Как по сторонам треугольника узнать угол. Угол в треугольнике по сторонам


Как по сторонам треугольника узнать угол

Длины сторон треугольника связаны с углами в вершинах фигуры через тригонометрические функции - синус, косинус, тангенс и др. Эти соотношения сформулированы в теоремах и определениях функций через острые углы треугольника из курса элементарной геометрии. Используя их, можно рассчитать величину угла по известным длинам сторон треугольника.

Инструкция

  • Для вычисления любого угла произвольного треугольника, длины сторон которого (a, b, c) известны, используйте теорему косинусов. Она утверждает, что квадрат длины любой из сторон равен сумме квадратов длин двух других, из которой вычтено удвоенное произведение длин этих же двух сторон на косинус угла между ними. Использовать эту теорему можно для расчета угла в любой из вершин, важно знать лишь его расположение относительно сторон. Например, чтобы найти угол α, который лежит между сторонами b и c, теорему надо записать так: a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α).
  • Выразите из формулы косинус искомого угла: cos(α) = (b²+c²-a²)/(2*b*c). К обеим частям равенства примените функцию, обратную косинусу - арккосинус. Она позволяет по значению косинуса восстановить величину угла в градусах: arccos(cos(α)) = arccos((b²+c²-a²)/(2*b*c)). Левую часть можно упростить и формула вычисления угла между сторонами b и c приобретет окончательный вид: α = arccos((b²+c²-a²)/2*b*c).
  • При нахождении величин острых углов в прямоугольном треугольнике знание длин всех сторон не обязательно, достаточно двух из них. Если эти две стороны - катеты (a и b), разделите длину той, которая лежит напротив искомого угла (α), на длину другой. Так вы получите значение тангенса нужного угла tg(α) = a/b, а применив к обеим частям равенства обратную функцию - арктангенс - и упростив, как и в предыдущем шаге, левую часть, выведите окончательную формулу: α = arctg(a/b).
  • Если известные стороны прямоугольного треугольника - катет (a) и гипотенуза (c), для вычисления величины угла (β), образованного этими сторонами, воспользуйтесь функцией косинус и обратной ей - арккосинус. Косинус определяется отношением длины катета к гипотенузе, а формулу в окончательном виде можно записать так: β = arccos(a/c). Для расчета по этим же исходным данным острого угла (α), лежащего напротив известного катета, используйте то же соотношение, заменив арккосинус на арксинус: α = arcsin(a/c).

completerepair.ru

Как по трем сторонам треугольника найти угол

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит, в условии задачи имеются в виду противоположные углы. Сумма всех углов параллелограмма = 360 градусов, тогда сумма оставшихся 2-х углов = 360 — 28 = 332 градуса, а один угол = 332/2 = 166 градусов. Комментарии.

Совет 1: Как найти углы треугольника по трем его сторонам

    Как найти углы треугольника по трем его сторонам Как определить периметр треугольника Как определить вид треугольника
    базовое знание тригонометрии

Совет 2: Как найти углы треугольника по длинам его сторон

Sin(β)=0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c) / (a∗c∗)Вместо этих формул можно воспользоваться теоремой синусов, из которой вытекает, что соотношения Сторон и синусов противолежащих им углов в треугольнике равны. То есть, вычислив в предыдущем шаге синус одного из углов, можно найти синус другого угла по более простой формуле: sin(α)=sin(γ)∗a/c. А исходя из того, что сумма углов в треугольнике равна 180°, третий угол можно рассчитать еще проще: β=180°-α-γ.

Как по трем сторонам треугольника найти угол

Нахождение углов треугольника по заданным сторонам

Нахождение углов треугольника по заданным сторонам с использованием теоремы косинусов.

Для треугольника, в отличие от, скажем, четырехугольника, эта задача имеет решение, ибо треугольник можно однозначно определить по трем сторонам (а также по двум сторонам и углу между ними, и по стороне и двум прилежащим углам).

Стороны в треугольнике, кстати сказать, должны следовать Неравенству треугольника, то есть, сумма любых двух сторон должна быть больше третьей стороны.

Математически (см. рисунок) это выражается системой

В случае невыполнения хотя бы одного из условий треугольник называют Вырожденным. Собственно, это и не треугольник уже.

Идем дальше — при известных сторонах углы проще всего определить, пользуясь Теоремой косинусов, частным случаем которой является Теорема Пифагора (см. рисунок)

Калькулятор ниже рассчитывает углы по введенным длинам сторон. Если треугольник вырожденный, то в результате будут нули.

Как по трем сторонам треугольника найти угол

Решение треугольника по трем сторонам

Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т. е. трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник.

На этой странице можно найти все углы треугольника онлайн по трем сторонам с подробным решением.

poiskvstavropole.ru

Виды треугольников | Треугольники

В зависимости от величин углов и соотношения длин сторон различают следующие виды треугольников.

Виды треугольников по углам:

  • остроугольные
  • прямоугольные
  • тупоугольные

 

 

Остроугольный треугольник — это треугольник, все углы которого острые (то есть градусная мера каждого угла меньше 90º).

 

 

 

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (то есть имеет градусную меру 90º).

 

 

 

 

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол — тупой (то есть имеет градусную меру больше 90º).

 

 

Виды треугольников по сторонам:

  • равносторонние
  • равнобедренные
  • разносторонние

 

 

Равносторонний треугольник (или правильный треугольник) — это треугольник, у которого все три стороны равны.

 

 

 

 

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны.

 

 

 

 

Разносторонний треугольник — треугольник, все стороны которого имеют разную длину.

 

 

Если в задаче ничего не сказано о виде треугольника, его считают произвольным, то есть разносторонним.

Отрезки равной длины на чертеже отмечают равным количеством черточек:

разносторонний треугольник

равносторонний треугольник

равнобедренный треугольник

www.treugolniki.ru

Как по сторонам треугольника узнать угол

Длины сторон треугольника связаны с углами в вершинах фигуры через тригонометрические функции - синус, косинус, тангенс и др. Эти соотношения сформулированы в теоремах и определениях функций через острые углы треугольника из курса элементарной геометрии. Используя их, можно рассчитать величину угла по известным длинам сторон треугольника.

Спонсор размещения P&G Статьи по теме "Как по сторонам треугольника узнать угол" Как найти синус угла по сторонам треугольника Как найти длину стороны треугольника по координатам Как найти углы, когда известны длины сторон треугольника

Инструкция

1

Для вычисления любого угла произвольного треугольника, длины сторон которого (a, b, c) известны, используйте теорему косинусов. Она утверждает, что квадрат длины любой из сторон равен сумме квадратов длин двух других, из которой вычтено удвоенное произведение длин этих же двух сторон на косинус угла между ними. Использовать эту теорему можно для расчета угла в любой из вершин, важно знать лишь его расположение относительно сторон. Например, чтобы найти угол ?, который лежит между сторонами b и c, теорему надо записать так: a? = b? + c? - 2*b*c*cos(?).

2

Выразите из формулы косинус искомого угла: cos(?) = (b?+c?-a?)/(2*b*c). К обеим частям равенства примените функцию, обратную косинусу - арккосинус. Она позволяет по значению косинуса восстановить величину угла в градусах: arccos(cos(?)) = arccos((b?+c?-a?)/(2*b*c)). Левую часть можно упростить и формула вычисления угла между сторонами b и c приобретет окончательный вид: ? = arccos((b?+c?-a?)/2*b*c).

3

При нахождении величин острых углов в прямоугольном треугольнике знание длин всех сторон не обязательно, достаточно двух из них. Если эти две стороны - катеты (a и b), разделите длину той, которая лежит напротив искомого угла (?), на длину другой. Так вы получите значение тангенса нужного угла tg(?) = a/b, а применив к обеим частям равенства обратную функцию - арктангенс - и упростив, как и в предыдущем шаге, левую часть, выведите окончательную формулу: ? = arctg(a/b).

4

Если известные стороны прямоугольного треугольника - катет (a) и гипотенуза (c), для вычисления величины угла (?), образованного этими сторонами, воспользуйтесь функцией косинус и обратной ей - арккосинус. Косинус определяется отношением длины катета к гипотенузе, а формулу в окончательном виде можно записать так: ? = arccos(a/c). Для расчета по этим же исходным данным острого угла (?), лежащего напротив известного катета, используйте то же соотношение, заменив арккосинус на арксинус: ? = arcsin(a/c). Как просто

masterotvetov.com

Как по сторонам треугольника узнать угол

Длины сторон треугольника связаны с углами в вершинах фигуры через тригонометрические функции — синус, косинус, тангенс и др. Эти соотношения сформулированы в теоремах и определениях функций через острые углы треугольника из курса элементарной геометрии. Применяя их, дозволено рассчитать величину угла по знаменитым длинам сторон треугольника.

Инструкция

1. Для вычисления всякого угла произвольного треугольника, длины сторон которого (a, b, c) вестимы, используйте теорему косинусов. Она заявляет, что квадрат длины всякий из сторон равен сумме квадратов длин 2-х других, из которой вычтено удвоенное произведение длин этих же 2-х сторон на косинус угла между ними. Применять эту теорему дозволено для расчета угла в всякий из вершин, значимо знать лишь его расположение касательно сторон. Скажем, дабы обнаружить угол ?, тот, что лежит между сторонами b и c, теорему нужно записать так: a? = b? + c? — 2*b*c*cos(?).

2. Выразите из формулы косинус желанного угла: cos(?) = (b?+c?-a?)/(2*b*c). К обеим частям равенства примените функцию, обратную косинусу — арккосинус. Она дозволяет по значению косинуса восстановить величину угла в градусах: arccos(cos(?)) = arccos((b?+c?-a?)/(2*b*c)). Левую часть дозволено упростить и формула вычисления угла между сторонами b и c приобретет окончательный вид: ? = arccos((b?+c?-a?)/2*b*c).

3. При нахождении величин острых углов в прямоугольном треугольнике познание длин всех сторон не неукоснительно, довольно 2-х из них. Если эти две стороны — катеты (a и b), поделите длину той, которая лежит наоборот желанного угла (?), на длину иной. Так вы получите значение тангенса надобного угла tg(?) = a/b, а применив к обеим частям равенства обратную функцию — арктангенс — и упростив, как и в предыдущем шаге, левую часть, выведите окончательную формулу: ? = arctg(a/b).

4. Если вестимые стороны прямоугольного треугольника — катет (a) и гипотенуза (c), для вычисления величины угла (?), образованного этими сторонами, воспользуйтесь функцией косинус и обратной ей — арккосинус. Косинус определяется отношением длины катета к гипотенузе, а формулу в окончательном виде дозволено записать так: ? = arccos(a/c). Для расчета по этим же начальным данным острого угла (?), лежащего наоборот вестимого катета, используйте то же соотношение, заменив арккосинус на арксинус: ? = arcsin(a/c).

Есть несколько вариантов нахождения величин всех углов в треугольнике, если знамениты длины 3 его сторон . Один из методов заключается в применении 2-х различных формул вычисления площади треугольника . Для облегчения расчетов дозволено также применить теорему синусов и теорему о сумме углов треугольника .

Инструкция

1. Воспользуйтесь, скажем, двумя формулами вычисления площади треугольника , в одной из которых задействованы только три его знаменитых сторон ы (формула Герона), а в иной — две сторон ы и синус угла между ними. Применяя во 2-й формуле различные пары сторон , вы сумеете определить величины всякого из углов треугольника .

2. Решите задачу в всеобщем виде. Формула Герона определяет площадь треугольника , как квадратный корень из произведения полупериметра (половины от суммы всех сторон ) на разницы между полупериметром и всякой из сторон . Если заменить периметр суммой сторон , то формулу дозволено записать в таком виде: S=0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c).C иной сторон ы площадь треугольника дозволено выразить как половину произведения 2-х его сторон на синус угла между ними. Скажем, для сторон a и b с углом γ между ними эту формулу дозволено записать так: S=a∗b∗sin(γ). Замените левую часть равенства формулой Герона: 0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c)=a∗b∗sin(γ). Выведите из этого равенства формулу для синуса угла γ: sin(γ)=0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c) / (a∗b∗)

3. Схожие формулы для 2-х других углов:sin(α)=0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c) / (b∗c∗)sin(β)=0,25∗√(a+b+c)∗(b+c-a)∗(a+c-b)∗(a+b-c) / (a∗c∗)Взамен этих формул дозволено воспользоваться теоремой синусов, из которой вытекает, что соотношения сторон и синусов противолежащих им углов в треугольнике равны. То есть, вычислив в предыдущем шаге синус одного из углов, дозволено обнаружить синус иного угла по больше легкой формуле: sin(α)=sin(γ)∗a/c. А исходя из того, что сумма углов в треугольнике равна 180°, 3-й угол дозволено рассчитать еще проще: β=180°-α-γ.

4. Используйте, скажем, типовой калькулятор Windows для нахождения величин углов в градусах позже того, как по формулам рассчитаете значения синусов этих углов. Дабы это сделать, применяйте тригонометрическую функцию, обратную синусу — арксинус.

jprosto.ru