Все формулы (уравнения) тригонометрии : sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x). Синус угла формула


Тригонометрические формулы

© Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2016

(1) Основное тригонометрическое тождествоsin2(α) + cos2(α) = 1
(2) Основное тождество через тангенс и косинус 1 + tg2(α) = 1/cos2(α)
(3) Основное тождество через котангенс и синус 1 + ctg2(α) = 1/sin2(α)
(4) Соотношение между тангенсом и котангенсомtg(α)ctg(α) = 1
(5) Синус двойного углаsin(2α) = 2sin(α)cos(α)
(6) Косинус двойного углаcos(2α) = cos2(α) – sin2(α) = 2cos2(α) – 1 = 1 – 2sin2(α)
(7) Тангенс двойного угла
tg(2α) =   2tg(α) 1 – tg2(α)
(8) Котангенс двойного угла
ctg(2α) = ctg2(α) – 1   2ctg(α)
(9) Синус тройного углаsin(3α) = 3sin(α)cos2(α) – sin3(α)
(10) Косинус тройного углаcos(3α) = cos3(α) – 3cos(α)sin2(α)
(11) Косинус суммы/разностиcos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)
(12) Синус суммы/разностиsin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)
(13) Тангенс суммы/разности tg(α±β) = (tg(α) ± tg(β))/(1 ∓ tg(α)tg(β))
(14) Котангенс суммы/разности ctg(α±β) = (-1 ± ctg(α)ctg(β))/(ctg(&alpha) ± ctg(β))
(15) Произведение синусовsin(α)sin(β) = ½(cos(α–β) – cos(α+β))
(16) Произведение косинусовcos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α–β))
(17) Произведение синуса на косинусsin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α–β))
(18) Сумма/разность синусовsin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β))
(19) Сумма косинусовcos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α–β))
(20) Разность косинусовcos(α) – cos(β) = –2sin(½(α+β))sin(½(α–β))
(21) Сумма/разность тангенсов tg(α) ± tg(β) = sin(α±β)/cos(α)cos(β)
(22) Формула понижения степени синусаsin2(α) = ½(1 – cos(2α))
(23) Формула понижения степени косинусаcos2(α) = ½(1 + cos(2α))
(24)  Сумма/разность синуса и косинуса sin(α) ± cos(α) = &sqrt;2sin(α±π/4)
(25) Сумма/разность синуса и косинуса с коэффициентами Asin(α) ± Bcos(α) = Корень(A²+B²)(sin(α ± arccos(A/Корень(A²+B²)))
(26) Основное соотношение арксинуса и арккосинусаarcsin(x) + arccos(x) = π/2
(27) Основное соотношение арктангенса и арккотангенсаarctg(x) + arcctg(x) = π/2

scolaire.ru

Все формулы (уравнения) тригонометрии : sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x)

Уравнения разложения тригонометрических функций:квадрат синус альфа, косинус альфа, тангенс альфа, котангенс альфа.

 

 

 

 

 

Формулы преобразования функций двойного угла (2α) в выражение через одинарный угол (α)

 

sin(2α)- через sin и cos:

 

sin(2α)- через tg и ctg:

 

cos(2α)- через sin и cos:

 

cos(2α)- через tg и ctg:

 

 

tg(2α) и сtg(2α):

 

 

Формулы преобразования функций (синус, косинус, тангенс, котангенс), тройного угла (3α) в выражение через одинарный угол (α):

 

 

 

 

Тригонометрические формулы преобразования разности аргументов

 

 

 

 

 

 

sin(α)=OA

cos(α)=OC

tg(α)=DE

ctg(α)=MK

R=OB=1

 

Значения функций для некоторых углов, α

 

В таблице показаны формулы приведения для тригонометрических функций (sin, cos, tg, ctg).

 

 

www-formula.ru

Основные формулы тригонометрии | umath.ru

1. Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.

Синус угла  (обозначается ) – ордината точки , полученной поворотом точки вокруг начала координат на угол .

Косинус угла (обозначается ) – абсцисса точки , полученной поворотом точки вокруг начала координат на угол .

Тангенс угла (обозначается ) – отношение синуса угла к его косинусу, т.е.

Котангенс угла (обозначается ) – отношение косинуса угла к его синусу, т.е. 2. Основное тригонометрическое тождество: 3. Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом: 4. Чётность, нечётность и периодичность тригонометрических функций.

Косинус – чётная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечётные функции аргумента :

Синус и косинус – периодические с периодом 2\pi функции, а тангенс и котангенс – периодические с периодом функции:Число является наименьшим положительным периодом синуса и косинуса, а число – наименьшим положительным периодом тангенса и котангенса. Для любого целого справедливы равенства 5. Формулы сложения: 6. Формулы двойного и тройного аргумента: 7. Формулы понижения степени: 8. Формулы приведения: 9. Формулы суммы и разности синусов: 10. Формулы суммы и разности косинусов: 11. Формулы суммы и разности тангенсов: 12. Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму (разность): 13. Выражение синуса и косинуса через тангенс половинного аргумента:

umath.ru

Синус sin x косинус cos x

Справочные данные по тригонометрическим функциям синус (sin x) и косинус (cos x). Геометрическое определение, свойства, графики, формулы. Таблица синусов и косинусов, производные, интегралы, разложения в ряды, секанс, косеканс. Выражения через комплексные переменные. Связь с гиперболическими функциями.

Геометрическое определение синуса и косинуса

|BD| - длина дуги окружности с центром в точке A. α - угол, выраженный в радианах.

ОпределениеСинус (sin α) – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине гипотенузы |AC|.

Косинус (cos α) – это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине гипотенузы |AC|.

Принятые обозначения

;;.

;;.

График функции синус, y = sin x

График функции косинус, y = cos x

Свойства синуса и косинуса

Периодичность

Функции   y = sin x   и   y = cos x   периодичны с периодом   2π.

Четность

Функция синус – нечетная. Функция косинус – четная.

Область определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Основные свойства синуса и косинуса представлены в таблице (n - целое).

  y = sin x y = cos x
Область определения – ∞ < x < + ∞ – ∞ < x < + ∞
Область значений –1 ≤ y ≤ 1 –1 ≤ y ≤ 1
Возрастание
Убывание
Максимумы, y = 1
Минимумы, y = –1
Нули, y = 0
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = 1

Основные формулы

Сумма квадратов синуса и косинуса

Формулы синуса и косинуса от суммы и разности

Формулы произведения синусов и косинусов

Формулы суммы и разности

Выражение синуса через косинус

Далее мы полагаем, что – целое число.

;;     ;     .

Выражение косинуса через синус

;;     ;     .

Выражение через тангенс

;     .

При   , имеем: ;     .

При   : ;     .

Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.

Выражения через комплексные переменные

;    

Формула Эйлера

Выражения через гиперболические функции

;     ;    

Производные

;     .     Вывод формул > > >

Производные n-го порядка:;     .

Интегралы

;     См. также раздел Таблица неопределенных интегралов >>>

Разложения в ряды

    { –∞ < x < +∞ }     { –∞ < x < +∞ }

Секанс, косеканс

   

Обратные функции

Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус, соответственно.

Арксинус, arcsin

           

Арккосинус, arccos

           

Использованная литература:И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 15-02-2014   Изменено: 10-06-2017

1cov-edu.ru

Онлайн калькулятор: Тригонометрические функции

Простейшие тригонометрические функции

Тригонометрические функции — вид элементарных функций, к которым относятся следующие функции:sin — синусcos — косинусtg — тангенсctg — котангенсsec — секансcosec — косекансversin — версинус (синус-верзус)vercos — коверсинус (косинус-верзус)haversin — гаверсинус (половина от синус-верзус)exsec — экссекансexcsc — экскосеканс

Для того чтобы вычислить все эти тригонометрические функции сразу для заданного угла, введите значение угла в поле Угол и получите результат в виде таблицы значений всех функций для этого угла. Угол можно задать в градусах, радианах, градах, минутах и секундах, для выбора единицы измерения — просто щелкните на ее название.

Единицы измерения Точность вычисления

Знаков после запятой: 10

Значение тригонометрических функций

Сохранить share extension

Как известно из школы, синус угла (sin) — это отношение длины противоположного этому углу катета к гипотенузе, а косинус (cos) — это отношение прилежащего этому углу катета к гипотенузе.

Остальные тригонометрические функции можно выразить через синус и косинус:Тангенс: (отношение длины противоположного углу катета к прилежащему катету)Котангенс: (отношение длины прилежащего к углу катета к противоположному катету)Секанс: (отношение длины гипотенузы к прилежащему к углу катету)Косеканс: (отношение длины гипотенузы к противоположному катету)

Редко используемые тригонометрические функции:

Версинус:

Коверсинус:

Гаверсинус:

Экссеканс:

Экскосеканс:

planetcalc.ru

Тригонометрические тождества и преобразования

Для решения некоторых задач будет полезной таблица тригонометрических тождеств, которая позволит гораздо проще совершать преобразования функций:

Простейшие тригонометрические тождества

Частное от деления синуса угла альфа на косинус того же угла равно тангенсу этого угла (Формула 1). См. также доказательство правильности преобразования простейших тригонометрических тождеств.  Частное от деления косинуса угла альфа на синус того же угла равно котангенсу этого же угла (Формула 2) Секанс угла равен единице, деленной на косинус этого же самого угла (Формула 3) Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице (Формула 4). см. также доказательство суммы квадратов косинуса и синуса. Сумма единицы и тангенса угла равна отношению единицы к квадрату косинуса этого угла (Формула 5) Единица плюс котангенс угла равна частному от деления единицы на синус квадрат этого угла (Формула 6) Произведение тангенса на котангенс одного и того же угла равно единице (Формула 7).

Преобразование отрицательных углов тригонометрических функций (четность и нечетность)

Для того, чтобы избавиться от отрицательного значения градусной меры угла при вычислении синуса, косинуса или тангенса, можно воспользоваться следующими тригонометрическими преобразованиями (тождествами), основанными на принципах четности или нечетности тригонометрических функций.

Как видно, косинус и секанс является четной функцией, синус, тангенс и котангенс - нечетные функции.

Синус отрицательного угла равен отрицательному значению синуса этого же самого положительного угла (минус синус альфа). Косинус "минус альфа" даст тоже самое значение, что и косинус угла альфа. Тангенс минус альфа равен минус тангенс альфа.

Формулы приведения двойного угла (синус, косинус, тангенс и котангенс двойного угла)

Если необходимо разделить угол пополам, или наоборот, перейти от двойного угла к одинарному, можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами:

Преобразование двойного угла (синуса двойного угла, косинуса двойного угла и тангенса двойного угла) в одинарный происходит по следующим правилам:

Синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус одинарного угла

Косинус двойного угла равен разности квадрата косинуса одинарного угла и квадрата синуса этого угла

Косинус двойного угла равен удвоенному квадрату косинуса одинарного угла минус единица

Косинус двойного угла равен единице минус двойной синус квадрат одинарного угла

Тангенс двойного угла равен дроби, числитель которой - удвоенный тангенс одинарного угла, а знаменатель равен единице минус тангенс квадрат одинарного угла.

Котангенс двойного угла равен дроби, числитель которой - квадрат котангенса одинарного угла минус единица, а знаменатель равен удвоенному котангенсу одинарного угла

Формулы универсальной тригонометрической подстановки

Указанные ниже формулы преобразования могут пригодиться, когда нужно аргумент тригонометрической функции ( sin α, cos α, tg α) разделить на два и привести выражение к значению половины угла. Из значения α получаем  α/2 .

Данные формулы называются формулами универсальной тригонометрической подстановки. Их ценность заключается в том, что тригонометрическое выражение с их помощью сводится к выражению тангенса половины угла, вне зависимости от того, какие тригонометрические функции (sin cos tg ctg) были в выражении изначально. После этого уравнение с тангенсом половины угла решить гораздо проще.

Тригонометрические тождества преобразования половины угла

Указанные ниже формулы тригонометрического преобразования половинной величины угла к его целому значению. Значение аргумента тригонометрической функции α/2 приводится к значению аргумента тригонометрической функции α.

Тригонометрические формулы сложения углов

cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β

sin (α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α 

sin (α - β) = sin α · cos β - sin β · cos α  cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β 

Тангенс и котангенс суммы углов альфа и бета могут быть преобразованы по следующим правилам преобразования тригонометрических функций:

Тангенс суммы углов равен дроби, числитель которой - сумма тангенса первого и тангенса второго угла, а знаменатель - единица минус произведение тангенса первого угла на тангенс второго угла.

Тангенс разности углов равен дроби, числитель которой равен разности тангенса уменьшаемого угла и тангенса вычитаемого угла, а знаменатель - единице плюс произведение тангенсов этих углов.

Котангенс суммы углов равен дроби, числитель которой равен произведению котангенсов этих углов плюс единица, а знаменатель равен разности котангенса второго угла и котангенса первого угла.

Котангенс разности углов равен дроби, числитель которой - произведение котангенсов этих углов минус единица, а знаменатель равен сумме котангенсов этих углов.

Данные тригонометрические тождества удобно применять, когда нужно вычислить, например, тангенс 105 градусов (tg 105). Если его представить как tg (45 + 60), то можно воспользоваться приведенными тождественными преобразованиями тангенса суммы углов, после чего просто подставить табличные значения тангенса 45 и тангенса 60 градусов.

Формулы преобразования суммы или разности тригонометрических функций

Выражения, представляющие собой сумму вида sin α + sin β можно преобразовать с помощью следующих формул:

Формулы тройного угла - преобразование sin3α cos3α tg3α в sinα cosα tgα

Иногда необходимо преобразовать тройную величину угла так, чтобы аргументом тригонометрической функции вместо 3α стал угол α. В этом случае можно воспользоваться формулами (тождествами) преобразования тройного угла:

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций

Если возникает необходимость преобразовать произведение синусов разных углов косинусов разных углов или даже произведения синуса на косинус, то можно воспользоваться следующими тригонометрическими тождествами: В этом случае произведение функций синуса, косинуса или тангенса разных углов будет преобразовано в сумму или разность.

Формулы приведения тригонометрических функций

Пользоваться таблицей приведения нужно следующим образом. В строке выбираем функцию, которая нас интересует. В столбце - угол. Например, синус угла (α+90) на пересечении первой строки и первого столбца выясняем, что sin (α+90)  = cos α .

См. также Полный список формул приведения тригонометрических функций.

profmeter.com.ua

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Тригонометрия

Справочник по математикеТригонометрия
Связи между тригонометрическими функциями одного угла
Тригонометрические функции суммы и разности двух углов
Тригонометрические функции двойного угла
Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций
Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса
Выражение тангенса угла через синус и косинус двойного угла
Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение
Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла
Тригонометрические функции тройного угла

Связи между тригонометрическими функциями одного угла

sin2α + cos2α = 1

Тригонометрические функции суммы и разности двух углов

ФормулаНазвание формулы
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin βСинус суммы
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin βСинус разности
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin βКосинус суммы
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin βКосинус разности
Тангенс суммы
Тангенс разности
Синус суммы
sin (α + β) = sin α cos β ++ cos α sin β
Синус разности
sin (α – β) = sin α cos β –– cos α sin β
Косинус суммы
cos (α + β) = cos α cos β –– sin α sin β
Косинус разности
cos (α – β) = cos α cos β ++ sin α sin β
Тангенс суммы
Тангенс разности

Тригонометрические функции двойного угла

ФормулаНазвание формулы
sin 2α = 2 sin α cos αСинус двойного угла

cos 2α = cos 2α – sin2α

cos 2α = 2cos 2α – 1

cos 2α = 1 – 2sin 2α

Косинус двойного угла
Тангенс двойного угла
Синус двойного угла
sin 2α = 2 sin α cos α
Косинус двойного угла

cos 2α = cos 2α – sin2α

cos 2α = 2cos 2α – 1

cos 2α = 1 – 2sin 2α

Тангенс двойного угла

Формулы понижения степени для квадратов тригонометрических функций

ФормулаНазвание формулы
Выражение квадрата синусачерез косинус двойного угла
Выражение квадрата косинусачерез косинус двойного угла
Выражение квадрата тангенсачерез косинус двойного угла
Выражение квадрата синуса через косинус двойного угла
Выражение квадрата косинуса через косинус двойного угла
Выражение квадрата тангенса через косинус двойного угла

Формулы понижения степени для кубов синуса и косинуса

ФормулаНазвание формулы
Выражение куба синуса черезсинус угла и синус тройного угла
Выражение куба косинуса черезкосинус угла и косинус тройного угла
Выражение куба синуса черезсинус угла и синус тройного угла
Выражение куба косинуса черезкосинус угла и косинус тройного угла

Выражение тангенса через синус и косинус двойного угла

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

ФормулаНазвание формулы
Сумма синусов
Разность синусов
Сумма косинусов
Разность косинусов
Сумма тангенсов
Разность тангенсов
Сумма синусов
Разность синусов
Сумма косинусов
Разность косинусов
Сумма тангенсов
Разность тангенсов

Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

ФормулаНазвание формулы
Произведение синусов
Произведение косинусов
Произведение синуса и косинуса
Произведение синусов
Произведение косинусов
Произведение синуса и косинуса

Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла

ФормулаНазвание формулы
Выражение синуса угла черезтангенс половинного угла
Выражение косинуса угла черезтангенс половинного угла
Выражение тангенса угла черезтангенс половинного угла
Выражение синуса угла через тангенс половинного угла
Выражение косинуса угла через тангенс половинного угла
Выражение тангенса угла через тангенс половинного угла

Тригонометрические функции тройного угла

ФормулаНазвание формулы
sin 3α = 3sin α – 4sin3αСинус тройного угла
cos 3α = 4cos3α –3cos αКосинус тройного угла
Тангенс тройного угла
Синус тройного угла
sin 3α = 3sin α – 4sin3α
Косинус тройного угла
cos 3α = 4cos3α –3cos α
Тангенс тройного угла

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

подготовительные курсы для школьников 10 и 11 классов

      У нас также для школьников организованы

индивидуальные занятия с репетиторами по математике и русскому языку

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru