Возрастание, убывание и монотонность функции. Промежутки функции


Возрастание и убывание функций | Алгебра

Определения

1) Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если  бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции.

То есть для любых двух значений x1,x2 из этого промежутка выполняется условие

    \[ x_2 > x_1 \Rightarrow f(x_2 ) > f(x_1 ). \]

2) Функция y=f(x) называется убывающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

То есть для любых двух значений x1,x2 из этого промежутка выполняется условие

    \[ x_2 > x_1 \Rightarrow f(x_2 ) < f(x_1 ). \]

Предполагается, что промежуток принадлежит области определения функции y=f(x). Обычно промежуток — это отрезок, интервал или полуинтервал.

График функции на промежутках возрастания «идёт вверх» (чем правее x, тем выше y).

На промежутках убывания график «идёт вниз» (чем правее x, тем ниже y).

Пример 1.

Пользуясь графиком, найти промежутки возрастания и убывания функции y=f(x), определённой на отрезке [x1;x5]:

vozrastanie-i-ubyvanie-funkcii

Функция y=f(x) возрастает на промежутках [x2;x3] и [x4;x5]

Функция y=f(x) убывает на промежутках [x1;x2] и [x3;x4].

Кратко это записывают так:

    \[ f(x) \nearrow npu\_x \in \left[ {x_2 ;x_3 } \right]u\left[ {x_4 ;x_5 } \right], \]

    \[ f(x) \searrow npu\_x \in \left[ {x_1 ;x_2 } \right]u\left[ {x_3 ;x_4 } \right]. \]

3) Функцию, возрастающую на промежутке либо убывающую на промежутке, называют монотонной функцией на этом промежутке (или строго монотонной).

4) Если функция возрастает на всей своей области определения, то её называют возрастающей.

Если функция убывает на всей своей области определения, то её называют убывающей.

Например, y=√x, y=x³ — возрастающие функции.

Линейная функция y=kx+b возрастающая при k>0 и убывающая при k<0.

 

5) Если для любых двух значений x1,x2 из некоторого промежутка выполняется условие

    \[ x_2 > x_1 \Rightarrow f(x_2 ) \ge f(x_1 ), \]

то функция y=f(x) называется неубывающей на этом промежутке.

6) Если для любых двух значений x1,x2 из некоторого промежутка выполняется условие

    \[ x_2 > x_1 \Rightarrow f(x_2 ) \le f(x_1 ), \]

то функция y=f(x) называется невозрастающей на этом промежутке.

7) Функцию, невозрастающую на промежутке либо неубывающую на промежутке, называют не строго монотонной функцией на этом промежутке.

Пример 2.

Пользуясь графиком, найти промежутки, на которых  функции y=g(x), определённая на отрезке [x1;x3], является невозрастающей и неубывающей:

neubyvayushchaya-funkciya

Функция y=g(x) является неубывающей на промежутке [x1;x2].

Функция y=g(x) является невозрастающей на промежутке [x2;x3].

 

Возрастание и убывание функции можно определять как с помощью графика, так и аналитически.

Как доказать, что функция возрастает или убывает, с помощью задающей эту функцию формулы?

Для этого при условии x2>x1 на промежутке надо доказать выполнение одного из неравенств: f(x2)>f(x1) либо f(x2)>f(x1), то есть определить f(x2)-f(x1)>0 или f(x2)-f(x1)<0.

Примеры.

1) Доказать, что функция f(x)=x²+4x убывает на промежутке (-∞;-2).

Доказательство:

Функция определена на всей числовой прямой.

Пусть x2>x1.

f(x1)=x1²+4x1, f(x2)=x2²+4x2,

f(x2)-f(x1)=(x2²+4x2)-(x1²+4x1)=x2²+4x2-x1²-4x1=

группирует первое слагаемое с третьим, второе — с четвертым. В первых скобках — разность квадратов, из вторых выносим общий множитель 4 за скобки:

=(x2²-x1²)+(4x2-4x1)=(x2-x1)(x2+x1)+4(x2-x1)=

Теперь выносим общий множитель (x2-x1) за скобки:

=(x2-x1)(x2+x1+4).

Так как x2>x1, то x2-x1>0. Следовательно, знак произведения зависит от знака второго множителя.

Для x1, x2 ∈(-∞;-2) x2+x1+4<0. Значит, (x2-x1)(x2+x1+4)<0 и f(x2)<f(x1). Отсюда следует, что функция функция f(x)=x²+4x убывает на промежутке (-∞;-2).

Что и требовалось доказать.

2) Доказать, что функция

    \[ y = \frac{4}{{2 - x}} \]

возрастает на промежутке (2;+∞).

Доказательство:

Функция определена при x∈(-∞;2) и (2;+∞).

Пусть x2>x1.

    \[ y(x_2 ) - y(x_1 ) = \frac{{4^{\backslash (2 - x_1 )} }}{{2 - x_2 }} - \frac{{4^{\backslash (2 - x_2 )} }}{{2 - x_1 }} = \]

    \[ = \frac{{4(2 - x_1 ) - 4(2 - x_2 )}}{{(2 - x_1 )(2 - x_2 )}} = \frac{{4(x_2 - x_1 )}}{{(2 - x_1 )(2 - x_2 )}}. \]

Так как x2>x1, то x2-x1>0.

Для x1, x2 ∈ (2;+∞) (2-x1)(2-x2)>0. Значит,

    \[ \frac{{4(x_2 - x_1 )}}{{(2 - x_1 )(2 - x_2 )}} > 0. \]

Отсюда y(x2)-y(x1)>0. Поэтому данная функция возрастает на промежутке (2;+∞).

Что и требовалось доказать.

 

Исследование функции на монотонность гораздо удобнее проводить с помощью производной  (начала математического анализа — производную и её применение —  проходят в школьном курсе алгебры в 10-11 классах).

www.algebraclass.ru

Возрастание, убывание и монотонность функции

Функции, у которых имеет место убывание или возрастание на некотором числовом промежутке, называются монотонными функциями.

Возрастание функции. Функция называется возрастающей на интервале ]a, b[, принадлежащем области определения функции, если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют бОльшие значения функции, т.е. если

x2 > x1 → f(x2) > f(x1) для всех x1 и x2, принадлежащих интервалу.

Убывание функции. Функция называется убывающей на интервале ]a, b[, если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют меньшие значения функции, т.е. если

x2 > x1 → f(x2) < f(x1) для всех x1 и x2, принадлежащих интервалу.

Теорема 1. Если во всех точках некоторого промежутка производная функции равна нулю (f '(x) = 0), то функция f(x) сохраняет в этом промежутке постоянное значение.

Этот промежуток может быть замкнутым или открытым, конечным или бесконечным.

Теорема 2 (достаточный признак возрастания). Если во всех точках некоторого промежутка производная функции больше нуля (f '(x) > 0), то функция f(x) возрастает в этом промежутке.

Теорема 3 (достаточный признак убывания). Если во всех точках некоторого промежутка производная функции меньше нуля (f '(x) < 0), то функция f(x) убывает на этом промежутке.

Замечание. Условия теорем 2 и 3 не являются в полной мере необходимыми. Их можно несколько ослабить, а именно заменить нестрогими неравенствами и считать, что производная функции больше или равна нулю (f '(x) ≥ 0) или меньше или равна нулю (f '(x) ≤ 0), так как заключения теорем остаются справедливыми и тогда, когда производная обращается в нуль в конечном множестве точек.

Весь блок "Производная"

function-x.ru

Монотонность функции. Возрастание и убывание

Возрастающая и убывающая функции в промежутке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция называется возрастающей в промежутке \left(a;\; b\right), если большому значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть для любой пары x_{1} ,\; x_{2} \in \left(a,\; b\right) таких, что x_{1} >\; x_{2} справедливо неравенство f\left(x_{1} \right)>\; f\left(x_{2} \right). ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция называется убывающей в промежутке \left(a,\; b\right), если большому значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то есть для любой пары x_{1} ,\; x_{2} \in \left(a,\; b\right) таких что x_{1} >\; x_{2} справедливо f\left(x_{1} \right)<\; f\left(x_{2} \right).

Монотонная функция

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция называется монотонной на промежутке, если она на этом промежутке или возрастает, или убывает.

Достаточное условие монотонности функции.Пусть функция f\left(x\right) определена и дифференцируема в промежутке \left(a;\; b\right). Для того чтобы функция была возрастающей в промежутке \left(a;\; b\right), достаточно, чтобы f'\left(x\right)>0 для всех x\in \left(a,\; b\right)

Для убывания функции достаточно, чтобы f'\left(x\right)<0 для всех x\in \left(a,\; b\right).

Для исследования функции f\left(x\right) на монотонность необходимо:

  1. найти её производную f'\left(x\right);
  2. найти критические точки функции как решения уравнения f'\left(x\right)=0;
  3. определить знак производной на каждом из промежутков, на которые критические точки разбивают область определения функции;
  4. согласно достаточному условию монотонности функции определить промежутки возрастания и убывания.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Функции промежутка | Математика, которая мне нравится

Пример 1. Масса стержня

m[\alpha;\beta] — масса стержня на участке от \alpha до \beta.

Пример 2. Путь.

S[\alpha;\beta] — путь, пройденный движущейся точкой за время от \alpha до \beta.

Пример 3. Площадь подграфика.

\forall x\in[A;B]f(x)\ge0S[\alpha,\beta] — площадь подграфика функции f на промежутке [\alpha,\beta].

Определение. Пусть дан отрезок [A;B]. Обозначим через \Psi множество всех замкнутых промежутков, лежащих внутри отрезка [A;B]. Функция промежутка — это отображение множества \Psi в множество вещественных чисел (\Psi\to\mathbb{R}) (правило, по которому каждому отрезку, лежащему внутри [A;B], ставится в соответствие вещественное число).

Определение. Пусть T:\Psi\to\mathbb{R} (T — функция промежутка). Функция T называется аддитивной, если \forall[\alpha,\beta],[\beta,\gamma]\in\Psi

    \[T[\alpha,\beta]+T[\beta,\gamma]=T[\alpha,\gamma] .\]

Функции промежутка можно складывать и умножать на вещественные числа.

Задача 1. Докажите, что если T_1 и T_2 — аддитивные функции промежутка, то T_1+T_2 — аддитивная функция промежутка.

Задача 2. Докажите, что если T — аддитивная функция промежутка, \alpha\in\mathbb{R}, то \alpha T — аддитивная функция промежутка.

Приращение функции

Пусть f:[a,b]\to\mathbb{R}. Будем обозначать \Delta f приращение функции f.

    \[\begin{array}{l} [\alpha,\beta]\subset[a,b],\\[2mm] [ \alpha,\beta]\mapsto f(\beta)-f(\alpha),\\[2mm] \Delta f[\alpha,\beta]=f(\beta)-f(\alpha). \end{array}\]

Докажем, что приращение — аддитивная функция промежутка:

    \[\begin{array}{l} \Delta f[\alpha,\beta]=f(\beta)-f(\alpha),\\[2mm] \Delta f[\beta,\gamma]=f(\gamma)-f(\beta),\\[2mm] \Delta f[\alpha,\gamma]=f(\gamma)-f(\alpha),\\[2mm] \Delta f[\alpha,\beta]+\Delta , f[\beta,\gamma]=f(\beta)-f(\alpha)+f(\gamma)-f(\beta)=f(\gamma)-f(\alpha)=\Delta f[\alpha,\gamma] . \end{array}\]

Теорема. Пусть T:\Psi\to\mathbb{R}, T — аддитивная функция. Тогда существует f:[a,b]\to\mathbb{R}: \Delta f=T.

Доказательство. Зададим функцию f по правилу: f(x)=T[a,x]. Проверим, что \Delta f совпадает с T. Возьмем произвольный промежуток [\alpha,\beta]\subset[a,b] и проверим, что \Delta f[\alpha,\beta]=T[\alpha,\beta].

    \[\Delta f[\alpha,\beta]=f(\beta)-f(\alpha)=T[a,\beta]-T[a,\alpha]=T[\alpha,\beta] .\]

Последнее равенство справедливо в силу аддитивности функции T.

Теорема. Пусть f,g:[a,b]\to\mathbb{R}. Тогда \Delta f=\Delta g\Leftrightarrowf-g — постоянная.

Доказательство. Достаточность. Пусть f-g — постоянная. Докажем, что \Delta f=\Delta g.

    \[\exists c\in\mathbb{R}:\ \forall x\in[a,b]\ f(x)-g(x)=c\ f(x)=g(x)+c.\]

Возьмем произвольный [\alpha,\beta\subset[a,b] и вычислим \Delta f[\alpha,\beta]:

    \[\Delta f[\alpha,\beta]=f(\beta)-f(\alpha)=(g(\beta)+c)-(g(\alpha)+c) =g(\beta)-g(\alpha)=\Delta g[\alpha,\beta] .\]

Необходимость. Пусть \Delta f=\Delta g.

    \[\begin{array}{l} \forall[\alpha,\beta]\subset[a,b]\quad\Delta f[\alpha,\beta]=\Delta g[\alpha,\beta] ,\\[2mm] f(\beta)-f(\alpha)=g(\beta)-g(\alpha). \end{array}\]

В частности, это справедливо для всевозможных отрезков вида [a,x]:

    \[f(x)-g(x)=f(a)-g(a) .\]

Следовательно, f-g — постоянная функция.

Задача 3. Докажите, что если T — аддитивная функция промежутка, то T[\alpha,\alpha]=0.

hijos.ru

Как найти промежутки возрастания функций

Содержание

  1. Инструкция

Как найти промежутки возрастания функций

Пусть задана функция - f(x), определенная своим уравнением. Задача состоит в том, чтобы найти промежутки ее монотонного возрастания или монотонного убывания.

Инструкция

  • Функция f(x) называется монотонно возрастающей на промежутке (a, b), если для любого x, принадлежащего этому промежутку, f(a) < f(x) < f(b).Функция называется монотонно убывающей на промежутке (a, b), если для любого x, принадлежащего этому промежутку, f(a) > f(x) > f(b).Если не соблюдается ни одно из этих условий, то функцию нельзя назвать ни монотонно возрастающей, ни монотонно убывающей. В этих случаях требуется дополнительное исследование.
  • Линейная функция f(x) = kx + b монотонно возрастает на всей своей области определения, если k > 0, и монотонно убывает, если k < 0. Если k = 0, то функция является константой и ее нельзя назвать ни возрастающей, ни убывающей.
  • Экспоненциальная функция f (x) = a^x монотонно возрастает на всей области определения, если a > 1, и монотонно убывает, если 0 < a < 1. Если a = 1, то функция, как и в предыдущем случае, превращается в константу.
  • В общем случае функция f(x) может иметь на заданном участке несколько промежутков возрастания и убывания. Чтобы их найти, необходимо исследовать ее на экстремумы.
  • Если задана функция f(x), то ее производная обозначается f′(x). Исходная функция имеет точку экстремума там, где ее производная обращается в ноль. Если при прохождении этой точки производная меняет знак с плюса на минус, то найдена точка максимума. Если производная меняет знак с минуса на плюс, то найденный экстремум — точка минимума.
  • Пусть f(x) = 3x^2 - 4x + 16, а промежуток, на котором ее нужно исследовать — (-3, 10). Производная функции равна f′(x) = 6x - 4. Она обращается в ноль в точке xm = 2/3. Поскольку f′(x) < 0 для любого x < 2/3 и f′(x) > 0 для любого x > 2/3, то в найденной точке у функции f(x) находится минимум. Ее значение в этой точке равно f(xm) =3*(2/3)^2 - 4*(2/3) + 16 = 14,(6).
  • Обнаруженный минимум лежит в границах заданного участка. Для дальнейшего анализа необходимо вычислить f(a) и f(b). В данном случае:f(a) = f(-3) = 3*(-3)^2 - 4*(-3) + 16 = 55,f(b) = f(10) = 3*10^2 - 4*10 + 16 = 276.
  • Поскольку f(a) > f(xm) < f(b), то заданная функция f(x) монотонно убывает на отрезке (-3, 2/3) и монотонно возрастает на отрезке (2/3, 10).

completerepair.ru

§ 4. Промежутки возрастания и убывания функций

Вспомним сначала определения возрастающей и убывающей функций.

Функция y=f(x), определенная на некотором отрезке [a, b] (интервале (a, b)), называется возрастающей на этом отрезке, если большему значению аргумента x из [a, b] соответствует большее значение функции, то есть если x1 < x2, то f(x1) < f(x2).

Функцияy=f(x) называется убывающей на некотором отрезке [a, b], если меньшему значению аргумента x из [a, b]соответствует большее значение функции, то есть если x1 <x2, то f(x1) > f(x2).

Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется монотонной на этом отрезке.

Функция y=f(x) называется постоянной на некотором отрезке [a, b], если при изменении аргумента x она принимает одни и те же значения.

Рассмотрим график функции изображенной на рисунке и определим промежутки возрастания и убывания функции.

(-∞, a), (c, +∞) – убывает;

(a, b) – постоянная;

(b, c) – возрастает.

Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.

Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)

Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f '(x)≥ 0.

Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке,f ' (x)≥ 0 для a<x<b, то f(x) возрастает на[a, b].

Доказательство.

Докажем первую часть теоремы. Итак, пусть функция y=f(x) возрастает на [a, b]. Зафиксируем на этом отрезке произвольную точку x, придадим ей приращение Δx. Тогда если Δx>0, то x<x+Δx. Поэтому по определению возрастающей функции f(x)<f(x+Δx), то есть f(x+Δx) - f(x)>0. Но тогда и Аналогично, если Δx<0, то x>x+Δx и значит f(x+Δx)-f(x)<0, а 

Переходя в этом равенстве к пределу при Δx→0, получим , то естьf '(x)≥0.

Докажем вторую часть теоремы. Пусть f '(x)>0при всех x Î (a,b). Рассмотрим два любых значения x1 и x2 таких, что x1 < x2. Нужно доказать, что f(x1)< f(x2). По теореме Лагранжа существует такое число c Î (x1, x2), что . По условиюf '(x)>0, x1 – x2>0Þ , а это и значит, чтоf(x) – возрастающая функция.

Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций.

Теорема 2. Если f(x) убывает на[a,b], то на этом отрезке. Еслина (a; b), то f(x) убывает на [a, b],в предположении, чтоf(x) непрерывна на [a, b].

Доказанная теорема выражает очевидный геометрический факт. Если на [a, b] функция возрастает, то касательная к кривойy=f(x) в каждой точке этого отрезке образует острый угол с осью Ox или горизонтальна, т.е. tga≥0, а значит f '(x)≥0.

Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы.

Таким образом, возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Чтобы найти на каком промежутке функция возрастает или убывает, нужно определить, где производная этой функции только положительна или только отрицательна, то есть решить неравенства f '(x)>0 – для возрастания или f '(x)<0 – для убывания.

Примеры. Определить интервалы монотонности функции.

. Область определения заданной функции D(y) = (-∞; 0)È(0; +∞).

. Следовательно, f(x) – убывает на (-∞; 0) и (0; +∞).

 

Найдем промежутки, на которых производная заданной функции положительна или отрицательна методом интервалов.

Итак, f(x) – убывает на (–∞; –1] и [1; +∞), возрастает на отрезке [–1; 1].

 

.

Используя метод интервалов, получим f(x) убывает на (0; 1) и (1; e], возрастает на [e; +∞).

studfiles.net

Промежутки знакопостоянства функции. — КиберПедия

Аналитический способ.

Аналитический способ - это наиболее часто встречающийся способ задания функции.

Заключается он в том, что функция задается формулой, устанавливающей, какие операции нужно произвести над х, чтобы найти у.

Графический способ.

При графическом способе вводится прямоугольная система координат и в этой системе координат изображается множество точек с координатами (x,y). При этом .

Словесный способ.

Функция задается с помощью словесной формулировки. Классический пример – функция Дирихле.

«Функция равна 1, если х – рациональное число; функция равна 0, если х – иррациональное число».

Табличный способ.

Табличный способ наиболее удобен, когда множество Х конечно. При этом способе составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y.

Типы ф-й

Сложная

Сложная функция - это функция от функции

Неявная

Неявные функции - это функции, заданные уравнением, не разрешенным относительно зависимой переменной.

Обратная

Если уравнение y=f(x) может быть однозначно разрешено относительного переменного x (т.е. сущ. Ф-я x=g(y) такая, что y=f[g(y)]), то ф-я x=g(y) – обратная по отношению к y=f(x).

 

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.

Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Четность (нечетность) функции.

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

Периодическость функции.

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Предел ф-ии

Предел ф-ии (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Бесконечно малая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Последовательность an называется бесконечно малой, если

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Последовательность an называется бесконечно большой, если

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

Непрерывность ф-ии

Ф-яf(x) называется непрерывной при x = E, если

1) Эта ф-я определена в точке E, т.е. существует число f(E)

2) Существует конечный предел limf(x)

3) Этот предел равен значению ф-ии в точкеE, т.е. x -> E.

Точки разрыва

Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.

Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

 

 

Производная сложной функции

Рассмотрим сложную функцию y = y(u(x))

Теорема 4. Если функции y = y(u), u = u(x) дифференцируемы (т.е. существуют производные y'u, u'x), тогда сложная функция y = y(u(x)) дифференцируема и y'x = y'u u'x.

Доказательство

Если аргумент x получит приращение Δx, то функция u получит приращение Δu = u(x + Δx) − u(x), а функция y получит приращение Δy = y(u + Δu) − y(u). Но тогда, воспользовавшись свойствами предела функции, получаем

Теорема доказана.

Доказательство

Если аргумент x получит приращение Δx, то функция f получит приращение Δy = f(x + Δx) − f(x). С другой стороны, для обратной функции g приращения Δx, Δy связаны следующим образом:Δx=g(y + Δy) − g(y).

Тогда получаем

Теорема доказана.

Производные высших порядков

Дифференцируемость функции

Функция y=f(x)называется дифференцируемой в некоторой точке x0, если она имеет в этой точке определенную производную, т.е. если предел отношения существует и конечен.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а; b] или интервала (а; b), то говорят, что онадифференцируема на отрезке [а; b] или соответственно в интервале (а; b).

Справедлива следующая теорема, устанавливающая связь между дифференцируемыми и непрерывными функциями.

Правило Лопиталя

Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

(1)

 

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.

Например, найти . Этот предел существует . Но отношение производных (1+cosx)/1=1+cos x при x→∞ не стремится ни к какому пределу.

Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.

Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞.

Для раскрытия неопределенностей 1∞, 10, ∞0 нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

Монотонность ф-ии

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Экстремумы

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Первое достаточное условие.

Пусть xо - критическая точка. Если f ' (x) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную

f ' (x) в окрестности точки xо и вторую производную f"(xo) в самой точке xо. Если f '(xо) = 0, f"(xo)>0 (f"(xo)<0), то точка xо является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же f"(xo)=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

 

Точки перегиба

 

Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть отвогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею.

Определим достаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если f ''(x0) = 0 или f ''(x0) не существует и при переходе через значениеx = x0 производная f ''(x) меняет знак, то точка графика функции с абсциссой x = x0 есть точка перегиба.

Доказательство. Пусть f ''(x) < 0 при x < x0 и f ''(x) > 0 при x > x0. Тогда при x < x0 кривая выпукла, а при x > x0 – вогнута. Следовательно, точка A, лежащая на кривой, с абсциссой x0 есть точка перегиба. Аналогично можно рассматривать второй случай, когда f ''(x) > 0 при x < x0 и f ''(x) < 0 при x > x0.

Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует.

Асимптоты графика функции

 

Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.

Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее или с разных сторон, бесконечное множество раз пересекая асимптоту и переходя с одной ее стороны на другую.

Формула Тейлора

 

Формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки. Формула Тейлора функции часто используется при доказательстве теорем в дифференциальном исчислении.

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

 

, где Rn(x) - остаточный член формулы Тейлора.

 

Аналитический способ.

Аналитический способ - это наиболее часто встречающийся способ задания функции.

Заключается он в том, что функция задается формулой, устанавливающей, какие операции нужно произвести над х, чтобы найти у.

Графический способ.

При графическом способе вводится прямоугольная система координат и в этой системе координат изображается множество точек с координатами (x,y). При этом .

Словесный способ.

Функция задается с помощью словесной формулировки. Классический пример – функция Дирихле.

«Функция равна 1, если х – рациональное число; функция равна 0, если х – иррациональное число».

Табличный способ.

Табличный способ наиболее удобен, когда множество Х конечно. При этом способе составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y.

Типы ф-й

Сложная

Сложная функция - это функция от функции

Неявная

Неявные функции - это функции, заданные уравнением, не разрешенным относительно зависимой переменной.

Обратная

Если уравнение y=f(x) может быть однозначно разрешено относительного переменного x (т.е. сущ. Ф-я x=g(y) такая, что y=f[g(y)]), то ф-я x=g(y) – обратная по отношению к y=f(x).

 

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.

Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

cyberpedia.su