7 класс. Алгебра. Системы двух уравнений с двумя переменными. Системы линейных уравнений и методы их решения 7 класс


7 класс. Алгебра. Системы двух уравнений с двумя переменными. - Способы решения систем уравнений с двумя неизвестными.

Комментарии преподавателя

Метод подстановки.

Су­ще­ству­ет несколь­ко ме­то­дов ре­ше­ния си­стем. Один из них метод под­ста­нов­ки. Рас­смот­рим при­мер.

При­мер 1:

Суть ме­то­да под­ста­нов­ки за­клю­ча­ет­ся в том, что в одном из урав­не­ний нужно вы­ра­зить одну пе­ре­мен­ную через вто­рую и под­ста­вить по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние во вто­рое урав­не­ние.

В дан­ном слу­чае удоб­но вы­ра­зить х во вто­ром урав­не­нии:

Под­ста­вим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние в пер­вое урав­не­ние:

Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние:

,

 ,

 ,

 

Под­ста­вим по­лу­чен­ное зна­че­ние во вто­рое урав­не­ние:

,

 

По­лу­ча­ем сле­ду­ю­щее ре­ше­ние си­сте­мы:

При­мер 2:

В дан­ном слу­чае неко­то­рая слож­ность за­клю­ча­ет­ся в том, что ис­ход­ную си­сте­му нужно пре­об­ра­зо­вать, чтобы была воз­мож­ность удоб­но и без оши­бок при­ме­нить метод под­ста­нов­ки. Для этого умно­жим оба урав­не­ния на шесть:

Вы­ра­зим у из пер­во­го урав­не­ния:

Под­ста­вим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние во вто­рое урав­не­ние и вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

,

 ,

 

 

Под­ста­вим по­лу­чен­ное зна­че­ние в пер­вое урав­не­ние:

По­лу­ча­ем един­ствен­ное ре­ше­ние си­сте­мы, пара чисел:

Вывод:

на дан­ном уроке мы озна­ко­ми­лись с по­ня­ти­ем си­сте­мы двух ли­ней­ных урав­не­ний с двумя неиз­вест­ны­ми и одним из ме­то­дов ее ре­ше­ния – спо­со­бом под­ста­нов­ки. Мы ре­ши­ли при­ме­ры для по­ни­ма­ния и за­креп­ле­ния дан­ной тех­ни­ки.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-3-sistema-dvuh-lineynyh-uravneniy-s-dvumya-peremennymi/osnovnye-ponyatiya-metod-podstanovki?konspekt&chapter_id=10

Метод сложения.

Рассмотрим еще один способ решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными – способ алгебраического сложения. Мы решим несколько различных примеров для закрепления техники.

Метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния, как и метод под­ста­нов­ки, за­клю­ча­ет­ся в том, что из­на­чаль­но из двух урав­не­ний с двумя пе­ре­мен­ны­ми нужно по­лу­чить одно урав­не­ние с одной пе­ре­мен­ной. Рас­смот­рим метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния на при­ме­ре:

При­мер 1:

 

За­да­на си­сте­ма двух ли­ней­ных урав­не­ний с двумя неиз­вест­ны­ми, и нужно найти такую пару х и у, чтобы при под­ста­нов­ке ее в урав­не­ния по­лу­чи­лись вер­ные чис­ло­вые ра­вен­ства.

Неслож­но за­ме­тить, что в пер­вом урав­не­нии у стоит с ми­ну­сом, а во вто­ром – с плю­сом, и если сло­жить эти урав­не­ния, то у уни­что­жит­ся, и мы по­лу­чим одно урав­не­ние с одной неиз­вест­ной:

+

По­лу­ча­ем:

Най­дем зна­че­ние х:

Под­ста­вим зна­че­ние х во вто­рое урав­не­ние и най­дем у:

Ответ: (2,4; 2,2)

 

Об­ра­тим вни­ма­ние на то, что мы рас­смат­ри­ва­ем метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния, зна­чит, урав­не­ния можно не толь­ко скла­ды­вать, но и вы­чи­тать. Рас­смот­рим при­мер:

При­мер 

При сло­же­нии урав­не­ний по­лу­чим:

По­про­бу­ем вы­честь урав­не­ния, при­чем, вы­чтем пер­вое из вто­ро­го:

Ответ: (5,5; 0,5)

 

Вывод:

на дан­ном уроке мы рас­смот­ре­ли новый метод ре­ше­ния си­стем двух ли­ней­ных урав­не­ний – метод ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния. Мы ре­ши­ли несколь­ко при­ме­ров для за­креп­ле­ния дан­ной тех­ни­ки.

 

  • Способ заключается в построении графика каждого уравнения, входящего в данную систем

www.kursoteka.ru

АЛГЕБРА 7 КЛАСС Решение систем линейных уравнений

АЛГЕБРА 7 КЛАСС Решение систем линейных уравнений

Алгебра стоит на четырёх китах Число Уравнение Тождество Функция

Уравнение и его свойства Определение § Уравнение – это равенство, содержащее одну или несколько переменных Линейное уравнение с ax=b одной переменной Линейное уравнение с ax+by=c двумя переменными Свойства уравнений • если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному • если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному

Система уравнений и её решение Определения § Системой уравнений называется некоторое количество уравнений, объединенных фигурной скобкой. Фигурная скобка означает, что все уравнения должны выполняться одновременно § Каждая пара значений переменных, которая одновременно является решением всех уравнений системы, называется решением системы § Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство § Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или установить, что их нет

Способы решения систем уравнений

Решение системы способом подстановки Выразим у через х у=2 х+4, у - 2 х=4, 7 х - у=1; 7 х - (2 х+4)=1; 7 х - у =1; Решим Подставим уравнение 7 х - 2 х - 4 = 1; у=2 х+4, у=6, 5 х = 5; х=1; Подставим Ответ: х=1; у=6.

Способ подстановки (алгоритм) § Из какого-либо уравнения выразить одну переменную через другую § Подставить полученное выражение для переменной в другое уравнение и решить его § Сделать подстановку найденного значения переменной и вычислить значение второй переменной § Записать ответ: х=…; у=….

Решение системы способом сравненияу через х Выразим Подставим у=2 х+4, у - 2 х=4, х=1; 7 х - у =1; Приравняем выражения у=2· 1+4, у=2 х+4, для у х=1; 7 х - 1= у; у=6, 7 х - 1=2 х+4, х=1. 7 х - 2 х=4+1, Решим уравнение 5 х=5, Ответ: (1; 6) х=1.

Способ сравнения (алгоритм) § Выразить у через х (или х через у) в каждом уравнении § Приравнять выражения, полученные для одноимённых переменных § Решить полученное уравнение и найти значение одной переменной § Подставить значение найденной переменной в одно из выражений для другой переменной и найти её значение § Записать ответ: х=…; у=….

Уравняем модули коэффи- циентов перед у Решение системы способом Решим сложения 7 х+2 у=1, ||·(-3) х=3, уравнение 17 х+6 у=-9; 7· 3+2 у=1; Сложим уравне- х=3, -21 х-6 у=-3, ния почленно 21+2 у=1; + 17 х+6 у=-9; ______ Решим х=3, уравнение - 4 х = - 12, 2 у=-20; 7 х+2 у=1; х=3, у=-10. х=3, Подставим 7 х+2 у=1; Ответ: (3; - 10)

Способ сложения (алгоритм) § Уравнять модули коэффициентов при какой- нибудь переменной § Сложить почленно уравнения системы § Составить новую систему: одно уравнение новое, другое - одно из старых § Решить новое уравнение и найти значение одной переменной § Подставить значение найденной переменной в старое уравнение и найти значение другой переменной § Записать ответ: х=…; у=….

Решение системы графическим способом Выразим у у - х=2, через х у+х=10; y 10 y=x+2 у=х+2, у=10 -х; Построим график первого уравнения 6 у=х+2 y=10 - x х 0 -2 у 2 0 2 1 Построим график второго уравнения -2 0 1 4 10 x у=10 - х х 0 10 Ответ: (4; 6) у 10 0

Графический способ (алгоритм) § Выразить у через х в каждом уравнении § Построить в одной системе координат график каждого уравнения § Определить координаты точки пересечения § Записать ответ: х=…; у=… , или (х; у)

Решение системы методом определителей Составим матрицу из коэффициентов 7 х+2 у=1, при неизвестных 17 х+6 у=-9; Составим определи- тель x, заменив в определи- 7 2 = 7· 6 - 2· 17 = 42 - 34 = 8 теле первый столбец = 17 6 на столбец свободных членов 1 2 = 1· 6 - 2·(-9) = 6 + 18 = 24 x= Составим определи- -9 6 тель y, заменив в определи- теле второй столбец 7 1 = 7·(-9) - 1· 17 = - 63 -17= -80 на столбец свободных y= 17 -9 членов Найдем x 24 хиу y -80 х= = = 3; у= = = -10. 8 Ответ: х=3; у= -10.

Метод определителей (алгоритм) § Составить табличку (матрицу) коэффициентов при неизвестных и вычислить определитель . § Найти - определитель x, получаемый из заменой первого столбца на столбец свободных членов. § Найти - определитель y, получаемый из заменой второго столбца на столбец свободных членов. § Найти значение переменной х по формуле x / . § Найти значение переменной у по формуле y / . § Записать ответ: х=…; у=….

present5.com

Примеры систем линейных уравнений: метод решения

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

примеры систем линейных уравнений

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y - это неизвестные, значение которых надо найти, b, a - коэффициенты при переменных, c - свободный член уравнения.Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 - функции, а (x, y) - переменные функций.

Решить систему уравнений - это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака "равенство" часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения - это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе

Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:

система линейных уравнений 7 класс примеры

Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.

Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:

система линейных неоднородных уравнений примеры

Решение с помощью алгебраического сложения

При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.

решить систему линейных уравнений примеры

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Алгоритм действий решения:

  1. Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
  2. Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
  3. Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.

Способ решения введением новой переменной

Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.

Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.

примеры систем линейных уравнений

Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.

Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 - 4*a*c, где D - искомый дискриминант, b, a, c - множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.

Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.

Наглядный метод решения систем

Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.

Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.

пример системы двух линейных уравнений

Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.

Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.

В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

система линейных уравнений с тремя переменными примеры

Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.

решить систему линейных уравнений примеры

Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.

Матрица и ее разновидности

Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. Матрица вида n*m имеет n - строк и m - столбцов.

Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей - вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.

Обратная матрица - это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.

Правила преобразования системы уравнений в матрицу

Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение - одна строка матрицы.

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.

Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y - только во второй.

При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.

Варианты нахождения обратной матрицы

Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K-1= 1 / |K|, где K-1 - обратная матрица, а |K| - определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.

Определитель легко вычисляется для матрицы "два на два", необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта "три на три" существует формула |K|=a1b2c3 + a1b3c2 + a3b1c2 + a2b3c1 + a2b1c3 + a3b2c1. Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.

Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом

Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.

матричный метод решения систем линейных уравнений

В примере anm - коэффициенты уравнений, матрица - вектор xn - переменные, а bn - свободные члены.

матричный метод решения систем линейных уравнений

Далее необходимо найти обратную матрицу и умножить на нее исходную. Найти значения переменных в полученной единичной матрицы легко выполнимая задача.

матричный метод решения систем линейных уравнений

Решение систем методом Гаусса

В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса - Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.

Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 - соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.

После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.

В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:

системы линейных уравнений метод гаусса примеры

Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x3-2x4=11 и 3x3+2x4=7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных xn.

системы линейных уравнений метод гаусса примеры

Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.

Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.

Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:

системы линейных уравнений метод гаусса примеры

Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. Вертикальная черта отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.

Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака "стрелка" и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.

В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.

Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.

Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.

fb.ru

Презентация "Методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными" 7 класс

Презентация к уроку по учебному предмету «Математика» в 7 классе на тему «Методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными» обобщающий урок
  • Вострикова Елена Алексеевна
  • учитель математики МБОУ СОШ №1
  • г. Мичуринска Тамбовской области
«Для того, чтобы что-то узнать, нужно уже что-то знать» Станислав Лем
  • Какую тему изучали на предыдущих уроках?
  • Что уже знаем по этой теме?
  • Где в дальнейшем могут встретиться эти знания?
  • Попробуйте определить тему нашего урока.
  • Какие цели можете поставить перед собой?
Цели урока:
  • Обобщить и систематизировать знания о методах решения систем линейных уравнений с двумя переменными
  • Повторить и закрепить алгоритмы решения систем методом сложения, подстановки и графическим методом
  • Развивать навыки решения систем
Критерии оценивания эстафеты:
  • Без ошибок – 5 баллов
  • 1 ошибка – 4 балла
  • 2-3 ошибки – 3 балла
  • Более 3-х ошибок – 0 баллов
Эстафета
  • I группа II группа III группа
  • Решите уравнения
  • А)х-8,1=9,9 А)2,3+а=7 А)у-7,2=10,6
  • Б)5х=-3,5 Б)-3а=0,9 Б)-2х=-7,2
  • В)3х-7=2 В)8а+2=10 В)4у-5=11
  • Г)3(х-7)=2х+4 Г)5(х+1)=11-х Г)4(х-3)=3х+2
  •  2. Выразите х через у
  • А)х-7у=5   А)x+2у=1 А)х+3у=10
  • Б)2х-4у=2 Б)3х-6у=3 Б)2х+8у=10
  •  3. Выразите у через х
  • А)5х+у=11 А)8х+у=9 А)2х+у=-6
  •  Б)3х-у=5 Б)4х-у=3 Б)4х-у=3
  •  
  •  
1)А)18 1)А)4,7 1)А)17,8 Б)-0,7 Б)-0,3 Б)3,6 В)3 В)1 В)4 Г)25 Г)1 Г)14 2)А)х=7у+5 2)А)х=2у+1 2)А)х=-3у+10 Б)х=2у+1 Б)х=2у+1 Б)х=-4у+5 3)А)у=-5х+11 3)А)у=-8х+9 3)А)у=-2х-6 Б)у=3х-5 Б)у=2х-3 Б)у=4х-3
  • Проверим результаты:
  • Системы линейных уравнений
  • Графический
  • способ
  • Способ
  • подстановки
  • Способ
  • сложения
  • 2х – у = 7,
  • х + у = 5
  • «Оторви лишний лепесток»
  • Ребята, чаще делайте физминутки для глаз!
  • Берегите свое зрение!!!
  • Системы линейных уравнений
  • Графический
  • способ
  • Способ
  • подстановки
  • Способ
  • сложения
Решение системы графическим способом (1 группа) Решение системы способом подстановки (2 группа)
  • Выразим у через х
  • у=-х+5,
  • -х + 5 - х=1;
  • Решим
  • уравнение
Решение системы способом сложения (3 группа)
  • Сложим почленно
  • левые и правые части
  • уравнения
  • Найдем значение у
  • Найдем значение х
Критерии оценивания дифференцированной самостоятельной работы:
  • I уровень: 1 верно – 1 балл
  • 2 верно – 2 балла
  • 3 верно – 3 балла II уровень: 1 верно – 2 балла
  • 2 верно – 3 балла
  • 3 верно – 4 балла
I уровень II уровень
  • I уровень II уровень
  • 4х+у=3 1) 13р-12g=14
  • 6х-2у=1 11p+18g=40
  •  
  • 2Х-3У=11 2) -3(x-2y)-4(y-x)=2x-y-2
  • 4Х+5У=-11 3(2x-y)+2(x-y)-1=3x-2y
  •  
  • 2(3Х+2У)+9=4Х+21 3) x+y=2
  • 2Х+10=3-(6Х+5У) y+z=4
  • Z+x=6
Ответы:
  • I уровень: 1)(0,5;1) II уровень: 1) (2;1)
  • 2) (1;-3) 2) (-0,25; -0,75)
  • 3)(-4;5) 3) (2; 0; 4
Продолжи предложение:
  • Сегодня на уроке я научился ………………………………..
  • Мне понравилось …………………………………………….
  • Я повторил …………………………………............................
  • Я закрепил ………………………………….............................
  • Я оценил бы свою работу на уроке на (хор., отл., удовл.)
  • Какие виды работ вызвали затруднения и требуют повторения ……………………………………………………
  • В каких знаниях уверен………………………………………
Домашнее задание
  • Стандартное - № 1092, 1089
  • Творческое – Реши системы уравнений, затем построй на координатной плоскости точки – решения данных систем и соедини их последовательно. Полученную ломаную отрази симметрично относительно оси Ох и допиши недостающие системы уравнений.
  • 1. 5х – (х + у) + 15 = 3, 2. -3х + 0,5у = 2, 3. 0,25х + у = 0,
  • 3х – 2(х + у) = - 3; 2х – у = 0; 9 + у = 2х;
  • 4. 2х + у = 13, 5. 1/6х – 1/5у = 1, 6. … 7. … 8. …
  • 4х – 2у = 34; 1/3х + 1/10у = 2; … … …
Критерии оценивания за работу на уроке:
  • «5» - 14-15 баллов
  • «4» - 10-13 баллов
  • «3» - 7-12 баллов
  • «2» - меньше 7 баллов
  • СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !

uchitelya.com

«Решение систем линейных уравнений» 7 класс

ГБСКОУ школа № 3 Красногвардейского р-на С-Петербурга учитель математики Антонюкова Е. Г. Тема: «Решение систем линейных уравнений» 7 класс

Цели:

  • Обобщить и систематизировать знания по теме: «Системы линейных уравнений»;

Задачи:

Обучающие:

  • Активизировать мыслительный процесс;
  • Способствовать развитию общеучебных умений и навыков.
Коррекционно-развивающие:
  • Продолжать развивать коммуникативную культуру;
  • Развивать креативное мышление;
  • Развивать умение ясно и точно излагать свои мысли.
Воспитательные:
  • Воспитывать умение слушать одноклассников;
  • Воспитывать уважение к мнению других людей

Основные технологии и методы: элементы технологии критического мышления, работа в группе.

^ урок обобщения и систематизации знаний

Материалы к уроку: мультимедиа.

Ход урока:

Приветствие.

Время

Действия учителя

Действия ученика

^

5/

- Ребята, тема нашего урока: «Решение систем линейных уравнений»

(^ )

- Я предлагаю вспомнить все, что мы изучали, что вы уже знаете и ответить на вопросы, которые находятся на верхнем, меньшем листе.

- Все вопросы начинаются со слов: «Верите ли вы, что…» Если вы верите, то в первом столбце (а) ставите «+», если нет, то «-». Если сомневаетесь, то подумайте и ставьте знак, к которому более склонны.

- Сейчас я, по-порядку, начиная с (имя) спрошу, те знаки, которые у вас получились. (Заполняет таблицу на доске)

На доске появляется первый слайд с темой урока.

Переворачивают первый лист.

Отвечают на вопросы.

Называют те знаки, которые поставили.

^

15/

1.

- Ребята, разбейтесь на три группы. В каждой группе выберите организатора, художника и докладчика. Задача организатора – выслушать идеи всей группы и скоординировать действия группы, затем оценить вклад каждого члена группы.

- Переверните самый большой лист. На нем вы видите задание, которое выполняете в тетради, а художник затем оформляет решение на листе с заданием и крепит его на доске.

Задание. ^ gif" name="object1" align=absmiddle width=76 height=83>

1-я группа – способом подстановки;

2-я группа – способом сложения;

^

Ребята разбиваются на три группы. Распределяют роли.

Работают в группе.

Крепят решение к доске.

Докладчики от каждой группы рассказывают о своем способе решения.

12/

2.

- Ребята, графический способ решения систем уравнений очень ярко иллюстрирует ответ на вопрос о количестве решений системы. Сейчас мы в этом убедимся.

- У вас на столах осталась не перевернута одна карточка. Переверните ее, и решите предложенное задание. Работаем по тому же принципу, что и первый раз.

^

2-я группа:

3-я группа:

Переворачивают оставшуюся карточку, решают графическим способом предложенную систему.

Результат работы вывешивают на доску. Докладчик озвучивает результат работы группы.

^

5/

- Вернемся к листам с вопросами, но теперь, каждый из них будет начинаться словами: «Верно ли, что…». Заполняем и столбик «б» теми же знакам.

(^ ).

- Заполним таблицу на доске. На ком мы остановились? (Спрашивает ответы на вопросы у оставшихся ребят.)

- Давайте рассмотрим еще раз наши вопросы и выясним окончательно, как же необходимо было ответить.

(Анализирует как изменялись ответы на вопросы. Если знаки в двух столбцах одинаковые, то просит ребят обосновать правильный ответ, а если разные, то найти ответ на поставленный вопрос, анализируя работу на уроке. Правильный знак фиксируется на доске цветным мелом.)

Берут листы с вопросами.

Отвечают на вопросы, заполняют столбец «б».

Называют свои знаки в столбике «б».

Дают обоснование своим ответам. (Отвечают по очереди по выбору учителя)

3/

- И так, подведем итоги. Какие выводы мы можем сделать?

Возможны варианты ответов:

- Решение системы не зависит от способа решения.

- Система линейных уравнений может иметь одно решение, бесконечно много решений или вообще не иметь решений.

- В качестве домашнего задания, каждая группа решает предложенные на уроке системы двумя другими способами.

- Организаторы, оцените вклад каждого члена группы, поставьте отметку в дневник. Я потом распишусь. (Выставляет оценки в журнал.)

- Всем большое спасибо.

Выставляют отметки каждому члену группы. Говорят о результатах учителю.

Вопросы: «ВЕРИТЕ ЛИ ВЫ ЧТО..?»

^ а б в
1 Пара чисел (0; 2) является решением системы линейных уравнений ?
2 Решение системы линейных уравнений зависит от способа решения?
3 Существует два способа решения систем линейных уравнений, когда приходится выражать одну переменную через другую?
4 Система линейных уравнений может иметь бесконечно много решений?
5 Системы линейных уравнений могут иметь только два решения?
^ а б в
1 Пара чисел (0; 2) является решением системы линейных уравнений ?
2 Решение системы линейных уравнений зависит от способа решения?
3 Существует два способа решения систем линейных уравнений, когда приходится выражать одну переменную через другую?
4 Система линейных уравнений может иметь бесконечно много решений?
5 Система линейных уравнений может иметь только два решения?
^ а б в
1 Пара чисел (0; 2) является решением системы линейных уравнений ?
2 Решение системы линейных уравнений зависит от способа решения?
3 Существует два способа решения систем линейных уравнений, когда приходится выражать одну переменную через другую?
4 Система линейных уравнений может иметь бесконечно много решений?
5 Системы линейных уравнений могут иметь только два решения?

dmee.ru

Урок в 7 классе по теме «Системы линейных уравнений»

скачать Валиева Сария Зиннатулловна,

МОУ «Гимназия №5 Зеленодол ьского муниципа льного района РТ»

Заключительный урок в 7 классе по теме «Системы линейных уравнений» Цель урока:

  • Закрепление и углубление знаний и умений решения систем уравнений
  • Развитие мыслительных способностей учащихся, умения действовать в нестандартной ситуации
  • Воспитание интереса к предмету.
Тип урока: формирование и совершенствование умений и навыков.

Структура урока:

  1. Организационный момент
  2. Актуализация знаний учащихся
  3. Формирование знаний и умений.
  4. Подведение итогов урока
  5. Домашнее задание
Ход урока:

I. Организационный момент.

Учителем сообщается тема урока, цель урока.

  1. Актуализация знаний
1) На доске записана система.

Вызываются 3 ученика и решают эту систему графическим способом, способом подстановки и способом сложения. В это время с классом идет фронтальная устная работа. «Легкая разминка». Используется кодоскоп.

1. х + у = 8, х – у = 4, 4х + 2у = 6.

Как называются такие уравнения? (линейные уравнения с двумя переменными)

Что является графиком линейного уравнения? (прямая)

Как построить график линейного уравнения? (выразить у через х, найти координаты двух точек)

Из каждого уравнения выразите у через х , х через у.

  1. Разложите на множители.
х2 - 2х; х2 – 4; х2 + 4х +4; х2 -6х + 9; х3 – 8; х3 + 1.

Какими способами разложить данные многочлены на множители? (вынесением общего множителя за скобки, по формулам сокращенного умножения, способом группировки)

  1. Решите уравнение:
(х – 1)(х + 2) = 0; х2 = 4; 2х2 = 18.

4. Что вы понимаете под словом система уравнений? Что называется решением системы линейных уравнений с двумя переменными? Что значит решить систему уравнений? Какие способы решения систем уравнений вы знаете?

После этого каждый ученик, выполнявшие задание у доски рассказывают алгоритм решения систем уравнений графическим способом, способом подстановки и способом сложения. Остальные слушают, проверяют правильность решения.

Как проверить правильность решения системы?

Учитель: на ваш взгляд, каким способом легче решается данная система? (способом подстановки, способом сложения). Но, решая графическим способом, мы наглядно можем увидеть, имеет ли система уравнений решений или нет. Поэтому этот способ служит геометрической иллюстрацией наличия отсутствия решения системы уравнений.

А как еще можно выяснить, имеет ли система уравнений решение или нет? (выразить из каждого уравнения у через х и сравнить угловые коэффициенты)

  1. Формирование знаний и умений.

Существует, ребята, еще один способ решения систем уравнений, которые мы с вами еще не рассматривали. Это метод – метод перебора или подбора. Например, дается система . Можно легко подобрать значение х и у: х = 4; у = 3.

Все эти способы решения систем уравнений знали люди давно. Точной даты не известно, но они имеются в книге Ньютона «Всеобщая арифметика», которая была издана в 1707 году.

Решение задач повышенного уровня.

Требуется решить системы уравнений различными способами. Фронтальная работа с классом. С записью решения на доске.

1. Рассматриваются способы решения: подстановки, перебора, графический. 1 вариант – решают систему способом подстановки, 2 вариант – перебором, 3 вариант – графическим. 2. .

Способы решения: подстановки, сложения (по вариантам).

- Где находит применение системы уравнений? (при решении задач). Повторяется схема решения задач с помощью систем уравнений.

Занимательные задачи.

1) Предлагается решить старинную задачу «Лошадь и мул»:

Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул. – Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинаково с моей».

Скажите же, мудрые математики, сколько мешков несла лошадь и сколько нес мул?

Разбирается решение задачи.

Пусть лошадь несла х мешков, а мул – у мешков. Если мул возьмет один мешок у лошади, то у него будет (у + 1), а у лошади останется (х – 1) мешков. Так как ноша у мула станет вдвое тяжелее, то составим уравнение 2(х – 1) = у + 1. Если лошадь снимет с мула один мешок, то у нее будет (х + 1), а у мула останется (у – 1) мешков. Так как ноша у них станет одинаковой, то получим уравнение х + 1 = у – 1. Составим и решим систему уравнений.

Система решается самостоятельно, проверка осуществляется с помощью кодоскопа.

2) Сейчас вы увидите только часть решения некоторой задачи. Попробуйте по этой части сформулировать всю задачу.

Пусть стороны прямоугольника будут х и у см. Тогда имеем:

Ученики составляют задачу, решить предлагается дома.

Задача. Периметр прямоугольника равен 20 см, а одна из сторон больше другой на 4 см. Найдите стороны прямоугольника.

  1. Итог урока.
Итак, ребята, мы заканчиваем изучение темы «Системы линейных уравнений». А сейчас ответьте, пожалуйста, на такие вопросы: чему учились, зачем учили и как учили? (Выслушиваются ответы учащихся, выставляются оценки за урок)
  1. Задание на дом:
1) №1223(а), 1224(а) из учебника «Алгебра» под редакцией С.А.Теляковского

2) составить и решить задачу с помощью системы уравнений (желающим).

скачать

nenuda.ru

Система линейных уравнений с двумя переменными. Методы решения систем уравнений.

Решением системы линейных уравнений двух переменных является любая упорядоченная пара, удовлетворяющая каждому уравнению независимо. Мы можем проверить решение, подставив значения в каждое уравнение, чтобы увидеть, удовлетворяет ли упорядоченная пара обоим уравнениям.

Как можно решить систему уравнений с двумя переменными?

Системы уравнений с двумя переменными можно решить методом подстановки:

 

Пример 1. Решить систему уравнений методом подстановки \(\begin{equation*} \begin{cases} 2x+y=15 \\ 3x-y=5 \end{cases} \end{equation*}\)

Решим систему методом подстановки: выразим y из второго уравнения и подставим в первое уравнение. Подставим x в первое уравнение и найдем y:

                                                                                                                          

Системы уравнений с двумя переменными можно решить методом сложения:

Пример 2. Решить систему методом сложения: \(\begin{equation*} \begin{cases} x-y-4=0 \\ 3x+y-8=0 \end{cases} \end{equation*}\).

Решение:

 

Система уравнений состоящее из двух переменных должно удовлетворять всем решениям одновременно. Система линейных уравнений из двух переменных рассматривается одновременно. Чтобы найти единственное решение системы линейных уравнений, мы должны найти численное значение для каждой переменной в системе, которая будет удовлетворять всем уравнениям системы одновременно. Некоторые линейные системы могут не иметь решения, и это  будет их решением, другие системы могут иметь бесконечное число решений. Для того чтобы линейная система имела единственное решение, должно быть не меньше уравнений, чем переменных. Тем не менее, это не гарантирует уникальное решение.

Выводы:

  • Система линейных уравнений из двух переменных решается совместно методом подстановки или методом сложения.
  • Чтобы найти решение системы линейных уравнений, мы должны найти численное значение для каждой переменной в системе, которая будет удовлетворять всем уравнениям в системе одновременно.
  • Для того чтобы линейная система имела единственное решение, должно быть не меньше уравнений, чем переменных.
  • Решить систему уравнений это значит найти численное значение для каждой переменной в системе либо доказать что решений нет.

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы "Альфа". Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru