Правильный восьмиугольник. Правильный восьмиугольник


Правильный восьмиугольник - это... Что такое Правильный восьмиугольник?

  • Правильный многоугольник — Правильный семиугольник Правильный многоугольник  это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны . Определение правильного многоугольника может зависеть от определения …   Википедия

  • Восьмиугольник — Правильный восьмиугольник Восьмиугольник многоугольник с восемью углами. Сумма внутренних углов выпуклого восьмиугольника равна 1080° …   Википедия

  • Правильный семиугольник — Правильный семиугольник  это правильный многоугольник с семью сторонами. Содержание …   Википедия

  • Правильный шестиугольник — (гексагон)  это правильный многоугольник с шестью сторонами …   Википедия

  • Правильный треугольник — Правильный треугольник. Правильный (или равносторонний) треугольник  это правильный многоугольник с тремя сторонами, первый из правильных многоугольников. Все стороны …   Википедия

  • Правильный девятиугольник — это правильный многоугольник с девятью сторонами. Свойства Правиль …   Википедия

  • Правильный 17-угольник — Правильный семнадцатиугольник геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности. Содержание 1… …   Википедия

  • Правильный семнадцатиугольник — геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности. Содержание …   Википедия

  • Правильный 65537-угольник — 65537 угольник или окружность? Правильный 65537 угольник (шестѝдесятипятиты̀сячпятисо̀ттридцатисемиугольник) геометрическая фигура из группы правильных многоугольников, состоящая из 65537 …   Википедия

  • Правильный 257-угольник — 257 угольник или окружность? Правильный 257 угольник правильный многоугольник с 257 сторонами. Содержание …   Википедия

  • dic.academic.ru

    Правильный восьмиугольник — Википедия

    Правильный восьмиугольник (октагон) — геометрическая фигура из группы правильных многоугольников. У него восемь сторон и восемь углов, все углы и стороны равны между собой.

    Правильный восьмиугольник имеет символ Шлефли {8} [1] и может быть построен также как квазиправильный усечённый квадрат, t{4}, в котором перемежаются два типа граней. Усечённый восьмиугольник (t{8}) является шестнадцатиугольником (t{16}).

    Свойства

    Построение правильного восьмиугольника

    Построение правильного 8-угольника путём складывания листа бумаги
    • Восьмиугольник можно построить проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.
    • Сумма всех внутренних углов правильного восьмиугольника составляет 1080°
    • Угол правильного восьмиугольника составляет 135∘{\displaystyle 135^{\circ }}

    Видео по теме

    Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника

    Пример:

    • t — длина стороны восьмиугольника
    • r — радиус вписанной окружности
    • R — радиус описанной окружности
    • S — площадь восьмиугольника
    • k — константа, равная (1+2){\displaystyle (1+{\sqrt {2}})} ≈ 2,414213562373095

    Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной kt{\displaystyle kt}, радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь правильного восьмиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

    • Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника:
    r=k2t{\displaystyle r={\frac {k}{2}}t}
    • Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника:
    R=tkk−1{\displaystyle R=t{\sqrt {\frac {k}{k-1}}}}

    Через сторону восьмиугольника

    S=2kt2=2(1+2)t2≃4.828t2.{\displaystyle S=2kt^{2}=2(1+{\sqrt {2}})t^{2}\simeq 4.828\,t^{2}.}

    Через радиус описанной окружности

    S=4sin⁡π4R2=22R2≃2.828R2.{\displaystyle S=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\simeq 2.828\,R^{2}.}

    Через апофему (высоту)

    A=8tan⁡π8r2=8(2−1)r2≃3.314r2.{\displaystyle A=8\tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2}\simeq 3.314\,r^{2}.}

    Площадь через квадрат

    Площадь можно также вычислить как усечение квадрата

    S=A2−a2,{\displaystyle S=A^{2}-a^{2},}

    где A — ширина восьмиугольника (вторая меньшая диагональ), а a — длина его стороны. Это легко показать, если провести через противоположные стороны прямые, что даст квадрат. Легко показать, что угловые треугольники равнобедренные с основанием, равным a. Если их сложить (как на рисунке), получится квадрат со стороной a.

    Если задана сторона a, то длина A равна

    A=a2+a+a2=(1+2)a≈2.414a.{\displaystyle A={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\approx 2.414a.}

    Тогда площадь равна:

    S=((1+2)a)2−a2=2(1+2)a2≈4.828a2.{\displaystyle S=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828a^{2}.}

    Площадь через A (ширину восьмиугольника)

    S=2(2−1)A2≈0.828A2.{\displaystyle S=2({\sqrt {2}}-1)A^{2}\approx 0.828A^{2}.}

    Ещё одна простая формула площади:

     S=2aA.{\displaystyle \ S=2aA.}

    Часто значение A известно, в то время как величину стороны a следует найти, как, например, при отрезании от квадратного куска материала углов с целью получения правильного восьмиугольника. Из формул выше имеем

    a≈A/2.414.{\displaystyle a\approx A/2.414.}

    Два катета углового треугольника можно получить по формуле

    e=(A−a)/2.{\displaystyle e=(A-a)/2.}

    Симметрия

    11 симметрий правильного восьмиугольника. Линии зеркальных отражений показаны цветом — синие линии проходят через вершины, фиолетовые проходят через середины рёбер, число поворотов указано в центре. Вершины раскрашены согласно симметрии.

    Правильный восьмиугольник имеет группу симметрии Dih8 порядка 16. Имеется 3 диэдральные подгруппы — Dih5, Dih3 и Dih2, а также 4 циклические подгруппы — Z8, Z4, Z2 и Z1. Последняя подгруппа подразумевает отсутствие симметрии.

    Правильный восьмиугольник имеет 11 различных симметрий. Джон Конвей обозначил полную симметрию как r16 [2]. Диэдральные симметрии делятся на симметрии, проходящие через вершины (обозначены как d — от diagonal), или через рёбра (обозначены как p — от perpendiculars). Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g и для них указан порядок группы вращения. Полная симметрия правильного восьмиугольника обозначена как r16 а отсутствие — как a1.

    На рисунке слева показаны типы симметрий восьмиугольников. Наиболее общие симметрии восьмиугольников — p8, равноугольный[en] восьмиугольник, построенный четырьмя зеркалами и имеющий перемежающиеся длинные короткие стороны, и d8, изотоксальный восьмиугольник, имеющий рёбра равной длины, но вершины имеют два разных внутренних угла. Эти две формы являются двойственным[en] друг другу и имеют порядок, равный половине симметрии правильного восьмиугольника.

    Каждая подгруппа симметрии даёт одну или более степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g8 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как имеющая ориентированные рёбра.

    Разрезание правильного восьмиугольника

    Коксетер утверждает, что любой 2m-угольник с параллельными противоположными сторонами можно разрезать на m(m-1)/2 ромбов. Для восьмиугольника m=4 и он разрезается на 6 ромбов, как показано на рисунке ниже. Это разрезание можно рассматривать как 6 из 24 граней проекции многоугольника Петри тессеракта [3].

    Разрезание правильного восьмиугольника
    На 6 ромбов Тессеракт

    Применение восьмиугольников

    Восьмиугольный план Купола Скалы

    В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.

    Восьмиугольные формы часто используются в архитектуре. Купол Скалы имеет восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — ещё один пример восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план встречается также в архитектуре церквей, таких как Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий и восьмиугольные церкви Норвегии[en]. Центральное пространство в Ахенский собор, Капелла Карла Великого имеют планы в виде правильного восьмиугольника.

    Другие использования

    Производные фигуры

    Связанные многогранники

    Восьмиугольник в качестве усечённого квадрата, является первым в последовательности усечённых гиперкубов:

    Восьмиугольник в качестве растянутого квадрата является первым в последовательности растянутых гиперкубов:

    См. также

    Примечания

    Литература

    • У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — Москва: «Мир», 1986.
    • Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1974. — 208 с. — ISBN 9780521098595. books.google  (англ.) Есть перевод на русский Веннинджер, «Модели многогранников», но в ней символы Шлефли не приведены.
    • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon // The Symmetries of Things. — 2008. — С. 275-278. — ISBN 978-1-56881-220-5.
    МногоугольникиЗвёздчатые многоугольникиПаркеты на плоскостиПравильные многогранникии сферические паркетыМногогранники Кеплера — ПуансоСотыЧетырёхмерные многогранники
    {3,3,3} · {4,3,3} · {3,3,4} · {3,4,3} · {5,3,3} · {3,3,5}

    wikipedia.green

    Правильный восьмиугольник — WiKi

    Свойства

     

    Построение правильного восьмиугольника

      Построение правильного 8-угольника путём складывания листа бумаги
    • Восьмиугольник можно построить проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.
    • Сумма всех внутренних углов правильного восьмиугольника составляет 1080°
    • Угол правильного восьмиугольника составляет 135∘{\displaystyle 135^{\circ }} 

    Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника

    Площадь через квадрат

    Площадь можно также вычислить как усечение квадрата

    S=A2−a2,{\displaystyle S=A^{2}-a^{2},} 

    где A — ширина восьмиугольника (вторая меньшая диагональ), а a — длина его стороны. Это легко показать, если провести через противоположные стороны прямые, что даст квадрат. Легко показать, что угловые треугольники равнобедренные с основанием, равным a. Если их сложить (как на рисунке), получится квадрат со стороной a.

    Если задана сторона a, то длина A равна

    A=a2+a+a2=(1+2)a≈2.414a.{\displaystyle A={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\approx 2.414a.} 

    Тогда площадь равна:

    S=((1+2)a)2−a2=2(1+2)a2≈4.828a2.{\displaystyle S=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828a^{2}.} 

    Площадь через A (ширину восьмиугольника)

    S=2(2−1)A2≈0.828A2.{\displaystyle S=2({\sqrt {2}}-1)A^{2}\approx 0.828A^{2}.} 

    Ещё одна простая формула площади:

     S=2aA.{\displaystyle \ S=2aA.} 

    Часто значение A известно, в то время как величину стороны a следует найти, как, например, при отрезании от квадратного куска материала углов с целью получения правильного восьмиугольника. Из формул выше имеем

    a≈A/2.414.{\displaystyle a\approx A/2.414.} 

    Два катета углового треугольника можно получить по формуле

    e=(A−a)/2.{\displaystyle e=(A-a)/2.} 

    Симметрия

      11 симметрий правильного восьмиугольника. Линии зеркальных отражений показаны цветом — синие линии проходят через вершины, фиолетовые проходят через середины рёбер, число поворотов указано в центре. Вершины раскрашены согласно симметрии.

    Правильный восьмиугольник имеет группу симметрии Dih8 порядка 16. Имеется 3 диэдральные подгруппы — Dih5, Dih3 и Dih2, а также 4 циклические подгруппы — Z8, Z4, Z2 и Z1. Последняя подгруппа подразумевает отсутствие симметрии.

    Правильный восьмиугольник имеет 11 различных симметрий. Джон Конвей обозначил полную симметрию как r16 [2]. Диэдральные симметрии делятся на симметрии, проходящие через вершины (обозначены как d — от diagonal), или через рёбра (обозначены как p — от perpendiculars). Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g и для них указан порядок группы вращения. Полная симметрия правильного восьмиугольника обозначена как r16 а отсутствие — как a1.

    На рисунке слева показаны типы симметрий восьмиугольников. Наиболее общие симметрии восьмиугольников — p8, равноугольный[en] восьмиугольник, построенный четырьмя зеркалами и имеющий перемежающиеся длинные короткие стороны, и d8, изотоксальный восьмиугольник, имеющий рёбра равной длины, но вершины имеют два разных внутренних угла. Эти две формы являются двойственным[en] друг другу и имеют порядок, равный половине симметрии правильного восьмиугольника.

    Каждая подгруппа симметрии даёт одну или более степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g8 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как имеющая ориентированные рёбра.

    Разрезание правильного восьмиугольника

    Коксетер утверждает, что любой 2m-угольник с параллельными противоположными сторонами можно разрезать на m(m-1)/2 ромбов. Для восьмиугольника m=4 и он разрезается на 6 ромбов, как показано на рисунке ниже. Это разрезание можно рассматривать как 6 из 24 граней проекции многоугольника Петри тессеракта [3].

    Разрезание правильного восьмиугольника
     На 6 ромбов  Тессеракт

    Применение восьмиугольников

      Восьмиугольный план Купола Скалы

    В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.

    Восьмиугольные формы часто используются в архитектуре. Купол Скалы имеет восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — ещё один пример восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план встречается также в архитектуре церквей, таких как Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий и восьмиугольные церкви Норвегии[en]. Центральное пространство в Ахенский собор, Капелла Карла Великого имеют планы в виде правильного восьмиугольника.

    Другие использования

    Производные фигуры

    Связанные многогранники

    Восьмиугольник в качестве усечённого квадрата, является первым в последовательности усечённых гиперкубов:

    Восьмиугольник в качестве растянутого квадрата является первым в последовательности растянутых гиперкубов:

    См. также

    Примечания

    Литература

    • У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — Москва: «Мир», 1986.
    • Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1974. — 208 с. — ISBN 9780521098595. books.google  (англ.) Есть перевод на русский Веннинджер, «Модели многогранников», но в ней символы Шлефли не приведены.
    • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon // The Symmetries of Things. — 2008. — С. 275-278. — ISBN 978-1-56881-220-5.

    ru-wiki.org

    Как построить правильный восьмиугольник | Сделай все сам

    В черчении зачастую требуется строить положительные многоугольники. Так, скажем, положительные восьмиугольники применяются на щитах дорожных знаков.

    Вам понадобится

    • — циркуль
    • — линейка
    • — карандаш

    Инструкция

    1. Пускай задан отрезок, равный длине стороны желанного восьмиугольника. Требуется возвести верный восьмиугольник. Первым шагом постройте равнобедренный треугольник на заданном отрезке, применяя отрезок, как основание. Для этого вначале постройте квадрат со стороной, равной отрезку, проведите в нем диагонали. Сейчас постройте биссектрисы углов при диагоналях (на рисунке биссектрисы указаны синим), на пересечении биссектрис образуется вершина равнобедренного треугольника, стороны которого равны радиусу окружности, описанной вокруг верного восьмиугольника.

    2. Постройте окружность с центром в вершине треугольника. Радиус окружности равен стороне треугольника. Сейчас разведите циркуль на расстояние, равное величине заданного отрезка. Отложите это расстояние на окружности, начиная от всякого конца отрезка. Объедините все полученные точки в восьмиугольник.

    3. Если же задана окружность, в которую должен быть вписан восьмиугольник, то построения будут еще проще. Постройте две перпендикулярные друг другу осевые линии, проходящие через центр окружности. На пересечении осевых и окружности получатся четыре вершины грядущего восьмиугольника. Осталось поделить расстояние между этими точками на дуге окружности напополам, дабы получить еще четыре вершины.

    Верный треугольник — тот, у которого все стороны владеют идентичной длиной. Исходя из этого определения, построение сходственной разновидности треугольник а является нетрудной задачей.

    Вам понадобится

    • Линейка, лист разлинованной бумаги, карандаш

    Инструкция

    1. Взять лист чистой бумаги, разлинованной в клеточку, линейку и подметить на бумаге три точки так, дабы они находились на идентичном друг от друга расстоянии (рис.1)

    рис.1

    2. С подмогой линейки объединить подмеченные на листе точки ступенчато, друг за ином так, как это показано на рисунке 2.

    рис.2

    Обратите внимание! В верном (равностороннем) треугольнике все углы равны 60 градусам.

    Полезный совет Равносторонний треугольник так же является и равнобедренным. Если треугольник равнобедренный, то это обозначает, что 2 из 3-х его сторон равны, а третья сторона считается основанием. Всякий положительный треугольник является равнобедренным, в то время как обратное заявление не правильно.

    Восьмиугольник – это, по своей сути, два квадрата, смещенных касательно друг друга на 45° и объединенных на вершинах цельной линией. А потому, для того дабы положительно изобразить такую геометрическую фигуру, нужно твердым карандашом дюже опрятно, по правилам начертить квадрат либо круг, с которыми и проводить последующие действия. Изложение ориентировано на длину стороны, равной 20 см. А значит, при расположении чертежа рассматривайте, дабы вертикальная и горизонтальная линии длиной 20 см умещались на листе бумаги.

    Вам понадобится

    • Линейка, прямоугольный треугольник, транспортир, карандаш, циркуль, лист бумаги

    Инструкция

    1. Метод 1. Начертите внизу горизонтальную линию длиной 20 см. После этого с одной стороны подметьте транспортиром прямой угол, тот, что составляет 90°. То же самое дозволено сделать с поддержкой прямого треугольника. Проведите вертикальную линию и подметьте 20 см. Проделайте те же самые манипуляции с иной стороны. Объедините две полученные точки горизонтальной линией. В итоге получилась геометрическая фигура – квадрат.

    2. Для того дабы возвести 2-й (смещенный) квадрат, потребуется центр фигуры. Для этого поделите всякую сторону квадрата на 2 части. Объедините вначале 2 точки параллельных верхней и нижней сторон, а потом точки боковых сторон. Проведите через центр квадрата 2 прямые линии, перпендикулярные касательно друг друга. Начиная от центра, отмерьте на новых прямых длину по 10 см, что в результате даст 4 прямые линии. Объедините 4 полученные наружные точки между собой, в итоге чего получится 2-й квадрат. Сейчас всякую точку из 8 полученных углов объедините между собой. Таким образом, будет начерчен восьмиугольник.

    3. Метод 2. Для этого потребуется циркуль, линейка и транспортир. От центра листа с поддержкой циркуля начертите круг диаметром 20 см (радиус 10 см). Через центральную точку проведите прямую линию. После этого начертите вторую перпендикулярную ей линию. То же самое дозволено исполнить с подмогой транспортира либо прямого треугольника. В итоге круг будет поделен на 4 равные части. Дальше всякий из секций поделите еще на 2 части. Для этого также дозволено воспользоваться транспортиром, отмеряя 45° либо прямоугольным треугольником, тот, что приложите острым углом в 45° и проведите лучи. От центра на всякой прямой линии отмерьте по 10 см. В итоге получатся 8 «лучиков», которые объедините между собой. В итоге получится восьмиугольник.

    4. Метод 3. Для этого так же начертите круг, проведите через середину линию. После этого возьмите транспортир, поставьте его на центр и отмеряйте углы, рассматривая, что всякий секция восьмиугольника имеет в центре угол 45° . Позже этого на полученных лучах отмерьте длину в 10 см. и объедините их между собой. Восьмиугольник готов.

    Полезный совет Делайте чертеж твердым карандашом, побочные линии на котором после этого легко дозволено будет удалить

    Верный восьмиугольник – это геометрическая фигура, у которой всякий угол составляет 135?, и все стороны между собою равны. Эта фигура дюже зачастую используется в архитектуре, к примеру, при постройке колон, а также при изготовлении дорожного знака STOP. Как же нарисовать положительный восьмиугольник?

    Вам понадобится

    • — альбомный лист;
    • — карандаш;
    • — линейка;
    • — циркуль;
    • — ластик.

    Инструкция

    1. Нарисуйте вначале квадрат. После этого проведите окружность так, дабы квадрат оказался внутри круга. Сейчас проведите две осевые серединные линии квадрата – горизонтальную и вертикальную до пересечения с кругом. Объедините прямыми отрезками точки пересечения осей с кругом и точки прикосновения описанной окружности с квадратом. Таким образом, получите стороны верного восьмиугольника.

    2. Нарисуйте верный восьмиугольник иным методом. Вначале начертите окружность. После этого проведите горизонтальную линию через ее центр. Подметьте точку пересечения крайней правой границы окружности с горизонталью. Эта точка будет являться центром еще одной окружности, радиусом равным предыдущей фигуре.

    3. Проведите вертикальную линию через точки пересечения 2-й окружности с первой. Поставьте ножку циркуля в точку пересечения вертикали с горизонталью и начертите небольшой круг радиусом, равным расстоянию от центра крошечной окружности до центра начального круга.

    4. Начертите прямую линию через две точки – центр начального круга и точку пересечения вертикали и крошечной окружности. Продолжите ее до пересечения с рубежом изначальной фигуры. Это будет точка вершины восьмиугольника. Циркулем подметьте еще одну точку, проведя окружность с центром в точке пересечения крайней правой рубежом начального круга с горизонталью и радиусом, равным расстоянию от центра к теснее имеющейся вершине восьмиугольника.

    5. Проведите прямую линию через две точки — центр начального круга и последнюю новообразованную точку. Продолжите прямую линию до пересечения с границами первоначальной фигуры.

    6. Объедините прямыми отрезками ступенчато: точку пересечения горизонтали с правой рубежом начальной фигуры, после этого по часовой стрелке все образовавшиеся точки, включая точки пересечения осей с первоначальной окружностью.

    Видео по теме

    jprosto.ru

    Правильный восьмиугольник Википедия

    Правильный восьмиугольник (октагон) — геометрическая фигура из группы правильных многоугольников. У него восемь сторон и восемь углов, все углы и стороны равны между собой.

    Правильный восьмиугольник имеет символ Шлефли {8} [1] и может быть построен также как квазиправильный усечённый квадрат, t{4}, в котором перемежаются два типа граней. Усечённый восьмиугольник (t{8}) является шестнадцатиугольником (t{16}).

    Свойства

    Построение правильного восьмиугольника

    Построение правильного 8-угольника путём складывания листа бумаги
    • Восьмиугольник можно построить проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.
    • Сумма всех внутренних углов правильного восьмиугольника составляет 1080°
    • Угол правильного восьмиугольника составляет 135∘{\displaystyle 135^{\circ }}

    Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника

    Пример:

    • t — длина стороны восьмиугольника
    • r — радиус вписанной окружности
    • R — радиус описанной окружности
    • S — площадь восьмиугольника
    • k — константа, равная (1+2){\displaystyle (1+{\sqrt {2}})} ≈ 2,414213562373095

    Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной kt{\displaystyle kt}, радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь правильного восьмиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

    • Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника:
    r=k2t{\displaystyle r={\frac {k}{2}}t}
    • Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника:
    R=tkk−1{\displaystyle R=t{\sqrt {\frac {k}{k-1}}}}

    Через сторону восьмиугольника

    S=2kt2=2(1+2)t2≃4.828t2.{\displaystyle S=2kt^{2}=2(1+{\sqrt {2}})t^{2}\simeq 4.828\,t^{2}.}

    Через радиус описанной окружности

    S=4sin⁡π4R2=22R2≃2.828R2.{\displaystyle S=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\simeq 2.828\,R^{2}.}

    Через апофему (высоту)

    A=8tan⁡π8r2=8(2−1)r2≃3.314r2.{\displaystyle A=8\tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2}\simeq 3.314\,r^{2}.}

    Площадь через квадрат

    Площадь можно также вычислить как усечение квадрата

    S=A2−a2,{\displaystyle S=A^{2}-a^{2},}

    где A — ширина восьмиугольника (вторая меньшая диагональ), а a — длина его стороны. Это легко показать, если провести через противоположные стороны прямые, что даст квадрат. Легко показать, что угловые треугольники равнобедренные с основанием, равным a. Если их сложить (как на рисунке), получится квадрат со стороной a.

    Если задана сторона a, то длина A равна

    A=a2+a+a2=(1+2)a≈2.414a.{\displaystyle A={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\approx 2.414a.}

    Тогда площадь равна:

    S=((1+2)a)2−a2=2(1+2)a2≈4.828a2.{\displaystyle S=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828a^{2}.}

    Площадь через A (ширину восьмиугольника)

    S=2(2−1)A2≈0.828A2.{\displaystyle S=2({\sqrt {2}}-1)A^{2}\approx 0.828A^{2}.}

    Ещё одна простая формула площади:

     S=2aA.{\displaystyle \ S=2aA.}

    Часто значение A известно, в то время как величину стороны a следует найти, как, например, при отрезании от квадратного куска материала углов с целью получения правильного восьмиугольника. Из формул выше имеем

    a≈A/2.414.{\displaystyle a\approx A/2.414.}

    Два катета углового треугольника можно получить по формуле

    e=(A−a)/2.{\displaystyle e=(A-a)/2.}

    Симметрия

    11 симметрий правильного восьмиугольника. Линии зеркальных отражений показаны цветом — синие линии проходят через вершины, фиолетовые проходят через середины рёбер, число поворотов указано в центре. Вершины раскрашены согласно симметрии.

    Правильный восьмиугольник имеет группу симметрии Dih8 порядка 16. Имеется 3 диэдральные подгруппы — Dih5, Dih3 и Dih2, а также 4 циклические подгруппы — Z8, Z4, Z2 и Z1. Последняя подгруппа подразумевает отсутствие симметрии.

    Правильный восьмиугольник имеет 11 различных симметрий. Джон Конвей обозначил полную симметрию как r16 [2]. Диэдральные симметрии делятся на симметрии, проходящие через вершины (обозначены как d — от diagonal), или через рёбра (обозначены как p — от perpendiculars). Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g и для них указан порядок группы вращения. Полная симметрия правильного восьмиугольника обозначена как r16 а отсутствие — как a1.

    На рисунке слева показаны типы симметрий восьмиугольников. Наиболее общие симметрии восьмиугольников — p8, равноугольный[en] восьмиугольник, построенный четырьмя зеркалами и имеющий перемежающиеся длинные короткие стороны, и d8, изотоксальный восьмиугольник, имеющий рёбра равной длины, но вершины имеют два разных внутренних угла. Эти две формы являются двойственным[en] друг другу и имеют порядок, равный половине симметрии правильного восьмиугольника.

    Каждая подгруппа симметрии даёт одну или более степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g8 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как имеющая ориентированные рёбра.

    Разрезание правильного восьмиугольника

    Коксетер утверждает, что любой 2m-угольник с параллельными противоположными сторонами можно разрезать на m(m-1)/2 ромбов. Для восьмиугольника m=4 и он разрезается на 6 ромбов, как показано на рисунке ниже. Это разрезание можно рассматривать как 6 из 24 граней проекции многоугольника Петри тессеракта [3].

    Разрезание правильного восьмиугольника
    На 6 ромбов Тессеракт

    Применение восьмиугольников

    Восьмиугольный план Купола Скалы

    В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.

    Восьмиугольные формы часто используются в архитектуре. Купол Скалы имеет восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — ещё один пример восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план встречается также в архитектуре церквей, таких как Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий и восьмиугольные церкви Норвегии[en]. Центральное пространство в Ахенский собор, Капелла Карла Великого имеют планы в виде правильного восьмиугольника.

    Другие использования

    Производные фигуры

    Связанные многогранники

    Восьмиугольник в качестве усечённого квадрата, является первым в последовательности усечённых гиперкубов:

    Восьмиугольник в качестве растянутого квадрата является первым в последовательности растянутых гиперкубов:

    См. также

    Примечания

    Литература

    • У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — Москва: «Мир», 1986.
    • Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1974. — 208 с. — ISBN 9780521098595. books.google  (англ.) Есть перевод на русский Веннинджер, «Модели многогранников», но в ней символы Шлефли не приведены.
    • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon // The Symmetries of Things. — 2008. — С. 275-278. — ISBN 978-1-56881-220-5.
    МногоугольникиЗвёздчатые многоугольникиПаркеты на плоскостиПравильные многогранникии сферические паркетыМногогранники Кеплера — ПуансоСотыЧетырёхмерные многогранники
    • {3,3,3}
    • {4,3,3}
    • {3,3,4}
    • {3,4,3}
    • {5,3,3}
    • {3,3,5}

    wikiredia.ru

    Правильный восьмиугольник — Википедия

    Правильный восьмиугольник (октагон) — геометрическая фигура из группы правильных многоугольников. У него восемь сторон и восемь углов, все углы и стороны равны между собой.

    Правильный восьмиугольник имеет символ Шлефли {8} [1] и может быть построен также как квазиправильный усечённый квадрат, t{4}, в котором перемежаются два типа граней. Усечённый восьмиугольник (t{8}) является шестнадцатиугольником (t{16}).

    Свойства

    Построение правильного восьмиугольника

    Построение правильного 8-угольника путём складывания листа бумаги
    • Восьмиугольник можно построить проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.
    • Сумма всех внутренних углов правильного восьмиугольника составляет 1080°
    • Угол правильного восьмиугольника составляет 135∘{\displaystyle 135^{\circ }}

    Видео по теме

    Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника

    Пример:

    • t — длина стороны восьмиугольника
    • r — радиус вписанной окружности
    • R — радиус описанной окружности
    • S — площадь восьмиугольника
    • k — константа, равная (1+2){\displaystyle (1+{\sqrt {2}})} ≈ 2,414213562373095

    Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной kt{\displaystyle kt}, радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь правильного восьмиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

    • Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника:
    r=k2t{\displaystyle r={\frac {k}{2}}t}
    • Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника:
    R=tkk−1{\displaystyle R=t{\sqrt {\frac {k}{k-1}}}}

    Через сторону восьмиугольника

    S=2kt2=2(1+2)t2≃4.828t2.{\displaystyle S=2kt^{2}=2(1+{\sqrt {2}})t^{2}\simeq 4.828\,t^{2}.}

    Через радиус описанной окружности

    S=4sin⁡π4R2=22R2≃2.828R2.{\displaystyle S=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\simeq 2.828\,R^{2}.}

    Через апофему (высоту)

    A=8tan⁡π8r2=8(2−1)r2≃3.314r2.{\displaystyle A=8\tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2}\simeq 3.314\,r^{2}.}

    Площадь через квадрат

    Площадь можно также вычислить как усечение квадрата

    S=A2−a2,{\displaystyle S=A^{2}-a^{2},}

    где A — ширина восьмиугольника (вторая меньшая диагональ), а a — длина его стороны. Это легко показать, если провести через противоположные стороны прямые, что даст квадрат. Легко показать, что угловые треугольники равнобедренные с основанием, равным a. Если их сложить (как на рисунке), получится квадрат со стороной a.

    Если задана сторона a, то длина A равна

    A=a2+a+a2=(1+2)a≈2.414a.{\displaystyle A={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\approx 2.414a.}

    Тогда площадь равна:

    S=((1+2)a)2−a2=2(1+2)a2≈4.828a2.{\displaystyle S=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828a^{2}.}

    Площадь через A (ширину восьмиугольника)

    S=2(2−1)A2≈0.828A2.{\displaystyle S=2({\sqrt {2}}-1)A^{2}\approx 0.828A^{2}.}

    Ещё одна простая формула площади:

     S=2aA.{\displaystyle \ S=2aA.}

    Часто значение A известно, в то время как величину стороны a следует найти, как, например, при отрезании от квадратного куска материала углов с целью получения правильного восьмиугольника. Из формул выше имеем

    a≈A/2.414.{\displaystyle a\approx A/2.414.}

    Два катета углового треугольника можно получить по формуле

    e=(A−a)/2.{\displaystyle e=(A-a)/2.}

    Симметрия

    11 симметрий правильного восьмиугольника. Линии зеркальных отражений показаны цветом — синие линии проходят через вершины, фиолетовые проходят через середины рёбер, число поворотов указано в центре. Вершины раскрашены согласно симметрии.

    Правильный восьмиугольник имеет группу симметрии Dih8 порядка 16. Имеется 3 диэдральные подгруппы — Dih5, Dih3 и Dih2, а также 4 циклические подгруппы — Z8, Z4, Z2 и Z1. Последняя подгруппа подразумевает отсутствие симметрии.

    Правильный восьмиугольник имеет 11 различных симметрий. Джон Конвей обозначил полную симметрию как r16 [2]. Диэдральные симметрии делятся на симметрии, проходящие через вершины (обозначены как d — от diagonal), или через рёбра (обозначены как p — от perpendiculars). Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g и для них указан порядок группы вращения. Полная симметрия правильного восьмиугольника обозначена как r16 а отсутствие — как a1.

    На рисунке слева показаны типы симметрий восьмиугольников. Наиболее общие симметрии восьмиугольников — p8, равноугольный[en] восьмиугольник, построенный четырьмя зеркалами и имеющий перемежающиеся длинные короткие стороны, и d8, изотоксальный восьмиугольник, имеющий рёбра равной длины, но вершины имеют два разных внутренних угла. Эти две формы являются двойственным[en] друг другу и имеют порядок, равный половине симметрии правильного восьмиугольника.

    Каждая подгруппа симметрии даёт одну или более степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g8 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как имеющая ориентированные рёбра.

    Разрезание правильного восьмиугольника

    Коксетер утверждает, что любой 2m-угольник с параллельными противоположными сторонами можно разрезать на m(m-1)/2 ромбов. Для восьмиугольника m=4 и он разрезается на 6 ромбов, как показано на рисунке ниже. Это разрезание можно рассматривать как 6 из 24 граней проекции многоугольника Петри тессеракта [3].

    Разрезание правильного восьмиугольника
    На 6 ромбов Тессеракт

    Применение восьмиугольников

    Восьмиугольный план Купола Скалы

    В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.

    Восьмиугольные формы часто используются в архитектуре. Купол Скалы имеет восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — ещё один пример восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план встречается также в архитектуре церквей, таких как Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий и восьмиугольные церкви Норвегии[en]. Центральное пространство в Ахенский собор, Капелла Карла Великого имеют планы в виде правильного восьмиугольника.

    Другие использования

    Производные фигуры

    Связанные многогранники

    Восьмиугольник в качестве усечённого квадрата, является первым в последовательности усечённых гиперкубов:

    Восьмиугольник в качестве растянутого квадрата является первым в последовательности растянутых гиперкубов:

    См. также

    Примечания

    Литература

    • У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — Москва: «Мир», 1986.
    • Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1974. — 208 с. — ISBN 9780521098595. books.google  (англ.) Есть перевод на русский Веннинджер, «Модели многогранников», но в ней символы Шлефли не приведены.
    • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon // The Symmetries of Things. — 2008. — С. 275-278. — ISBN 978-1-56881-220-5.
    МногоугольникиЗвёздчатые многоугольникиПаркеты на плоскостиПравильные многогранникии сферические паркетыМногогранники Кеплера — ПуансоСотыЧетырёхмерные многогранники
    {3,3,3} · {4,3,3} · {3,3,4} · {3,4,3} · {5,3,3} · {3,3,5}

    www.wikipedia.green

    Правильный восьмиугольник — Википедия (с комментариями)

    Материал из Википедии — свободной энциклопедии

    Правильный восьмиугольник (октагон) — геометрическая фигура из группы правильных многоугольников. У него восемь сторон и восемь углов, все углы и стороны равны между собой.

    Правильный восьмиугольник имеет символ Шлефли {8} [1] и может быть построен также как квазиправильный усечённый квадрат, t{4}, в котором перемежаются два типа граней. Усечённый восьмиугольник (t{8}) является шестнадцатиугольником (t{16}).

    Свойства

    • Восьмиугольник можно построить проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.
    • Сумма всех внутренних углов правильного восьмиугольника составляет 1080°
    • Угол правильного восьмиугольника составляет <math>135^\circ</math>

    Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника

    Пример:

    • t — длина стороны восьмиугольника
    • r — радиус вписанной окружности
    • R — радиус описанной окружности
    • S — площадь восьмиугольника
    • k — константа, равная <math>(1 + \sqrt 2)</math> ≈ 2,414213562373095

    Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной <math>k t</math>, радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь правильного восьмиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

    • Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника:
    <math>r = \frac{k}{2} t</math>
    • Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника:
    <math>R =t\sqrt{\frac {k} {k-1}} </math>

    Через сторону восьмиугольника

    <math>S = 2kt^2 = 2(1+\sqrt{2})t^2 \simeq 4.828\,t^2. </math>

    Через радиус описанной окружности

    <math>S = 4 \sin \frac{\pi}{4} R^2 = 2\sqrt{2}R^2 \simeq 2.828\,R^2.</math>

    Через апофему (высоту)

    <math>A = 8 \tan \frac{\pi}{8} r^2 = 8(\sqrt{2}-1)r^2 \simeq 3.314\,r^2.</math>

    Площадь через квадрат

    Площадь можно также вычислить как усечение квадрата

    <math>S=A^2-a^2,</math>

    где A — ширина восьмиугольника (вторая меньшая диагональ), а a — длина его стороны. Это легко показать, если провести через противоположные стороны прямые, что даст квадрат. Легко показать, что угловые треугольники равнобедренные с основанием, равным a. Если их сложить (как на рисунке), получится квадрат со стороной a.

    Если задана сторона a, то длина A равна

    <math>A=\frac{a}{\sqrt{2}}+a+\frac{a}{\sqrt{2}}=(1+\sqrt{2})a \approx 2.414a.</math>

    Тогда площадь равна:

    <math>S=((1+\sqrt{2})a)^2-a^2=2(1+\sqrt{2})a^2 \approx 4.828a^2.</math>

    Площадь через A (ширину восьмиугольника)

    <math>S=2(\sqrt{2}-1)A^2 \approx 0.828A^2.</math>

    Ещё одна простая формула площади:

    <math>\ S=2aA.</math>

    Часто значение A известно, в то время как величину стороны a следует найти, как, например, при отрезании от квадратного куска материала углов с целью получения правильного восьмиугольника. Из формул выше имеем

    <math>a \approx A/2.414.</math>

    Два катета углового треугольника можно получить по формуле

    <math>e=(A-a)/2.</math>

    Симметрия

    Правильный восьмиугольник имеет группу симметрии Dih8 порядка 16. Имеется 3 диэдральные подгруппы — Dih5, Dih3 и Dih2, а также 4 циклические подгруппы — Z8, Z4, Z2 и Z1. Последняя подгруппа подразумевает отсутствие симметрии.

    Правильный восьмиугольник имеет 11 различных симметрий. Джон Конвей обозначил полную симметрию как r16 [2]. Диэдральные симметрии делятся на симметрии, проходящие через вершины (обозначены как d — от diagonal), или через рёбра (обозначены как p — от perpendiculars). Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g и для них указан порядок группы вращения. Полная симметрия правильного восьмиугольника обозначена как r16 а отсутствие — как a1.

    На рисунке слева показаны типы симметрий восьмиугольников. Наиболее общие симметрии восьмиугольников — p8, равноугольный[en] восьмиугольник, построенный четырьмя зеркалами и имеющий перемежающиеся длинные короткие стороны, и d8, изотоксальный[en] восьмиугольник, имеющий рёбра равной длины, но вершины имеют два разных внутренних угла. Эти две формы являются двойственным[en] друг другу и имеют порядок, равный половине симметрии правильного восьмиугольника.

    Каждая подгруппа симметрии даёт одну или более степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g8 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как имеющая ориентированные рёбра.

    Разрезание правильного восьмиугольника

    Коксетер утверждает, что любой 2m-угольник с параллельными противоположными сторонами можно разрезать на m(m-1)/2 ромбов. Для восьмиугольника m=4 и он разрезается на 6 ромбов, как показано на рисунке ниже. Это разрезание можно рассматривать как 6 из 24 граней проекции многоугольника Петри тессеракта [3].

    Разрезание правильного восьмиугольника
    На 6 ромбов Тессеракт

    Применение восьмиугольников

    В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.

    Восьмиугольные формы часто используются в архитектуре. Купол Скалы имеет восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — ещё один пример восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план встречается также в архитектуре церквей, таких как Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий и восьмиугольные церкви Норвегии[en]. Центральное пространство в Ахенский собор, Капелла Карла Великого имеют планы в виде правильного восьмиугольника.

    Другие использования

    • Zont 8 ugolnik.jpg

      Зонты часто имеют восьмиугольную форму

    • Octagonal footed gold cup from the Belitung shipwreck, ArtScience Museum, Singapore - 20110618-01.jpg

      Знаменитая восьмиугольная чашка с острова Белитунг

    Производные фигуры

    Связанные многогранники

    Восьмиугольник в качестве усечённого квадрата, является первым в последовательности усечённых гиперкубов:

    Восьмиугольник в качестве растянутого[en] квадрата является первым в последовательности растянутых гиперкубов:

    wiki-org.ru