Точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости графика функции. Точки перегиба как найти


Как найти точки перегиба графика функции, примеры

В задачах на исследование функции в одном из пунктов предлагается найти точки перегиба графика функции. Как это решить? Необходимо понимать, что такое точка перегиба по определению и её признаки. 

Точка перегиба функции - это точка, в которой график функции изменяет свою выпуклость или вогнутость

Как найти?

  1. Найти вторую производную функции
  2. Найти точки , в которых вторая производная равна нулю, имеет разрыв, или не существует
  3. Исследовать каждую найденную точку  на перегиб, с помощью третьей производной

Как проверить является ли найденная точка  перегибом? Необходимо найти третью производную . Если ≠ , то исследуемая точка - это точка перегиба.

Примеры решений 

Пример 1
Найти точки перегиба графика функции:
Решение

Найдем первую производную, заданной функции:

Теперь получим вторую производную:

Приравниваем к нулю и решаем уравнение:

Найдем третью производную и вычислим её значения в точках и :

Так как и не равны нулю, то точки и соответственно точки перегиба функции.

Ответ
Пример 2
Узнать, является ли для графика функции точка точкой перегиба
Решение

Найдем производные до третьего порядка фунции, указанной в условии к задаче:

Вычислим значения :

Так как , а , то делаем вывод, что точка является точкой перегиба для функции

Ответ
Точка точка перегиба

xn--24-6kcaa2awqnc8dd.xn--p1ai

Как найти точки перегиба функции

Чтобы найти точки перегиба функции, нужно определить, в каких местах ее график меняет выпуклость на вогнутость и наоборот. Алгоритм поиска связан с вычислением второй производной и анализом ее поведения в окрестности некоторой точки.

Инструкция

  • Точки перегиба функции должны принадлежать области ее определения, которую нужно найти в первую очередь. График функции – это линия, которая может быть непрерывной или иметь разрывы, монотонно убывать или возрастать, иметь минимальные или максимальные точки (асимптоты), быть выпуклой или вогнутой. Резкая смена двух последних состояний и называется перегибом.
  • Необходимое условие существования точек перегиба функции состоит в равенстве второй производной нулю. Таким образом, дважды продифференцировав функцию и приравняв получившееся выражение нулю, можно найти абсциссы возможных точек перегиба.
  • Это условие следует из определения свойств выпуклости и вогнутости графика функции, т.е. отрицательному и положительному значению второй производной. В точке перегиба происходит резкая смена этих свойств, значит, производная переходит нулевую отметку. Однако равенства нулю еще недостаточно для того, чтобы обозначить перегиб.
  • Существует два достаточных признака того, что найденная на предыдущем этапе абсцисса принадлежит точке перегиба:Через эту точку можно провести касательную к графику функции. Вторая производная имеет разные знаки справа и слева от предполагаемой точки перегиба. Таким образом, ее существование в самой точке необязательно, достаточно определить, что в ней она меняет знак.Вторая производная функции равна нулю, а третья – нет.
  • Первое достаточное условие является универсальным и применяется чаще других. Рассмотрим иллюстрирующий пример: у = (3•х + 3)• ∛(х - 5).
  • Решение.Найдите область определения. В данном случае ограничений нет, следовательно, ею является все пространство действительных чисел. Вычислите первую производную:у’ = 3•∛(х - 5) + (3•х + 3)/∛(х - 5)².
  • Обратите внимание на появление дроби. Из него следует, что область определения производной ограничена. Точка х = 5 является выколотой, а значит, через нее может проходить касательная, что отчасти соответствует первому признаку достаточности перегиба.
  • Определите односторонние пределы для получившегося выражения при х → 5 – 0 и х → 5 + 0. Они равны -∞ и +∞. Вы доказали, что через точку х=5 проходит вертикальная касательная. Эта точка может оказаться точкой перегиба, но сначала вычислите вторую производную:У’’ = 1/∛(х - 5)² + 3/∛(х - 5)² – 2/3•(3•х + 3)/∛(х - 5)^5 = (2•х – 22)/∛(х - 5)^5.
  • Опустите знаменатель, поскольку точку х = 5 вы уже учли. Решите уравнение 2•х – 22 = 0. Оно имеет единственный корень х = 11.Последний этап – подтверждение того, что точки х = 5 и х = 11 являются точками перегиба. Проанализируйте поведение второй производной в их окрестностях. Очевидно, что в точке х = 5 она меняет знак с «+» на «-», а в точке х = 11 – наоборот. Вывод: обе точки являются точками перегиба. Выполнено первое достаточное условие.

completerepair.ru

Как найти точки перегиба функции

Дабы обнаружить точки перегиба функции, необходимо определить, в каких местах ее график меняет выпуклость на вогнутость и напротив. Алгорифм поиска связан с вычислением 2-й производной и обзором ее поведения в окрестности некоторой точки .

Инструкция

1. Точки перегиба функции обязаны принадлежать области ее определения, которую надобно обнаружить в первую очередь. График функции – это линия, которая может быть постоянной либо иметь обрывы, однообразно убывать либо нарастать, иметь минимальные либо максимальные точки (асимптоты), быть выпуклой либо вогнутой. Резкая смена 2-х последних состояний и именуется перегибом.

2. Нужное условие существования точек перегиба функции состоит в равенстве 2-й производной нулю. Таким образом, двукратно продифференцировав функцию и приравняв получившееся выражение нулю, дозволено обнаружить абсциссы допустимых точек перегиба .

3. Это условие следует из определения свойств выпуклости и вогнутости графика функции, т.е. негативному и правильному значению 2-й производной. В точке перегиба происходит резкая смена этих свойств, значит, производная переходит нулевую отметку. Впрочем равенства нулю еще неудовлетворительно для того, дабы обозначить перегиб.

4. Существует два довольных знака того, что обнаруженная на предыдущем этапе абсцисса принадлежит точке перегиба :Через эту точку дозволено провести касательную к графику функции. Вторая производная имеет различные знаки справа и слева от полагаемой точки перегиба . Таким образом, ее существование в самой точке необязательно, довольно определить, что в ней она меняет знак.Вторая производная функции равна нулю, а третья – нет.

5. Первое довольное условие является универсальным и используется почаще других. Разглядим иллюстрирующий пример: у = (3•х + 3)• ?(х — 5).

6. Решение.Обнаружьте область определения. В данном случае ограничений нет, следственно, ею является все пространство действительных чисел. Вычислите первую производную:у’ = 3•?(х — 5) + (3•х + 3)/?(х — 5)?.

7. Обратите внимание на происхождение дроби. Из него следует, что область определения производной ограничена. Точка х = 5 является выколотой, а значит, через нее может проходить касательная, что отчасти соответствует первому знаку достаточности перегиба .

8. Определите односторонние пределы для получившегося выражения при х ? 5 – 0 и х ? 5 + 0. Они равны -? и +?. Вы подтвердили, что через точку х=5 проходит вертикальная касательная. Эта точка может оказаться точкой перегиба , но вначале вычислите вторую производную:У’’ = 1/?(х — 5)? + 3/?(х — 5)? – 2/3•(3•х + 3)/?(х — 5)^5 = (2•х – 22)/?(х — 5)^5.

9. Опустите знаменатель, от того что точку х = 5 вы теснее учли. Решите уравнение 2•х – 22 = 0. Оно имеет исключительный корень х = 11.Конечный этап – доказательство того, что точки х = 5 и х = 11 являются точками перегиба . Проанализируйте поведение 2-й производной в их окрестностях. Видимо, что в точке х = 5 она меняет знак с «+» на «-», а в точке х = 11 – напротив. Итог: обе точки являются точками перегиба . Исполнено первое довольное условие.

jprosto.ru

Лекция 17. Точки перегиба и общее исследование функций

Точки перегиба и общее исследование функций. Лекция 17.

Точки перегиба.

Основные понятия.

График дифференцируемой функции называетсявыпуклым (вогнутом) на интервале , если он расположен выше (ниже) ее любой касательной на этом интервале (рис. 72).

Точка графика непрерывной функции , в которой она меняет вогнутость на выпуклость называетсяточкой перегиба.

Так на рис. 73 функция на интервале является выпуклой а на интервале– вогнутой. Следовательно, точкаявляется точкой перегиба.

Достаточные условия выпуклости и вогнутости функции на интервале.

Выпуклость и вогнутость функции на интервале можно определить с помощью ее вторых производных.

Теорема 37. Если функция во всех точках из интервала имеет отрицательную (положительную) вторую производную(), то график функции на этом интервале является выпуклым (вогнутым).

Доказательство. Пусть . Возьмём на графике функции произвольную точку М с координатамии проведём через неё касательную. Покажем, что график функции расположен ниже этой касательной. Для этого возьмём произвольную точку и сравним ординаты в этой точке графика и касательной. Уравнение касательной имеет вид, поэтому.

Тогда . По теореме Лагранжа

=

Снова применим теорему Лагранжа (для разности производных):

.

Исследуем знак этого выражения в зависимости от взаимного расположения точек .

Случай 1. Точка (рис. 74). Тогда и , следовательноили.

Случай 2. (рис. 75). Тогда и , следовательноили опять.

В любом случае , т.е. ордината касательной больше ординаты графика для любой точки интервала. По определению, график функцииявляется выпуклым. Аналогично можно рассмотреть случай, когдаи показать, что график функции в этом случае будет вогнутым.

Достаточное условие существования точек перегиба.

Теорема 38. Если вторая производная при переходе через точку, в которой она не существует или равна нулю, меняет знак, то точкаявляется точкой перегиба.

Доказательство. Пусть приипри. Это означает, что слева график функции является выпуклым, а справа – вогнутым, следовательно, точкаявляется точкой перегиба по пределению.

Пример 62. Найти промежутки выпуклости, вогнутости функции

и установить ее точки перегиба.

Решение. Найдем последовательно первую и вторую производные функции

Определим на числовой оси знаки второй производной. Из рисунка видно, что вторая производная отрицательна (там функция выпукла) на интервале и положительна на интервале. В точкеона меняет знак с (-) на (+), следовательно, эта точка является точкой перегиба (рис. 76).

Асимптоты.

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Вертикальные асимптоты.

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции, если

Обычно такими точками являются точки разрыва второго рода (рис. 77). Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения , вблизи которых функция неограниченно возрастает по модулю. Так функция обратной пропорциональностиимеет вертикальную асимптоту, т. е. ось(рис. 78).

Наклонные и горизонтальные асимптоты.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид . Пусть- произвольная точка графика функции, по формуле расстояния от точки до прямой, имеем Так как

Разхделим обе части равенства на , получим

Применяя к левой части правило Лопиталя, получим

Коэффициент найдем из условия

Отсюда

Если хотя бы один из этих пределов (или оба) не существуют, то функция не имеет наклонных асимптот. Если, то прямаяв этом случае является горизонтальной асимптотой. Так функцияимеет вертикальную асимптотуи наклонную(рис. 79).

Пример 63. Исследовать на асимптоты функцию

Решение. Так как при функция имееи разрыв 2 – го рода, то график имеет вертикальную асимптоту. Наклонные асимптоты имеют видНайдем коэффициентыи

Таким образом, график имеет наклонную асимптоту (рис. 80).

Схема исследования функций и построения их графиков.

1) Находят область определения функции ;

2) определяют (если возможно) точки пересечения графика с осями координат;

3) проверяют чётность или нечётность, периодичность функции. Графики четной и нечетной функции строят только для , затем четную функцию отображают симметрично относительно оси , нечетную – относительно точки. Периодическую функцию строят на интервале, равном периоду, затем продолжают на всю числовую ось;

4) находят первую производную и исследуют интервалы монотонности и находят точки экстремума;

5) находят вторую производную и исследуют промежутки выпуклости и вогнутости, устанавливают точки перегиба;

6) исследуют функцию на наличие асимптот (вертикальных, наклонных, горизонтальных).

На основании всех этих свойств строят эскиз графика .

Пример 64. Исследовать и построить график функции

Решение. 1) Найдем область определения функции. Так как знаменатель дроби равен нулю при и при , то в этих точках функция не определена и имеет разрыв второго рода, поэтому

2) При переменная. Таким образом, осьпересекается в точке. Если же, тои

, . Эти точки иявляются точками пересечения графика с осью;

3) Так как

то функция не является четной и не является нечетной, т. е. – функция общего вида. Заметим, что этот вывод следует так же из того, что она определена на не симметрическом множестве. Из последнего факта следует так же непериодичность функции;

4) Найдем производную функции и исследуем ее на монотонность и точки экстремума:

Отсюда прии,. Нанесем на числовую ось критические точки и определим знаки производной на промежутках

Из рисунка видно, что функция убывает на промежутках ,,и возрастает на промежутках,. Точкаявляется точкой минимума а точка– точкой максимума. Причем

5) Найдем вторую производную и исследуем промежутки выпуклости, вогнутости функции, определим точки перегиба:

Отсюда иили

Проверяя целые делители числа 216, убеждаемся, что значение является корнем уравнения. Разделив в соответствии с теоремой Безу выражение в правой части на, получим разложение на множители

Уравнение корней не имеет, так как дискриминант

Нанесем на числовую ось точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует и определим промежутки выпуклости и вогнутости.

Из рисунка видно, что вторая производная функции положительна на промежутках и, следовательно, на них график является выпуклым. На промежуткахивторая производная отрицательна и функция является выпуклой на них. В точкефункция определена именяет знак с (+) на (-) и поэтому она является точкой перегиба, причем

6) Исследуем график на асимптоты. Так как функция в точках иимеет разрыв второго рода, то прямыеиявляются вертикальными асимптотами. Для определения наклонных (и горизонтальных) асимптот вида, определим коэффициентыи.

Таким образом график функции имеет горизонтальную асимптоту .

На основании полученных данных, строим график функции (рис. 81).

101

studfiles.net

Выпуклость и вогнутисть графика функции. Точки перегиба

Исследование функции не обходится без установки интервалов выпуклости и вогнутости, причем их могут разделять как точки перегиба, так и критические точки второго рода. Все зависит от ряда правил которые Вам придется запомнить из приведенного теоретического материала.Кривая называется выпуклой на интервале если все ее точки, кроме точки соприкосновения, лежат ниже произвольной ее касательной на этом интервале.

И наоборот, кривая называется вогнутой на интервале если все ее точки, кроме точки соприкосновения, лежат выше произвольной ее касательной на этом интервале.

Точкой перегиба называется такая точка кривой которая отделяет ее выпуклую часть от вогнутой.

На рисунке выше кривая выпуклая на интервале и вогнута на , в точке - функция имеет перегиб.

Выпуклость и вогнутость кривой, которая является графиком функции характеризуется знаком ее второй производной: если в некотором интервале она меньше нуля то кривая выпуклая на этом интервале, а если больше то кривая вогнута на этом интервале.

Интервалы выпуклости и вогнутости могут отделяться друг от друга или точками где вторая производная равна нулю, или точками где вторая производная не существует. Эти точки называются критическими точками второго рода.

Если при переходе через критическую точку вторая производная меняет знак, то график функции имеет точку перегиба .

ПРАВИЛО НАХОЖДЕНИЯ ТОЧЕК ПЕРЕГИБА ГРАФИКА ФУНКЦИИ

1) найти область определения функции;

2) найти критические точки II рода функции ;

3) исследовать знак в интервалах, на которые критические точки делят область определения функции . Если критическая точка разделяет интервалы где вторые производные разных знаков, то является абсциссой точки перегиба графика функции;

4) вычислить значения функции в точках перегиба.

---------------------------------------------------

Задача.

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вмятины графиков функций. (Дубовик В.П., Юрик И.И. "Высшая математика. Сборник задач")

І. (5.827)

1) Область определения вся действительная множество

2) Находим критические точки функции второго рода

Квадратное уравнение будет иметь следующие корни

Они разбивают область определения на следующие интервалы выпуклости или вогнутости

3) Исследуем знак производной подстановкой значений из интервалов

Из анализа знаков следует, что функция вогнута на интервалах и выпуклая при . Точки являются точками перегиба, поскольку вторая производная в них меняет знак.

4) Вычисляем значение функции

– точки перегиба.

Чтобы материал Вам хорошо воспринимался к этой задаче и последующих будут приведены графики функций с найденными критическими точками. Это поможет Вам легко представлять себе, как точки перегиба выглядят на графиках функций

---------------------------------

ІІ. (5.831)

1) Область определения будет

.

2) Критические точки II рода: найдем вторую производную функции

Решим квадратное уравнение

Вторая производная существует на всей области определения.

3) Определяем знаки второй производной на промежутках где вторая производная отлична от нуля

Таким образом, получим два интервала выпуклости и один вогнутости графика функции

4) Найдем значения функции в точках перегиба

-точки перегиба.

Часть графика функции с точками перегиба приведена ниже

---------------------------------

ІІІ. (5.834)

1) Область определения является , так как корень кубический существует для отрицательных чисел.

2) Критические точки найдем из условия равенства нулю или несуществования второй производной функции

Вторая производная существует на всей области кроме точки .

3) Предыдущие исследования показали, что точка разбивает область определения на два интервала и . Для установления, какой из них будет интервалом выпуклости а какой вогнутости, подставим точки справа и слева от критической во вторую производную.

Из этого следует, что на интервале кривая вогнута, а на – выпуклая. Исследуемая точка является точкой перегиба.

4) В точке перегиба функция принимает значение

– координаты точки перегиба. Интересующий график функции приведен ниже

---------------------------------

IV. (5.835)

1) Область определения , поскольку экспонента определена для всех аргументов.

2) Вычисляем критические точки второго рода

Из условия равенства нулю второй производной получим

Найдена точка разбивает область определения на два интервала

3) Исследуем знаки производной на найденных интервалах

На первом интервале график функции выпуклый, а на вогнутый. Точка является абсциссой точки перегиба.

4) Находим ординату

– точка перегиба. График функции имеет вид

---------------------------------

V. (5.845)

1) Областью определения является множество значений аргумента при которых знаменатель не превращается в ноль

Получаем два интервала определения функции

2) Для отыскания критических точек дифференцируем функцию дважды

Вторая производная равна нулю при и не существует в точке .

3) Исследуя знаки производной на интервалах методом подстановки значений

получиим, что функция имеет один интервал где график функции выпуклый и два где он вогнутый.

4) В точке перегиба функция примет значение

а ее графики изображен ниже

--------------------------------------------------

Правила нахождения точек перегиба достаточно просты, нужно только хорошо уметь находить вторую производную. При нахождении интервалов довольно трудно привыкнуть, что функция выпуклая там где вторая производная отрицательная, и вогнута - при положительной второй производной. Для этого нужно решить немало задач и построить не менее графиков. Учитесь на приведенных примерах, решайте самостоятельно - это ускорит усвоение теоретического материала и позволит бить спокойнее остальных при решение контрольных, тестов, зачетов.

-----------------------

Посмотреть материалы:

yukhym.com

Как найти точки перегиба функции f(x) в Wolfram|Alpha

Здравствуйте, уважаемый читатель! Как Вы помните, в предыдущем посте мы нашли критические точки второго рода данной функции

Мы определили, что у данной функции всего лишь одна критическая точка второго рода x=1.04905.

Теперь воспользуемся достаточным условием существования точек перегиба, чтобы определить, действительно ли эта точка является точкой перегиба или же она таковой не является.

Для этого последовательно выполним следующие шаги.

Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции f(x). Для этого нам следует найти интервалы знакопостоянства второй производной f`''(x), используя запросы solve f`''(x)>0 и solve f`''(x)<0 или просто f`''(x)>0 и f`''(x)<0. Вот, как выглядит результат запроса f`''(x)>0, который позволяет определить интервалы вогнутости (выпуклости вниз) для данной функции: d^2/dx^2 (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))>0 Аналогично, по запросу  f`''(x)<0, найдем интервалы выпуклости (вверх) для данной функции: d^2/dx^2 (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))<0

Сделать выводы относительно точки перегиба. Теперь, когда у нас имеются все необходимые сведения, можно, используя достаточное условие существования точек перегиба, сделать выводы относительно точек перегиба функции функции f(x).

Для  удобства и наглядности, как и при отыскании точек экстремума, нанесем точки разрыва функции и найденную выше критическую точку второго рода на числовую ось:number line -1, 0, 1.04905, 3

Используя достаточный признак существования точек перегиба функции одной переменной, определим, действительно ли найденная выше критическая точка второго рода является точкой перегиба графика данной функции (все отметки на этом рисунке, как и выше, сделаны мною вручную "на скорую руку"):

Итак, вывод относительно точки перегиба сделан: критическая точка второго рода x=1.04905 действительно является точкой перегиба. Позже этот результат мы проверим другим способом, который имеется в арсенале Wolfram|Alpha.

Осталось только вычислить значения функции f(x) в точках перегиба. Для этого используется запрос вида f(x), where x=…

(5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4)), where x=1.04905

Wolfram|Alpha позволяет легко проверить наши выводы относительно точки перегиба, а также непосредственно последний результат, можно с помощью запроса inflection points f(x), который специально предназначен именно для отыскания точек перегиба:

inflection points (5x^7+4x^6-3)/((3+2x-x^2)x^4))

Как видим, результаты практически совпадают (с точностью до тысячных).

Итак, основная работа по реализации общей схемы исследования функции с помощью Wolfram|Alpha нами проделана.

Остался следующий этап в общей схеме исследования функции - построение графика функции по результатам исследования. Этот этап будет рассмотрен нами далее.

www.wolframalpha-ru.com

Точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости графика функции

В некоторых случаях, чтобы построить график функции более точно, бывает необходимо найти точки перегибы и промежутки выпуклости и вогнутости графика.

Функция f(x) называется выпуклой вверх (вниз) в точке x, если ее график в некоторой окрестности точки x лежит ниже (выше) касательной, проведенной к графику функции f(x) в точке с абсциссой, равной x.

Выпуклую вниз функцию также называют вогнутой.

Пример функции, выпуклой вниз (вогнутой):

Пример функции, выпуклой вверх (или просто выпуклой):

При определении промежутков выпуклости и вогнутости мы используем следующую теорему:

Пусть функция y=f(x)определена на интервале (a;b) и имеет непрерывную, не равную нулю в точке x_0{in}(a;b) вторую производную. Тогда, если f^{{prime}{prime}}(x)>0 всюду на интервале (a;b), то функция имеет вогнутость на этом интервале, если f^{{prime}{prime}}(x)<0, то функция имеет выпуклость.

Точки, которые разделяют промежутки выпуклости и вогнутости называются точками перегиба функции.

Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость:

1. Находим вторую производную функции (это производная от первой  производной).

2. Находим точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

3. Исследуем знаки второй производной справа и слева от найденных точек.

 Для примера исследуем на выпуклость, вогнутость функцию y=x^3-3x^2+2x-3

1. Найдем первую производную функции y=x^3-3x^2+2x-3:

y^{prime}=(x^3-3x^2+2x-3)^{prime}=3x^2-6x+2

2. Найдем вторую производную функции y=x^3-3x^2+2x-3.

y^{{prime}{prime}}=(3x^2-6x+2)^{prime}=6x-6

3. Найдем нули второй производной:

6x-6=0

x=1 - точка перегиба.

Найдем знаки второй производной и определим промежутки выпуклости, вогнутости функции:

График нашей функции выглядит так:

Мы видим, что слева от точки x=1 функция выпуклая (если представить, что  мы "поливаем" график водой, то она с него скатывается - неспроста на этом промежутке вторая производная отрицательная).

Справа от точки x=1 функция вогнутая. (На этом промежутке вода как бы накапливается - здесь вторая производная больше нуля)

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

ege-ok.ru