все периодические функции обладают некоторым свойством, а данная функция им не обладает, то она, естественно, не является периодической. Так, периодическая функция всякое свое значение принимает бесконечно много раз, и поэтому, например, функция $y=\frac{3x^2-5x+7}{4x^3-x+2}$ не является периодической, так как значение 7 она принимает только в двух точках. Часто для доказательства непериодичности удобно использовать особенности ее области определения, а для нахождения нужного свойства периодических функций иногда приходится проявлять определенную фантазию.

Заметим еще, что очень часто на вопрос, что же такое непериодическая функция, приходится слышать ответ в стиле, о котором мы говорили в связи с четными и нечетными функциями, — это когда $f(x+T)\neq f(x)$, что, конечно же, недопустимо.

А правильный ответ зависит от конкретного определения периодической функции, и, исходя из данного выше определения, можно, конечно, сказать, что функция является непериодической, если она не имеет ни одного периода, но это будет «плохое» определение, которое не дает направления доказательства непериодичности. А если его расшифровать далее, описав, что значит предложение «функция f не имеет ни одного периода», или, что то же самое, «никакое число $T \neq 0$ не является периодом функции f», то получим, что функция f не является периодической в том и только в том случае, когда для всякого $T \neq 0$ существует число $x\in D(f)$ такое, что либо хотя бы одно из чисел $x+T$ и $x-T$ не принадлежит D(f), либо $f(x+T)\neq f(x)$.

Можно сказать и иначе: «Существует число $x\in D(f)$ такое, что равенство $f(x+T) = f(x)$ не выполняется» — это равенство может не выполняться по двум причинам: или оно не имеет смысла, т.е. одна из его частей не оп­ределена, или — в противном случае, быть неверным. Для интереса добавим, что языковой эффект, о котором мы говорили выше, здесь проявляется тоже: для равенства «не быть верным» и «быть неверным» — не одно и то же — равенство еще может не иметь смысла.

Детальное выяснение причин и последствий этого языкового эффекта в действительности является предметом не математики, а теории языка, лингвистики, точнее, ее особого раздела: семантики — науки о смысле, где, впрочем, эти вопросы являются весьма сложными и не имеют однозначного решения. А математика, в том числе и школьная, вынуждена мириться с этими трудностями и преодолевать языковые «неурядицы» — пока и поскольку она использует, наряду с символическим, и естественный язык.

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка...

matemonline.com