Прямоугольный треугольник и его свойства. Прямоугольный треугольник как выглядит


Прямоугольный треугольник — википедия фото

Далее предполагаем, что a{\displaystyle a}  и b{\displaystyle b}  длины катетов, а c{\displaystyle c}  длина гипотенузы

  • Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух его катетов. То есть, S=12ab.{\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}ab.} 
  • Для медиан ma{\displaystyle m_{a}} , mb{\displaystyle m_{b}}  и mc{\displaystyle m_{c}}  выполняется следующее соотношение: ma2+mb2=5mc2=54c2.{\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.} 
    • В частности, медиана, падающая на гипотенузу, равна половине гипотенузы.

Высота

  Высота прямоугольного треугольника.

Если высота проведена к гипотенузе, то треугольник делится на два меньших треугольника, подобных исходному и подобных друг другу. Из этого следует, что в обозначениях, показанных на диаграмме:[1]

f2=de,{\displaystyle \displaystyle f^{2}=de,}  (иногда это называют теоремой высоты прямоугольного треугольника)b2=ce,{\displaystyle \displaystyle b^{2}=ce,}  a2=cd{\displaystyle \displaystyle a^{2}=cd} 
  • В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу в таком отношении, в каком находятся квадраты прилежащих катетов, то есть
d:e=a2:b2,{\displaystyle \displaystyle d:e=a^{2}:b^{2},} 

Кроме того высота, опущенная на гипотенузу, связана с катетами прямоугольного треугольника соотношением:[2][3]

1a2+1b2=1f2.{\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.} 

и

f=abc.{\displaystyle f={\frac {ab}{c}}.} 

Также если прямоугольный треугольник является равнобедренным, то высота, опущенная на гипотенузу будет равна:

f=rδS =r(1+2){\displaystyle f=r\delta _{S}\ =r(1+{\sqrt {2}})} , где r{\displaystyle r}  - это радиус вписанной окружности, а δS{\displaystyle \delta _{S}}  - серебряное сечение.

Характеристики

Треугольник ABC со сторонами a, b, c (где c — самая длинная сторона), с описанной окружностью радиуса R является прямоугольным треугольником тогда и только тогда, когда верно любое из следующих соотношений:[4]

Тригонометрические соотношения

Тригонометрические функции для острых углов можно определить как отношения сторон прямоугольного треугольника. Для любого данного угла можно построить прямоугольный треугольник, содержащий такой угол, и со сторонами: противолежащим катетом, прилежащим катетом и гипотенузой, связанными с этим углом определёнными выше соотношениями. Эти отношения сторон не зависят от конкретного выбранного прямоугольного треугольника, а зависят только от заданного угла, так как все треугольники, построенные таким образом, являются подобными. Если для заданного угла α, противолежащий катет, прилежащий катет и гипотенузу обозначить a, b и c соответственно, то тригонометрические функции имеют вид:

sin⁡α=ac,cos⁡α=bc,tg⁡α=ab,ctg⁡α=ba,sec⁡α=cb,csc⁡α=ca.{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{c}},\,\cos \alpha ={\frac {b}{c}},\,\operatorname {tg} \alpha ={\frac {a}{b}},\,\operatorname {ctg} \alpha ={\frac {b}{a}},\sec \alpha ={\frac {c}{b}},\,\,\csc \alpha ={\frac {c}{a}}.} 

И таким образом:

  • Катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла
a=c⋅sin⁡α,b=c⋅sin⁡β.{\displaystyle a=c\cdot \sin \alpha ,\,b=c\cdot \sin \beta .} 
  • Катет, прилежащий углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла
a=c⋅cos⁡β,b=c⋅cos⁡α.{\displaystyle a=c\cdot \cos \beta ,\,b=c\cdot \cos \alpha .} 
  • Катет, противолежащий углу, равен произведению второго катета на тангенс угла
a=b⋅tg⁡α,b=a⋅tg⁡β.{\displaystyle a=b\cdot \operatorname {tg} \alpha ,\,b=a\cdot \operatorname {tg} \beta .} 
  • Катет, прилежащий углу, равен произведению второго катета на котангенс угла
a=b⋅ctg⁡β,b=a⋅ctg⁡α.{\displaystyle a=b\cdot \operatorname {ctg} \beta ,\,b=a\cdot \operatorname {ctg} \alpha .} 
  • Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, и/или частному отношению катета и косинуса прилежащего угла (угла между ними)
c=asin⁡α=bsin⁡β=acos⁡β=bcos⁡α.{\displaystyle c={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {a}{\cos \beta }}={\frac {b}{\cos \alpha }}.} 

Специальные прямоугольные треугольники

Значения тригонометрических функций можно точно оценить для определённых углов, используя прямоугольные треугольники с особыми значениями углов. К таким треугольникам относятся треугольник 30-60-90, который можно использовать для оценки тригонометрических функций для любых значений, кратных π/6, и треугольник 45-45-90 (равнобедренный прямоугольный), который можно использовать для оценки тригонометрических функций для значений, кратных π/4. В частности,

  • Катет, лежащий против острого угла в 30° (и соответственно, прилежащий к углу в 60°), равен половине гипотенузы.

Теорема Фалеса

  Медиана прямого угла треугольника

Теорема Фалеса утверждает, что если какая-нибудь точка A лежит на окружности диаметра BC (за исключением самих точек B и C), то △ABC представляет собой прямоугольный треугольник с прямым углом A. Обратное утверждение таково: если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то гипотенуза будет её диаметром. Следствием является то, что длина гипотенузы равна удвоенному расстоянию от вершины прямого угла до середины гипотенузы. Верно также, что центр окружности, описывающей прямоугольный треугольник, является серединой гипотенузы, а её радиус равен половине длины гипотенузы.

Другие свойства

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c равен:

r=a+b−c2=aba+b+c.{\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.} 

Если отрезки длиной p и q, исходящие из вершины C, делят гипотенузу на три равных отрезка длины c/3, то:[5]:pp. 216-217

p2+q2=5(c3)2.{\displaystyle p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}.} 

Прямоугольный треугольник является единственным треугольником с двумя, а не тремя, отличными друг от друга вписанными квадратами.[6]

Пусть h и s (h>s) сторонами двух квадратов, вписанных в прямоугольный треугольник с гипотенузой c. Тогда:

1c2+1h3=1s2.{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{s^{2}}}.} 

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме двух радиусов вписанной и четырех описанных окружностей:

P=2r+4R{\displaystyle P=2r+4R} 

Если заданы S и r, то стороны треугольника находятся по формулам:

a=12(r+Sr−r2−6S+S2r2){\displaystyle a={\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {S}{r}}-{\sqrt {r^{2}-6S+{\frac {S^{2}}{r^{2}}}}}\right)} b=12(r+Sr+r2−6S+S2r2){\displaystyle b={\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {S}{r}}+{\sqrt {r^{2}-6S+{\frac {S^{2}}{r^{2}}}}}\right)} c=Sr−r{\displaystyle c={\frac {S}{r}}-r} 

Во всех прямоугольных треугольниках медиана, опущенная на гипотенузу, равна половине гипотенузы.

org-wikipediya.ru

Прямоугольный треугольник. Определения и свойства

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

 

– Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по двум катетам).

– Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по катету и острому углу).

– Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по гипотенузе и острому углу).

– Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по гипотенузе и катету).

 

Свойства прямоугольного треугольника

 

 

 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

 

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

 

3. Теорема Пифагора: , где – катеты, – гипотенуза.

 

 

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

 

5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты  и гипотенузу следующим образом:

 

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

 

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

 

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

 

 

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

 

 

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

И, думаю, будет полезна  таблица формул для треугольника.

 

 

egemaximum.ru

Прямоугольный треугольник и его свойства :: SYL.ru

Прямоугольный треугольник – треугольник, один угол которого прямой (равен 900). Следовательно, два других угла в сумме дают 900.

Стороны прямоугольного треугольника

Сторона, которая располагается напротив угла в девяносто градусов, называется гипотенузой. Две другие стороны именуются катетами. Гипотенуза всегда длиннее, чем катеты, но короче их суммы.

Прямоугольный треугольник. Свойства треугольника

Если катет находится напротив угла в тридцать градусов, то его длина соответствует половине длины гипотенузы. Отсюда вытекает, что угол, противоположный катету, длина которого соответствует половине гипотенузы, равен тридцати градусам. Катет равняется среднему пропорциональному гипотенузы и проекции, которую дает катет на гипотенузу.

Теорема Пифагора

Любой прямоугольный треугольник подчиняется теореме Пифагора. Эта теорема гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Если принять, что катеты равны а и в, а гипотенуза – с, то запишем: а2+в2=с2. Теорема Пифагора применяется для решения всех геометрических задач, в которых фигурируют прямоугольные треугольники. Также она поможет начертить прямой угол при отсутствии необходимых инструментов. 

Высота и медиана

Прямоугольный треугольник характеризуется тем, что две его высоты совмещаются с катетами. Чтобы найти третью сторону, нужно найти сумму проекций катетов на гипотенузу и разделить на два. Если из вершины прямого угла провести медиану, то она окажется радиусом окружности, которую описали вокруг треугольника. Центром этой окружности будет середина гипотенузы.

Прямоугольный треугольник. Площадь и ее вычисление

Площадь прямоугольных треугольников вычисляется по любой формуле нахождения площади треугольника. Помимо этого, можно использовать еще одну формулу: S=а*в/2, которая гласит, что для нахождения площади нужно произведение длин катетов разделить на два.

Косинус, синус и тангенс прямоугольного треугольника

Косинусом острого угла именуют отношение катета, прилегающего к углу, к гипотенузе. Он всегда меньше, чем единица. Синус – это отношение катета, который лежит напротив угла, к гипотенузе. Тангенс – отношение катета, лежащего против угла, к катету, прилегающему к этому углу. Котангенсом называют отношение катета, прилегающего к углу, к катету, находящемуся напротив угла. Косинус, синус, тангенс и котангенс не являются зависимыми от размеров треугольника. На их значение влияет только градусная мера угла.

Решение треугольника

Чтобы вычислить значение катета, противолежащего углу, нужно умножить длину гипотенузы на синус этого угла или размер второго катета на тангенс угла. Для нахождения катета, прилежащего к углу, необходимо посчитать произведение гипотенузы на косинус угла.

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Если треугольник имеет прямой угол и равные катеты, то его называют равнобедренным прямоугольным треугольником. Острые углы такого треугольника тоже равны - по 450.Медиана, биссектриса и высота, проведенные из прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника, совпадают.

www.syl.ru

Свойства прямоугольного треугольника. Формулы прямоугольного треугольника.

 

Прямоугольный треугольник

Треугольник с прямым углом \(90°\) называют прямоугольным треугольником.

Самая длинная сторона  треугольника называется гипотенузой, а две другие стороны - катеты.

Свойства прямоугольного треугольника - это свойства, определяющие прямоугольный треугольник.

 

  • Если угол \(α\) равен \(30°\) градусов, то \(2a = c\).
  • Площадь прямоугольного треугольника можно измерить с помощью формулы:

 \(S = \frac{1}{2}×a×b\),

где \(a\) и  \(b\) можно рассматривать как две стороны треугольника. Эта формула используется только для прямоугольного треугольника.

  • Теорема Пифагора утверждает, что если \(c\)- гипотенуза, а  \(a\) и  \(b\) - две стороны треугольника, то в соответствии с теоремой Пифагора:

\( c^2=a^2+b^2\)

         Квадрат гипотенузы равен сумме квадрата двух других сторон треугольника.

  • Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

\(r = \frac{a+b-c}{2}\)

  • Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника можно рассчитать по формуле:

 

\(r=\frac{c}{2}\),

где \(c\) - гипотенуза прямоугольного треугольника.

  • Проекции катетов треугольника на гипотенузу:

\(b^2=q*c\)

\(a^2=p*c\)

\(h^2=q*p\)

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Прямоугольный треугольник: понятие и свойства

Образование 16 мая 2013

Решение геометрических задач требует огромного количества знаний. Одним из основополагающих определений этой науки является прямоугольный треугольник.

Под этим понятием подразумевается геометрическая фигура, состоящая из трех углов и сторон, причем величина одного из углов составляет 90 градусов. Стороны, составляющие прямой угол, носят названия катеты, третья же сторона, которая противолежит ему, носит название гипотенузы.

Если катеты в такой фигуре равны, она называется равнобедренный прямоугольный треугольник. В этом случае имеет место принадлежность к двум видам треугольников, а значит, соблюдаются свойства обеих групп. Вспомним, что углы у основания равнобедренного треугольника абсолютно всегда равны, следовательно острые углы такой фигуры будут включать по 45 градусов.

Наличие одного из следующих свойств позволяет утверждать, что один прямоугольный треугольник равен другому:

  1. катеты двух треугольников равны;
  2. фигуры имеют одинаковые гипотенузу и один из катетов;
  3. равны гипотенуза и любой из острых углов;
  4. соблюдается условие равенства катета и острого угла.

Площадь прямоугольного треугольника с легкостью вычисляется как при помощи стандартных формул, так и как величина, равная половине произведения его катетов.

В прямоугольном треугольнике соблюдаются следующие соотношения:

  1. катет есть не что иное, как среднее пропорциональное гипотенузы и его проекции на нее;
  2. если описать около прямоугольного треугольника окружность, ее центр будет находиться в середине гипотенузы;
  3. высота, проведенная из прямого угла, представляет собой среднее пропорциональное с проекциями катетов треугольника на его гипотенузу.

Интересным является то, что каким бы ни был прямоугольный треугольник, свойства эти всегда соблюдаются.

Теорема Пифагора

Помимо вышеназванных свойств для прямоугольных треугольников характерно соблюдение следующего условия: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Теорема эта носит название по имени ее основателя – теорема Пифагора. Он открыл это соотношение, когда занимался изучением свойств квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника.

Для доказательства теоремы построим треугольник АВС, катеты у которого обозначим a и b, а гипотенузу с. Далее построим два квадрата. У одного стороной будет являться гипотенуза, у другого сумма двух катетов.

Тогда площадь первого квадрата можно будет найти двумя способами: как сумму площадей четырех треугольников АВС и второго квадрата, либо как квадрат стороны, естественно, что соотношения эти будут равны. То есть:

с2 + 4 (ab/2) = (a + b)2, преобразуем получившееся выражение:

с2+2 ab = a2 + b2 + 2 ab

В итоге получаем: с2 = a2 + b2

Таким образом, геометрическая фигура прямоугольный треугольник соответствует не только всем свойствам, характерным для треугольников. Наличие прямого угла ведет к тому, что фигура обладает другими уникальными соотношениями. Их изучение пригодится не только в науке, но и в повседневной жизни, так как такая фигура, как прямоугольный треугольник, встречается повсеместно.

Источник: fb.ru Новости и общество Атрибуты материи: понятие и свойства

Базовые понятия философии - материя и дух. Идеалисты и материалисты по-разному определяют их значение, но сходятся во мнении насчет объективного существования материи. Она представляет собой физическое основание мира....

Образование Семантический способ измерения информации: сущность, основные понятия и свойства

Семантический способ измерения информации – это что такое? На чем он базируется? Какие цели преследует и задачи выполняет? Обо всём этом мы и поговорим в рамках данной статьи.Общая информация

Образование Признаки подобия треугольников: понятия и область применения

Важным понятием в геометрии, как науке, является подобие фигур. Знание такого свойства позволяет решать огромное количество задач, в том числе и в реальной жизни.Понятия

Финансы Депозитный сертификат: понятие и свойства

Депозитный сертификат - это ценная бумага банка, которая является подтверждением права вкладчика на получение определённой суммы денежных средств и процентов по окончании срока действия ценной бумаги. Срок действия де...

Образование Разреженные газы: понятие и свойства. Вакуум

Вакуум - это пространство, в котором нет вещества. В прикладной физике и технике под ним подразумевают среду, в которой газ содержится под давлением меньше атмосферного. Что такое разреженные газы, когда о них узнали ...

Компьютеры Понятие алгоритма и свойства алгоритма. Виды алгоритмов

Понятие алгоритма и свойства алгоритма представляют собой одни из наиболее важных понятий в информатике. Многие люди на сегодняшний день, в век компьютерных технологий, задумываются о том, что это такое, и начинают по...

Новости и общество Понятие "сознание", свойства и уровни сознания. Где помещается наше сознание?

Где помещается наше сознание? Что это такое? Как оно работает и взаимодействует с нашим организмом? Вопросы эти далеко не новы. Ими задавались еще столь древние ученые, как Гиппократ. И даже в те далекие времена он пр...

Самосовершенствование Скрытый потенциал: понятие, определение, свойства характера и личности, задачи и упражнения для раскрытия потенциала

Все мы не раз слышали о потенциале личности, о том, что каждый человек может приумножить свои внутренние возможности. В первую очередь это способность к развитию. Психологи определяют потенциал личности как возможност...

Автомобили Красный матовый хром: особенности и свойства материала

Пленка матовый хром поражает своей привлекательностью с первого же взгляда. Ведь такой материал обладает эффектом свечения, проявляющегося в солнечную погоду. Это не надоедает и завораживает. Автомобиль, покрытый мато...

Автомобили Резина на «Ниву Шевроле» - размерности, типы и свойства шин

Каждый год автолюбители по несколько раз «переобувают» своих железных коней. Осенью это зимняя резина, весной – летняя. А есть и такие, которые меняют свои колеса только тогда, когда они становятся л...

monateka.com

Персональный сайт - Все о прямоугольных треугольниках

Свойство 2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов (является самой большой стороной).

Доказательство. Вспомним, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона (и наоборот). Из доказанного выше свойства 1 следует, что сумма углов  и  прямоугольного треугольника равна . Так как угол треугольника не может равняться 0, то каждый из них меньше . Значит,  является самым большим, а, значит, напротив него лежит наибольшая сторона треугольника. Значит, гипотенуза является наибольшей стороной прямоугольного треугольника, то есть: .

 

Свойство 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза меньше суммы катетов.

Доказательство. Это свойство становится очевидным, если вспомнить неравенство треугольника.

Неравенство треугольника

В любом треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны.

Из данного неравенства сразу же следует свойство 3.

Примечание: несмотря на то, что каждый из катетов по отдельности меньше гипотенузы, их сумма оказывается больше. В числовом примере это выглядит так: , но .

 

1-й признак (по 2 сторонам и углу между ними): если у треугольников равны две стороны и угол между ними, то такие треугольники равны между собой.

2-й признак (по стороне и двум прилежащим углам): если у треугольников равны сторона и два угла, прилежащие к данной стороне, то такие треугольники равны между собой.Примечание: пользуясь тем, что сумма углов треугольника постоянна и равна , легко доказать, что условие «прилежания» углов не является необходимым, то есть признак будет верен и в такой формулировке: «… равны сторона и два угла, то …».

 3-й признак (по 3 сторонам): если у треугольников равны все три стороны, то такие треугольники равны между собой.

Естественно, все эти признаки остаются верными и для прямоугольных треугольников. Однако у прямоугольных треугольников есть одна существенная особенность – у них всегда есть пара равных прямых углов. Поэтому данные признаки для них упрощаются. Итак, сформулируем признаки равенства прямоугольных треугольников:

1-й признак (по двум катетам): если у прямоугольных треугольников катеты попарно равны, то такие треугольники равны между собой (Рис. 2).

Дано:

Рис. 2. Иллюстрация первого признака равенства прямоугольных треугольников

Доказать: 

Доказательство:  в прямоугольных треугольниках: . Значит, мы можем воспользоваться первым признаком равенства треугольников (по 2 сторонам и углу между ними) и получить: .

 

2-й признак (по катету и углу): если катет и острый угол одного прямоугольного  треугольника равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны между собой (Рис. 3).

Дано:

Рис. 3. Иллюстрация второго признака равенства прямоугольных треугольников

Доказать: 

Доказательство: сразу отметим, что тот факт, что равны углы, прилежащие к равным катетам, не является принципиальным. Действительно, сумма острых углов прямоугольного треугольника (по свойству 1) равна . Значит, если равна одна пара из этих углов, то равна и другая (так как их суммы одинаковы).

Доказательство же данного признака сводится к использованию второго признака равенства треугольников (по 2 углам и стороне). Действительно, по условию равны катеты и пара прилежащих к ним углов. Но вторая пара прилежащих к ним углов состоит из углов . Значит, мы можем воспользоваться вторым признаком равенства треугольников и получить: .

3-й признак (по гипотенузе и углу): если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного  треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны между собой (Рис. 4).

Дано:

Рис. 4. Иллюстрация третьего признака равенства прямоугольных треугольников

Доказать: 

Доказательство: для доказательства этого признака можно сразу воспользоваться вторым признаком равенства треугольников – по стороне и двум углам (точнее, следствием, в котором указано, что углы не обязательно должны быть прилежащими к стороне). Действительно, по условию: , , а из свойств прямоугольных треугольников следует, что . Значит, мы можем воспользоваться вторым признаком равенства треугольников, и получить: .

 

4-й признак (по гипотенузе и катету): если гипотенуза и катет одного прямоугольного  треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны между собой (Рис. 5).

Дано:

Рис. 5. Иллюстрация четвёртого признака равенства прямоугольных треугольников

Доказать: 

Доказательство: для доказательства этого признака воспользуемся признаком равенства треугольников, который мы сформулировали и доказали на прошлом уроке, а именно: если у треугольников равны две стороны и больший угол, то такие треугольники являются равными. Действительно, по условию у нас есть две равных стороны. Кроме того, по свойству прямоугольных треугольников: . Осталось доказать, что прямой угол является наибольшим в треугольнике. Предположим, что это не так, значит, должен быть ещё хотя бы один угол, который больше . Но тогда сумма углов треугольника уже будет больше . Но это невозможно, значит, такого угла в треугольнике быть не может. Значит, прямой угол является наибольшим в прямоугольным треугольнике. А значит, можно воспользоваться сформулированным выше признаком, и получить: .

 

Сформулируем теперь ещё одно свойство, характерное только для прямоугольных треугольников.

Свойство

Катет, лежащий против угла в , в 2 раза меньше гипотенузы (Рис. 6).

Дано:

Рис. 6.

Доказать: AB

Доказательство: выполним дополнительное построение: продлим прямую  за точку  на отрезок, равный . Получим точку . Так как углы  и  – смежные, то их сумма равна . Поскольку , то и угол .

Значит, прямоугольные треугольники  (по двум катетам:  – общий,  – по построению) – первый признак равенства прямоугольных треугольников.

Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. Значит, . Откуда: . Кроме того,  (из равенства всё тех же треугольников). Значит, треугольник  – равнобедренный (так как у него равны углы при основании), но равнобедренный треугольник, один из углов которого равен , – равносторонний. Из этого следует, в частности, что .

 

Стоит отметить, что верно и обратное утверждение: если в прямоугольном треугольнике гипотенуза в два раза больше одного из катетов, то острый угол, лежащий напротив этого катета, равен .

Примечание: признак означает, что если какое-то утверждение верно, то треугольник является прямоугольным. То есть признак позволяет идентифицировать прямоугольный треугольник.

Важно не путать признак со свойством – то есть, если треугольник прямоугольный, то у него есть такие свойства… Часто признаки и свойства являются взаимно обратными, но далеко не всегда. Например, свойство равностороннего треугольника: в равностороннем треугольнике есть угол . Но это не будет признаком равностороннего треугольника, так как не любой треугольник, у которого есть угол , является равносторонним.

Можно привести и более жизненный пример: свойство слова «хлеб» – в слове «хлеб» 4 буквы. Но наличие 4 букв не является признаком слова «хлеб», так как существует множество слов из 4 букв.

Признак прямоугольного треугольника:

Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник является прямоугольным, причём медиана проведена из вершины прямого угла.

Примечание: медиана – линия, соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны (Рис. 7).

Дано:

Рис. 7.

Доказать: 

Доказательство: поскольку , то  – равнобедренные. Значит, углы при основаниях каждого из этих треугольников равны. То есть, ,  .  Тогда сумма углов треугольника  равна  Значит, . Но: .

 

Теорема Пифагора: .

Решение прямоугольного треугольника:

;

;

.

Теоремы:

  • Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки: . Эти отрезки являются проекциями катетов на гипотенузу.
  • Высота, проведенная из вершины прямого угла, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу: .

  • Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, делит его на два подобных и подобных исходному треугольнику. Для любых сходственных элементов (медиана, биссектриса, радиусы вписанной и описанной окружностей и т. п.) исходного и полученных треугольников  справедливо соотношение .
  • Длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, равна отношению произведения длин катетов и гипотенузы: .
  • Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Ее основание является центром описанной около прямоугольного треугольника окружности. Радиус описанной окружности равен этой медиане и равен половине гипотенузы: .

  • Радиус вписанной окружности равен половине суммы катетов, уменьшенной на гипотенузы: 

    Веселый календарик

    Календарь

ychitelll.ucoz.ru

Прямоугольный треугольник, формулы и примеры

Определение и формулы прямоугольного треугольника

Стороны, прилежащие к прямому углу называются катетами, а сторона, лежащая против прямого угла, – гипотенузой.

Для прямоугольного треугольника справедливы следующие утверждения:

Признаки равенства прямоугольных треугольников

  • По двум катетам: если два катета одного прямоугольного треугольника равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  • По гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  • По стороне и острому углу: Если сторона и прилежащий к ней острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны стороне и прилежащему к ней острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

Подробнее про признаки равенства треугольников читайте по ссылке.

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов и вычисляется по формуле

   

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com