§3. Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнение с тремя переменными


Уравнение с тремя неизвестными | Математика

62. Одно уравнение с тремя неизвестными. Пусть имеем уравнение

3x + 4y – 2z = 11.

На это уравнение можно смотреть, как на запись задачи: найти числовые значения для x, y и z, чтобы трехчлен 3x + 4y – 2z оказался равен числу 11. Таким образом это уравнение является уравнением с тремя неизвестными. Так как мы можем решить одно уравнение с одним неизвестным, то уже с первого взгляда возникает мысль, что 2 неизвестных здесь являются как бы лишними, и им можно давать произвольные значения. И действительно, если, например, взять для y число 3 и для z число 5, то получим уравнение с одним неизвестным:

3x + 12 – 10 = 11,

откуда

3x = 9 и x = 3.

Возьмем другие числа для y и z. Например, пусть

y = –1 и z = 0.

Тогда получим уравнение:

3x – 4 = 11,

откуда

3x = 15 и x = 5.

Продолжая эту работу дальше, мы придем к заключению:

Одно уравнение с тремя неизвестными имеет бесконечно много решений, и для получения их надо двум неизвестным давать произвольные значения.

Результаты этой работы можно записать в таблице (мы, кроме двух уже найденных решений, записали в ней еще одно, которое получится, если положить y = –1 и z = –2):

Так как для y и для z мы берем произвольные значения, то они являются независимыми переменными, а x является зависимым (от них) переменным. Другими словами: x является функциею от y и z.

Чтобы удобнее получать решения этого уравнения, можно определить из него x через y и z. Получим:

3x + 4y – 2z = 11; 3x = 11 – 4y + 2z;x = (11 – 4y + 2z) / 3.

Дадим, напр., значения: y = 5 и z = 1; получим: x = (11 – 20 + 2) / 3 = –2(1/3) и т. д.

Возьмем еще уравнение

3x – 5y – 2z = 7.

Примем x и y за независимые переменные, а z — за зависимое и определим z через x и y

–2z = 7 – 3x + 5y; 2z = 3x – 5y – 7; z = (3x – 5y – 7) / 2

Теперь легко составить таблицу решений:

 

maths-public.ru

уравнение с тремя переменными - ПРОЗА ру.ком

Допустим, что любые отношения - это уравнение с тремя переменными.Например такое: Х+У=Z, где Х - это Вы, а У - тот второй или вторая, как-то соприкасающиеся с Вашей жизнью. Под Z может подразумеваться что угодно: любовь, ненависть, страсть, безразичие… что угодно, умноженное на вариации несчастное/счастливое, взаимное/не взаимное.Понятное дело, что и Х, и У имеют свои индивидуальные формулы для расчета. На них влияют: семья, друзья, работа, водители маршруток, собственное здоровье, уровень радиации, прочитанные книги и просмотренные фильмы и многое-многое другое.Случается так, что переменные по каким-то причинам становятся постоянными. И тогда их Z не меняется. Вроде прекрасно, и многих бы такое устраивало. Если бы это не было утопией.Случается, что меняется один элемент. Поменялся один элемент - поменялась формула. Поменялось Z. Уже другие отношения.Бывает такое, что само существование Z приводит к изменению переменной, что опять же таки ведет к уже другому Z. Это называется развитие.Но бывает такое, что вторая переменная включается в процесс развития. Тогда возможно сохранение Z, или, наоборот, более скорой ее смены. Для сохранения и нужен Баланс. Для сохранения любого показателя Z необходим баланс. Баланс рушится - Z меняется.Особенностью Z является то, что меняться оно не особо любит. Поэтому чаще всего перемена Х приводит к перемене У. Но У может не хотеть меняться. В таком случае У удерживает Х от изменений (в том числе и развития), или меняет его в соответствии со своими планами. Это называется НеСвобода.Частенько бывает так, что для сохранения Баланса или Х, или У прибегают к А, еще одному элементу. Бывает, что уравнение отягощается не только А, но и В, и С, порою даже K, Т,Н,Е и так до бесконечности. Все что угодно лишь бы сохранить Z, не меняя У, если хочет измениться Х. Это называют Изменой. Измена нужна для Баланса.Иногда Х решает, что У не нужен в его уравнении и меняет его на А. При этом он не учитывает, что главными переменными так и остаются Х,У,Z. Значит У не ушел. Итого думая, что уравнение выглядит Х+А=Z, Х не видит что А - это всего лишь У’ (игрек штрих). Это называется Иллюзия.Бывает, что Х хочет определенного Z с У. Но Цена Баланса слишком высока. Необходимо значительное развитие или Х, или У, или их вместе взятых. Тогда говорят “еще не Время”. Иногда Время наступает быстро, иногда никогда.Время исчисляется Событиями. Внешними и внутренними. Внешние События - это наступление определенного часа или даты, оформление развода, получение зарплаты, нахождение работы, рождение ребенка, переезд, разговор и т.п.. Внутренние события - духовные прозрения, инсайты, знания, размышления, внутренние разрешения, смена установок и др. Большинство людей предпочитают внешние события. Они легче и предсказуемы. Но важны то больше внутренние.

Мы все завязаны в этом уравнении с тремя переменными. Все просто и все сложно одновременно. Всё имеет значение. Ничего не имеет значения.

Популярность: 1%

http://prozaru.com/2010/06/uravnenie-s-tremya-peremennyimi/

Метки: размышления

Произведение опубликовано: Среда, Июнь, 30, 2010г в 13:49, рубрика Психологическая проза, Сентиментальная проза. Вы можете наблюдать обсуждение этой публикации в ленте RSS. Вы можете написать и почитать отзывы. Поэзия и проза непризнанных писателей.

Другие публикации писателя

Психологическая проза:  Заглянуть в глаза одиночеству. Психологическая статья.

prozaru.com

§3. Уравнения с разделяющимися переменными.

Эти уравнения самые простые. При решении какого-либо уравнения его стараются свести к уравнению с разделяющимися переменными.

А. Уравнение с разделенными переменными Уравнением с разделенными переменными называется уравнение вида:

(1)

Переменные разделены, каждая из них находится только в той части равенства, где ее дифференциал. и– заданные функции.

Теорема. Общим интегралом уравнения (1) служит соотношение . (2)

Пример. Найти общий интеграл уравнения .

Решение. или– общий интеграл.

Теорема. Частным решением уравнения (1), удовлетворяющим начальному условию будет функция, определенная из равенства. (4)

Пример. Найти решение уравнения , удовлетворяющего условию

Решение. .

В. Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: (5)

В этом уравнении легко разделить переменные. Для этого поделим уравнение на произведение . Тогда получим:. (6)

Это уравнение с разделенными переменными. При переходе от уравнения (5) к уравнению (6) мы могли потерять некоторые решения, которые обращают в нуль произведение , именноили. (7)

Уравнение (7) есть конечное (без производных) уравнение относительно . Его решением служат,, … и т.д. Заметим, что константыслужат решениями уравнения (5), т.к.и.

Общим интегралом (5) будет . (8)

Если решения получаются из (8) при подходящем выбореС, то такие решения суть частные, если же подобрать нужное С невозможно, то они особые решения.

Следовательно, если у уравнения (5) есть особые решения, то соответствующие им графики, т.е. интегральные кривые – это прямые параллельные оси ОХ.

Частным решением уравнения (5), удовлетворяющим начальному условию будет функция, определенная уравнением:

. (9)

Пример. Для уравнения найти общий интеграл и частное решение, удовлетворяющее условию.

Решение.

а) Общий интеграл. Делим на ..

Отсюда или– общий интеграл.

б) Частное решение.

Частное решение: .

с) Особое решение.

Возможна потеря решений. Оба эти решения особые.

§4. Однородные уравнения.

Определение. Уравнение(1) называется однородным, еслиможет быть представлена как функция отношения своих аргументов, т.е.. (2)

Таким образом, однородное уравнение имеет вид: (3)

Теорема. Однородное уравнение (3) имеет общий интеграл: . (4)

Замечание 1. В доказательстве теоремы мы предполагаем, что . Рассмотрим тот случай, когда. Здесь имеются две возможности.

а) Тогдаи уравнение (3) принимает вид:.

Это уравнение с разделяющимися переменными и здесь никаких преобразований делать не нужно.

б) уравнение удовлетворяется лишь при определенных значениях . В этом случае могут быть потеряны решения . Интегральные кривые суть прямые, проходящие через начало.

Пример. Решить уравнение .

Решение. Уравнение однородное. Полагаем ..

Если , то. Отсюда.

–общий интеграл.

Может быть потеряно решение или.

Действительно, есть решение рассматриваемого уравнения и оно не может быть получено из общего интеграла ни при каком значенииС, следовательно есть особое решение.

Замечание 2. Формулу (4) запоминать не следует. Надо уметь ее выводить в каждом конкретном случае, как это сделано в примере.

Замечание 3. Для интегрирования уравнения более общего вида, чем (3) . (6)

(обобщенное однородное) сначала делают замену неизвестной функции и независимой переменной по формулам ; выбираяитакими, чтобы исчезли свободные члены в числителе и знаменателе аргументав (6), тогда (6) приводится к однородному уравнению.

studfiles.net

Уравнение с тремя переменными

Тема драйва хорошо прослеживается в подходах нынешнего молодого поколения к работе, выбору работодателя, планированию карьеры. Драйв применительно к молодому специалисту – это и азарт, и отторжение сложившихся стереотипов, и смелость оставить работу, чтобы реализовать цель, связанную с хобби. Различия в отношении молодёжи и более старшего поколения к жизни и профессии описываются на основе теории поколений. Виктория Шарапова (директор по персоналу в крупной компании) и Руслан Усеев (бизнес-тренер) в деталях рассказали про «категории» сотрудников X, Y, Z. Активное развитие техники оказывает влияние на общество. Каждому молодому человеку (Y, Z) доступны бездонные потоки информации. Коммуникации между людьми приобретают всё более разнообразные формы. В наше время существует большое количество возможностей для профессиональной реализации. Именно поэтому в ценностную систему молодёжи (поколение Y) не входят привязка к определённому месту жительства, длительное пребывание на одном и том же предприятии, восхождение по карьерной лестнице, то есть все те особенности, которые так характерны для поколения Х. По сравнению с сотрудниками Х сотрудники Y в большей степени мобильны, открыты предложениям, активны в смене деятельности, в меньшей степени стабильны по отношению к конкретному работодателю. Что касается поколения Z (рождённых в «нулевые»), то оно пока растёт. Спрогнозировать, какими будут сотрудники категории Z, сложно. Можно предположить, что они «возьмут» часть особенностей категории Y. Поколения Y и Z будут по естественным причинам заменять поколение Х, заполнять освобождающиеся места, в том числе и управленческие позиции. Очевидно, что два фактора (демографический спад и новый тип «мышления» Y и Z) необходимо учитывать при поиске и найме сотрудников. По мнению выступающих, службы управления персоналом должны быть готовы к тому, чтобы рекламировать вакансии, привлекать молодых специалистов, предлагая гораздо больше, чем это было с соискателями категории X. Интересным во всей этой поколенческой истории остаётся вопрос, каким будет руководитель новой волны – молодой, амбициозный, очень творческий и работающий удалённо или..?

Дата добавления: 2015-08-17; просмотров: 25 | Нарушение авторских прав

Кадры на предприятии: ценить и не обесценивать | Кучка» ценностей | Всё дело в миссии? | Сам и не сам | Исследуем, делаем выводы | И двух дней мало |mybiblioteka.su - 2015-2018 год. (0.006 сек.)

mybiblioteka.su

системы линейных уравнений с двумя переменными правила полное

Способы решения системы: 1. Способ подстановки, 2. Способ алгебраического сложения. Алгоритмы и примеры решения системы уравнений: Алгоритм решения системы линейных уравнений способом подстановки: 1. Выбрать одно уравнение (лучше выбирать то, где числа меньше) и выразить из него одну переменную через другую, например, Х через У. (можно и У через Х) . 2. Полученное выражение подставить вместо соответствующей переменной в другое уравнение. Таким образом, у нас получится линейное уравнение с одной неизвестной. 3. Решаем полученное линейное уравнение и получаем решение. 4. Подставляем полученное решение в выражение, полученное в первом пункте, получаем вторую неизвестную из решения. 5. Выполнить проверку полученного решения. Пример Решить систему уравнений: {Х+2*У =12{2*Х-3*У=-18 Решение: 1. Из первого уравнения данной системы выражаем переменную Х. Имеем Х= (12 -2*У) ; 2. Подставляем это выражение во второе уравнение, получаем 2*Х-3*У=-18; 2*(12 -2*У) – 3*У = -18; 24 – 4*У– 3*У = -18; 3. Решаем полученное линейное равнение: 24 – 4У – 3*У =-18; 24-7*У =-18; -7*У = -42; У=6; 4. Подставляем полученный результат в выражение, полученное в первом пункте. Х= (12 -2*У) ; Х=12-2*6 = 0; Х=0; 5. Проверяем полученное решение, для этого подставляем найденные числа в исходную систему. {Х+2*У=12;{2*Х-3*У=-18;{0+2*6 =12;{2*0-3*6=-18;{12 =12;{-18=-18; Получили верные равенства, следовательно, мы правильно нашли решение. Ответ: (0,6) Алгоритм решения способом алгебраического сложения Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом сложения. 1. Если требуется, путем равносильных преобразований уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях. 2. Складывая или вычитая полученные уравнения получить линейное уравнение с одним неизвестным 3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных. 4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную. 5. Сделать проверку решения. Пример решения способом алгебраического сложения Для большей наглядности решим способом сложения следующую систему линейных уравнений с двумя неизвестными: {3*Х + 2*У = 10;{5*Х + 3*У = 12; Так как, одинаковых коэффициентов нет ни у одной из переменных, уравняем коэффициенты у переменной у. Для этого умножим первое уравнение на три, а второе уравнение на два. {3*Х+2*У=10 |*3{5*Х + 3*У = 12 |*2 Получим следующую систему уравнений: {9*Х+6*У = 30;{10*Х+6*У=24; Теперь из второго уравнения вычитаем первое. Приводим подобные слагаемые и решаем полученное линейное уравнение. 10*Х+6*У – (9*Х+6*У) = 24-30; Х=-6; Полученное значение подставляем в первое уравнение из нашей исходной системы и решаем получившееся уравнение. {3*(-6) + 2*У =10;{2*У=28; У =14; Получилась пара чисел Х=6 и У=14. Проводим проверку. Делаем подстановку. {3*Х + 2*У = 10;{5*Х + 3*У = 12;{3*(-6) + 2*(14) = 10;{5*(-6) + 3*(14) = 12;{10 = 10;{12=12; Как видите, получились два верных равенства, следовательно, мы нашли верное решение. Ответ: (6, 14)

Вообще го. вно эта математика)))

touch.otvet.mail.ru

Как решить систему уравнений с тремя переменными

Точка О – центр окружности, ?AOB=72° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB(в градусах). Точка О – центр окружности, ?ACB=24° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB(в градусах).

Примеры систем линейных уравнений: метод решения

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y — это неизвестные, значение которых надо найти, b, a — коэффициенты при переменных, c — свободный член уравнения.

Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 — функции, а (x, y) — переменные функций.

Решить систему уравнений — это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака «равенство» часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения — это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе

Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:

Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.

Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:

Решение с помощью алгебраического сложения

При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Алгоритм действий решения:

Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1. Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных. Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.

Способ решения введением новой переменной

Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.

Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.

Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.

Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 — 4*a*c, где D — искомый дискриминант, b, a, c — множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = — b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= — b / 2*a.

Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.

Наглядный метод решения систем

Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.

Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.

Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.

Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.

В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.

Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.

Матрица и ее разновидности

Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. Матрица вида n*m имеет n — строк и m — столбцов.

Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей — вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.

Обратная матрица — это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.

Правила преобразования системы уравнений в матрицу

Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение — одна строка матрицы.

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.

Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y — только во второй.

При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.

Варианты нахождения обратной матрицы

Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 — обратная матрица, а |K| — определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.

Определитель легко вычисляется для матрицы «два на два», необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта «три на три» существует формула |K|=a1b2c3 + a1b3c2 + a3b1c2 + a2b3c1 + a2b1c3 + a3b2c1. Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.

Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом

Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.

В примере anm — коэффициенты уравнений, матрица — вектор xn — переменные, а bn — свободные члены.

Далее необходимо найти обратную матрицу и умножить на нее исходную. Найти значения переменных в полученной единичной матрицы легко выполнимая задача.

Решение систем методом Гаусса

В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса — Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.

Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 — соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.

После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.

В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:

Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3×3-2×4=11 и 3×3+2×4=7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных xn.

Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.

Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.

Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:

Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. Вертикальная черта отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.

Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака «стрелка» и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.

В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.

Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.

Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.

Как решить систему уравнений с тремя переменными

Примеры систем линейных уравнений: метод решения

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y — это неизвестные, значение которых надо найти, b, a — коэффициенты при переменных, c — свободный член уравнения.

Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 — функции, а (x, y) — переменные функций.

Решить систему уравнений — это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака «равенство» часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения — это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе

Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:

Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.

Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:

Решение с помощью алгебраического сложения

При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Алгоритм действий решения:

Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1. Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных. Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.

Способ решения введением новой переменной

Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.

Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.

Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.

Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 — 4*a*c, где D — искомый дискриминант, b, a, c — множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = — b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= — b / 2*a.

Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.

Наглядный метод решения систем

Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.

Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.

Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.

Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.

В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.

Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.

Матрица и ее разновидности

Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. Матрица вида n*m имеет n — строк и m — столбцов.

Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей — вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.

Обратная матрица — это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.

Правила преобразования системы уравнений в матрицу

Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение — одна строка матрицы.

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.

Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y — только во второй.

При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.

Варианты нахождения обратной матрицы

Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 — обратная матрица, а |K| — определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.

Определитель легко вычисляется для матрицы «два на два», необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта «три на три» существует формула |K|=a1b2c3 + a1b3c2 + a3b1c2 + a2b3c1 + a2b1c3 + a3b2c1. Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.

Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом

Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.

В примере anm — коэффициенты уравнений, матрица — вектор xn — переменные, а bn — свободные члены.

Далее необходимо найти обратную матрицу и умножить на нее исходную. Найти значения переменных в полученной единичной матрицы легко выполнимая задача.

Решение систем методом Гаусса

В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса — Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.

Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 — соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.

После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.

В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:

Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3×3-2×4=11 и 3×3+2×4=7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных xn.

Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.

Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.

Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:

Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. Вертикальная черта отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.

Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака «стрелка» и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.

В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.

Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.

Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.

Как решить систему уравнений с тремя переменными

Решить систему линейных уравнений с тремя неизвестными, методом сложения!

Помогите пожалуйста, объясните как (словесно, на прим. который ниже/своём, как Вам удобней)

    Попроси больше объяснений Следить Отметить нарушение

Sen312 02.05.2015

Ответы и объяснения

    mefody66 главный мозг

Складываем 1 и 2 уравнения

2x — 3y + z + 5x + 2y — z = -1 + 0

Умножаем 2 уравнение на 2 и складываем с 3

10x + 4y — 2z — 4x — y + 2z = 2*0 + 3

Получаем систему из 2 уравнений с 2 неизвестными. 2 уравнение делим на 3.

Складываем эти уравнения

Подставляем в любое из второй системы

Подставляем в любое из первой системы

2*0 — 3*1 + z = -1, z = -1 + 3 = 2

Ответ: x = 0, y = 1, z = 2

В общем случае метод такой.

Умножаем одно уравнение на какое-то число, а второе на другое число, и складываем, так, чтобы одна из переменных исчезла.

Потом тоже самое с другими двумя уравнениями. Но чтобы исчезла ТА ЖЕ переменная. Получаем систему из 2 уравнений с 2 переменными.

К ним применяем тот же метод, и остается одна переменная.

Потом последовательными подстановками получаем остальные.

poiskvstavropole.ru

Как решить систему с тремя неизвестными

Линейная система с тремя неизвестными имеет несколько способов решения. Найти решение системы можно с помощью правила Кремера через определители, методом Гаусса или используя простой способ подстановки. Метод подстановки является основным для решения систем линейных уравнений небольшого порядка. Он заключается в поочередном выражении из каждого уравнения системы одной неизвестной переменной, подстановки ее в следующее уравнение и упрощение получаемых выражений.

Инструкция

  • Запишите исходную систему уравнений третьего порядка. Из первого уравнения системы выразите первую неизвестную переменную х. Для этого перенесите члены, содержащие другие переменные за знак равенства. Перенесенным членам поменяйте знак на противоположный.
  • Если при множителе с выражаемой переменной присутствует коэффициент отличный от единицы, поделите на его значение все уравнение. Таким образом, вы получите переменную х, выраженную через остальные члены уравнения.
  • Подставьте во второе уравнение вместо х то выражение, которое вы получили из первого уравнения. Упростите полученную запись, произведя сложение или вычитание подобных членов. Аналогично предыдущему шагу выразите из второго уравнения следующую неизвестную переменную у. Также перенесите все другие члены за знак равенства и поделите все уравнение на коэффициент при у.
  • В последнее третье уравнение подставьте вместо двух неизвестных переменных х и у выраженные значения из первого и второго уравнений системы. Причем в выражении х также замените переменную у. Упростите полученное уравнение. В нем в качестве неизвестной величины останется лишь третья переменная z. Выразите ее из уравнения, как описано выше, и высчитайте ее значение.
  • В выражение у из второго уравнения подставьте известное значение переменной z. Подсчитайте значение переменной у. Далее в выражение переменной х подставьте значения переменных у и z. Вычислите х. Запишите полученные значения х, у и z – это и есть решение системы с тремя неизвестными.

completerepair.ru