"Медианы, биссектрисы и высоты треугольника". 7-й класс. Понятие высоты медианы биссектрисы и высоты


Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Определение:

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Например, возьмём треугольник АВС.

Если точки А1, В1 и С1 - соответственно середины сторон ВС, СА и АВ, то отрезки АА1, ВВ1 и СС1 - медианы этого треугольника. Медианы, проведённые из вершин А, В и С (или их длины) треугольника АВС можно обозначить:

Определение:

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны.

Например, возьмём некоторый треугольник АВС.

Проведём биссектрису АЕ1 угла ВАС, ВЕ2 - угла АВС и СЕ3 - угла АСВ. Биссектрисы, проведённые из вершин А, В и С (или их длины) треугольника АВС можно обозначить:

Определение:

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из его вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.

Изобразим треугольник АВС и отрезки АF1, BF2 и CF3, которые являются высотами нашего треугольника.

Высоты, проведённые из вершин А, В и С (или их длины) треугольника АВС можно обозначить:

Свойства:

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

3. Высоты или прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке.

Ответим на вопрос: Может ли точка пересечения высот лежать вне треугольника?

Да, когда у него один угол тупой.

А может ли точка пересечения высот лежать в вершине треугольника?

Да, может, когда у треугольника есть прямой угол.

Пример.

Рассмотрим следующую задачу. Отрезок BD - медиана треугольника АВС, отрезок ВЕ - медиана треугольника DBC. Чему равна длина отрезка АС, если отрезок ЕС=4 см.?

Так как ВЕ - медиана треугольника DBC, то отрезок DE=ЕС. Следовательно, сторона DC=2*ЕС, то есть DC=8 см.

BD - медиана треугольника АВС, значит, отрезок AD=DC. Следовательно, сторона АС=2*DC. Так как отрезок DC=8 см., то длина стороны АС=16 см.

Ответ: 16 см.

Пример.

Отрезок AD - медиана треугольника АВС. Точка Е лежит на луче АD так, что AD равняется DЕ. Докажите, что треугольник АDВ равен треугольнику CDE.

Так как AD - медиана треугольника АВС, то СD равняется DB.

Рассмотрим треугольники АDВ и CDE. У них сторона AD равна стороне DЕ по условию задачи; сторона СD равна стороне DB, так как AD - медиана; а углы ADB и CDE равны как вертикальные.

Следовательно, треугольник АDВ равен треугольнику CDE по первому признаку равенства треугольников.

videouroki.net

Свойства биссектрисы, медианы и высоты треугольника

В этой статье вы найдете свойства биссектрисы и медианы треугольника, которые могут быть полезны при решении задач.

Биссектрисы.

1. Точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в треугольник окружности.

Доказательство.

показать

Действительно, точки, лежащие на биссектрисе угла равноудалены от сторон угла. Следовательно, точка пересечения биссектрис равноудалена от всех сторон треугольника, то есть является центром вписанной окружности.

2. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

 

 Доказательство.

показать

3. Длина биссектрисы вычисляется по таким формулам:

(1)

Докажем вторую формулу.

показать

Введем обозначения:

Приравняем выражения для площади треугольника :

Отсюда:

4. Пусть О-центр вписанной окружности, -биссектриса угла   треугольника :

Тогда выполняется соотношение:

Доказательство:

показать

 

Биссектрису треугольника в некоторых задачах удобно продолжить до пересечения с описанной окружностью.

Лемма о трилистнике.

Дан треугольник . Точка - точка пересечения биссектрисы угла с описанной около треугольника окружностью. Пусть - центр вписанной в треугольник окружности. Тогда

   

Доказательство.

показать

Докажем формулу (1) из п. 3:

 

Доказательство:

показать

Продолжим биссектрису до пересечения с описанной окружностью. Рассмотрим треугольники и  . Отметим равные углы:

 

Треугольник  подобен треугольнику по двум углам. Отсюда:

   

   

(2)

   

(3)

По свойству отрезков пересекающихся хорд

   

   

(4)

Подставим (3) в (2) и воспользуемся (4):

   

   

   

Отсюда

   

   

Выразим длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону треугольника через длины сторон треугольника. Введем обозначения:

Получим систему:

   

Отсюда

   

   

   

   

 

Медианы.

1. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины:

 

2. Пусть - точка внутри треугольника такая, что выполняется соотношение: , то - точка пересечения медиан треугольника .

Доказательство.

показать

3. Медианы треугольника, пересекаясь, разбивают его на 6 равновеликих треугольника.

Доказательство.

показать

Докажем, что

так как ,

так как ,

Следовательно,

[\spoiler]

 

 

Высоты.

1. Прямые, содержащие высоты треугольника пересекаются в одной точке. В случае остроугольного треугольника в одной точке пересекаются сами высоты.

 

 

 

 

 

2. Точка пересечения высот треугольника обладает следующим свойством: сумма квадрата расстояния от вершины треугольника и квадрата противолежащей стороны одинаковая для любой вершины:

Доказательство.

[spoiler]

Докажем первую часть равенства:

Перепишем его в виде:

(1)

По теореме Пифагора: (из треугольников  и )

  (из треугольника )

(из треугольника )

Подставим эти выражения в (1), получим:

Раскроем скобки, получим:

.

Получили тождество. Вторая часть равенства доказывается аналогично.

3. Если описать вокруг треугольника окружность и продлить высоты треугольника до пересечения с этой окружностью,

то для любой высоты треугольника расстояние от основания высоты до точки пересечения продолжения высоты с окружностью равно расстоянию от основания высоты до точки пересечения высот:

Или так: Точки, симметричные точке пересечения высот треугольника относительно сторон треугольника, лежат на описанной около треугольника окружности.

Доказательство.

показать

Докажем, что .

Для этого рассмотрим треугольники   и ,  и докажем, что :

Воспользуемся признаком равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам. - общая сторона. Докажем равенство двух углов.

Докажем, что ∠∠

Пусть ∠,  тогда из треугольника получим, что

∠. Следовательно, из треугольника получим, что

∠, и

Но ∠ и ∠ опираются на одну дугу  , следовательно, ∠∠∠

Аналогично получаем, что ∠∠

4. В треугольнике точки   и - основания высот, проведенных из вершин   и . Доказать, что треугольник подобен треугольнику и коэффициент подобия равен .

Доказательство:

показать

Теорема Чевы

Пусть в треугольнике 

Отрезки пересекаются в одной точке в том и только том случае, если

   

(1)

 

Доказательство.

показать

Докажем, что если отрезки пересекаются в одной точке, то соотношение (1) выполняется.

Легко проверить, что если , то выполняется

Применим это свойство пропорции:

   

   

Аналогично:

   

   

Тогда

   

(2)

Теорему Чевы можно записать в таком виде:

Если отрезки пересекаются в одной точке, то  выполняется соотношение:

   

Чтобы доказать теорему Чевы в форме синусов, достаточно во вторую часть равенства (2) вместо площадей треугольников подставить для площади каждого треугольника формулу .

 

Из лекций Агаханова Назара Хангельдыевича и Владимира Викторовича Трушкова,  КПК МФТИ.

ege-ok.ru

Высоты медианы биссектрисы треугольника - материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.

Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.

Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки  на отрезок , зато можем опустить его на прямую  — то есть на продолжение стороны .

В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.

А как выглядят три высоты в прямоугольном треугольнике? В какой точке они пересекаются?

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении , считая от вершины.

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.

Еще одно свойство биссектрисы пригодится тем, кто собирается решать задачу . Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Пусть биссектрисы треугольника (в котором угол  равен ) пересекаются в точке .

Рассмотрим треугольник .

,

, тогда

Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен .

Угол  смежный с углом , следовательно, .

Поскольку треугольник  — прямоугольный, то .

Тогда .

Ответ: .

2. Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Пусть  — высота, проведенная из вершины прямого угла ,  — биссектриса угла .

Тогда

.

Угол между высотой и биссектрисой — это угол .

Ответ: .

3. Два угла треугольника равны и . Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Из треугольника (угол  — прямой) найдем угол . Он равен .

Из треугольника ( — прямой) найдем угол . Он равен .

В треугольнике известны два угла. Найдем третий, то есть угол , который и является тупым углом между высотами треугольника :

.

Ответ: .

4. В треугольнике угол  равен ,  и  — биссектрисы, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Пусть в треугольнике угол равен , угол равен .

Рассмотрим треугольник .

, тогда .

Из треугольника получим, что .

Тогда .

Ответ: .

5. В треугольнике угол  равен , угол  равен . , и  — биссектрисы, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Найдем угол . Он равен .

Тогда .

Из треугольника найдем угол . Он равен .

Рассмотрим треугольник .

, . Значит

Ответ: .

6. В треугольнике ,  — медиана, угол равен , угол  равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Как решать эту задачу? У медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, есть особое свойство. Мы докажем его в теме «Прямоугольник и его свойства».

Подсказка: Сделайте чертеж, найдите на нем равнобедренные треугольники и докажите, что они равнобедренные.

Правильный ответ: .

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Треугольник. Важные факты о высоте, биссектрисе и медиане

Определения

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

 

Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

 

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

 

Теорема

В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).

Теорема

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Верны и другие утверждения:В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

 

\[{\Large{\text{Медиана}}}\]

Теорема

В любом треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины.

Доказательство

Пусть \(AD\) и \(BE\) – медианы в треугольнике \(ABC\), \(O\) – точка пересечения \(AD\) и \(BE\).

 

\(DE\) – средняя линия в треугольнике \(ABC\), тогда \(DE\parallel AB\), значит \(\angle ADE = \angle BAD\), \(\angle BED = \angle ABE\), следовательно, треугольники \(ABO\) и \(DOE\) подобны (по двум углам).

 

Из подобия треугольников \(ABO\) и \(DOE\): \(\dfrac{BO}{OE} = \dfrac{AB}{DE} = \dfrac{2}{1}\).

 

Для других медиан треугольника \(ABC\) требуемое свойство доказывается аналогично.

 

Теорема

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники – это треугольники, у которых площади равны).

 

Доказательство

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию: \(S_{ABC} = 0,5\cdot AC\cdot h\).

 

Пусть \(BD\) – медиана в треугольнике \(ABC\), тогда \(AD = DC\).

 

\(S_{ABD} = 0,5\cdot AD\cdot h\),

\(S_{BCD} = 0,5\cdot DC\cdot h\).

 

Так как \(AD = DC\), то \(S_{ABD} = S_{BCD}\), что и требовалось доказать.

 

Теорема

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

 

Верно и обратное: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то она проведена из вершины прямого угла.

 

Доказательство

1) Докажем, что если \(\triangle ABC\) – прямоугольный, то \(BM=\frac12AC\), где \(M\) – середина гипотенузы \(AC\).

 

Достроим треугольник \(ABC\) до прямоугольника \(ABCD\) и проведем диагональ \(BD\). Т.к. в прямоугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам и равны, то \(AC\cap BD=M\), причем \(AM=MC=BM=MD\), чтд.

 

2) Докажем, что если в треугольнике \(ABC\) медиана \(BM=AM=MC\), то \(\angle B=90^\circ\).

 

Треугольники \(AMB\) и \(CMB\) – равнобедренные, следовательно, \(\angle BAM=\angle ABM=\alpha, \quad \angle MBC=\angle MCB=\beta\).

 

Т.к. сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), то для \(\triangle ABC\):

 

\(\alpha+(\alpha+\beta)+\beta=180^\circ \Rightarrow \alpha+\beta=90^\circ \Rightarrow \angle B=90^\circ\), чтд.

 

\[{\Large{\text{Биссектриса}}}\]

Теорема

Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:

 

Верно и обратное: если отрезок, проведенный из вершины треугольника к стороне, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то это биссектриса.

 

Доказательство

Площади треугольников, у которых есть равные углы, относятся как произведения сторон, образующих эти углы, то есть \[\dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = \dfrac{AC\cdot CD}{CB\cdot CD} = \dfrac{AC}{CB}\]

С другой стороны, \(\dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = \dfrac{0,5\cdot AD\cdot h}{0,5\cdot DB\cdot h}\), где \(h\) – высота, проведённая из точки \(C\), тогда \(\dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = \dfrac{AD}{DB}\).

 

В итоге \(\dfrac{AD}{DB} = \dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = \dfrac{AC}{CB}\), откуда \(\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{DB}{BC}\), что и требовалось доказать.

 

Теорема

Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.

 

Верно и обратное: если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон.

 

Доказательство

1) Докажем, что если \(KA=KB\), то \(OK\) – биссектриса.Рассмотрим треугольники \(AOK\) и \(BOK\): они равны по катету и гипотенузе, следовательно, \(\angle AOK=\angle BOK\), чтд.

 

2) Докажем, что если \(OK\) – биссектриса, то \(KA=KB\).Аналогично треугольники \(AOK\) и \(BOK\) равны по гипотенузе и острому углу, следовательно, \(KA=KB\), чтд.

shkolkovo.net

"Медианы, биссектрисы и высоты треугольника". 7-й класс

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (4,4 МБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель: выработать умение строить медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

Задачи:

  • Образовательные:
    • ввести понятие перпендикуляра к прямой, медианы, биссектрисы и высоты треугольника;
    • сформировать умение строить медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
  • Воспитательные:
    • создать условия для воспитания коммуникативных навыков и навыков сотрудничества;
    • вовлечь в активную деятельность всех учащихся класса;
    • воспитывать у учащихся любознательность.
  • Развивающие:
    • развивать познавательный интерес и логическое мышление;
    • развивать умение видеть проблему и выдвигать гипотезы по ее решению;
    • развивать навыки коллективной работы учащихся в сочетании с самостоятельным умением анализировать, выделять главное, обобщать и делать выводы.

Тип урока: урок формирования новых умений.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация «Медианы, биссектрисы и высоты треугольника», чертежные инструменты (линейка, транспортир, циркуль) на каждого учащегося, раздаточный материал <Приложение 1> (остроугольные, прямоугольные и тупоугольные треугольники), цветные фломастеры или карандаши, карточка <Приложение 2> с заданием на каждого ученика.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Проверить готовность учащихся к уроку. Сформулировать тему и цели урока.

II. Изучение нового материала

1. Введение понятия перпендикуляра к прямой (Слайд 2, 3)

Практическая работа:

– Начертите прямую а и отметьте точку А, не лежащую на этой прямой. – Через точку А проведите прямую, перпендикулярную прямой а. Точку пересечения прямых обозначьте Н. – Как называются прямые АН и а? Запишите взаимное расположение прямых с помощью математических символов. – Подумайте, как может называться отрезок АН? – Сколько отрезков, удовлетворяющих нашему условию, можно провести к прямой а?

Теорема о перпендикуляре:

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

2. Введение понятия медианы треугольника (Слайды 4, 5)

– Постройте треугольник АВС. На стороне ВС поставьте точку М так, чтобы она являлась серединой отрезка. Соедините точки А и М. Отрезок АМ является медианой треугольника АВС. – Дайте определение медианы треугольника. Сверим Ваше определение с определением записанным в учебнике на стр. 33.

Шуточное определение: [2]

Медиана – обезьяна, У которой зоркий глаз, Прыгнет точно в середину Стороны против вершины, Где находится сейчас?

– Сколько медиан можно провести в треугольнике?

3. Введение понятия биссектрисы треугольника (Слайды 6, 7)

– Постройте треугольник АВС. В треугольнике угол ВАС поделите лучом АА1 пополам. Отрезок АА1 является биссектрисой треугольника АВС. – Дайте определение биссектрисы треугольника. Сверим Ваше определение с определением записанным в учебнике на стр. 33.

Шуточное определение: [2]

Биссектриса – это крыса, Которая бегает по углам И делит угол пополам.

– Сколько биссектрис можно провести в треугольнике?

4. Введение понятия высоты треугольника (Слайды 8, 9)

– Постройте треугольник АВС. Из вершины А на сторону ВС опустите перпендикуляр АН. Отрезок АН является высотой треугольника АВС.

– Дайте определение высоты треугольника. Сверим Ваше определение с определением записанным в учебнике на стр. 34.

Шуточное определение: [2]

Высота похожа на кота, Который, выгнув спину, И под прямым углом Соединит вершину И сторону хвостом.

– Сколько высот можно провести в треугольнике?

III. Физкультминутка

1. Потереть ладонью о ладонь. Закрыть глаза и положить ладони на них. Отдых 10-15 с. 2. Быстро поморгать глазами. Закрыть глаза. Отдых 10-15 с. 3. Открыть глаза.

IV. Практическая работа

Работа проводится в парах по рядам на раздаточном материале.

Задание:

I ряд в треугольнике с помощью масштабной линейки проводит медианы треугольника. II ряд в треугольнике с помощью транспортира и линейки проводит биссектрисы треугольника. III ряд в треугольнике с помощью чертежного треугольника проводит высоты треугольника.

При этом учащиеся, сидящие за первыми партами работают с остроугольным треугольником, за вторыми партами – с прямоугольным треугольником, за третьими партами – с тупоугольным треугольником, далее распределение по рядам продолжается в этом же порядке.

Примечание: при построении высот в тупоугольном треугольнике можно получить консультацию у учителя.

V. Выводы:

1. Учащиеся I ряда прикрепляют на доске получившиеся построения медиан в треугольниках.

– Какой вывод можно сделать? Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке. (Слайд 10)

Точку пересечения медиан (в физике) принято называть центром тяжести.

2. Учащиеся II ряда прикрепляют на доске получившиеся построения биссектрис в треугольниках.

– Какой вывод можно сделать? Биссектрисы в треугольнике пересекаются в одной точке. (Слайд 11)

Точка пересечения биссектрис треугольника есть центр вписанной в треугольник окружности.

3. Учащиеся III ряда прикрепляют на доске получившиеся построения высот треугольника.

– Какие трудности возникли при построении высот в треугольнике? Возникла проблема: как построить высоты из острых углов тупоугольного треугольника. (Слайд 12) – Какой вывод можно сделать? Высоты в треугольнике или их продолжения пересекаются в одной точке. (Слайд 13)

Точку пересечения высот называют ортоцентром.

4. Общий вывод. (Слайд 14)

– Каким замечательным свойством обладают медианы, биссектрисы и высоты треугольника?

VI. Итог урока

1. Повторить основные понятия, изученные на уроке. (Слайд 15)

Задание: с помощью чертежных инструментов найдите на рисунке: а) медиану; б) биссектрису; в) высоту треугольника MKT.

2. Рефлексия. Продолжи фразу: я сегодня на уроке … .

VII. Домашнее задание. (Слайд 16)

I уровень: п. 16,17, знать основные определения и формулировки утверждений и теорем. На альбомных листах (А4) в каждом из треугольников (остроугольном, прямоугольном и тупоугольном) провести медианы, биссектрисы и высоты.

II уровень: п. 16,17, знать основные определения и формулировки утверждений, и доказательство теорем. На альбомных листах (А4) в каждом из треугольников (остроугольном, прямоугольном и тупоугольном) провести медианы, биссектрисы и высоты.

Литература:

  1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия 7 – 9. М., «Просвещение», 2011 г.
  2. Елизарова С. Ребятам о зверятах. // Народное образование. № 9 – 10, 1993 г.
  3. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. Рабочая тетрадь для 7 класса. – М., «Просвещение», 2009 г. – № 63.

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Медианы, биссектрисы, высоты треугольника

Начальные сведения о треугольниках

Выберем на плоскости три произвольные точки, которые будут удовлетворять условию аксиомы 1. Соединим эти точки между собой отрезками. Тогда

Определение 1

Треугольником будем называть такую геометрическую фигуру, которая состоит из трех точек, не имеющих общей прямой, соединенных отрезками.

Определение 2

Точки в рамках определения 1 называются вершинами треугольника.

Определение 3

Отрезки в рамках определения 1 называются сторонами треугольника.

Треугольник будем обозначать тремя точками его вершин (рис. 1)

Медиана

Введем такое понятие, связанное с треугольниками как медиана.

Определение 4

Медианой будем называть отрезок, который соединяет вершину с серединой противоположной стороны.

Для более легкого запоминания можно пользоваться следующей «шуточной» иллюстрацией (рис. 2):

Очевидно, что треугольник имеет три медианы. Для них справедлива следующая теорема (её доказательство в этой статье рассматривать не будем):

Теорема 1

Все три медианы в треугольнике пересекаются в единственной точке, которая будет называться центроидом треугольника.

Биссектриса

Введем такое понятие, связанное с треугольниками как биссектриса.

Определение 5

Биссектрисой будем называть луч, который проведен из вершины так, что делит угол в этой вершине на две равные части.

Для более легкого запоминания можно пользоваться следующей «шуточной» иллюстрацией (рис. 3):

Очевидно, что треугольник имеет три биссектрисы. Для них справедлива следующая теорема (её доказательство в этой статье рассматривать не будем):

Теорема 2

Все три биссектрисы в треугольнике пересекаются в единственной точке, которая будет называться инцентром треугольника.

Высота

Введем такое понятие, связанное с треугольниками как высота.

Определение 6

Высотой будем называть отрезок, который проведен из вершины так, что падает на противоположную сторону под прямым углом.

Для более легкого запоминания можно пользоваться следующей «шуточной» иллюстрацией (рис. 4):

Очевидно, что треугольник имеет три высоты. Для них справедлива следующая теорема (её доказательство в этой статье рассматривать не будем):

Теорема 3

Все три высоты в треугольнике пересекаются в единственной точке, которая будет называться ортоцентром треугольника.

Пример задач

Пример 1

Пусть дан треугольник $ABC$. Доказать, что если в нем $BD$ будет и высотой и медианой, то $AB=BC$.

Доказательство

Изобразим рисунок по условию задачи (рис. 5).

Так как $BD$ является медианой, то по определению 4 будет верно равенство $AD=DC$

Так как $BD$ является высотой, то по определению 6 будет верно равенство $∠ADB=∠BDC=90^0$

У треугольников $ADB$ и $BDC$ сторона $BD$ будет общей, следовательно, по всему сказанному выше эти треугольники равняются по первому признаку. Но тогда и стороны $AB$ и $BC$ равны.

Пример 2

Пусть нам даны равные треугольники $ABC$ и $A'B'C'$. В них проведены высоты $BH$ и $B'H'$, соответственно. Доказать, что эти высоты в треугольниках будут равны между собой.

Доказательство.

Изобразим рисунок по условию задачи (рис. 6).

Так как данные треугольники равны, то будет верно равенство $∠A=∠A'$

Так как $BH$ и $B'H'$ являются высотами, то по определению 6 будет верно равенство $∠AHB=∠A'H'B'=90^0$

Из треугольника $ABC$, имеем

$∠ABH=180^0-90^0-∠A=90^0-∠A$

Из треугольника $A'B'C'$ и равенства углов $∠A$ и $∠A'$, получим

$∠A'B'H'=180^0-90^0-∠A'=90^0-∠A'=90^0-∠A=∠ABH$

По всему сказанному выше, треугольники $AHB$ и $A'B'H'$ равняются по первому признаку. Но тогда и стороны $BH$ и $B'H'$ равны.

spravochnick.ru

Медианы биссектрисы высоты треугольника - Урок

Медианы, биссектрисы, высоты треугольника.

2 урока.

Цель урока: Ввести понятие медианы, биссектрисы и высоты треугольника; рассмотреть свойства равнобедренного треугольника. Уметь выполнять практические задания.

План урока:

  1. Организационный момент.

  2. Рассказ – сказка о медианах, высотах и биссектрисах.

  3. Свойства равнобедренного треугольника.

  4. Практические задания.

  5. Решение задач.

  6. Итог урока

  7. Задание на дом.

Ход урока.

  1. Сообщение ученикам о теме и цели урока. Повторение о биссектрисе угла, о треугольнике, как геометрической фигуре.

  2. Ведущий (учитель): Жил-был ученик Степа. Начав изучать геометрию, он многое не понимал, много делал ошибок. Пытался изучать самостоятельно, думая как же понять эту науку. Часто, засыпая, он вспоминал то, что изучал днем. И стали в его снах действующими лицами геометрические фигуры. Они разговаривали с ним, рассказывали о себе, о том, зачем и для чего они нужны. Вот один из таких снов. Слушайте, и попытайтесь вместе со Степой узнать что-то новое для себя.

Жила была Медиана треугольника. Разговорилась как-то она с Биссектрисой угла.

М. – Слушай Биссектриса угла, давай познакомимся поближе. Расскажи мне о себе. Кто ты такая, как ты живешь? А я тебе поведаю про себя. Будет на сердце легче. А то люди иногда такое про нас наговаривают, что и сказать стыдно. Их невежество иногда меня в тупик. Как им разъяснить их заблуждения?

Б. – Хорошо добрая Медиана, расскажу. Я тоже этого хотела. Словно прочитала мои мысли. Ну, слушай. Я – Биссектриса угла. И этим многое сказано. Без угла меня нет. Ну, как грома без молнии, как прямой без точки, угла без лучей. Только назовешь, а тебе в ответ: «А где же твой угол?». Это во-первых. Во-вторых – я луч.

1 1 = 2

2

М. – Прости, моя геометрическая фигура, но ведь и стороны угла тоже лучи. Чем же ты от них отличаешься? – спросила Медиана.

Б. – У меня есть сходство с ними уже потому, что я тоже луч. И исхожу я из той же точки что и они. Эту точку называют вершиной угла. Но я отличаюсь от них. Хотя бы тем, что прохожу между сторонами угла. Понимаешь, между! Иногда люди забывают про это и путают меня со всякими другими лучами, тоже исходящими из вершины угла. Даже если они не проходят между его сторонами.

М. – Да, извини, что перебиваю, но между сторонами не ты одна проходишь?

Б. – Да что ты, конечно нет. А вот угол пополам делю я одна. Больше из лучей никто не делит угол пополам.

М. – Теперь я вижу, что фигура ты значительная. Ты и луч, ты и исходишь из вершины угла, да еще и проходишь между его сторонами и делишь свой угол пополам. Ты обладаешь важными свойствами, тебя нельзя не уважать,

Б. – Спасибо за добрые слова.

М. – Это все понятно. Но, скажи, уважаемая Биссектриса угла, как ты связана с треугольником?

Б. – Конечно расскажу. Имеется не только биссектриса угла, но и биссектриса треугольника. Ты ведь знаешь, что треугольник не то, что угол, он является фигурой ограниченной. Ну и биссектриса у него тоже фигура ограниченная. Она является отрезком и составляет мою часть. А потому Медиана, когда ты совпадаешь с биссектрисой треугольника , то тоже оказываешься моей частью. Вот и выходит, что мы с тобой связаны.

М. – Слыхала, Биссектриса угла, что если вас трое и вы становитесь биссектрисами углов треугольника, то у вас есть единственная общая точка. Правда ли это?

Б. – Правда, правда. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке. Почему? Об этом мы узнаем немного попозже.

В Чертеж выполнить в тетради. AK, DC, BM – биссектрисы.

1 2 1 = 2; 3 = 4; 5 = 6.

D О K

3 6

4 5

А М С

М. – Спасибо тебе, биссектриса угла, за такой терпеливый и содержательный рассказ о себе. Право, обо мне ты услышишь мало занимательного. Жизнь моя обычна. Но все-таки слушай.

Послушаем и мы о новой для нас фигуре – Медиане.

М. – Прежде всего, я – отрезок! Только не любой. А такой, один конец которого совпадает с вершиной треугольника, а другой является серединой противоположной стороны.

В Чертежи в тетрадях.

BD – медиана, AD = DC

А С

D

Я долго думала, почему это люди обратили на меня внимание, что я за важная птица, чтобы имя мне дать, да еще такое симпатичное: МЕДИАНА! Мало ли отрезков с концами в вершине треугольника да на противоположной стороне? А вот выделили меня вместе с биссектрисой и высотой треугольника! Ну, их, конечно, удостоили специальных названий – по заслугам: одну – за равенство углов, другую – за прямой угол. А меня, что же, выходит за середину стороны? Может и так. Но, думаю, не только за это.

Б. – А за что же еще? Расскажи!

М. – Ой, да даже не знаю. Рассказывать ли об этом. Дело в том, что сейчас я на время из геометрии выйду в физику. Ты ведь кое-что знаешь о физике?

Б. – Да, конечно кое-что знаю. Мною иногда в физике пользуются. В другой раз я готова даже рассказать об этом.

М. – Ну, тогда слушай. Сидим мы как-то вечерком. Мы – это три медианы одного треугольника. Вдруг слышим чей-то бас: «Уважаемые мои медианы, позвольте с вами познакомиться. Я тесно связан с вами тремя». «Кто ты такой? – спрашиваем. – Как тебя зовут?» А он: «Я являюсь точкой вашего пересечения, но этого мало. – Я ЦЕНТР масс вашего треугольника». Отвечаем ему: «Мы из геометрии, а ты из физики. Что общего между вами? Объясни». И вот что он нам поведал.

Рассказ ведущего (учителя) о центре массы данного треугольника.

B

D K

А М С

АК, СD, ВМ – медиана; О – центр массы.

Модель.

Как бы ни поворачивали треугольник вокруг оси – иголки, он будет поворачиваться и каждый раз занимать одно и то же положение. Мне трудно объяснить это положение. Но сколько бы точек в треугольнике ни выбирали, результат получим тот же самый. Но только до тех пор, пока ось не попадет в точку пересечения медиан треугольника.

Б. – И что же тогда произойдет? Что-то будет не так?

М. – Вот именно не так. Теперь – то, как треугольник вокруг оси не поворачивай, в какое положение его ни приведешь, в таком он и останется Просто чудо! Конечно, если человек проведет медианы неаккуратно, т.е. проведет лишь «якобы медианы», то тут мы, медианы, за результат не отвечаем.

Б. – Да, точка пересечения медиан треугольника обладает поистине удивительным свойством. Для физиков, механиков, инженеров это просто находка. За одно это можно дать тебе имя, дорогая Медиана! Я читала о тебе в учебнике, но что точка вашего пересечения центр масс треугольника – об этом я не знала.

Вед: – Медиана треугольника и Биссектриса угла заканчивали беседу, как вдруг раздался голос.

В

В

А D C ВDACBD – высота

ысота – Вы знаете, я невольно слышала ваши интересные рассказы. Прошу вас, выслушайте и меня тоже. Я расскажу совсем немного. Я высота треугольника. Что такое высота?

Высота – это , опущенный из вершинытреугольник треугольника на прямую содержащую проти-

воположную сторону. Поскольку - это отрезок, противоположную сторону. значит и высота треугольника – это отрезок. В этом

я похожа на тебя. Медиана, и на тебя, Биссектриса

треугольника и этим отличаюсь от биссектрисы угла.

М. – А высот тоже три в треугольнике?

Б. – А они тоже пересекаются в одной точке?

В. – Дело обстоит так:

т

В О В

M M

N

О J

А К С А С

Остроугольный Прямоугольный

треугольник В треугольник

А С

Тупоугольный треугольник

реугольникт реугольник

а) точка пересечения высот лежитвнутри треугольника только тогда, когда он остроугольный;

б) в прямоугольном треугольнике стороны, образующие прямой угол и есть две высоты треугольника, значит точка пересечения высот это вершина прямого угла;

в) высоты тупоугольного треугольника общих точек не имеют, а вот прямые, содержащие эти высоты, пересекаются вне треугольника

М. – А вы забыли нашу дружбу в равнобедренном треугольнике?

Б. – А это что за треугольник?

. – Треугольник, у которого две стороны равны – называется равнобедренным. Если все стороны равны – равносторонним.

М. – А чем он отличается от других треугольников. Каковы его свойства? Расскажи нам уважаемый треугольник, а мы послушаем.

  1. Свойства равнобедренного треугольника.

1 свойство равнобедренного треугольника.

В

В АВ = ВС, АВС – равнобедренный.

АС – основание; АВ и ВС боковые стороны.

А = С

А С

А С

равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

М. – И все?

. – Нет, есть еще важное свойство связанное с вами тремя подругами. Слушайте!

2 свойство равнобедренного треугольника.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Это верно и для медианы и для высоты.

В АМ = МС, значит ВМ - медиана

1 2 1 = 2, значит ВМ - биссектриса

3 4

А М С

3 = 4 = 90о, значит ВМ – высота

Вед: – Попрощались три подружки с треугольником, пожелав новых открытий, совершенствования в умении рассуждать и доказывать.

Проснулся Степа и не поймет, правда или все это только во сне так. Но мы с вами знаем, что это и на самом деле так. И наши подруги еще многое могли бы рассказать нам о себе.

4. Познакомимся и мы поближе с ними в практических заданиях.

№1. Дан равнобедренный треугольник CDE с основанием DE. Назвать боковые стороны, углы при основании, угол, противолежащий основанию этого треугольника.

№2. В равнобедренном треугольнике MPK KM = KP. Назвать боковые стороны, основание, угол, противолежащий основанию, и углы при основании этого треугольника.

Самостоятельная работа обучающего характера.

I Вариант [II Вариант]

В равнобедренном треугольнике сумма всех углов равна 180о. Найти углы этого треугольника, если известно, что:

а) один из них равен 105о[62о];

б) один из них равен 38о [98о].

Обратить внимание, что задача может иметь два решения.

5. Решение задач.

Решаем задачи из учебника: 108, 109 – на доске и в тетради.

Самостоятельно с последующей проверкой 110. На доске 113, 118.

6. Итог урока. Повторение ключевых моментов урока.

7. Объявление отметок. Задание домашнего задания. П. 16 – 18. Вопросы 1 – 13. Стр. 25, задачи: 104; 106; 117.

Литература: И. Никольская, Е. Семенов «Учимся рассуждать и доказывать». Л.С. Атанасян. Учебник геометрии 7 – 9.

textarchive.ru