Рассчитываем сторону треугольника в зависимости от известных данных. Стороны треугольника как вычислить


Стороны треугольника | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Зная стороны треугольника, можно найти все остальные его параметры по выведенным для треугольника формулам, просто подставив их значения. Периметр треугольник будет представлять собой сумму всех его сторон, а площадь выводится по формуле Герона, как квадратный корень из произведения полупериметра на его разность с каждой стороной по очереди, и деленному на два. P=a+b+c S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)/2)

Все углы в треугольнике, зная стороны, можно найти через теорему косинусов. (рис.75) cos⁡α=(b^2+c^2-a^2)/2bc

В произвольном треугольнике также есть три медианы m (делящие противоположную сторону пополам), три биссектрисы l (делящие угол пополам) и три высоты h (перпендикуляры из угла к стороне или ее проекции). Все их можно вычислить, имея в распоряжении значения трех сторон. Формула медианы, которая опущена на сторону c.(рис.75.1) m_c=√(2a^2+2b^2-c^2 )/2

Найти медиану, опущенную на сторону a или b, можно заменив необходимые стороны в формуле так, чтобы сторона, поделенная медианой пополам, была со знаком «–». m_a=√(2b^2+2c^2-a^2 )/2 m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2

Формула биссектрисы, которая выходит из угла γ и опущена на сторону с. (рис.75.2) l_c=√(ab(a+b+c)(a+b-c))/(a+b)

Чтобы найти биссектрисы, которые выходят из двух других углов, нужно преобразовать формулу аналогично формуле медианы, где противоположная сторона со знаком «–». l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)

Формула высоты, которая опущена на сторону a, b или c видоизменяется таким образом, чтобы в знаменателе была нужная сторона.(рис.75.3) h_a=(2√(p(p-a)(p-b)(p-c) ))/a h_b=(2√(p(p-a)(p-b)(p-c) ))/b h_c=(2√(p(p-a)(p-b)(p-c) ))/c

Также в любом треугольнике можно провести среднюю линию, которая также как медиана обозначается буквой m, поэтому для их разделения, будем использовать заглавную M для средней линии. Средняя линия параллельна той стороне, которая выбрана основанием треугольника, и равна ее половине. Среди свойств средней линии можно отметить, что боковые стороны она делит на две равные части, поэтому если начертить все три средние линии в треугольнике, то получится еще один треугольник, подобный первому, в два раза меньше. (рис. 75.7) M_a=a/2 M_b=b/2 M_c=c/2

В каждый треугольник можно вписать окружность и описать ее вокруг него. Центр вписанной в треугольник окружности будет находиться на пересечении его биссектрис, а радиус будет опущен под прямым углом к любой стороне и его формула выводится также по Герону. (рис.75.5) r=√(((p-a)(p-b)(p-c))/p)

Центр описанной вокруг произвольного треугольника окружности находится на пересечении его медиатрисс (срединных перпендикуляров, радиус опущен в любую вершину или угол, и вычисляется по следующей формуле. (рис.75.6) R=abc/(4√(p(p-a)(p-b)(p-c)))

geleot.ru

Как найти сторону треугольника, если две другие известны

В геометрии часто бывают задачи, связанные со сторонами треугольников. Например, часто необходимо найти сторону треугольника, если две другие известны.

Треугольники бывают равнобедренными, равносторонними и неравносторонними. Из всего разнообразия, для первого примера выберем прямоугольный (в таком треугольнике один из углов равен 90°, прилегающие к нему стороны называются катетами, а третья — гипотенузой).

Быстрая навигация по статье

Длина сторон прямоугольного треугольника

Решение задачи следует из теоремы великого математика Пифагора. В ней говорится, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы: a²+b²=c²

  • Находим квадрат длины катета a;
  • Находим квадрат катета b;
  • Складываем их между собой;
  • Из полученного результата извлекаем корень второй степени. 

Пример: a=4, b=3, c=?

  • a²=4²=16;
  • b² =3²=9;
  • 16+9=25;
  • √25=5. То есть, длина гипотенузы данного треугольника равна 5. 

Если же у треугольника нет прямого угла, то длин двух сторон недостаточно. Для этого необходим третий параметр: это может быть угол, высота площадь треугольника, радиус вписанной в него окружности и т.д..

Если известен периметр

В этом случае задача ещё проще. Периметр (P) представляет собой сумму всех сторон треугольника: P=a+b+c. Таким образом, решив простое математическое уравнение получаем результат.

Пример: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Решаем уравнение, перенося все известные параметры в одну сторону от знака равенства:

P=a+b+c

c=P-a-b

2) Подставляем вместо них значения и вычисляем третью сторону:

c=18-7-6=5, итого: третья сторона треугольника равна 5.

Если известен угол

Для вычисления третьей стороны треугольника по углу и двум другим сторонам, решение сводится к вычислению тригонометрического уравнения. Зная взаимосвязь сторон треугольника и синуса угла, несложно вычислить третью сторону. Для этого нужно возвести обе стороны в квадрат и сложить их результаты вместе. Затем вычесть из получившегося произведение сторон, умноженное на косинус угла: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Если известна площадь

В этом случае одной формулой не обойтись.

1) Сначала вычисляем sin γ, выразив его из формулы площади треугольника:

S=a*b* sin γ/2

sin γ= 2S/(a*b)

2) По следующей формуле вычисляем косинус того же угла:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 — sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) И снова воспользуемся теоремой синусов:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Подставив в это уравнение значения переменных, получим ответ задачи.

Поделитесь этой статьёй с друзьями в соц. сетях:

podskajem.com

Как рассчитать сторону треугольника | Подскажем

Треугольником называется геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, соединяющими три точки, не лежащие на одной прямой. Точки, образующие треугольник, называются его вершинами, а отрезки – сторонами.

В зависимости от вида треугольника (прямоугольный, равнобедренный и др.) рассчитать сторону треугольника можно различными способами, в зависимости от исходных данных и условий задачи.

Быстрая навигация по статье

Прямоугольный треугольник

Для расчета сторон прямоугольного треугольника применяется теорема Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Если обозначить катеты буквами «a» и «b», а гипотенузу – «с», то стороны можно найти по следующим формулам:

Если известны острые углы прямоугольного треугольника (a и b), то его стороны можно найти по следующим формулам:

Равнобедренный треугольник

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Если буквой «а» обозначить равные стороны, «b» – основание, «b» — угол, противолежащий основанию, «a» — прилежащие углы, то для расчета сторон можно воспользоваться формулами:

Два угла и сторона

Если известна одна из сторон (с) и два угла (a и b) любого треугольника, то для расчета остальных сторон применяется теорема синусов:

Нужно найти третий угол y = 180 – (a + b), т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°;

Две стороны и угол

Если известны две стороны треугольника (а и b) и угол между ними (y), то для расчета третьей стороны можно воспользоваться теоремой косинусов.

Поделитесь этой статьёй с друзьями в соц. сетях:

podskajem.com

Расчет длины стороны треугольника

Следующий калькулятор по теореме косинусов рассчитывает длину стороны треугольника по двум другим сторонам и углу между ними.

Давайте для начала вспомним как выглядит теорема косинусов, чтобы понимать шаги калькулятора в решении данной задачи:

Вот по такой схеме и работает данный калькулятор.

Также вы можете найти у нас на сайте вычисление длины стороны прямоугольного треугольника:

The field is not filled.

'%1' is not a valid e-mail address.

Please fill in this field.

The field must contain at least% 1 characters.

The value must not be longer than% 1 characters.

Field value does not coincide with the field '%1'

An invalid character. Valid characters:'%1'.

Expected number.

It is expected a positive number.

Expected integer.

It is expected a positive integer.

The value should be in the range of [%1 .. %2]

The '% 1' is already present in the set of valid characters.

The field must be less than 1%.

The first character must be a letter of the Latin alphabet.

Su

Mo

Tu

We

Th

Fr

Sa

January

February

March

April

May

June

July

August

September

October

November

December

century

B.C.

%1 century

An error occurred while importing data on line% 1. Value: '%2'. Error: %3

Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).

%3.%2.%1%4

%3.%2.%1%4 %6:%7

s.sh.

u.sh.

v.d.

z.d.

yes

no

Wrong file format. Only the following formats: %1

Please leave your phone number and / or email.

hostciti.net

Как находить стороны треугольника | Сделай все сам

Дабы находить стороны треугольника, нужно знать длины 2-х сторон и величину одного угла. Либо напротив — длину одной стороны и величины 2-х углов. Величину третьего угла легко рассчитать из равенства суммы углов треугольника 180 градусам.

Инструкция

1. По двум сторонам и углу между нимиЕсли вестимы длины 2-х сторон треугольника и величина угла между ними, то обнаружить длину третьей стороны дозволено воспользовавшись теоремой косинусов: квадрат длины стороны треугольника равняется сумме квадратов длин 2-х его других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.Отсель имеем:с=?(а?+b?-2аb*cosC), где а и b – длины знаменитых сторон,С – величина угла, заключенного между этими сторонами (противолежащего желанной стороне),с – длина желанной стороны.Пример 1.Дан треугольник со сторонами 10 см и 20 см и углом между ними равным 60 градусов. Обнаружить длину стороны.Решение.По вышеприведенной формуле получаем:с=?(10?+20?-2*10*20*cos60?)=?(500-200)=?300~17,32 Ответ: длина стороны треугольника, противолежащей сторонам длинами 10 и 20 сантиметров и величиной угла между ними 60? — ~17,32 см.

2. По двум углам и сторонеЕсли знамениты величины 2-х углов и длина одной сторон треугольника, то длины 2-х остальных сторон комфортнее каждого находить воспользовавшись теоремой синусов: отношение синусов углов треугольника к длинам противолежащих сторон равны между собой.sinA/a=sinB/b=sinC/с, где:a, b, c – длины сторон треугольника, а A, B, C – величины противолежащих углов. Какие именно углы треугольника знамениты – не значимо, потому что, воспользовавшись тем фактом, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, дозволено легко узнать величину неведомого угла.То есть, скажем, если знамениты величины углов А и С и длина стороны а, то длина стороны с будет:с=а*sinC/sinA

3. Если при таких же начальных данных нужно обнаружить длину стороны b, то дабы воспользоваться теоремой синусов, необходимо знать величину угла В:потому что В=180?-А-С, то длина стороны b дозволено будет обнаружить по формуле:b=a*sin(180?-А-С)/sinAПример 2.Пускай в треугольнике ABC знамениты длина стороны а=10 см и величины углов А=30 и С=20. Обнаружить длину стороны b.Решение: по полученной выше формуле получаем:b=10*sin(180?-30?-20?)/sin30?=10*sin130?/0,5=5*sin130?~3,83Ответ: длина стороны треугольника ~3,83 см.

Видео по теме

jprosto.ru

Стороны треугольника, формулы и примеры

Классификация треугольников по сторонам

Треугольники можно классифицировать по сторонам следующим образом:

Формулы связывающие стороны треугольника

Большая сторона треугольника лежит против большего угла.

В любом треугольнике (рис. 1) его стороны связаны с углами с помощью теоремы синусов:

    \[\frac{a}{\sin \alpha } =\frac{b}{\sin \beta } =\frac{c}{\sin \gamma } \]

и теоремы косинусов:

    \[a^2 =b^2 +c^2 -2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha \]

Площадь треугольника по трем сторонам (формула Герона)

    \[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ,\]

где p=\frac{a+b+c}{2} – полупериметр

Стороны в прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике (рис. 2) стороны a и b, образующие прямой угол, называются катетами, а третья сторона c – гипотенузой. Связаны стороны прямоугольного треугольника теоремой Пифагора: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов»

    \[c^2 =a^2 +b^2 \]

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Как вычислить длину стороны треугольника

Для вычисления длин сторон в произвольном треугольнике чаще всего приходится применять теоремы синусов и косинусов. Но среди всего множества произвольных многоугольников этого рода существуют их «более правильные» вариации - равносторонние, равнобедренные, прямоугольные. Если о треугольнике известно, что он принадлежит к одной из этих разновидностей, способы вычисления его параметров значительно упрощаются. При вычислении длин их сторон часто можно обойтись без тригонометрических функций.

Инструкция

  • Длину стороны (А) равностороннего треугольника можно найти по радиусу вписанной в него окружности (r). Для этого увеличьте ее в шесть раз и разделите на квадратный корень из тройки: А = r*6/√3.
  • Зная радиус описанной окружности (R), тоже можно вычислить длину стороны (А) правильного треугольника. Этот радиус вдвое больше использованного в предыдущей формуле, поэтому утройте его и тоже поделите на квадратный корень из тройки: А = R*3/√3.
  • По периметру (Р) равностороннего треугольника вычислить длину его стороны (А) еще проще, так как длины сторон в этой фигуре одинаковы. Просто разделите периметр натрое: А = Р/3.
  • В равнобедренном треугольнике вычисление длины стороны по известному периметру немного сложнее - нужно знать еще и длину хотя бы одной из сторон. Если известна длина стороны А, лежащей в основании фигуры, длину любой из боковых (В) находите делением пополам разности между периметром (Р) и размером основания: В = (Р-А)/2. А если известна боковая сторона, то длину основания определяйте вычитанием из периметра удвоенной длины боковой: А = Р-2*В.
  • Знания площади (S), занимаемой на плоскости правильным треугольником, тоже достаточно для нахождения длины его стороны (А). Извлеките квадратный корень из соотношения площади и квадратного корня из тройки, а полученный результат удвойте: А = 2*√(S/√3).
  • В прямоугольном треугольнике, в отличие от любого другого, для вычисления длины одной из сторон достаточно знать длины двух других. Если искомая сторона - гипотенуза (С), для этого находите квадратный корень из суммы длин известных сторон (А и В), возведенных в квадрат: С = √(А²+В²). А если вычислить требуется длину одного из катетов, то квадратный корень следует извлекать из разности квадратов длин гипотенузы и другого катета: А = √(С²-В²).

completerepair.ru