Задача: квадрат вписан в окружность, определить площадь закрашенной области. Площадь круга вписанного


Ответы@Mail.Ru: как найти площадь окружности?

Круг — это часть плоскости, лежащая внутри окружности. Соответственно, площадь круга — это площадь ограниченная окружностью. Круг имеет замечательное свойство, это фигура с самым большим отношением площади к периметру. Иными словами, отношение площади круга к длине ограничивающей его окружности, самое большое. 1. Площадь круга S = пи * R2 Где S — площадь круга, R — радиус круга 2. Площадь круга вписанного в квадрат. S = пи * (a / 2)2 Где a/2 — радиус круга, a — длина стороны квадрата. 3. Площадь круга описанного около квадрата. S = пи * 0.5*a2 Где a — длина стороны квадрата. В этом случае радиус круга равен 0.5*a*√‾2, используя формулу 1, получаем формулу 3. 4. Площадь круга вписанного в треугольник. Используя формулу радиуса вписанной окружности R = (p-a)*tg(A/2) Где a, A — сторона и противолежащий угол соответственно, p — полупериметр. Можем записать формулу площади круга вписанного в треугольник: S = пи * ((p-a)*tg(A/2))² 5. Площадь круга описанного около треугольника. Используя формулу радиуса описанной окружности R = a/(2*sin(A)) Где a, A — сторона и противолежащий угол соответственно. Можем записать формулу площади круга описанного около треугольника: S = пи * (a/(2*sin(A)))² Выбирай формулу которая соответствует твоей задаче и вперёд. И вт ещё что правилино говорить площадь круга, а окружность это периметр. Удачи .Не болей.

S = число "пи" (оно равно 3,14) умножить на радиус круга в квадрате

S=пи умножить на радиус в квадрате

окружность - линия, у нее нет площади.

Круг — это часть плоскости, лежащая внутри окружности. Соответственно, площадь круга — это площадь ограниченная окружностью. Круг имеет замечательное свойство, это фигура с самым большим отношением площади к периметру. Иными словами, отношение площади круга к длине ограничивающей его окружности, самое большое. 1. Площадь круга S = пи * R2 Где S — площадь круга, R — радиус круга 2. Площадь круга вписанного в квадрат. S = пи * (a / 2)2 Где a/2 — радиус круга, a — длина стороны квадрата. 3. Площадь круга описанного около квадрата. S = пи * 0.5*a2 Где a — длина стороны квадрата. В этом случае радиус круга равен 0.5*a*√‾2, используя формулу 1, получаем формулу 3. 4. Площадь круга вписанного в треугольник. Используя формулу радиуса вписанной окружности R = (p-a)*tg(A/2) Где a, A — сторона и противолежащий угол соответственно, p — полупериметр. Можем записать формулу площади круга вписанного в треугольник: S = пи * ((p-a)*tg(A/2))² 5. Площадь круга описанного около треугольника. Используя формулу радиуса описанной окружности R = a/(2*sin(A)) Где a, A — сторона и противолежащий угол соответственно. Можем записать формулу площади круга описанного около треугольника: S = пи * (a/(2*sin(A)))² Выбирай формулу которая соответствует твоей задаче и вперёд. И вт ещё что правилино говорить площадь круга, а окружность это периметр. Удачи .Не болей.

touch.otvet.mail.ru

надо найти площадь круга вписанного в треугольник со сторонами 10,13 и 13 см.. пожалуйста

Радиус впис. окр. в этот равнобедр. тр-к равен 1/3 его высоты. Высота равна корень квадратный из разницы квадратов 13 и 5 (половина основания тр-ка, то есть 12). Отсюда радиус равен четырём. Площадь круга равна 3,14 умножить на квадрат радиуса.

<a href="/" rel="nofollow" title="15907216:##:1OjIQmv">[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>

нашли и выполнили а что думают сами ленивые школьники и где волшебное слово, или вас дебилов ему уже не учат

1) Радиус окружности, вписанной в тр-к, r=S/p. где S - площадь тр-ка, р - полупериметр. Площадь тр-ка можно найти по формуле Герона: S(ABC)=Vp(p-a)(p-b)(p-c) = 60 кв. см. А можно по теореме Пифагора найти высоту тр-ка h=12, S=(1/2)a*h(a) =(1/2)*10*12=60 r=S/p=60/18=10/3 (см) 2) Площадь круга S=pir^2 = (100/9) pi (кв. см).

touch.otvet.mail.ru

окружность вписана в квадрат , определить площадь закрашенной области

Условие задачи:

Окружность вписана в квадрат. Найти площадь закрашенной области, если сторона квадрата равна 2 м.

Дано:Сторона квадрата, a = 2 м

Пояснение к рисунку:O - центр окружностиR - радиус окружностиD - диаметр окружности

Найти площадь закрашенной области: S

Решение

Площадь искомой области можно выразить как разницу между площадью квадрата и площадью круга

Площадь квадрата

Площадь круга

Неизвестен радиус окружности. Из рисунка видно, что сторона квадрата равна диаметру окружности и соответственно удвоенному радиусу

Выразим радиус окружности через сторону квадрата и подставив значение, получим радиус окружности.

Формула площади искомой области на основании выкладок выше, будет выглядеть следующим образом.

Подставив уже известные значения стороны квадрата и радиуса окружности, получаем.

Ответ:

Результат получился приблизительным, потому что число π нельзя выразить точно, оно имеет бесконечное количество знаков после запятой. В данном случаи, мы взяли  π ≈ 3.14

Если в уже полученное выражение подставить формулу площади круга выраженную через сторону квадрата и преобразовав, получим следующую формулу, в которой площадь закрашенной области, будет сразу выражена через сторону квадрата.

Проверим, подставив наше значение.

 

Калькулятор для расчета площади закрашенной области

 

www-formula.ru

Площадь круга — Википедия

Площадь круга с радиусом r равна πr2. Здесь символ π (греческая буква пи) обозначает константу, выражающую отношение длины окружности к его диаметру или площади круга к квадрату его радиуса. Поскольку площадь правильного многоугольника равна половине его периметра, умноженного на апофему (высоту), а правильные многоугольники стремятся к окружности при росте числа сторон, площадь круга равна половине длины окружности, умноженной на радиус (то есть 1⁄2 × 2πr × r).

История

Современные математики могут получить площадь круга с помощью методов интегрирования или вещественного анализа. Однако площадь круга изучалась ещё в Древней Греции. Евдокс Книдский в пятом столетии до нашей эры обнаружил, что площади кругов пропорциональны квадратам их радиусов.[1] Великий математик Архимед использовал методы евклидовой геометрии, чтобы показать, что площадь внутри окружности равна площади прямоугольного треугольника, основание которого имеет длину окружности, а высота равна радиусу окружности, в своей книге Измерение круга[en]. Длина окружности равна 2πr, а площадь треугольника равна половине основания на высоту, что даёт πr2. До Архимеда Гиппократ Хиосский первый показал, что площадь круга пропорциональна квадрату его диаметра в его попытках квадрирования гиппократовых луночек[2] Однако он не установил константу пропорциональности.

Видео по теме

Использование многоугольников

Площадь правильного многоугольника равна половине периметра, умноженного на апофему (высоту). При увеличении числа сторон многоугольник стремится к окружности, а апофема стремится к радиусу. Это даёт основание считать, что площадь круга равна произведению половины длины окружности на радиус.[3]

Доказательство Архимеда

Следуя Архимеду, сравним площадь круга с площадью прямоугольного треугольника, основание которого равно длине окружности, а высота равна радиусу. Если площадь круга не равна площади треугольника, она должна быть меньше или больше. Исключим оба варианта, что оставит только одну возможность — площади равны. Для доказательства будем использовать правильные многоугольники.

Не больше

Круг с вписанными квадратом и восьмиугольником. Показан зазор

Предположим, что площадь круга C больше площади треугольника T = 1⁄2cr. Пусть E означает превышение площади. Впишем[en] квадрат в окружность, чтобы все его четыре угла лежали на окружности. Между квадратом и окружностью четыре сегмента. Если общая их площадь G4 больше E, делим каждую дугу пополам, что превращает вписанный квадрат в восьмиугольник и образует восемь сегментов с меньшим общим зазором, G8. Продолжаем деление, пока общий зазор Gn не станет меньше E. Теперь площадь вписанного многоугольника Pn = C − Gn должна быть больше площади треугольника.

E=C−T>GnPn=C−Gn>C−EPn>T{\displaystyle {\begin{aligned}E&{}=C-T\\&{}>G_{n}\\P_{n}&{}=C-G_{n}\\&{}>C-E\\P_{n}&{}>T\end{aligned}}}

Но это ведёт к противоречию. Для доказательства проведём высоту из центра окружности на середину стороны многоугольника, её длина h меньше радиуса окружности. Пусть каждая сторона многоугольника имеет длину s, сумма всех сторон составит ns, и эта величина меньше длины окружности. Площадь многоугольника состоит из n равных треугольников высоты h с основанием s, что даёт 1⁄2nhs. Но h < r и ns < c, так что площадь многоугольника должна быть меньше площади треугольника 1⁄2cr, получили противоречие.

Не меньше

Окружность с описанным квадратом и восьмиугольником. Показан зазор

Предположим, что площадь круга меньше площади треугольника. Пусть D означает разницу площадей. Описываем квадрат вокруг окружности, так что середины сторон лежат на ней. Если суммарный зазор между квадратом и окружностью G4 больше D, срезаем углы касательными, превращая квадрат в восьмиугольник и продолжаем такие отсечения пока площадь зазора не станет меньше D. Площадь многоугольника Pn должна быть меньше T.

D=T−C>GnPn=C+Gn<C+DPn<T{\displaystyle {\begin{aligned}D&{}=T-C\\&{}>G_{n}\\P_{n}&{}=C+G_{n}\\&{}<C+D\\P_{n}&{}<T\end{aligned}}}

Это тоже приводит к противоречию. Каждый перпендикуляр, проведённый от центра круга к середине стороны, является радиусом, т.е. имеет длину r. А поскольку сумма сторон больше длины окружности, многоугольник из n одинаковых треугольников даст площадь, большую T. Снова получили противоречие.

Таким образом, площадь круга в точности равна площади треугольника.

Доказательство перегруппировкой

Площадь круга после перегруппировки Анимация перегруппировки

Следуя Сато Мошуну [4] и Леонардо да Винчи [5], мы можем использовать вписанные правильные многоугольники другим способом. Положим, мы вписали шестиугольник. Разрежем шестиугольник на шесть треугольников, делая сечения через центр. Два противоположных треугольника содержат общие диаметры. Сдвинем теперь треугольники, чтобы радиальные стороны стали смежными. Теперь пара треугольников образует параллелограмм, в котором стороны шестиугольника образуют две противоположные стороны длиной s. Две радиальные стороны становятся боковыми сторонами, а высота параллелограмма равна h (как в доказательстве Архимеда). Фактически, мы можем собрать все треугольники в один большой параллелограмм, располагая в ряд полученные параллелограммы (из двух треугольников). То же самое будет верно, если мы будем увеличивать число сторон. Для многоугольника с 2n сторонами параллелограмм будет иметь основание ns и высоту h. С ростом числа сторон длина основания параллелограмма увеличивается, стремясь к половине окружности, а высота стремится к радиусу. В пределе параллелограмм становится прямоугольником с шириной πr и высотой r.

Приближения площади круга единичного радиуса перегруппировкой треугольников. многоугольник параллелограмм n     сторона         основание    высота    площадь
4 1,4142136 2,8284271 0,7071068 2,0000000
6 1,0000000 3,0000000 0,8660254 2,5980762
8 0,7653669 3,0614675 0,9238795 2,8284271
10 0,6180340 3,0901699 0,9510565 2,9389263
12 0,5176381 3,1058285 0,9659258 3,0000000
14 0,4450419 3,1152931 0,9749279 3,0371862
16 0,3901806 3,1214452 0,9807853 3,0614675
96 0,0654382 3,1410320 0,9994646 3,1393502
1/∞ π 1 π

Интегрирование

Площадь круга путём интегрирования

Используя интегралы, мы можем просуммировать площадь круга, разделив его на концентрические окружности подобно луковице. Площадь бесконечно тонкого «слоя» радиуса t будет равна 2πt dt, то есть произведению длины окружности на толщину слоя. В результате получим элементарный интеграл для круга радиуса r.

Area(r)=∫0r2πtdt=[(2π)t22]t=0r=πr2.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\int _{0}^{r}2\pi t\,dt\\&{}=\left[(2\pi ){\frac {t^{2}}{2}}\right]_{t=0}^{r}\\&{}=\pi r^{2}.\end{aligned}}}

Можно разбивать круг не на кольца, а на треугольники с бесконечно малым основанием. Площадь каждого такого треугольника равна 1/2 * r * dt. Суммируя (интегрируя) все площади этих треугольников, получим формулу круга:

Area(r)=∫02πr12rdt=[12rt]t=02πr=πr2.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\int _{0}^{2\pi r}{\frac {1}{2}}r\,dt\\&{}=\left[{\frac {1}{2}}rt\right]_{t=0}^{2\pi r}\\&{}=\pi r^{2}.\end{aligned}}}

Быстрая аппроксимация

Вычисления, проведённые Архимедом, были трудоёмкими и он остановился на многоугольнике с 96 сторонами. Более быстрый метод использует идеи Снелла (1621), позднее развитые Гюйгенсом (1654) [6].

Метод удвоения Архимеда

Если задан круг, пусть un будет периметром вписанного правильного n-угольника, а Un — периметром описанного правильного n-угольника. Тогда un и Un являются нижней и верхней границей длины окружности, которые становятся точнее с ростом n, а их среднее значение (un + Un)/2 становится особенно хорошей аппроксимацией длины окружности. Чтобы вычислить un и Un для больших n, Архимед вывел следующие формулы:

u2n=U2nun{\displaystyle u_{2n}={\sqrt {U_{2n}u_{n}}}}    (среднее геометрическое)U2n=2UnunUn+un{\displaystyle U_{2n}={\frac {2U_{n}u_{n}}{U_{n}+u_{n}}}}    (среднее гармоническое).

Начав с шестиугольника, Архимед удваивал n четыре раза, дойдя до 96-угольника, который дал ему хорошую аппроксимацию длины окружности круга.

В современных обозначениях можно воспроизвести эти вычисления (и пойти дальше). Для единичной окружности вписанный шестиугольник имеет периметр u6 = 6, а описанный шестиугольник имеет периметр U6 = 4√3. Удваиваем семь раз, получаем

Удвоения Архимеда семь раз; n = 6×2k. k    n     un   Un   (un + Un)/4
0 6 6,0000000 6,9282032 3,2320508
1 12 6,2116571 6,4307806 3,1606094
2 24 6,2652572 6,3193199 3,1461443
3 48 6,2787004 6,2921724 3,1427182
4 96 6,2820639 6,2854292 3,1418733
5 192 6,2829049 6,2837461 3,1416628
6 384 6,2831152 6,2833255 3,1416102
7 768 6,2831678 6,2832204 3,1415970

(здесь (un + Un)/2 аппроксимирует длину единичной окружности, которая равна 2π, так что (un + Un)/4 аппроксимирует π)

Последняя строка таблицы содержит 355⁄113 — лучшее рациональное приближение, то есть не существует приближения лучшего этого со знаменателем до 113.Число 355⁄113 является прекрасным приближением для π, нет рационального числа более близкого к π со знаменателем до 16604.[7]

Улучшение Снелла-Гюйгенса

Снелл предложил (а Гюйгенс доказал) более тесные границы, чем у Архимеда:

n3sin⁡πn2+cos⁡πn<π<n[2sin⁡π3n+tan⁡π3n].{\displaystyle n{\frac {3\sin {\frac {\pi }{n}}}{2+\cos {\frac {\pi }{n}}}}<\pi <n[2\sin {\frac {\pi }{3n}}+\tan {\frac {\pi }{3n}}].}

Для n = 48 формула даёт приближение лучше (около 3,14159292), чем метод Архимеда для n = 768.

Развитие формулы удваивания Архимеда

Круг с подобными треугольниками, описанным, вписанным и дополнительным

Пусть одна сторона вписанного правильного n-угольника имеет длину sn и пусть точки A и B — её концы. Пусть A′ — противоположная A точка на окружности, так что A′A является диаметром, а A′AB является вписанным треугольником, опирающимся на этот диаметр. По теореме Фалеса этот треугольник является прямоугольным (угол B прямой). Пусть длина A′B равна cn и эту длину будем называть дополнением sn. Тогда cn2+sn2 = (2r)2. Пусть точка C делит дугу AB пополам, и пусть C′ является противоположной C точкой окружности. Тогда длина CA равна s2n, длина C′A равна c2n, а C′CA снова является прямоугольным треугольником, опирающимся на диаметр C′C. Поскольку C делит дугу AB пополам, диаметр C′C перпендикулярен хорде AB, которую он пересекает, скажем, в точке P. Треугольник C′AP тогда прямоуголен и подобен C′CA, поскольку у них общий угол C′. Получаем, что все три соответствующие стороны находятся в одной и той же пропорции. В частности, мы имеем C′A : C′C = C′P : C′A и AP : C′A = CA : C′C. Центр окружности O делит A′A пополам, так что треугольник OAP подобен A′AB и длина OP равна половине длины A′B. В результате получаем

c2n2=(r+12cn)2rc2n=sns2n.{\displaystyle {\begin{aligned}c_{2n}^{2}&{}=\left(r+{\frac {1}{2}}c_{n}\right)2r\\c_{2n}&{}={\frac {s_{n}}{s_{2n}}}.\end{aligned}}}

В первом равенстве отрезок C′P равен сумме C′O+OP, что равно r+1⁄2cn, а отрезок C′C является диаметром и его длина равна 2r. Для единичного круга получаем знаменитую формулу удвоения Людольфа Ван Цейлена

c2n=2+cn.{\displaystyle c_{2n}={\sqrt {2+c_{n}}}.}

Если мы теперь построим правильный описанный n-угольник со стороной ″B″, параллельной AB, то OAB и OA″B″ являются подобными с отношением подобия A″B″ : AB = OC : OP. Обозначим описанную сторону Sn, тогда отношение превращается в Sn : sn = 1 : 1⁄2cn. (Мы снова используем факт, что OP равен половине A′B.) Получаем

cn=2snSn.{\displaystyle c_{n}=2{\frac {s_{n}}{S_{n}}}.}

Обозначим периметр вписанного многоугольника через un = nsn, а описанного через Un = nSn. Комбинируя равенства, получим

c2n=sns2n=2s2nS2n,{\displaystyle c_{2n}={\frac {s_{n}}{s_{2n}}}=2{\frac {s_{2n}}{S_{2n}}},}

так что

u2n2=unU2n.{\displaystyle u_{2n}^{2}=u_{n}U_{2n}.}

Получили среднее геометрическое.

Можно также вывести

2s2nS2nsns2n=2+2snSn,{\displaystyle 2{\frac {s_{2n}}{S_{2n}}}{\frac {s_{n}}{s_{2n}}}=2+2{\frac {s_{n}}{S_{n}}},}

или

2U2n=1un+1Un.{\displaystyle {\frac {2}{U_{2n}}}={\frac {1}{u_{n}}}+{\frac {1}{U_{n}}}.}

Получили среднее гармоническое.

Аппроксимация случайными бросаниями

Площадь единичного круга методами Монте-Карло. После 900 бросаний получаем 4×709⁄900 = 3,15111…

Если более эффективные методы недоступны, можно прибегнуть к «бросанию дротиков». Этот метод Монте-Карло использует факт, что при случайных бросаниях точки равномерно по площади квадрата, в котором расположен круг, число попаданий в круг приближается к отношению площади круга на площадь квадрата. Следует принимать этот метод как последнюю возможность вычисления площади круга (или фигуры любой формы), поскольку для получения приемлемой точности требует огромного числа испытаний. Для получения точности 10−n необходимо около 100n случайных испытаний [8].

Конечная перегруппировка

Как мы видели, разбив диск на бесконечное число кусков мы можем из них затем собрать прямоугольник. Интересный факт был открыт относительно недавно Лацковичем [9], что мы можем разбить круг на большое, однако конечное число кусков, а затем перегруппировать их в квадрат той же площади. Сам вопрос о таком конечном разбиении носит название «Квадратура круга Тарского».

Обобщения

Мы можем растянуть круг до формы эллипса. Поскольку это растяжение является линейным преобразованием плокости, оно изменяет площадь, но сохраняет отношения площадей. Этот факт можно использовать для вычисления площади произвольного эллипса, отталкиваясь от площади круга.

Пусть единичный эллипс описан квадратом со стороной 2. Преобразование переводит круг в эллипс путём сжатия или растяжения горизонтального и вертикального диаметров до малой и большой оси эллипса. Квадрат становится прямоугольником, описанным вокруг эллипса. Отношение площади круга к площади квадрата равно π/4, и отношение площади эллипса к площади прямоугольника будет тоже π/4. Если a и b — длины малой и большой осей эллипса. Площадь прямоугольника будет равна ab, а тогда площадь эллипса — πab/4.

Мы можем распространить аналогичные техники и на большие размерности. Например, если мы хотим вычислить объём внутри сферы, и мы знаем формулу для площади сферы, мы можем использовать приём, аналогичный «луковичному» подходу для круга.

Метод треугольника

Круг, развернутый треугольник Круг и треугольник имеют одну площадь.

Этот метод является модификацией доказательства, использующего окружности. Представим себе разворачивание концентричных кругов в отрезки, получим прямоугольный треугольник с высотой r и основанием 2πr (получаемое из внешней окружности круга).

Вычисление площади треугольника даст площадь круга:

Площадь = ½ * основание * высота= ½ * 2 π r * r = π r2.

Примечания

  1. ↑ James Stewart. Single variable calculus early transcendentals.. — 5th.. — Toronto ON: Brook/Cole, 2003. — С. 3. — ISBN 0-534-39330-6.
  2. ↑ Thomas L. Heath. A Manual of Greek Mathematics. — Courier Dover Publications, 2003. — С. 121–132. — ISBN 0-486-43231-9..
  3. ↑ Hill, George. Лекции по геометрии для начинающих, страница 124 (1894).
  4. ↑ Smith, Mikami, 1914.
  5. ↑ Beckmann, 1976.
  6. ↑ Gerretsen, Verdenduin, 1983.
  7. ↑ Не все лучшие рациональные приближения сводятся к непрерывным дробям!
  8. ↑ Thijsse, 2006.
  9. ↑ Laczkovich, 1990.

Литература

  • Archimedes в переводе Томаса Хита. The Works of Archimedes. — Dover, c. 260 BCE, год публикации 2002. — С. 91–93. — ISBN 978-0-486-42084-4.
  • Petr Beckmann. A History of Pi. — St. Martin's Griffin, 1976. — ISBN 978-0-312-38185-1.
  • J. Gerretsen, P. Verdenduin. Fundamentals of Mathematics, Volume II: Geometry. — MIT Press, 1983. — С. 243–250. — ISBN 978-0-262-52094-2.
  • Miklós Laczkovich. Equidecomposability and discrepancy: A solution to Tarski's circle squaring problem // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1990. — Т. 404. — С. 77–117. (недоступная ссылка)
  • Serge Lang. Math! : Encounters with High School Students. — Springer-Verlag, 1985. — ISBN 978-0-387-96129-3.
  • David Eugene Smith, Yoshio Mikami. A history of Japanese mathematics. — Chicago: Open Court Publishing, 1914. — С. 130–132. — ISBN 978-0-87548-170-8.
  • J. M.Thijsse. Computational Physics. — Cambridge University Press, 2006. — С. 273. — ISBN 978-0-521-57588-1.

Ссылки

wikipedia.green

Площадь круга — WiKi

История

Использование многоугольников

Площадь правильного многоугольника равна половине периметра, умноженного на апофему (высоту). При увеличении числа сторон многоугольник стремится к окружности, а апофема стремится к радиусу. Это даёт основание считать, что площадь круга равна произведению половины длины окружности на радиус.[3]

Доказательство Архимеда

Следуя Архимеду, сравним площадь круга с площадью прямоугольного треугольника, основание которого равно длине окружности, а высота равна радиусу. Если площадь круга не равна площади треугольника, она должна быть меньше или больше. Исключим оба варианта, что оставит только одну возможность — площади равны. Для доказательства будем использовать правильные многоугольники.

Не больше

  Круг с вписанными квадратом и восьмиугольником. Показан зазор

Предположим, что площадь круга C больше площади треугольника T = 1⁄2cr. Пусть E означает превышение площади. Впишем[en] квадрат в окружность, чтобы все его четыре угла лежали на окружности. Между квадратом и окружностью четыре сегмента. Если общая их площадь G4 больше E, делим каждую дугу пополам, что превращает вписанный квадрат в восьмиугольник и образует восемь сегментов с меньшим общим зазором, G8. Продолжаем деление, пока общий зазор Gn не станет меньше E. Теперь площадь вписанного многоугольника Pn = C − Gn должна быть больше площади треугольника.

E=C−T>GnPn=C−Gn>C−EPn>T{\displaystyle {\begin{aligned}E&{}=C-T\\&{}>G_{n}\\P_{n}&{}=C-G_{n}\\&{}>C-E\\P_{n}&{}>T\end{aligned}}} 

Но это ведёт к противоречию. Для доказательства проведём высоту из центра окружности на середину стороны многоугольника, её длина h меньше радиуса окружности. Пусть каждая сторона многоугольника имеет длину s, сумма всех сторон составит ns, и эта величина меньше длины окружности. Площадь многоугольника состоит из n равных треугольников высоты h с основанием s, что даёт 1⁄2nhs. Но h < r и ns < c, так что площадь многоугольника должна быть меньше площади треугольника 1⁄2cr, получили противоречие.

Не меньше

  Окружность с описанным квадратом и восьмиугольником. Показан зазор

Предположим, что площадь круга меньше площади треугольника. Пусть D означает разницу площадей. Описываем квадрат вокруг окружности, так что середины сторон лежат на ней. Если суммарный зазор между квадратом и окружностью G4 больше D, срезаем углы касательными, превращая квадрат в восьмиугольник и продолжаем такие отсечения пока площадь зазора не станет меньше D. Площадь многоугольника Pn должна быть меньше T.

D=T−C>GnPn=C+Gn<C+DPn<T{\displaystyle {\begin{aligned}D&{}=T-C\\&{}>G_{n}\\P_{n}&{}=C+G_{n}\\&{}<C+D\\P_{n}&{}<T\end{aligned}}} 

Это тоже приводит к противоречию. Каждый перпендикуляр, проведённый от центра круга к середине стороны, является радиусом, т.е. имеет длину r. А поскольку сумма сторон больше длины окружности, многоугольник из n одинаковых треугольников даст площадь, большую T. Снова получили противоречие.

Таким образом, площадь круга в точности равна площади треугольника.

Доказательство перегруппировкой

  Площадь круга после перегруппировки   Анимация перегруппировки

Следуя Сато Мошуну [4] и Леонардо да Винчи [5], мы можем использовать вписанные правильные многоугольники другим способом. Положим, мы вписали шестиугольник. Разрежем шестиугольник на шесть треугольников, делая сечения через центр. Два противоположных треугольника содержат общие диаметры. Сдвинем теперь треугольники, чтобы радиальные стороны стали смежными. Теперь пара треугольников образует параллелограмм, в котором стороны шестиугольника образуют две противоположные стороны длиной s. Две радиальные стороны становятся боковыми сторонами, а высота параллелограмма равна h (как в доказательстве Архимеда). Фактически, мы можем собрать все треугольники в один большой параллелограмм, располагая в ряд полученные параллелограммы (из двух треугольников). То же самое будет верно, если мы будем увеличивать число сторон. Для многоугольника с 2n сторонами параллелограмм будет иметь основание ns и высоту h. С ростом числа сторон длина основания параллелограмма увеличивается, стремясь к половине окружности, а высота стремится к радиусу. В пределе параллелограмм становится прямоугольником с шириной πr и высотой r.

Приближения площади круга единичного радиуса перегруппировкой треугольников. многоугольник параллелограмм n     сторона         основание    высота    площадь
4 1,4142136 2,8284271 0,7071068 2,0000000
6 1,0000000 3,0000000 0,8660254 2,5980762
8 0,7653669 3,0614675 0,9238795 2,8284271
10 0,6180340 3,0901699 0,9510565 2,9389263
12 0,5176381 3,1058285 0,9659258 3,0000000
14 0,4450419 3,1152931 0,9749279 3,0371862
16 0,3901806 3,1214452 0,9807853 3,0614675
96 0,0654382 3,1410320 0,9994646 3,1393502
1/∞ π 1 π

Интегрирование

  Площадь круга путём интегрирования

Используя интегралы, мы можем просуммировать площадь круга, разделив его на концентрические окружности подобно луковице. Площадь бесконечно тонкого «слоя» радиуса t будет равна 2πt dt, то есть произведению длины окружности на толщину слоя. В результате получим элементарный интеграл для круга радиуса r.

Area(r)=∫0r2πtdt=[(2π)t22]t=0r=πr2.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\int _{0}^{r}2\pi t\,dt\\&{}=\left[(2\pi ){\frac {t^{2}}{2}}\right]_{t=0}^{r}\\&{}=\pi r^{2}.\end{aligned}}} 

Можно разбивать круг не на кольца, а на треугольники с бесконечно малым основанием. Площадь каждого такого треугольника равна 1/2 * r * dt. Суммируя (интегрируя) все площади этих треугольников, получим формулу круга:

Area(r)=∫02πr12rdt=[12rt]t=02πr=πr2.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\int _{0}^{2\pi r}{\frac {1}{2}}r\,dt\\&{}=\left[{\frac {1}{2}}rt\right]_{t=0}^{2\pi r}\\&{}=\pi r^{2}.\end{aligned}}} 

Быстрая аппроксимация

Вычисления, проведённые Архимедом, были трудоёмкими и он остановился на многоугольнике с 96 сторонами. Более быстрый метод использует идеи Снелла (1621), позднее развитые Гюйгенсом (1654) [6].

Метод удвоения Архимеда

Если задан круг, пусть un будет периметром вписанного правильного n-угольника, а Un — периметром описанного правильного n-угольника. Тогда un и Un являются нижней и верхней границей длины окружности, которые становятся точнее с ростом n, а их среднее значение (un + Un)/2 становится особенно хорошей аппроксимацией длины окружности. Чтобы вычислить un и Un для больших n, Архимед вывел следующие формулы:

u2n=U2nun{\displaystyle u_{2n}={\sqrt {U_{2n}u_{n}}}}     (среднее геометрическое)U2n=2UnunUn+un{\displaystyle U_{2n}={\frac {2U_{n}u_{n}}{U_{n}+u_{n}}}}     (среднее гармоническое).

Начав с шестиугольника, Архимед удваивал n четыре раза, дойдя до 96-угольника, который дал ему хорошую аппроксимацию длины окружности круга.

В современных обозначениях можно воспроизвести эти вычисления (и пойти дальше). Для единичной окружности вписанный шестиугольник имеет периметр u6 = 6, а описанный шестиугольник имеет периметр U6 = 4√3. Удваиваем семь раз, получаем

Удвоения Архимеда семь раз; n = 6×2k. k    n     un   Un   (un + Un)/4
0 6 6,0000000 6,9282032 3,2320508
1 12 6,2116571 6,4307806 3,1606094
2 24 6,2652572 6,3193199 3,1461443
3 48 6,2787004 6,2921724 3,1427182
4 96 6,2820639 6,2854292 3,1418733
5 192 6,2829049 6,2837461 3,1416628
6 384 6,2831152 6,2833255 3,1416102
7 768 6,2831678 6,2832204 3,1415970

(здесь (un + Un)/2 аппроксимирует длину единичной окружности, которая равна 2π, так что (un + Un)/4 аппроксимирует π)

Последняя строка таблицы содержит 355⁄113 — лучшее рациональное приближение, то есть не существует приближения лучшего этого со знаменателем до 113.Число 355⁄113 является прекрасным приближением для π, нет рационального числа более близкого к π со знаменателем до 16604.[7]

Улучшение Снелла-Гюйгенса

Снелл предложил (а Гюйгенс доказал) более тесные границы, чем у Архимеда:

n3sin⁡πn2+cos⁡πn<π<n[2sin⁡π3n+tan⁡π3n].{\displaystyle n{\frac {3\sin {\frac {\pi }{n}}}{2+\cos {\frac {\pi }{n}}}}<\pi <n[2\sin {\frac {\pi }{3n}}+\tan {\frac {\pi }{3n}}].} 

Для n = 48 формула даёт приближение лучше (около 3,14159292), чем метод Архимеда для n = 768.

Развитие формулы удваивания Архимеда

  Круг с подобными треугольниками, описанным, вписанным и дополнительным

Пусть одна сторона вписанного правильного n-угольника имеет длину sn и пусть точки A и B — её концы. Пусть A′ — противоположная A точка на окружности, так что A′A является диаметром, а A′AB является вписанным треугольником, опирающимся на этот диаметр. По теореме Фалеса этот треугольник является прямоугольным (угол B прямой). Пусть длина A′B равна cn и эту длину будем называть дополнением sn. Тогда cn2+sn2 = (2r)2. Пусть точка C делит дугу AB пополам, и пусть C′ является противоположной C точкой окружности. Тогда длина CA равна s2n, длина C′A равна c2n, а C′CA снова является прямоугольным треугольником, опирающимся на диаметр C′C. Поскольку C делит дугу AB пополам, диаметр C′C перпендикулярен хорде AB, которую он пересекает, скажем, в точке P. Треугольник C′AP тогда прямоуголен и подобен C′CA, поскольку у них общий угол C′. Получаем, что все три соответствующие стороны находятся в одной и той же пропорции. В частности, мы имеем C′A : C′C = C′P : C′A и AP : C′A = CA : C′C. Центр окружности O делит A′A пополам, так что треугольник OAP подобен A′AB и длина OP равна половине длины A′B. В результате получаем

c2n2=(r+12cn)2rc2n=sns2n.{\displaystyle {\begin{aligned}c_{2n}^{2}&{}=\left(r+{\frac {1}{2}}c_{n}\right)2r\\c_{2n}&{}={\frac {s_{n}}{s_{2n}}}.\end{aligned}}} 

В первом равенстве отрезок C′P равен сумме C′O+OP, что равно r+1⁄2cn, а отрезок C′C является диаметром и его длина равна 2r. Для единичного круга получаем знаменитую формулу удвоения Людольфа Ван Цейлена

c2n=2+cn.{\displaystyle c_{2n}={\sqrt {2+c_{n}}}.} 

Если мы теперь построим правильный описанный n-угольник со стороной ″B″, параллельной AB, то OAB и OA″B″ являются подобными с отношением подобия A″B″ : AB = OC : OP. Обозначим описанную сторону Sn, тогда отношение превращается в Sn : sn = 1 : 1⁄2cn. (Мы снова используем факт, что OP равен половине A′B.) Получаем

cn=2snSn.{\displaystyle c_{n}=2{\frac {s_{n}}{S_{n}}}.} 

Обозначим периметр вписанного многоугольника через un = nsn, а описанного через Un = nSn. Комбинируя равенства, получим

c2n=sns2n=2s2nS2n,{\displaystyle c_{2n}={\frac {s_{n}}{s_{2n}}}=2{\frac {s_{2n}}{S_{2n}}},} 

так что

u2n2=unU2n.{\displaystyle u_{2n}^{2}=u_{n}U_{2n}.} 

Получили среднее геометрическое.

Можно также вывести

2s2nS2nsns2n=2+2snSn,{\displaystyle 2{\frac {s_{2n}}{S_{2n}}}{\frac {s_{n}}{s_{2n}}}=2+2{\frac {s_{n}}{S_{n}}},} 

или

2U2n=1un+1Un.{\displaystyle {\frac {2}{U_{2n}}}={\frac {1}{u_{n}}}+{\frac {1}{U_{n}}}.} 

Получили среднее гармоническое.

Аппроксимация случайными бросаниями

  Площадь единичного круга методами Монте-Карло. После 900 бросаний получаем 4×709⁄900 = 3,15111…

Если более эффективные методы недоступны, можно прибегнуть к «бросанию дротиков». Этот метод Монте-Карло использует факт, что при случайных бросаниях точки равномерно по площади квадрата, в котором расположен круг, число попаданий в круг приближается к отношению площади круга на площадь квадрата. Следует принимать этот метод как последнюю возможность вычисления площади круга (или фигуры любой формы), поскольку для получения приемлемой точности требует огромного числа испытаний. Для получения точности 10−n необходимо около 100n случайных испытаний [8].

Конечная перегруппировка

Как мы видели, разбив диск на бесконечное число кусков мы можем из них затем собрать прямоугольник. Интересный факт был открыт относительно недавно Лацковичем [9], что мы можем разбить круг на большое, однако конечное число кусков, а затем перегруппировать их в квадрат той же площади. Сам вопрос о таком конечном разбиении носит название «Квадратура круга Тарского».

Обобщения

Мы можем растянуть круг до формы эллипса. Поскольку это растяжение является линейным преобразованием плокости, оно изменяет площадь, но сохраняет отношения площадей. Этот факт можно использовать для вычисления площади произвольного эллипса, отталкиваясь от площади круга.

Пусть единичный эллипс описан квадратом со стороной 2. Преобразование переводит круг в эллипс путём сжатия или растяжения горизонтального и вертикального диаметров до малой и большой оси эллипса. Квадрат становится прямоугольником, описанным вокруг эллипса. Отношение площади круга к площади квадрата равно π/4, и отношение площади эллипса к площади прямоугольника будет тоже π/4. Если a и b — длины малой и большой осей эллипса. Площадь прямоугольника будет равна ab, а тогда площадь эллипса — πab/4.

Мы можем распространить аналогичные техники и на большие размерности. Например, если мы хотим вычислить объём внутри сферы, и мы знаем формулу для площади сферы, мы можем использовать приём, аналогичный «луковичному» подходу для круга.

Метод треугольника

  Круг, развернутый треугольник   Круг и треугольник имеют одну площадь.

Этот метод является модификацией доказательства, использующего окружности. Представим себе разворачивание концентричных кругов в отрезки, получим прямоугольный треугольник с высотой r и основанием 2πr (получаемое из внешней окружности круга).

Вычисление площади треугольника даст площадь круга:

Площадь = ½ * основание * высота= ½ * 2 π r * r = π r2.

Примечания

  1. ↑ James Stewart. Single variable calculus early transcendentals.. — 5th.. — Toronto ON: Brook/Cole, 2003. — С. 3. — ISBN 0-534-39330-6.
  2. ↑ Thomas L. Heath A Manual of Greek Mathematics. — Courier Dover Publications, 2003. — С. 121–132. — ISBN 0-486-43231-9..
  3. ↑ Hill, George. Лекции по геометрии для начинающих, страница 124 (1894).
  4. ↑ Smith, Mikami, 1914.
  5. ↑ Beckmann, 1976.
  6. ↑ Gerretsen, Verdenduin, 1983.
  7. ↑ Не все лучшие рациональные приближения сводятся к непрерывным дробям!
  8. ↑ Thijsse, 2006.
  9. ↑ Laczkovich, 1990.

Литература

  • Archimedes в переводе Томаса Хита The Works of Archimedes. — Dover, c. 260 BCE, год публикации 2002. — С. 91–93. — ISBN 978-0-486-42084-4.
  • Petr Beckmann A History of Pi. — St. Martin's Griffin, 1976. — ISBN 978-0-312-38185-1.
  • J. Gerretsen, P. Verdenduin Fundamentals of Mathematics, Volume II: Geometry. — MIT Press, 1983. — С. 243–250. — ISBN 978-0-262-52094-2.
  • Miklós Laczkovich Equidecomposability and discrepancy: A solution to Tarski's circle squaring problem // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1990. — Т. 404. — С. 77–117. (недоступная ссылка)
  • Serge Lang Math! : Encounters with High School Students. — Springer-Verlag, 1985. — ISBN 978-0-387-96129-3.
  • David Eugene Smith, Yoshio Mikami A history of Japanese mathematics. — Chicago: Open Court Publishing, 1914. — С. 130–132. — ISBN 978-0-87548-170-8.
  • J. M.Thijsse Computational Physics. — Cambridge University Press, 2006. — С. 273. — ISBN 978-0-521-57588-1.

Ссылки

ru-wiki.org

квадрат вписан в окружность, определить площадь закрашенной области

Условие задачи:

В окружность вписан квадрат. Найти площадь закрашенной области, если радиус окружности равен 3 м.

Дано:Радиус окружности, R = 3 м

Пояснение к рисунку:O - центр окружностиa - сторона квадратаd - диагональ квадратаD - диаметр окружности

Найти площадь закрашенной области: S

Решение

Площадь искомой области можно выразить как разницу между площадью круга и площадью квадрата

Площадь круга

Площадь квадрата

Неизвестна сторона квадрата. Из рисунка видно, что диагональ квадрата равна диаметру окружности и соответственно удвоенному радиусу

Сторону квадрата можно выразить через диагональ, используя следующую формулу. И вместо диагонали подставить радиус окружности.

Теперь, формула площади квадрата через радиус окружности, будет выглядеть следующим образом.

Подставив уже известные формулы площади круга и квадрата выраженные через радиус, в самую первую формулу площади искомой области, получаем.

Вставляем значения.

Ответ:

Результат получился приблизительным, потому что число π нельзя выразить точно, оно имеет бесконечное количество знаков после запятой. В данном случаи, мы взяли  π ≈ 3.14

 

Калькулятор для расчета закрашенной области

 

www-formula.ru

Какое соотношение площади у квадрата и круга вписанного в него

Пусть сторона квадрата равна а, тогда радиус вписанного круга равен а/2. Площадь квадрата а^2, а площадь круга пи*а^2/4. Отношение площадей 4/пи

Пусть сторона квадрата а Тогда площадь квадрата равна а^2, a площадь вписанного в него круга &#960;*(а/2)^2 Отношение площади квадрата к площади круга будет равно 4/&#960;

2р=а площадь круга пр квадрат площадь квадрата а квадрат вот и считай

Sкв = (2R)^2 = 4R^2 Sкруга = пR^2 Sкв / Sкруга = 4R^2 / пR^2 = 4 / п

Площадь кругап r^2, тогда сторона квадрата 2r и его площадь будет 4r^2.Отношение площади квадрата к площади круга будет 4 к пи.

touch.otvet.mail.ru