Асимптоты графиков функций. Вертикальные асимптоты


Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции

Асимптоты графика функции. График дробно-линейной функции.

В этой статье мы рассмотрим, что такое асимптота графика функции,  и как ее находить.

Асимптота – это прямая, к которой бесконечно близко приближается график функции.

Асимптоты бывают горизонтальные, вертикальные и наклонные.

Если мы посмотрим на хорошо известный нам график функции , то увидим, что график этой функции бесконечно близко приближается к прямой (ось ОY) - это вертикальная асимптота, и к прямой (ось ОХ) - это горизонтальная асимптота:

В общем случае горизонтальная асимптота  - это прямая, параллельная оси OX. Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид , где - число, к которому стремятся значения функции , когда стремится к .

То есть .

Вертикальная асимптота - это прямая, параллельная оси OY. Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид . Здесь  - значение переменной ,  при котором функция  не определена. Как правило, это ноль знаменателя. Если значение стремится к точке, в которой знаменатель равен нулю, то абсолютное значение дроби при этом неограниченно возрастает.

В некоторых случаях для построения графика функции бывает достаточно найти асимптоты графика.

Рассмотрим дробно-линейную функцию. В общем виде уравнение дробно-линейной функции имеет вид: .

График дробно-линейной функции - это гипербола. Как мы знаем, гипербола имеет две асимптоты: горизонтальную и вертикальную.

Заметим, что при знаменатель равен нулю, в этой точке функция   не определена. Поэтому прямая   - вертикальная асимптота.

Степень в числителе дроби    равна степени в знаменателе. Поэтому при числитель и знаменатель растут с одинаковой скоростью, и

и  уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид .

График дробно-линейной функции   - это гипербола, симметричная относительно точки пересечения асимптот графика. Поэтому, чтобы построить график, нам остается только выяснить его расположение относительно этой точки.

Для этого достаточно найти точки пересечения графика с осями координат.

Точка пересечения с осью OX (y=o): .

Точка пересечения с осью OY (x=0): .

Построим график функции . Это дробно-линейная функция и ее график  - гипербола.

Найдем горизонтальную и вертикальную асимптоты.

Уравнение горизонтальной асимптоты: ;

уравнение вертикальной асимптоты (ноль знаменателя):

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью ОХ: ;

с осью OY(x=0): .

То есть график функции выглядит как-то так:

И, наконец, наклонная асимптота. Наклонная асимптота - это к прямая, к кторой стремится график функции на бесконечности.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид .

Коэффициенты и вычисляются следующим образом:

Найдем асимптоты графика функции

1. Начнем с области определения функции. Функция не определена в точке , следовательно прямая является вертикальной асимптотой.

2. Степень числителя дроби на единицу больше степени знаменателя, поэтому предел этого отношения при отношения равен бесконечности. Следовательно, график функции не имеет горизонтальной асимптоты.

3. Попробуем найти наклонную асимптоту.

(Предел функции равен отношению коэффициентов при максимальных степенях в числителе и знаменателе дроби).

  

Итак, уравнение наклонной асимптоты:

График функции , построенный с помощью специальной программы, показывает, что асимптоты были найдены верно:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Вертикальные асимптоты.

Из определения асимптоты следует, что еслиилиили, то прямая х = а – асимптота кривойy = f(x).

Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты.

Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.

M

N P

 Q

Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим . Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.

Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ = - ордината точки N на асимптоте.

По условию: , NMP = , .

Угол  - постоянный и не равный 900, тогда

Тогда .

Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.

В полученном выражении выносим за скобки х:

Т.к. х, то , т.к.b = const, то .

Тогда , следовательно,

.

Т.к. , то, следовательно,

Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

1) Вертикальные асимптоты: y+ x0 - 0: y- x0 + 0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.

2) Наклонные асимптоты:

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

Построим график функции:

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.

Найдем наклонные асимптоты:

y = 0 – горизонтальная асимптота.

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.

Найдем наклонные асимптоты.

Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.

Схема исследования функций

Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

  1. Область существования функции.

Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.

  1. Точки разрыва. (Если они имеются).

  2. Интервалы возрастания и убывания.

  3. Точки максимума и минимума.

  4. Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.

  5. Области выпуклости и вогнутости.

  6. Точки перегиба.(Если они имеются).

  7. Асимптоты.(Если они имеются).

  8. Построение графика.

Применение этой схемы рассмотрим на примере.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-; -1)  (-1; 1)  (1; ).

В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

Областью значений данной функции является интервал (-; ).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

Находим критические точки.

Найдем производную функции

Критические точки: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1.

Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

- < x < -, y < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y < 0, кривая выпуклая

-1 < x < 0, y > 0, кривая вогнутая

0 < x < 1, y < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y > 0, кривая вогнутая

< x < , y > 0, кривая вогнутая

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

- < x < -, y > 0, функция возрастает

- < x < -1, y < 0, функция убывает

-1 < x < 0, y < 0, функция убывает

0 < x < 1, y < 0, функция убывает

1 < x < , y < 0, функция убывает

< x < , y > 0, функция возрастает

Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3/2 и -3/2.

Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты.

Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.

Построим график функции:

studfiles.net

Подготовка школьников к ЕГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Элементы математического анализа

Вертикальные асимптоты

      Во многих разделах нашего справочника приведены графики различных функций. Для многих функций существуют прямые, к которым графики функций неограниченно приближаются. Такие прямые называют асимптотами, и их точное определение мы дадим чуть позже. Как мы увидим далее, асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными. С вертикальными и горизонтальными асимптотами графика функции мы уже встречались, в частности, в разделе «Гипербола на координатной плоскости. График дробно-линейной функции». С наклонными асимптотами, за исключением горизонтальных, мы пока еще дела не имели.

      Определение 1. Говорят, что   x   стремится к   x0   слева и обозначают

x → x0 – 0 ,

если   x   стремится к   x0   и   x   меньше   x0 .  

      Говорят, что   x   стремится к   x0   справа и обозначают

x → x0 + 0 ,

если   x   стремится к   x0   и   x   больше   x0 .

      Определение 2. Прямую

x = c

называют вертикальной асимптотой графика функции   y = f (x)   при   x ,   стремящемся к   с   справа, если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (с, d)   и выполнено соотношение выполнено соотношение

при   x → c + 0

      Прямую

x = с

называют вертикальной асимптотой графика функции   y = f (x)   при   x ,   стремящемся к   с   слева, если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале   (d, c)   и выполнено соотношение выполнено соотношение

при   x → c – 0

      Пример 1. Прямая

x = 2

является вертикальной асимптотой графика функции

как справа, так и слева (рис. 1)

Рис.1

      Пример 2. Прямая

x = 0

является вертикальной асимптотой графика функции

y = ln x

при   x ,   стремящемся к   0   справа (рис. 2)

Рис.2

Наклонные асимптоты

      Определение 3. Прямую

y = kx + b

называют наклонной асимптотой графика функции   y = f (x)   при   x ,   стремящемся к , если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале и выполнено соотношение выполнено соотношение

      Прямую

y = kx + b

называют наклонной асимптотой графика функции   y = f (x)   при   x ,   стремящемся к , если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале и выполнено соотношение выполнено соотношение

Горизонтальные асимптоты как частный случай наклонных асимптот

      Определение 4. Прямую

y = b

называют горизотальной асимптотой графика функции   y = f (x)   при   x ,   стремящемся к , если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале и выполнено соотношение выполнено соотношение

      Прямую

y = b

называют горизотальной асимптотой графика функции   y  f (x)   при   x ,   стремящемся к , если функция   y = f (x)   определена на некотором интервале и выполнено соотношение выполнено соотношение

      Замечание. Из определений 3 и 5 вытекает, что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты   y = kx + b,   когда угловой коэффициент прямой   k = 0 .

      Пример 3. Прямая

y = 3

является горизонтальной асимптотой графика функции

как при   x ,   стремящемся к , так и при   x ,   стремящемся к (рис. 3)

Рис.3

      Пример 4. Прямая

y = 0

является горизонтальной асимптотой графика функции

y = 2x

при   x ,   стремящемся к (рис. 4)

Рис.4

      Пример 5. График функции  y = arctg x   (рис.5)

Рис.5

имеет две горизонтальные асимптоты: прямая

является горизонтальной асимптотой графика функции при , а прямая

является горизонтальной асимптотой графика функции при .

Поиск наклонных асимптот графиков функций

      Для того, чтобы найти наклонную асимптоту графика функции   y = f (x)   при (или убедиться, что наклонной асимптоты при не существует), нужно совершить 2 операции.

      Первая операция. Вычислим предел предел

(1)

      Если предел (1) не существует или существует, но равен существует, но равен, то делаем вывод о том, что у графика функции   y = f (x)   при наклонных асимптот нет.

      Если предел (1) существует и равен некоторому числу предел (1) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой   k ,  

переходим ко второй операции.

      Вторая операция. Вычислим предел предел

(2)

      Если предел (2) не существует или существует, но равен существует, но равен, то делаем вывод о том, что у графика функции   y = f (x)   при наклонных асимптот нет.

      Если предел (2) существует и равен некоторому числу предел (2) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой   b ,

делаем вывод о том, что прямая

y = kx + b

является наклонной асимптотой графика функции   y = f (x)   при .

      Совершенно аналогично поступаем для того, чтобы найти наклонную асимптоту графика функции   y = f (x)   при (или убедиться, что наклонной асимптоты при не существует).

      Первая операция. Вычислим предел предел

(3)

      Если предел (3) не существует или существует, но равен существует, но равен, то делаем вывод о том, что у графика функции   y = f (x)   при наклонных асимптот нет.

      Если предел (3) существует и равен некоторому числу предел (3) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой   k ,

переходим ко второй операции.

      Вторая операция. Вычислим предел предел

(4)

      Если предел (4) не существует или существует, но равен существует, но равен, то делаем вывод о том, что у графика функции   y = f (x)   при наклонных асимптот нет.

      Если предел (4) существует и равен некоторому числу предел (4) существует и равен некоторому числу, то, обозначив это число буквой   b ,

делаем вывод о том, что прямая

y = kx + b

является наклонной асимптотой графика функции   y = f (x)   при .

      Пример 5. Найти асимптоты графика функции

(5)

и построить график этой функции.

      Решение. Функция (5) определена для всех и вертикальных асимптот не имеет.

      Найдем наклонные асимптоты графика функции (5). При получаем

      Отсюда вытекает, что прямая

y = x

– наклонная асимптота графика функции (5) при .

      При получаем

      Отсюда вытекает, что прямая

y = – x

– наклонная асимптота графика функции (5) при .

      Функция (5) является четной функцией, поэтому ее график симметричен относительно оси ординат.

      Найдем производную функции (5):

..

      Итак,   y' > 0   при   x > 0 ,   y' < 0   при   x < 0 ,   y' = 0   при   x = 0 .   Точка   x = 0   – стационарная, причем производная функции (5) при переходе через точку   x = 0   меняет знак с   «–»   на   «+» . Следовательно,   x = 0   – точка минимума функции (5). Других критических точек у функции (5) нет.

      Теперь мы уже можем построить график функции (5):

Рис.6

      Заметим, что график функции (5) находится выше асимптот   y = x   и   y =v– x ,   поскольку справедливо неравенство:

.

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Как найти асимптоты

Асимптоты обычно находят, когда нужно построить график функции.

Существует несколько видов асимптот по их расположению.

Вертикальную асимптоту можно задать уравнением , где а — любое число.

Наклонная асимптота описывается уравнением прямой с угловым коэффициентом: .

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты, когда угловой коэффициент равен нулю: .

Если требуется найти асимптоты графика функции, значит нужно найти их все. Асимптот у функции может не быть вообще, может быть одна, две и более.

Рассмотрим пример нахождения асимптот.

Пример.Найдем асимптоты графика функции .

Решение:Сначала проверим, имеет ли функция вертикальные асимптоты. Для этого проверим, при каких значениях знаменатель дроби будет равен нулю:

   

   

Таким образом, функция при не существует.

Определим, является ли прямая вертикальной асимптотой графика функции . Для этого найдем односторонние пределы. Подставим вместо переменной х выражение :

   

Получили бесконечный левосторонний предел.

Найдем правосторонний предел, чтобы понять, как располагается график функции:

   

Таким образом, бесконечность односторонних пределов указывает на то, что прямая — вертикальная асимптота графика функции при .

Теперь проверим, имеет ли заданная функция наклонные асимптоты:

   

При получаем частный случай наклонной асимптоты — горизонтальную асимптоту.

Так как получен конечный первый предел, нужно найти второй предел:

   

Получили конечный второй предел.

Таким образом, наклонной асимптотой будет:

   

   

   

Ответ. Вертикальная асимптота , горизонтальная асимптота .

ru.solverbook.com

Асимптота — WiKi

Вертикальная

Прямая вида x=a{\displaystyle x=a}  является вертикальной асимптотой при выполнении хотя бы одного из равенств:

  1. limx→a−f(x)=±∞{\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty } 
  2. limx→a+f(x)=±∞{\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty } .

Вертикальных асимптот может быть любое количество.

Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке a{\displaystyle a} . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Горизонтальная и наклонная

  На графике функции x+1/x, ось y (x = 0) и линия y=x являются асимптотами.

Наклонная асимптота — прямая вида y=kx+b{\displaystyle y=kx+b} , если выполняется хотя бы одно из равенств:

  1. limx→+∞(f(x)−kx)=b{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }(f(x)-kx)=b} 
  2. limx→−∞(f(x)−kx)=b{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }(f(x)-kx)=b} .

При этом, если выполняется первое условие, то говорят, что эта прямая является асимптотой при x→+∞{\displaystyle x\to +\infty } , а если второе, то асимптотой при x→−∞{\displaystyle x\to -\infty } [4].

Если k=0{\displaystyle k=0} , то асимптота также называется горизонтальной.

Замечание 1: Число наклонных асимптот у функции не может быть больше двух: одна при x→+∞{\displaystyle x\to +\infty }  и одна при x→−∞{\displaystyle x\to -\infty } , но она может быть одна или их вовсе может не быть.

Замечание 2: Некоторые источники включают требование, чтобы кривая не пересекала эту прямую в окрестности бесконечности[5].

Замечание 3: В некоторых случаях, таких как алгебраическая геометрия, асимптота определена, как прямая, которая является «касательной» к кривой на бесконечности[5].

 

Функция y=arctgx с двумя горизонтальными асимптотами

Порядок нахождения асимптот

  1. Нахождение точек разрыва, выбор точек, в которых есть вертикальная асимптота (прямой проверкой, что предел в этой точке есть бесконечность).
  2. Проверка, не являются ли конечными пределы limx→+∞f(x)=b{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)=b}  иlimx→−∞f(x)=b{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=b} . Если да, то существует горизонтальная асимптота y=b{\displaystyle y=b}  при +∞{\displaystyle +\infty }  и −∞{\displaystyle -\infty }  соответственно.
  3. Нахождение двух пределов limx→±∞f(x)x=k{\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}=k} 
  4. Нахождение двух пределов limx→±∞(f(x)−kx)=b{\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }(f(x)-kx)=b} , если хотя бы один из пределов в пункте 3 или 4 не существует (или равен ±∞{\displaystyle \pm \infty } ), то наклонной асимптоты при x→+∞{\displaystyle x\to +\infty }  (или x→−∞{\displaystyle x\to -\infty } ) не существует.

Наклонная асимптота — выделение целой части

Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:

Дана функция f(x)=2x3+5x2+1x2+1{\displaystyle f(x)={\frac {2x^{3}+5x^{2}+1}{x^{2}+1}}} .

Разделив нацело числитель на знаменатель, получим: f(x)=2x+5+−2x−4x2+1=2x+5+(−2)⋅x+2x2+1{\displaystyle f(x)=2x+5+{\frac {-2x-4}{x^{2}+1}}=2x+5+(-2)\cdot {\frac {x+2}{x^{2}+1}}} .

При x→±∞{\displaystyle x\to \pm \infty } , x+2x2+1→0{\displaystyle {\frac {x+2}{x^{2}+1}}\to 0} ,

и y=2x+5{\displaystyle y=2x+5}  является искомым уравнением наклонной асимптоты, причем с обеих сторон.

ru-wiki.org

поиск асимптот — ПриМат

Напомним, что различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные, которые могут быть как односторонними так и двусторонними.

Определение 1. Пусть функция определена на отрезке . Прямая называется асимптотой (или наклонной асимптотой) графика функции при , если

По аналогии определяется (наклонная асимптота) при .

Итак, прямая  является двусторонней вертикальной асимптотой графика функции .Определение 2. Пусть функция определена на . Прямая называется асимптотой (или наклонной асимптотой) графика функции при если

Определение 3. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одна из границ или

равны бесконечности. Отсюда следует, что вертикальные асимптоты графика функции   могут быть только при наличии граничных точек области определения функции или точек разрыва.

Что бы найти вертикальные асимптоты графика функции , надо найти такие значения, для которых выполняется одно или оба предыдущих условия. 

Пример 1.Найдем вертикальные асимптоты графика функции . Ясно, что эта функция определена во всех точках числовой оси , кроме точки . Вычислим пределы:

и

Следовательно, прямая  является односторонней вертикальной асимптотой графика рассматриваемой функции при .

Пример 2.Выясним существует ли вертикальные асимптоты у графика функции . Эта функция определена на множестве всех вещественных чисел кроме нуля причем

и

Иными словами, если мы имеем кривую, которая отдаляется в бесконечность, и если расстояние от точки кривой к некоторой прямой при отдалении точки в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой.

Из определения наклонной асимптоты следует следующее утверждение.Для того, что бы График функции имел при наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, что бы

Пример 3. Найти асимптоты графика

Функция определена на всей числовой оси кроме нуля. Вычислим пределы:

Следовательно, прямая — двухсторонняя вертикальная асимптота графика рассматриваемой функции.

Для нахождения наклонных асимптот графика представим эту функцию в виде

Так как при , то из определения наклонной асимптоты следует, что прямая является двухсторонней наклонной асимптотой графика указанной функции. Поскольку при и при , кривая графика лежит выше асимптоты при .

Литература

  • Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, т I — 687 с. ( с. 374- 375).
  • Вартаняна Г.М. Конспект лекций по математическому анализу  ч. 1.(с. 52-53).
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу.
  • Исследование функций

Поделиться ссылкой:

ib.mazurok.com

построение асимптот — ПриМат

Напомним, что различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные, которые могут быть как односторонними так и двусторонними.

Определение 1. Пусть функция определена на отрезке . Прямая называется асимптотой (или наклонной асимптотой) графика функции при , если

По аналогии определяется (наклонная асимптота) при .

Итак, прямая  является двусторонней вертикальной асимптотой графика функции .Определение 2. Пусть функция определена на . Прямая называется асимптотой (или наклонной асимптотой) графика функции при если

Определение 3. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одна из границ или

равны бесконечности. Отсюда следует, что вертикальные асимптоты графика функции   могут быть только при наличии граничных точек области определения функции или точек разрыва.

Что бы найти вертикальные асимптоты графика функции , надо найти такие значения, для которых выполняется одно или оба предыдущих условия. 

Пример 1.Найдем вертикальные асимптоты графика функции . Ясно, что эта функция определена во всех точках числовой оси , кроме точки . Вычислим пределы:

и

Следовательно, прямая  является односторонней вертикальной асимптотой графика рассматриваемой функции при .

Пример 2.Выясним существует ли вертикальные асимптоты у графика функции . Эта функция определена на множестве всех вещественных чисел кроме нуля причем

и

Иными словами, если мы имеем кривую, которая отдаляется в бесконечность, и если расстояние от точки кривой к некоторой прямой при отдалении точки в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой.

Из определения наклонной асимптоты следует следующее утверждение.Для того, что бы График функции имел при наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, что бы

Пример 3. Найти асимптоты графика

Функция определена на всей числовой оси кроме нуля. Вычислим пределы:

Следовательно, прямая — двухсторонняя вертикальная асимптота графика рассматриваемой функции.

Для нахождения наклонных асимптот графика представим эту функцию в виде

Так как при , то из определения наклонной асимптоты следует, что прямая является двухсторонней наклонной асимптотой графика указанной функции. Поскольку при и при , кривая графика лежит выше асимптоты при .

Литература

  • Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа — М.: Высш.школа, 1981, т I — 687 с. ( с. 374- 375).
  • Вартаняна Г.М. Конспект лекций по математическому анализу  ч. 1.(с. 52-53).
  • Лысенко З.М. Конспект лекций по математическому анализу.
  • Исследование функций

Поделиться ссылкой:

ib.mazurok.com